6.2黄金分割（讲义）（暑期自学课）　2024-2025学年苏科版数学九年级下册

2024-2025学年苏科版数学九年级下册 6.2黄金分割（讲义） （暑期自学课） 知识梳理 【知识点】 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，它们的比值为，近似值为0.618 特别说明： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 典型例题 【例1】已知点把线段分成两条线段，，下列说法错误的是　　 A．如果，那么线段被点黄金分割 B．如果，那么线段被点黄金分割 C．如果线段被点黄金分割，那么与的比叫做黄金比 D．0.618是黄金比的近似值 【例2】0.618是黄金分割率的比值，它被认为是最美的数值．研究发现，当成人的体重（）与身高（）的比达到时，那么这个成人的体重就比较理想．若王老师的身高是，下列选项中，最接近她的理想体重的是（    ） A． B． C． D． 【例3】古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则 ．（结果保留根号） 【例4】线段AB的长度为10cm，点P为其一个黄金分割点，求AP的长． 举一反三 【变式1】已知线段的长度为2，点是线段的黄金分割点，则的长度为　　 A． B． C．或 D．或 【变式2】如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【变式3】黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形称其为黄金矩形．若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式4】如图，在中，，，以为圆心，为半径，两弧交于点，此时，点为线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 【变式5】如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰的比是k，这样的三角形叫黄金三角形，已知腰长AB＝1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD是第二个黄金三角形，△CDE是第三个黄金三角形，以此类推，第2006个黄金三角形的周长是　 　．（用含k的式子表示） 【变式6】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ADB＝108°．求证： （1）AD＝BD＝BC； （2）点D是线段AC的黄金分割点． 小试牛刀 一、选择题（共4题） 1.如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是　　 A． B． C． D． 2. 点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ） A． B． C．或 D．或 3.已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（ ） A. AB2=AC•BC B. BC2=AC•BC C. AC=BC D. BC= AB 4.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x） C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对 二、填空题（共4题） 5.点是线段的黄金分割点，，若，则__． 6.已知线段，点c是线段的黄金分割点，．那么________． 7.黄金分割能让人产生视觉上的美感．某本书的宽与长的比为黄金比（长宽），若该书长为，则宽为 　　．（结果精确到 8.符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是_______________． 三、解答题（共4题） 9.根据人的审美观点，当人的下肢长与身高之比为0.618时，能使人看起来感到匀称，某成年女士身高为166cm，下肢长为101cm，持上述观点,她所选的高跟鞋的最佳高度约为多少（精确到0.1cm）? 10.如图：已知线段AB， ⑴ 用圆规与直尺作一个黄金矩形ABCD，要求黄金矩形ABCD的长为线段AB（请保留作图痕迹） ⑵ 若AB=10，则矩形ABCD的面积= 11.如图，已知是线段的黄金分割点，且若表示以为边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，试比较与的大小，并说明理由． 12.如果是我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图） 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕和线段． （1）求的度数： （2）在第（1）题图中，延长交于，过点作于点，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知，求的长． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$