第2章直线与圆的位置关系 中档题拓展训练　【4个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册

第2章直线与圆的位置关系 中档题拓展训练★★【4个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册 一．直线与圆的位置关系 二．切线的性质 三．切线的判定与性质 四．三角形的内切圆与内心 · 知识点梳理 · 直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 一．直线与圆的位置关系 1．（2024•汉川市模拟）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是　　 A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 二．切线的性质 2．（2024春•北碚区校级月考）如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，且，则的长是　　 A．1 B． C． D． 3．（2024•遵化市二模）如图，在中，，点为上一点，以5为半径作分别与，相切于，两点，与交于点，连接交于点，连接，，若点为的中点，给出下列结论： ①平分； ②点为的中点； ③； ④的长度为； 其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024•姑苏区一模）如图，矩形中，，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为　　 A．6 B．7 C． D． 5．（2024•九龙坡区二模）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径，圆恰好与相切于点，连接，若平分，，则线段的长是　　 A．2 B． C． D．3 6．（2024•福建模拟）如图，内接于，，是的两条切线，若，则等于　　 A． B． C． D． 7．（2024•思明区校级二模）如图，在中，是直径延长线上一点，切于点，若，则的余弦值为　　 A． B． C． D． 8．（2024•长阳县模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，已知，则的大小为　　 A． B． C． D． 9．（2024•莲都区二模）如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（2024春•江北区校级期中）如图，、、是的三条弦，延长半径交的切线于点，，，，则的值为　　 A． B． C． D． 11．（2024•铜梁区校级模拟）如图，的直径，、为上两点，分别连接、、，延长交的切线于点，若，则的长为　　 A．2 B． C． D．1 12．（2024•龙岗区校级模拟）如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点．若，则的半径长为　　 A．米 B．2米 C．米 D．3米 13．（2024•北碚区校级三模）如图，是的直径，点，在上，连接，，，，过点作的切线，交的延长线于点，若的直径为4，，则的长为　　 A． B． C． D． 14．（2024•山西）如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•沙坪坝区期末）如图，为的直径，与相切于点，交的延长线于点，若，，则线段的长是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 16．（2024•龙马潭区二模）如图，，，，分别与相切于点，，，连接并延长与的延长线相交于点．已知，，则的长为　　 A． B． C． D． 17．（2024春•江北区校级月考）如图，射线与相切于点，点、在上，连接，，过点作的平行线与交于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 18．（2024•文成县二模）如图，，分别切于点，，是直径，，则的度数为　　 A． B． C． D． 19．（2024春•新宁县校级月考）如图，、分别是的切线，、为切点，是的直径，已知，的度数为　　 A． B． C． D． 20．（2024春•二道区校级月考）如图，为的直径，，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则的长度为 　　． 21．（2024•沙坪坝区校级一模）如图，在中，为边中点．以为圆心，为半径画弧，恰好经过点．以为圆心，为半径画弧，与相切于点．若，则阴影部分的面积为 　　．（结果保留 22．（2024•佳木斯一模）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是 　　． 23．（2024•拱墅区模拟）如图，是的直径，点是上的一点，连接，，是的切线，连接．若平分，，，则　　． 24．（2024•新乡一模）如图，是的内接三角形，斜边，直角边，点是外一点，，连接，若与相切，则的长为 　　． 25．（2024•二道区一模）如图，四边形是的内接四边形，，直线与相切于点．若，则的大小为 　　度． 26．（2024春•白云区校级月考）如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为 　　． 27．（2024•潼南区二模）如图，为的直径，且，点是弧上的一点（不与，重合）过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．当时，则图中阴影部分面积为 　　． 28．（2024•沭阳县校级三模）如图，矩形中，，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为 　　． 29．（2024•南漳县一模）在中，弦． （1）如图1，比较与的长度，并证明你的结论． （2）如图2，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，若，，求阴影部分的面积． 30．（2024•西城区校级模拟）如图，在中，以为直径的分别交，于点，点，的延长线与的切线交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 31．（2024•耒阳市一模）如图，内接，点为的中点，为边上一点，，是的切线，连接． （1）求证：； （2）当点到弦的距离为1时，求的值． 三．切线的判定与性质 32．（2024•大冶市一模）如图，是的内接三角形，过点的直线与的延长线交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，则的半径为 　　． 33．（2024•武威二模）如图，矩形中，经过点，且与边相切于点，过边上的点，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 34．（2024•江西二模）如图，的直径与弦相交，连接，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，． ①求的半径； ②求的长．（参考数据：，， 35．（2024•微山县一模）如图，中，弦与直径相交于为点，连接，过点作交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 36．（2024•潍坊二模）过山车常见于游乐园和主题乐园中，深受游客的喜爱．如图2是过山车的示意图，其中过山车的轨道近似看成，轨道的支撑，均与地面垂直，点为上一点，连接交于点，连接并延长与交于点，连接．已知为的直径且，． （1）求证：是的切线； （2）当，的半径为，求的面积． 37．（2024•梁溪区校级二模）如图，已知的圆心在的边上，与相交于、两点，且与边相切于点，连结． （1）若，求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 38．（2024•李沧区三模）已知：及其一边上的两点，． 求作：，使圆心到两点的距离相等，且与的两条边相切 四．三角形的内切圆与内心 39．（2024•长沙模拟）如图，的内切圆分别与，，相切于点，，，且，，，则的周长为　　 A．18 B．17 C．16 D．15 40．（2024•武都区一模）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．连接，若，则　　． 第2章直线与圆的位置关系 中档题拓展训练★★【4个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册 一．直线与圆的位置关系 二．切线的性质 三．切线的判定与性质 四．三角形的内切圆与内心 · 知识点梳理 · 直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 一．直线与圆的位置关系 1．（2024•汉川市模拟）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是　　 A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【答案】 【分析】设的半径为，解一元一次方程得，，则，所以，可知直线与相离，于是得到问题的答案． 【解答】解：设的半径为， 解一元一次方程得，， 的半径是一元二次方程的一个根， ， 圆心到直线的距离， ， 直线与相离， 故选：． 【点评】此题重点考查一元一次方程的解法，直线与圆的位置关系等知识与方法，求出一元一次方程的解并且判断圆心到直线的距离与的半径之间的大小关系是解题的关键． 二．切线的性质 2．（2024春•北碚区校级月考）如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，且，则的长是　　 A．1 B． C． D． 【答案】 【分析】由圆周角定理可得，等量代换可得，进而可得，根据切线的定义得出，利用勾股定理求出，则． 【解答】解：如图，连接． 由圆周角定理可得， ， ， ， ， ． 是的切线， ， ． ． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等，难度不大，解题的关键是先利用圆周角定理得出，进而利用上述知识点逐步求解． 3．（2024•遵化市二模）如图，在中，，点为上一点，以5为半径作分别与，相切于，两点，与交于点，连接交于点，连接，，若点为的中点，给出下列结论： ①平分； ②点为的中点； ③； ④的长度为； 其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】如图，连接，，根据切线的性质得到，，，根据角平分线的性质得到圆心在 的平分线上，故①正确；根据平行线的判定定理得到，于是得到，故点为的中点，故②正确；由①知，，得到，求得，故③正确；根据弧长公式得到 的长度为，故④正确． 【解答】解：如图，连接，， 以5为半径作分别与，相切于，两点， ，， 圆心在 的平分线上， 平分，故①正确； 点为的中点， ， ， ， 点为中点， ， 故点为的中点，故②正确； 由①知，， ， ，故③正确； 由③可知， 的长度为，故④正确． 故选． 【点评】本题考查了切线的性质，角平分线的性质，圆周角定理，弧长的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2024•姑苏区一模）如图，矩形中，，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为　　 A．6 B．7 C． D． 【答案】 【分析】设与、分别相切于点、，连接、、、，连接并延长交于，过点作于，过点作于，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，． 【解答】解：设与、分别相切于点、，连接、、、，连接并延长交于， 过点作于，过点作于，如图， 则，， ，，， 平分， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ， ，， ， 设的半径为，则， ，， ， ，即， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 是的切线， ， ， 当时，； 故选：． 【点评】本题属于圆综合题，考查了角平分线的判定和性质，切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 5．（2024•九龙坡区二模）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径，圆恰好与相切于点，连接，若平分，，则线段的长是　　 A．2 B． C． D．3 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得出，在中由可得出答案． 【解答】解：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是切线的性质、平行线的性质和判定、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 6．（2024•福建模拟）如图，内接于，，是的两条切线，若，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先连接，，由切线的性质得到，由圆周角定理，求得的度数，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可求得答案． 【解答】解：连接，， ，是的两条切线， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是解决问题的关键． 7．（2024•思明区校级二模）如图，在中，是直径延长线上一点，切于点，若，则的余弦值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，由切线的性质得，则，由，得，所以，于是得，即可求得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， 的余弦值为， 故选：． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、勾股定理等知识，根据勾股定理列出关系式是解题的关键． 8．（2024•长阳县模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，已知，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质以及直角三角形两个锐角互余得出，根据等边对等角以及三角形的外角的性质，得出，求出，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握是切线的性质解题的关键． 9．（2024•莲都区二模）如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，连接，则，，由圆周角定理可得，计算求解即可． 【解答】解：如图，连接， 由切线的性质可得，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理．熟练掌握切线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理是解题的关键． 10．（2024春•江北区校级期中）如图，、、是的三条弦，延长半径交的切线于点，，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，如图，先利用圆周角定理证明，再根据切线的性质得到，设的半径为，则，利用勾股定理得到，解方程得到，然后根据正切的定义得到，从而得到的值． 【解答】解：连接，如图， ， ， ， ， 为的切线， ， ， 设的半径为，则， 在中， ， ， 解得， 即， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 11．（2024•铜梁区校级模拟）如图，的直径，、为上两点，分别连接、、，延长交的切线于点，若，则的长为　　 A．2 B． C． D．1 【答案】 【分析】连接，如图，先根据圆周角定理得到，，则，在中利用正切的定义得到，则设，，所以，解方程得到，接着根据切线的性质得到，然后在中利用正切的定义求出，接着计算出，最后计算即可． 【解答】解：连接，如图， 为直径， ， ， ， 在中， ， 设，， ， 即， 解得， ， 为的切线， ， ， 在中， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 12．（2024•龙岗区校级模拟）如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点．若，则的半径长为　　 A．米 B．2米 C．米 D．3米 【答案】 【分析】根据切线的性质可得，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，进而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：和都是的切线，点和点是切点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 或（舍去）， 的半径长为米， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（2024•北碚区校级三模）如图，是的直径，点，在上，连接，，，，过点作的切线，交的延长线于点，若的直径为4，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，如图，先根据切线的性质得到，则利用勾股定理可计算出，再根据圆周角定理得到，然后证明，于是利用相似比可求出的长． 【解答】解：连接，如图， 为的切线， ， ， 的直径为4， ，， 在中，，， ， 是的直径， ， ，， ， ，即， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质． 14．（2024•山西）如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据圆周角定理得出的度数，再由与相切，得出，据此可解决问题． 【解答】解：， ． 以为直径的与相切于点， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了切线的性质及圆周角定理，熟知圆周角定理及切线的性质是解题的关键． 15．（2023秋•沙坪坝区期末）如图，为的直径，与相切于点，交的延长线于点，若，，则线段的长是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】连接，如图，设的半径为，则，根据切线的性质得到，再计算出，接着利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，所以，从而得到的长． 【解答】解：连接，如图， 设的半径为，则， 与相切于点， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 即， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 16．（2024•龙马潭区二模）如图，，，，分别与相切于点，，，连接并延长与的延长线相交于点．已知，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作于点，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，，，再证明点、、共线，则四边形为矩形，所以，接着证明得到，然后利用勾股定理计算出，再计算出． 【解答】解：过点作于点，如图， ，，分别与相切于点，，， ，，，， ， 点、、共线， ， 四边形为矩形， ， 在和中， ， ， ， ，， 在中，，， ， 在中，． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和勾股定理． 17．（2024春•江北区校级月考）如图，射线与相切于点，点、在上，连接，，过点作的平行线与交于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据切线的性质得到，利用等边对等角求出，最后利用平行线的性质即可得到答案． 【解答】解：射线与相切于点， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了切线的性质定理，掌握等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识是解题的关键． 18．（2024•文成县二模）如图，，分别切于点，，是直径，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，利用圆周角定理可得，然后利用切线的性质可得，从而利用四边形内角和即可解答． 【解答】解：连接， ， ， ，分别切于点，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 19．（2024春•新宁县校级月考）如图，、分别是的切线，、为切点，是的直径，已知，的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据切线长定理得等腰，运用内角和定理求解即可． 【解答】解：、分别是的切线， ，， ， ． ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线长定理．熟练掌握切线长定理是解题的关键． 20．（2024春•二道区校级月考）如图，为的直径，，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则的长度为 　　． 【答案】． 【分析】由切线的性质得，则，再由直角三角形的性质得，然后由等腰三角形的性质得，由弧长公式即可解决问题． 【解答】解：是的切线，为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度为， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 21．（2024•沙坪坝区校级一模）如图，在中，为边中点．以为圆心，为半径画弧，恰好经过点．以为圆心，为半径画弧，与相切于点．若，则阴影部分的面积为 　　．（结果保留 【答案】． 【分析】连接，根据切线的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，根据扇形、正方形、三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接， 与切于， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 为边中点， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， 阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键． 22．（2024•佳木斯一模）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是 　27　． 【答案】27． 【分析】利用圆的切线的性质定理和圆周角定理解答即可． 【解答】解：是的直径，是的切线， ， ， ， ， ， 故答案为：27． 【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质定理和圆周角定理是解题的关键． 23．（2024•拱墅区模拟）如图，是的直径，点是上的一点，连接，，是的切线，连接．若平分，，，则　4　． 【答案】4． 【分析】先根据圆周角定理得到，则利用得到，再根据垂径定理，由平分得到，所以，从而得到，然后根据切线的性质得到，所以． 【解答】解：是的直径， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 是的切线， ， ， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和含30度角的直角三角形三边的关系． 24．（2024•新乡一模）如图，是的内接三角形，斜边，直角边，点是外一点，，连接，若与相切，则的长为 　3　． 【答案】3． 【分析】先利用勾股定理计算出，利用三角函数的定义求出，则，然后根据切线长定理得到，于是可判断为等边三角形，所以． 【解答】解：在中，， ， ， ， 为的直径， ， ， ，， 为的切线， 与相切， ， 为等边三角形， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线长定理是解决问题的关键．也考查了圆周角定理解直角三角形． 25．（2024•二道区一模）如图，四边形是的内接四边形，，直线与相切于点．若，则的大小为 　80　度． 【答案】80． 【分析】连接，，，如图，先根据切线的性质得到，则，再证明得到，所以，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数． 【解答】解：连接，，，如图， 直线与相切于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ． 故答案为：80． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质． 26．（2024春•白云区校级月考）如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为 　　． 【答案】． 【分析】连接，，，根据切线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，得，，根据等腰三角形的性质可得、的长，从而可得的长． 【解答】解：连接，，， 、与相切于、两点， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即的半径长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27．（2024•潼南区二模）如图，为的直径，且，点是弧上的一点（不与，重合）过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．当时，则图中阴影部分面积为 　　． 【答案】． 【分析】先由，，求得，由圆周角定理得，再根据三角形的中位线定理证明，得，由，得，则，根据勾股定理求得，即可由求出图中阴影部分的面积． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分面积， 故答案为：． 【点评】此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中角所对的直角边等于斜边一半、勾股定理的应用、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 28．（2024•沭阳县校级三模）如图，矩形中，，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】设与、分别相切于点、，连接、、、，连接并延长交于，过点作于，过点作于，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，． 【解答】解：设与、分别相切于点、，连接、、、，连接并延长交于，过点作于，过点作于，如图， 则，， ，，， 平分， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ， ，， ， 设的半径为，则， ，， ， ，即， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 是的切线， ， ， 当时，． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键． 29．（2024•南漳县一模）在中，弦． （1）如图1，比较与的长度，并证明你的结论． （2）如图2，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）与的长度相等，证明见解答； （2）阴影部分的面积是． 【分析】（1）由弦，得，则，所以，则与的长度相等； （2）连接，则，由切线的性质得，而为的直径，所以，可证明，所以，由，得，所以，则，由，得，求得，即可由求得． 【解答】解：（1）与的长度相等， 证明：弦， ， ， ，， ， 与的长度相等． （2）如图2，连接，则， ， 与相切于点， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 【点评】此题重点考查同圆中相等的弦所对的弧相等、圆周角定理、平行线的性质、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 30．（2024•西城区校级模拟）如图，在中，以为直径的分别交，于点，点，的延长线与的切线交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）如图，连接．根据圆周角定理得到．求得．根据切线的性质得到，求得，根据余角的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，于是得到； （2）如图，连接，设，得到，，，根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接． 是的直径， ． ． 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， 设， ， ，，， 在中，， 即， 或（不合题意舍去）． ，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了切线的性质、勾股定理，相似三角形的判定和性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键． 31．（2024•耒阳市一模）如图，内接，点为的中点，为边上一点，，是的切线，连接． （1）求证：； （2）当点到弦的距离为1时，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）连接交于点，证明，得，再证明四边形为平行四边形，解答即可； （2）点到弦的距离为1，即，求出，解答即可． 【解答】（1）证明：如解图，连接交于点， 为的中点， ，， 与相切， ， ，． 又， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ； （2）解：如解图，， ， ． 点到弦的距离为1，即， 在中，， ， ， 由（1）可知四边形为平行四边形， ． 【点评】本题考查了切线的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键． 三．切线的判定与性质 32．（2024•大冶市一模）如图，是的内接三角形，过点的直线与的延长线交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，则的半径为 　　． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）连接，，，根据等腰三角形的性质得到，，，推出，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）作直径，根据圆周角定理得到，解直角三角形即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接，，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：作直径， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 33．（2024•武威二模）如图，矩形中，经过点，且与边相切于点，过边上的点，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）9． 【分析】（1）连接，，，根据等腰三角形的性质得出，，根据切线的性质可得，进而可证明，最后根据切线的判定即可证明； （2）过点作于，连接，根据垂径定理求出，，然后证明四边形、是矩形，则可求，，即可求解． 【解答】（1）证明：连接，，， ，， ，， 与相切于， ， ， ， ， 又是的半径， 与相切； （2）解：过点作于，连接， ， ， 四边形是矩形， ， 又， 四边形是矩形， ，， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 34．（2024•江西二模）如图，的直径与弦相交，连接，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，． ①求的半径； ②求的长．（参考数据：，， 【答案】（1）详见解答； （2）①5；②． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，圆周角定理以及平行线的性质，切线的判定方法进行解答即可； （2）①根据勾股定理，切线的性质，锐角三角函数以及直角三角形的边角关系进行解答即可． ②根据解直角三角形的方法求出其圆心角度数，在根据弧长的计算方法进行计算即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ，而， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）①如图，连接， 在中，，， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的切线， ，即， ， ，即， ， 即的半径为5； ②如图，连接，过点作于点，则， 在中，，， ， ， ， 的长为． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数的定义以及弧长的计算，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数的定义以及弧长的计算方法是正确解答的关键． 35．（2024•微山县一模）如图，中，弦与直径相交于为点，连接，过点作交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）的长是． 【分析】（1）连接，则，由，且，得，所以，则，求得，即可证明是的切线； （2）连接，由，得，所以，求得，则，，连接，可证明，，由，求得，，，则，再证明，求得，则． 【解答】（1）证明：连接，则， ，且， ， ， ， 交的延长线于点， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：连接， 是的直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接，则， ， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 36．（2024•潍坊二模）过山车常见于游乐园和主题乐园中，深受游客的喜爱．如图2是过山车的示意图，其中过山车的轨道近似看成，轨道的支撑，均与地面垂直，点为上一点，连接交于点，连接并延长与交于点，连接．已知为的直径且，． （1）求证：是的切线； （2）当，的半径为，求的面积． 【答案】（1）证明见解答； （2）的面积是． 【分析】（1）因为为的直径，所以，由，得，而，则，即可证明是的切线； （2）由，求得，而，，由，得，则，，作于点，则，所以． 【解答】（1）证明：为的直径， ， ，， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ， ，的半径为，， ， ， ， ，， ， 作于点，则， ， ， ， 的面积是． 【点评】此题重点考查直径所对的圆周角是直角、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、切线的判定定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 37．（2024•梁溪区校级二模）如图，已知的圆心在的边上，与相交于、两点，且与边相切于点，连结． （1）若，求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解答； （2）的半径长为． 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质得，则，而，所以，即可推导出，进而证明是的切线； （2）由，得，由是的直径，得，由，，得，而，即可证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接，则， ， 的圆心在上，且与边相切于点， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 解得， 的半径长为． 【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 38．（2024•李沧区三模）已知：及其一边上的两点，． 求作：，使圆心到两点的距离相等，且与的两条边相切 【答案】详见解答． 【分析】根据线段垂直平分线的性质，角平分线的性质分别作线段的中垂线以及的平分线，交点即为圆心，过点作于点，即为半径，以点为圆心，为半径画圆即可． 【解答】解：作法：如图， 1．作线段的中垂线与的平分线相交于点， 2．过点作，垂足为， 3．以点为圆心，为半径画圆， 就是要求作的圆． 【点评】本题考查切线的性质和判定，掌握线段中垂线的性质以及角平分线的性质是正确解答的关键． 四．三角形的内切圆与内心 39．（2024•长沙模拟）如图，的内切圆分别与，，相切于点，，，且，，，则的周长为　　 A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】 【分析】由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案． 【解答】解：的内切圆分别与，，相切于点，，， ，，， ，，， ，，， ，，， 的周长． 故选：． 【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键． 40．（2024•武都区一模）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．连接，若，则　　． 【答案】． 【分析】设，，则，根据内心得，，利用三角形内角和定理即可求得，即可求得答案． 【解答】解：设，，则， 点是的内心， ，， ， ， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解答本题的关键要明确同弧所对圆周角相等 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$