第2章直线与圆的位置关系培优题突破练习★★★【5个考点30题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册

第2章直线与圆的位置关系 培优题突破练习★★★【5个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册 一．直线与圆的位置关系 二．切线的性质 三．切线的判定 四．切线的判定与性质 五．三角形的内切圆与内心 · 知识点梳理 · 直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 一．直线与圆的位置关系 1．（2024•东台市一模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 2．（2024•凉州区三模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径和的长． 二．切线的性质 3．（2020秋•无锡期中）如图，为半圆的直径，，是半圆上的三等分点，，与半圆相切于点．点为上一动点（不与点，重合），直线交于点，于点，延长交于点，则下列结论正确的是：①；②的长为；③；④当为中点时，；⑤．其中正确的个数为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 4．（2019秋•仓山区期中）如图，是定长线段，圆心是的中点，、为切线，、为切点，满足在上取动点，过点作切线交、的延长线于点、，当点运动时，设，，则与所满足的函数关系式为　　 A．正比例函数为常数，， B．一次函数，为常数，， C．二次函数，，为常数，， D．以上都不是 5．（2021秋•泰山区月考）如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点．给出下列四种说法：①；②；③；④是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2013•成都一模）如图，在中，，，，点在上，，若的圆心在线段上，且与、都相切，则的半径是　　． 7．（2019秋•鼓楼区校级月考）已知抛物线经过、、三点，顶点为，点是抛物线的对称轴上一点，以点为圆心的圆经过、两点，且与直线相切，则点的坐标为 　　． 8．（2021秋•启东市校级月考）已知：如图，中，，，圆半径为6，为斜边上的一个动点，、分别与圆相切于、，连接交于点，则的最小值为 　　． 9．（2020•鹿城区校级二模）图1是一款健身动感单车，单车的主要结构图如图2所示，飞轮圆心与点在支架的边上，且离水平地面的高度相同，链条，分别切于点，．测得飞轮的半径为1分米，分米，分米，，．是脚踏板的连轴，当脚踏板支点落在线段上时，恰好．则　　分米；支点在转动过程中，离地面的最近距离为 　　分米． 10．（2023•兴化市开学）如图，，半径为2的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 　　． 11．（2024•天津）已知中，，为的弦，直线与相切于点． （Ⅰ）如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若，，垂足为，与相交于点，，求线段的长． 三．切线的判定 12．（2020•港南区一模）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若，的直径为20，求线段、的长． 四．切线的判定与性质 13．（2019•互助县二模）如图，是的弦，交于点，过点的直线交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 14．（2021•大洼区二模）如图，点是以为直径的圆上一点，直线与过点的切线相交于，点是的中点，直线交直线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 15．（2018•肥城市一模）如图，平行四边形中，以为圆心，为半径的圆交于，交于，延长交圆于． （1）若与相切，试判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若，求． 16．（2023秋•中山市期中）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，，． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为2，求的长． 五．三角形的内切圆与内心 17．（2023•望江县模拟）如图，点为的内心，，，，则的面积是　　 A． B． C．2 D．4 18．（2022•德阳）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2024•武汉模拟）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为　　 A． B． C． D． 20．已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为　　 A． B． C． D． 21．（2022春•江岸区校级月考）如图，在中，，，，为的内切圆，切点分别为、、，直线交、于、两点，则的值为　　 A．10 B．5 C． D． 22．（2022•江岸区校级模拟）如图，是的外接圆，点是内心，连接并延长交于点，若，，，则的值是　　 A． B． C． D． 23．（2024•旌阳区模拟）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为4，则的半径为　　 A． B． C． D．2 24．（2022•鄞州区一模）如图，正方形的边长为4，正方形的边长为，将正方形绕点旋转，和相交于点，则的最大值是 　　，连结，当点正好是的内心时，的长是 　　． 25．（2021秋•江汉区月考）如图，点的坐标为，以点为圆心，以为半径的圆交轴于点，点为第一象限内圆上一动点，轴于点，点为的内心，则的最小值为 　　． 26．如图，线段，半圆的直径，点在射线上运动． （1）当半圆恰好经过边的中点时，　　； （2）当的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，　　． 27．（2019秋•仓山区校级月考）如图，半径为5的与轴相交于点，为在轴上方的一个动点（不与点重合），为轴上一点且，为的内心，则的外接圆的半径的取值（或取值范围）为　　． 28．（2022秋•黄石期中）点为的内心，连交的外接圆于点，若，点为弦的中点，连接，，若，，则的长为　　． 29．（2020•雨花区校级模拟）如图，为的外接圆，为与的交点，为线段延长线上一点，且． （1）求证：直线是的切线． （2）若为的中点，， ①求的半径； ②求的内心到点的距离． 30．（2023•海曙区模拟）在中，为坐标原点，在第一象限，其中内心，其中，，三点都是整数点． （1）求直线的解析式； （2），求整点的个数． 第2章直线与圆的位置关系 培优题突破练习★★★【5个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册 一．直线与圆的位置关系 二．切线的性质 三．切线的判定 四．切线的判定与性质 五．三角形的内切圆与内心 · 知识点梳理 · 直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 一．直线与圆的位置关系 1．（2024•东台市一模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 【分析】（1）连接，，根据已知条件证得即可； （2）根据勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）相切，理由如下： 连接，， 为的直径， ． ． ， ． ， ． ． ， ． ． 与相切． （2）由（1）知， 在中，由勾股定理　得 ． ， ． ． 【点评】本题考查了切线的判定，连接，证得是解题关键． 2．（2024•凉州区三模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径和的长． 【答案】（1）直线是的切线．理由见解答过程； （2），． 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，平行线的性质可得，根据切线的判定定理可得结论； （2）如图，设的半径为，则，根据勾股定理列方程可得的值，证明，列比例式，根据勾股定理列方程，依据，列比例式可得结论． 【解答】解：（1）直线是的切线．理由如下： 连接，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）在中，由勾股定理得： ， ， ， 即：， 解得：， 的半径为； 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， ，即， ． 的半径为，的长为． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，圆周角定理以及三角形的外接圆与外心，掌握切线的判定定理是解（1）题的关键，证明，确定和的关系是解（2）题的关键． 二．切线的性质 3．（2020秋•无锡期中）如图，为半圆的直径，，是半圆上的三等分点，，与半圆相切于点．点为上一动点（不与点，重合），直线交于点，于点，延长交于点，则下列结论正确的是：①；②的长为；③；④当为中点时，；⑤．其中正确的个数为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】 【分析】①连接，并延长，与的延长线交于点，若，得出为的中点，与实际不符，即可判定正误． ②先求出，再由弧长公式求得的长度，进而判断正误． ③由，得为等边三角形，再根据三线合一性质得，再由角的和差关系得，便可判断正误． ④证明，可判断正误； ⑤由，，推出，可判断正误． 【解答】解：①连接，并延长，与的延长线交于点，如图， ，是半圆上的三等分点， ， 与半圆相切于点． ， ， ，， ， ， 若，则， ， 点为的中点，这与为上的一动点不完全吻合， 不一定等于， 不一定等于， 故①错误； ②，是半圆上的三等分点， ， 直径， ， 的长度， 故②正确； ③，， ，， ， ， ， ， 故③错误； ④， ， ，， ， ， ， ， ， ，故④正确， ⑤，，， ，故⑤正确， 故选：． 【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键是熟练掌握这些性质，并能灵活应用． 4．（2019秋•仓山区期中）如图，是定长线段，圆心是的中点，、为切线，、为切点，满足在上取动点，过点作切线交、的延长线于点、，当点运动时，设，，则与所满足的函数关系式为　　 A．正比例函数为常数，， B．一次函数，为常数，， C．二次函数，，为常数，， D．以上都不是 【答案】 【分析】延长，交于点，连接，，，，，由与为圆的切线，利用切线的性质得到与垂直，与垂直，由，，利用得到直角三角形与直角全等，利用全等三角形的对应角相等得到，利用等角对等边可得出三角形为等腰三角形，由为底边的中点，利用三线合一得到垂直于，得到一对直角相等，再由与为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形与三角形相似，同理得到三角形与三角形相似，由相似三角形的对应角相等得到，再由切线长定理得到与分别为与的平分线，得到为的一半，即，又，得到三角形与三角形相似，同理三角形与三角形相似，进而确定出三角形与三角形相似，由相似得比例，将，代入，并将与换为的一半，可得出与的乘积为定值，即与成反比例函数，即可得到正确的选项． 【解答】解：延长，交于点，连接，，，，， ，为圆的切线， ，， ， 在和中， ， ， ， 为等腰三角形， 又为的中点，即， ， ， 又， ， ， 同理可以得到， ， 根据切线长定理得：平分，平分， ， 又， ， 同理可以得到， ， ， ，即为定值， 设，得到， 则与满足的函数关系式为反比例函数为常数，，． 故选：． 【点评】本题属于圆的综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，切线长定理，直角三角形全等的判定与性质，反比例函数的性质，以及等腰三角形的性质，做此题是注意灵活运用所学知识． 5．（2021秋•泰山区月考）如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点．给出下列四种说法：①；②；③；④是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】利用圆的有关性质，可以解决问题． 【解答】解：，是的两条切线，，为切点， ，，平分， ，， 故①②③符合题意， 连接， 若是外接圆的圆心， 则， 是等边三角形， ， 而不一定是， 故④不符合题意， 故答案为：． 【点评】本题考查圆的有关性质，关键是灵活运用圆中的知识点． 6．（2013•成都一模）如图，在中，，，，点在上，，若的圆心在线段上，且与、都相切，则的半径是　1　． 【分析】设和，分别相切于点、，连接、．设圆的半径是．根据切线长定理和勾股定理求解． 【解答】解：设和，分别相切于点、，连接、． 设圆的半径是．在直角三角形中，根据勾股定理得． 又，则， 所以， ，， 根据切线长定理得，，； 在直角三角形中，根据勾股定理得： ， ，即的半径是1． 【点评】此题综合运用了勾股定理、切线长定理．要能够发现一个等腰直角三角形，最后在直角三角形中根据勾股定理列方程求解． 7．（2019秋•鼓楼区校级月考）已知抛物线经过、、三点，顶点为，点是抛物线的对称轴上一点，以点为圆心的圆经过、两点，且与直线相切，则点的坐标为 　，或　． 【分析】根据已知条件得到抛物线的解析式，设抛物线的对称轴与轴的交点为；假设存在符合条件的点，且与直线的切点为，连接；若同时经过、两点，根据圆和抛物线的对称性知圆心必在抛物线的对称轴上；可设出的半径，易证得是等腰直角三角形，则，可据此表示出的长；在中，根据勾股定理可表示出的长，由于，可根据这个等量关系列出关于半径的方程，进而可求出点的坐标． 【解答】解：抛物线经过、、三点， ， ， 抛物线的解析式为：； 顶点，对称轴为直线； 直线的解析式为， 直线与轴的交点为 设抛物线的对称轴与轴的交点为，与直线的切点为，连接、； 设； 在中，， 是等腰直角三角形，； 在中，，，则； 在中，，，则； 由于，或，即：， 解得； ，或，或； 即，或． 【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线和圆的对称性、直线与圆的位置关系以及解直角三角形的应用等知识，能力要求较高，难度较大． 8．（2021秋•启东市校级月考）已知：如图，中，，，圆半径为6，为斜边上的一个动点，、分别与圆相切于、，连接交于点，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】过点作的切线和，连接，交于，同样过点作的切线，得出等同于点的点，连接，证明，从而，进而得出，同理可得，，，从而，进而得出，从而，同理可得，，从而，点在以为直径的圆上运动，进一步得出结果． 【解答】解：如图， 过点作的切线和，连接，交于，同样过点作的切线，得出等同于点的点， 连接， ， 根据对称性可得， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 同理可得， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 连接交于，作于， ， ， ， ， 半径， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 9．（2020•鹿城区校级二模）图1是一款健身动感单车，单车的主要结构图如图2所示，飞轮圆心与点在支架的边上，且离水平地面的高度相同，链条，分别切于点，．测得飞轮的半径为1分米，分米，分米，，．是脚踏板的连轴，当脚踏板支点落在线段上时，恰好．则　　分米；支点在转动过程中，离地面的最近距离为 　　分米． 【答案】；． 【分析】先根据直角三角形的性质、勾股定理求出的长，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可得的长；然后利用相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，最后在中，利用等腰三角形的性质、勾股定理求出的长，据此利用即可得支点离地面的最近距离． 【解答】解：如图，过点作于点交于点，过点作于点，连接， ，分米， 分米，（分米）， 分米， （分米）， 则在中，（分米）， （分米），分米， 由题意得：， ， ， ， 解得（分米）， ， ， ， ， 解得（分米）， 分米， ，是的切线， ，， 在中，（分米）， ， ， ， ， 设分米，则分米， 在中，， ， 解得， 分米， 则支点离地面的最近距离为 （分米）， 故答案为：；． 【点评】本题考查了圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练拿握圆的切线的性质是解题关键． 10．（2023•兴化市开学）如图，，半径为2的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】设半径为2的与角的两边相切于，，连接，，延长交于，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，得到，如图1，延长交于，推出与是直角三角形，根据直角三角形的性质得到，，求得，当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值，连接，则四边形是正方形，根据正方形的性质得到，求得；如图2，当与相切且点在圆心的，左侧时，有最小值，同理可得，于是得到结论． 【解答】解：设半径为2的与角的两边相切于，，如图1，连接，，延长交于， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， 如图1，延长交于， ，， ， ， ， 与是直角三角形， ，， ， 当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值， 连接， 则四边形是正方形， ，， ； 如图2，当与相切且点在圆心的左侧时，有最小值， 同理可得； 故的取值范围是， 故答案为：． 【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 11．（2024•天津）已知中，，为的弦，直线与相切于点． （Ⅰ）如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若，，垂足为，与相交于点，，求线段的长． 【答案】（Ⅰ），； ． 【分析】根据等腰三角形到现在得到，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理得到结论； 如图，连接，同，得，根据垂直的定义得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：， ， ，， ， 直线与相切于点，为的直径， ， ， ， ， ， ； 如图，连接． 同，得， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 三．切线的判定 12．（2020•港南区一模）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若，的直径为20，求线段、的长． 【分析】（1）欲证明为的切线，只要证明即可． （2）作于，设，则，在中利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【解答】证明：（1）连接． 点在上，， ， ， ， ， 平分， ， ， 是切线． （2）作于， ， 四边形是矩形， ，， ，设，则， ， ， 在中，， ， 解得或0（舍弃）， ，，， ， ． 【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质、垂径定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 四．切线的判定与性质 13．（2019•互助县二模）如图，是的弦，交于点，过点的直线交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【分析】（1）由垂直定义得，根据等腰三角形的性质由得，根据对顶角相等得，所以，而，所以，然后根据切线的判定定理得到是的切线； （2）设，则，在中，根据勾股定理得到，然后解方程即可． 【解答】（1）证明：连接，如图， ， ， ， ， ， 而， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：设，则， 在中，，， ， ， 解得， 即的长为2． 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理． 14．（2021•大洼区二模）如图，点是以为直径的圆上一点，直线与过点的切线相交于，点是的中点，直线交直线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【分析】（1）连、，根据切线的性质得，根据圆周角定理由是直径得到，即，则根据直角三角形斜边上的中线性质得，所以，所以，然后根据切线的判定定理得是的切线； （2），在中，利用，得出，可计算出，再利用勾股定理可计算出，所以，然后在中，利用正切定义可计算出． 【解答】（1）证明：连、，如图， 为的切线， ， ， 是直径， ， ， 为的中点， ， ， 而， ， ， 是的切线； （2）解：， 在中，，， ， ， ， 在中，， ， 即的半径为6． 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、圆周角定理． 15．（2018•肥城市一模）如图，平行四边形中，以为圆心，为半径的圆交于，交于，延长交圆于． （1）若与相切，试判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若，求． 【分析】（1）连接，由角的等量关系可以证出，然后证明得到， （2）由（1）知，根据角间的等量关系，解出，继而求出的值． 【解答】解：（1）结论：与相切．理由如下： 连接． 点、在圆上， ． 四边形是平行四边形， ． ，． ， ． ． 在和中， ， ． ． 与相切， ． ． ． 与相切． （2），四边形是平行四边形， ，，．（5分） ， ． ． ． ． ．（6分） 【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形判定和平行四边形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 16．（2023秋•中山市期中）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，，． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为2，求的长． 【分析】（1）连接，如图所示，由，利用等边对等角得到一对角相等，由的度数得出的度数，再由，利用等边对等角得到一对角相等，确定出的度数，由为的外角，利用外角的性质求出的度数，在中，利用三角形的内角和定理求出为，可得出为圆的切线，得证； （2）利用弧长公式求解． 【解答】（1）证明：连接，如图所示： ，， ， 又， ， ， 在中，，， 可得，即， 则为圆的切线； （2），， 的长度． 【点评】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，以及弧长公式的运用，切线的判定方法有两种：有点连接，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径． 五．三角形的内切圆与内心 17．（2023•望江县模拟）如图，点为的内心，，，，则的面积是　　 A． B． C．2 D．4 【答案】 【分析】过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含30度角的直角三角形可得的长，进而可得的面积． 【解答】解：如图，过点作的延长线于点， 点为的内心，， ， ， ，， ， 的面积． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义． 18．（2022•德阳）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【解答】解：是的内心， 平分， ，故①正确； 如图，连接，， 是的内心， ，， ， ， ，故②正确； ， ， ， 点为的中点， 一定在上， ，故③正确； 如图，连接， 平分， ， ， ， ， ，故④正确． 一定正确的①②③④，共4个． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心． 19．（2024•武汉模拟）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题． 【解答】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线相交于、、于点、、， ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键． 20．已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为　　 A． B． C． D． 【分析】作于，连接，，，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据三角形的面积公式求出即可． 【解答】解：过点作，垂足为，连接，，，设内切圆的半径为， 设，则， 由勾股定理得：，． ． 解得：． ， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，能得出关于的方程是解题的关键． 21．（2022春•江岸区校级月考）如图，在中，，，，为的内切圆，切点分别为、、，直线交、于、两点，则的值为　　 A．10 B．5 C． D． 【答案】 【分析】根据三角形内切圆的性质可得出四边形是正方形，由勾股定理和切线长定理可求出内切圆的半径，利用正方形的性质可求出的高，由勾股定理求出，由锐角三角函数和勾股定理求出、，进而求出的底，由三角形的面积公式求出答案． 【解答】解：如图，连接，，分别过点分别作、的垂线，分别交、的延长线于点、， 为的内切圆，切点分别为、、， ，，， ， 四边形是正方形， ， 在中，，，， ， 设，则，， 由切线长定理可得， ，即， 解得， 即， 连接交于，则，， 由题意可得，、都是等腰直角三角形， ，， 在中，设，则， 由得， ， 解得， 即：， ， 同理在中，可求， ， ， 故选：． 【点评】本题考查三角形的内切圆，直角三角形的边角关系，圆周角定理以及切线的性质，掌握切线的性质，直角三角形的边角关系以及圆周角定理是正确解答的前提． 22．（2022•江岸区校级模拟）如图，是的外接圆，点是内心，连接并延长交于点，若，，，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】作交延长线于点，连接，，可得，，由点是内心，可得，，从而得到，进而得到，再证得，即可求解． 【解答】解：如图，作交延长线于点，连接，， ，， 点是内心， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的内切圆和外接圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，作出适当辅助线是解题的关键． 23．（2024•旌阳区模拟）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为4，则的半径为　　 A． B． C． D．2 【答案】 【分析】设与相切于点，设正方形的边长为．因为、、是切线，可得，，，设，，在中，以为，，，看到，推出，根据，构建方程求出即可解决问题． 【解答】解：设与相切于点，设正方形的边长为， 、、是切线， ，，，设，， 在中， ，，， ， ， ， ， ， ， （负值已经舍去）， ， 的半径为2， 故选：． 【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 24．（2022•鄞州区一模）如图，正方形的边长为4，正方形的边长为，将正方形绕点旋转，和相交于点，则的最大值是 　　，连结，当点正好是的内心时，的长是 　　． 【答案】，． 【分析】证明，从而确定点在以为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点到的距离，进一步得出结果． 【解答】解：如图， 连接，，和，，交于点，，交于点，作于，作于， 四边形和四边形是正方形， ，，，，，， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 当为圆直径时，最大，此时点于点重合， ， 当点为的内心时， ，，分别平分，和， ， ， ，， ， 点、、共线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识． 25．（2021秋•江汉区月考）如图，点的坐标为，以点为圆心，以为半径的圆交轴于点，点为第一象限内圆上一动点，轴于点，点为的内心，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】连接，，作的外接圆，圆心为，连接，，，，，根据内心定义证明，可得，当，，三点共线时，取得最小值，此时，然后根据勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，，作的外接圆，圆心为，连接，，，，， 点为的内心， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 当，，三点共线时，取得最小值， 此时 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，坐标与图形性质，垂径定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心． 26．如图，线段，半圆的直径，点在射线上运动． （1）当半圆恰好经过边的中点时，　4　； （2）当的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，　　． 【答案】（1）4； （2）或． 【分析】（1）作出辅助线，证明三角形全等，即可得出结果； （2）分两种情况讨论：当内心、外心与顶点在同一条直线上，作于点，设，则，则求出，的长，则的值可求出，当内心、外心与顶点在同一条直线上，作于点，同理可求出，的值，则的值可求出． 【解答】解：（1）如图1，设的中点为，连接， 半圆经过的中点，为直径， ， 且平分， 点到点，的距离相等， ， （2）①当时，内心、外心与顶点在同一条直线上， 作于点，如图2， 设，则， 解得：， ，， ， ②当时，内心、外心与顶点在同一条直线上， 作于点，如图3， 设，则， 解得：， ，， ， 综上，或． 【点评】本题是圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，内心、外心的定义，锐角三角函数的有关知识，知识点比较多，难度较大． 27．（2019秋•仓山区校级月考）如图，半径为5的与轴相交于点，为在轴上方的一个动点（不与点重合），为轴上一点且，为的内心，则的外接圆的半径的取值（或取值范围）为　　． 【分析】首先证明定值，定值，推出点的运动轨迹是，推出的外接圆的半径是定值，由此即可解决问题． 【解答】解：如图， ， ， 是内心， ，， ， ， ，，， ， ， 作的外接圆，连接，，作于． 定值，定值， 点的运动轨迹是， 的外接圆的半径是定值， ，，， ，， ． 故答案为． 【点评】本题考查三角形的内接圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 28．（2022秋•黄石期中）点为的内心，连交的外接圆于点，若，点为弦的中点，连接，，若，，则的长为　4　． 【分析】延长到，使得，连接．想办法求出，证明是的中位线即可解决问题； 【解答】解：延长到，使得，连接． 是的内心， ，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为4． 【点评】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 29．（2020•雨花区校级模拟）如图，为的外接圆，为与的交点，为线段延长线上一点，且． （1）求证：直线是的切线． （2）若为的中点，， ①求的半径； ②求的内心到点的距离． 【分析】（1）连接，并延长交于点，连接，由圆周角定理可得，可得，由，可得，即可得结论； （2）①由垂径定理可得，，由勾股定理可求的半径； ②作的平分线交于点，连接，过点作，，由角平分线的性质可得，由三角形的面积公式可求的值，即可求的内心到点的距离． 【解答】解：（1）证明：连接，并延长交于点，连接 是直径 ， ， ，且是半径 直线是的切线． （2）①如图，连接， 为的中点，过圆心， ，， ， ， ， 的半径为； ②如图，作的平分线交于点，连接，过点作，， ， ，且 平分，且平分 点是的内心，且，， 在中，， ， ， ， ， ． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定，角平分线性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质定理进行推理是本题的关键． 30．（2023•海曙区模拟）在中，为坐标原点，在第一象限，其中内心，其中，，三点都是整数点． （1）求直线的解析式； （2），求整点的个数． 【答案】（1）； （2）30． 【分析】（1）由题可知平分，则，设直线的解析式为，直线的解析式为，由到角公式可得，求出的值即可求直线解析式； （2）先求出直线的解析式为，设，，由是的内心，可得，整理可得到，再由，，可得共个整点． 【解答】解：（1）是的内心，， 平分， ， 设直线的解析式为， ， 直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）， 直线的解析式为， 设，， 是的内心， ， ， ， ， ， ， 、不可能均小于， ，， 共个整点． 【点评】本题三角形内心与内切圆，熟练掌握三角形内切圆的性质，直角三角形的性质，到角公式的应用是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$