1.3空间向量及其运算的坐标表示（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

1.3空间向量及其运算的坐标表示 基础巩固 1．（多选）（2024高二上·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（ ） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 2．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知两个向量，且，则（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知向量，，若，则（ ） A．1 B． C． D．5 4．（多选）（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D．共面 5．（2024高二·全国·课后作业）已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是 . 6．（22-23高二上·北京顺义·期中）已知向量，，，则的坐标为 . 7．（22-23高二上·湖北随州·期中）在上的投影向量为 ． 8．（21-22高二·全国·课后作业）已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标； (2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标； (3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标. 9．（21-22高二·湖南·课后作业）已知，，计算： (1)，，，； (2)． 10．（23-24高二上·重庆）如图，建立空间直角坐标系．正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点． （1）若是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，则分别求出向量，，的坐标； （2）在（1）的条件下，分别求出，的值． 能力提升 11．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）    A． B． C． D． 12．（23-24高二上·贵州·阶段练习）定义:与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是:分别连接两异面直线上两点，正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，则的长为（ ） A． B． C． D． 13．（多选）（22-23高二上·广东梅州·阶段练习）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．若非零向量满足，则 B．任意向量满足 C．若为空间一基底，且，则四点共面. D．已知向量，若，则为钝角. 14．（23-24高二上·全国·课后作业）三棱锥中，为直角，平面，，为的中点，为中点，以为基底，则的坐标为 ． 15．（21-22高二上·广东广州·期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，，，，若，则 ． 16．（2022·全国·模拟预测）在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是 ． 17．（22-23高二上·山东聊城·期末）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则 . 18．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）若空间两个单位向量、与的夹角都等于θ，则当θ取最小值时， ． 19．（21-22高二·湖南·课后作业）已知空间三点，，．设，． (1)求，；(2)求与的夹角；(3)若向量与互相垂直，求实数k的值． 20．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知空间三点，，． (1)求向量与夹角的余弦值； (2)求向量在向量上的投影向量． 21．（2024高三·全国·专题练习）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点与交于点，且． (1)用向量方法求的长； (2)对于个向量，如果存在不全为零的个实数，，使得，则称个向量叫做线性相关，否则称为线性无关．试判断是否线性相关． 拓展延伸 22．（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是（ ）    A．设向量旋转后的向量为，则 B．点的轨迹是以为半径的圆 C．设在平面上的投影向量为，则的取值范围是 D．直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 23．（22-23高一下·广东云浮·期末）如图，在正方体中，，E，M，N，P，Q分别为，，，，的中点，O为平面内的一个动点，则的最小值为 . 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 1.3空间向量及其运算的坐标表示 基础巩固 1．（2024高二上·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（ ） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 【答案】CD 【分析】根据已知条件及对称性，结合中点坐标公式即可求解. 【详解】A选项，点关于原点的对称点的坐标为，故A错误； B选项，点关于y轴对称的点的坐标是；故B错误； C选项，点关于平面对称的点的坐标是，故C正确； D选项，已知点与点，则AB的中点坐标是，故D正确. 故选：CD. 2．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知两个向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用向量的共线定理求解. 【详解】解：因为， 所以，， 故，即， 解得，. 故选：A. 3．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知向量，，若，则（ ） A．1 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】因为，所以，解得. 故选：B 4．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D．共面 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由选项BC知，向量两两垂直，则不共面，D错误. 故选：BC 5．（2024高二·全国·课后作业）已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是 . 【答案】 【分析】由题意则可计算出，则可写出答案. 【详解】由得 ，则. 故答案为： 6．（22-23高二上·北京顺义·期中）已知向量，，，则的坐标为 . 【答案】 【分析】直接利用向量的运算法则计算即可. 【详解】向量，，，则. 故答案为：. 7．（22-23高二上·湖北随州·期中）在上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】设在上的投影向量为，与的夹角为， 则，， ， 则. 故答案为：. 8．（21-22高二·全国·课后作业）已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标； (2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标； (3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标. 【答案】(1)建系见解析，，，，； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定三棱锥的特征建立空间直角坐标系，写出顶点坐标作答. （2）利用（1）的结论结合中点坐标公式计算作答. （3）设出点M的纵坐标，直接写出其坐标作答. 【详解】（1）在三棱锥中，平面ABC，，则射线两两垂直， 以点A为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 所以，，，. （2）由（1）知，点Q是PC中点，则. （3）由（1）知，点M在线段PC上移动，则点M的横坐标为0，设其纵坐标为t， 其竖坐标z，当M与P不重合时，，当M与P重合时，z=3满足上式，因此， 所以点. 9．（21-22高二·湖南·课后作业）已知，，计算： (1)，，，； (2)． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】（1）利用空间向量模长公式，及空间向量的坐标运算法则进行计算；（2）利用空间向量的坐标夹角公式进行求解. 【详解】（1），，，，所以 （2） 10．（23-24高二上·重庆）如图，建立空间直角坐标系．正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点． （1）若是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，则分别求出向量，，的坐标； （2）在（1）的条件下，分别求出，的值． 【答案】（1），，；（2），. 【分析】（1）根据题意，易得点O，E，F，G的坐标，进而求得向量的坐标； （2）由（1）的结果，利用空间向量的加法和数量积坐标运算以及向量的模公式求解. 【详解】（1）因为是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心， 所以，，，． 所以，，，． （2）由（1）可得． 又， 所以． 能力提升 11．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可. 【详解】   依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 12．（23-24高二上·贵州·阶段练习）定义:与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是:分别连接两异面直线上两点，正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，根据向量共线得出坐标，再根据向量垂直得到具体数值，最后求出模长即可. 【详解】 解:以A为原点，，所在直线分别为x轴，y轴，轴，如图所示: ， ， ， ， ， 设，， 所以 ∵是异面直线与的公垂线段， ∴，解得， ∴，． 故选:C． 13．（22-23高二上·广东梅州·阶段练习）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．若非零向量满足，则 B．任意向量满足 C．若为空间一基底，且，则四点共面. D．已知向量，若，则为钝角. 【答案】AC 【分析】根据向量共线定理判断A；根据数量积的运算律判断B；根据判断C；根据向量夹角公式求解判断D. 【详解】对于A选项，因为，，是非零向量，且满足，，故存在实数使得，故，所以，故A选项正确； 对于B选项，因为，不一定共线且向量数量积为实数，故不一定成立，故B选项错误； 对于C选项，，，是空间的一组基底，故三点不共线，，即 所以， 四点共面，故C选项正确； 对于D选项，当与共线且反向时，有，即，，即，故D选项错误. 故选：AC. 14．（23-24高二上·全国·课后作业）三棱锥中，为直角，平面，，为的中点，为中点，以为基底，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用中位线和向量的线性运算，将用基底表示，表示系数即为所求坐标. 【详解】 为的中点，为中点，则为的中位线， 故，于是以为基底时，的坐标为. 故答案为： 15．（21-22高二上·广东广州·期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题. 【详解】设,如下图所示，建立空间直角坐标系， ，，，，，则 所以 又因为 所以 故答案为： 16．（2022·全国·模拟预测）在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，然后利用空间向量表示出的关系，从而可求得结果 【详解】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，（） 则， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为t >0 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 17．（22-23高二上·山东聊城·期末）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则 . 【答案】 【分析】根据已知可得，，由此可以求出，再根据，即可求得答案. 【详解】因为两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，又，， ， ，， ，解得或， ，， 或， 故答案为：. 18．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）若空间两个单位向量、与的夹角都等于θ，则当θ取最小值时， ． 【答案】/0.5 【分析】由题设，结合空间向量模长、夹角的坐标公式列方程组，结合不等式求解最值，再由即可求结果． 【详解】由题意可得，则， 由， 故，当且仅当或时等号成立， 故，由于，故当时，此时θ取最小值时， 故， 故答案为： 19．（21-22高二·湖南·课后作业）已知空间三点，，．设，． (1)求，； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数k的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量模的坐标运算公式即可求出结果； （2）由（1）可知的坐标，根据空间向量夹角的坐标运算公式，即可求出结果； （3）由（1）可求出，的坐标，由向量与互相垂直， 可得，再根据空间向量数量积的坐标运算公式建立方程，即可求出结果. 【详解】（1）解：因为，，所以, 所以； 因为，，所以， 所以； （2）解：由（1）可知， 又，所以， 即与的夹角为. （3）解：由（1）可知，， 又向量与互相垂直， 所以，所以， 即，解得. 20．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知空间三点，，． (1)求向量与夹角的余弦值； (2)求向量在向量上的投影向量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用坐标运算求向量与夹角的余弦值； （2）利用投影向量的计算公式计算即可. 【详解】（1）空间三点，，， ，， . 所以向量与夹角的余弦值为. （2）. 向量在向量上的投影向量. 21．（2024高三·全国·专题练习）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点与交于点，且． (1)用向量方法求的长； (2)对于个向量，如果存在不全为零的个实数，，使得，则称个向量叫做线性相关，否则称为线性无关．试判断是否线性相关． 【答案】(1) (2)线性无关． 【分析】（1）设长为，建立空间直角坐标系后由计算即可得； （2）设，计算出的值后即可得. 【详解】（1）设长为，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，， ， 由，故，即有， 解得(负值舍去)，即； （2）由，故， 设实数，使得成立． 则有，解得时，即当且仅当时 ∴线性无关． 拓展延伸 22．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是（ ）    A．设向量旋转后的向量为，则 B．点的轨迹是以为半径的圆 C．设在平面上的投影向量为，则的取值范围是 D．直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用坐标法，由可得，利用模长公式可判断AB，利用投影向量的概念可得，可判断C，利用夹角公式可判断D. 【详解】如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为， 则，故A正确； 设，则，，点的轨迹是以为半径的圆，故B正确； 由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量， 则，故C正确； 设直线在平面内的投影与直线所成的角为， 则，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是建立空间直角坐标系，利用坐标法计算. 23．（22-23高一下·广东云浮·期末）如图，在正方体中，，E，M，N，P，Q分别为，，，，的中点，O为平面内的一个动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据线面垂直得出E关于面MNPQ的对称点T，,再建系根据两点间距离求解即可. 【详解】延长，与的延长线交于点， 是正方形， ， 易得，又,平面,平面,所以平面， 则平面，．E关于面MNPQ的对称点T, 易知，    以为坐标原点，DA，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系． ，E， P，分别为，的中点, ，，则. 故答案为: . 试卷第16页，共19页 试卷第17页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$