第2章直线与圆的位置关系 基础题过关检测★【4个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册

第2章直线与圆的位置关系 基础题过关检测★【4个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册 一．直线与圆的位置关系 二．切线的性质 三．切线的判定与性质 四．三角形的内切圆与内心 · 知识点梳理 · 直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 一．直线与圆的位置关系 1．（2024•杨浦区三模）已知点在半径为3的圆上，如果点到直线的距离是6，那么圆与直线的位置关系是　　 A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 2．（2023秋•宿迁期末）已知的半径为3，点是直线上的一点，，则直线与的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 3．（2018秋•邳州市期中）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是　　． 4．（2019•新华区校级模拟）已知半径为5，点到直线的距离为3，则直线与的位置关系为　　． 二．切线的性质 5．（2024•市南区校级三模）如图，是的直径，切于点，．则下列结论：①； ②；③；④．一定正确的个数有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（2024•沙坪坝区校级一模）如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于　　 A． B． C． D． 7．（2024•德州模拟）如图，、是的切线，、为切点，是上一点，连接、．若，，则的半径长为　　 A． B． C．5 D． 8．（2024•蒲城县模拟）如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接、，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 9．（2024•黄石模拟）如图，已知是的直径，点、分别在两个半圆上，若过点的切线与的延长线交于点，则与的数量关系是　　 A． B． C． D． 10．（2024•思明区校级二模）如图，点、、在上，，过点作的切线交的延长线于点，则的大小为　　 A． B． C． D． 11．（2024•赣榆区三模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 12．（2024•铜梁区校级三模）如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是　　 A．．3 B．．4 C．． D．． 13．（2024•邵东市一模）如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是　　 A． B． C． D． 14．（2024•宁阳县二模）如图，，分别与相切于点，，，为上一点，则的度数是　　 A． B． C． D． 15．（2024•湖北一模）如图，，是的切线，，是切点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 16．（2024•南岗区校级二模）如图，在半径为1的中，延长直径至点，使，是的切线，为切点，则的长是　　 A．1 B． C．2 D． 17．（2024•沙坪坝区校级三模）如图，、是的切线，、为切点，是上一点，连接、，若，，则的半径长为　　 A． B． C．3 D． 18．（2024•武威二模）如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则　　 A． B． C． D． 19．（2024•增城区一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是　　 A． B．13 C． D．14 20．（2024•佛山二模）如图，是的切线，切点是点，直线交于点、，，则的度数是　　 A． B． C． D． 21．（2021•汉寿县模拟）如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连结．若，则的度数为 　　． 22．（2019•西湖区一模）如图，是半圆的直径，，过点作半圆的切线，切点为，射线交的延长线于点，若，，则　　． 23．（2023春•青冈县期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为 　　． 24．（2022秋•香坊区期末）如图，切于点，为直径， 连接，已知，则的度数为　 　． 25．（2021秋•高新区期中）如图，、是的切线，切点分别为、，若，则　　． 26．（2022•香洲区校级一模）矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，与相切于点（如图），延长交于，若，则阴影部分的面积为　 　． 27．（2024•酒泉三模）如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求阴影部分的面积． 28．（2024•三明模拟）如图，在中，，边与相切于点，边，与分别交于点，．求证：． 29．（2024•金凤区校级二模）如图，，是上的两点，是的直径，过点的切线交的延长线于点，，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的半径； 三．切线的判定与性质 30．（2024•阿荣旗一模）如图，以为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，，过点作的切线交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，，则： ①求的长； ②求长． 31．（2024•新邵县三模）如图，已知是的直径，过圆外一点作的切线交于点，交的延长线于点，连接，，且弦于点． （1）求证：是的切线； （2）若，且，求的长． 32．（2024•宁明县一模）如图，已知是的直径，是的弦，延长到，使，连接，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，，求的长． 33．（2024春•阿荣旗校级月考）如图，已知：为的直径，交于点、，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求和的长． 34．（2024•中宁县模拟）如图，在中，，以为直径作，与的交点为点，过点作，垂足为点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 35．（2024•北流市一模）如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 36．（2024•江阴市一模）如图，在中以为直径作圆，圆心为，交于点，连接，延长至，连接．已知，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 四．三角形的内切圆与内心 37．（2024•凉州区三模）如图，是 的内切圆，，分别与相切于，两点，已知，，则的周长为　　 A．14 B． C．16 D．18 38．（2024•南岗区一模）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则的大小是　　 A． B． C． D． 39．（2020秋•鼓楼区校级月考）已知的两直边分别是6和8，则其内切圆半径为　　． 40．（2020•浙江自主招生）设的内切圆半径为，，，，且其上的高分别为，，满足．则的形状为　 　． 第2章直线与圆的位置关系 基础题过关检测★【4个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册 一．直线与圆的位置关系 二．切线的性质 三．切线的判定与性质 四．三角形的内切圆与内心 · 知识点梳理 · 直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 一．直线与圆的位置关系 1．（2024•杨浦区三模）已知点在半径为3的圆上，如果点到直线的距离是6，那么圆与直线的位置关系是　　 A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 【答案】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小关系解答． 【解答】解：点在圆上，已知圆的半径是3，点到直线的距离是6， 圆与直线的位置关系可能是相切或相离或相交， 故选：． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 2．（2023秋•宿迁期末）已知的半径为3，点是直线上的一点，，则直线与的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】 【分析】先根据题意画出图形，再根据直线与圆的位置关系得出即可． 【解答】解：分为两种情况：①如图1，当直线时，此时直线与的位置关系是相切； ②如图2，当和直线不垂直时，此时直线与相交； 所以直线与的位置关系是相切或相交， 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系是解此题的关键，已知的半径是，圆心到直线的距离是，①当时，直线与相离，②当时，直线与相切，③当时，直线与相交． 3．（2018秋•邳州市期中）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是　相离　． 【分析】设圆的半径为，点到直线的距离为，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离，从而得出答案． 【解答】解：的半径为，圆心到直线的距离为，， 直线与相离． 故答案为：相离． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 4．（2019•新华区校级模拟）已知半径为5，点到直线的距离为3，则直线与的位置关系为　相交　． 【分析】根据圆的半径和，圆心到直线的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【解答】解：的半径为5，圆心到直线的距离为3， ，即：， 直线与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键． 二．切线的性质 5．（2024•市南区校级三模）如图，是的直径，切于点，．则下列结论：①； ②；③；④．一定正确的个数有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①根据切线的性质得出； ②由弦相等可知所对的弧相等，则，所以，； ③在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍； ④因为不是弧的中点，所以与不垂直． 【解答】解：①是的直径，切于点， ； 故①正确； ②， ， ， ， ； 故②正确； ③是圆心， ； 故③正确； ④点不一定是的中点， 与不一定垂直， 故④不正确； 正确的有①②③， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理，明确：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆的切线垂直于经过切点的半径．③垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．并能灵活应用． 6．（2024•沙坪坝区校级一模）如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，如图，先根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，然后利用互余可表示出． 【解答】解：连接，如图， 为的切线， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 7．（2024•德州模拟）如图，、是的切线，、为切点，是上一点，连接、．若，，则的半径长为　　 A． B． C．5 D． 【答案】 【分析】连接，，，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：连接，，， ， ， 、是的切线， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．（2024•蒲城县模拟）如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接、，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理得到，由切线的性质得到，则可得出答案． 【解答】解：连接， ， ， 为的切线， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是由切线的性质得到． 9．（2024•黄石模拟）如图，已知是的直径，点、分别在两个半圆上，若过点的切线与的延长线交于点，则与的数量关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，，，根据圆周角定理得到，得到，根据切线的性质得到，求得，于是得到结论． 【解答】解：连接，，， 是的直径， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 10．（2024•思明区校级二模）如图，点、、在上，，过点作的切线交的延长线于点，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，由切线的性质可知：，再由圆周角定理可知：，最后由三角形内角和定理即可求出答案． 【解答】解：连接， 与相切， ， ， 由圆周角定理可知：， ， 故选：． 【点评】本题考查圆的切线性质，涉及圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理，本题属于中等题型． 11．（2024•赣榆区三模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质定理，得，从而求得的度数，根据等边对等角得到；再根据圆内接四边形的对角互补，即可求得的度数． 【解答】解：连接， 过点的切线交的延长线于点， ， ； ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了切线的性质定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 12．（2024•铜梁区校级三模）如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是　　 A．．3 B．．4 C．． D．． 【答案】 【分析】连接．根据切线的定义得出，由含30度直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，证明，根据等腰三角形的性质和判定即可求得答案． 【解答】解：如图，连接． 是的切线， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，综合运用相关知识是解答本题的关键． 13．（2024•邵东市一模）如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由切线的性质求得，则，由圆周角定理求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：与相切于点， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明是解题的关键． 14．（2024•宁阳县二模）如图，，分别与相切于点，，，为上一点，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接、，根据切线的性质得到，进而在的优弧上找一点，连接、，根据圆周角及内接圆的性质即可解答． 【解答】解：连接、，所在的优弧上找一点，连接、， ，分别与相切于点，， ，， ， ， ， ， 四边形是内接四边形， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了四边形的内角和，圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 15．（2024•湖北一模）如图，，是的切线，，是切点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据切线的性质得到，，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【解答】解：，是的切线， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是切线的性质、四边形内角和，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 16．（2024•南岗区校级二模）如图，在半径为1的中，延长直径至点，使，是的切线，为切点，则的长是　　 A．1 B． C．2 D． 【答案】 【分析】连接，首先根据切线的性质可以得到，又，为的中点，由此可以得到，接着利用的直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，连接， 是的切线， ， ， 是的一条直径，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识．熟练掌握切线的性质是解题的关键． 17．（2024•沙坪坝区校级三模）如图，、是的切线，、为切点，是上一点，连接、，若，，则的半径长为　　 A． B． C．3 D． 【答案】 【分析】连接、、，如图，根据切线的性质得到，根据切线长定理得到平分，根据圆周角定理得到，再利用四边形内角和定理得到，所以，然后在中利用正切求出的长即可． 【解答】解：连接、、，如图， 、是的切线，、为切点， ，，平分， ， ， ， ， 在中， ， ， 即的半径长为． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和切线长定理． 18．（2024•武威二模）如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据切线的性质得到，再利用互余计算出，然后根据圆周角定理得到的度数． 【解答】解：为的直径，是的切线，点是切点， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 19．（2024•增城区一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是　　 A． B．13 C． D．14 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理可求出，证明，再根据相似三角形的性质计算，即可求得线段的长． 【解答】解：如图，连接， 是的直径，， ， ， 是的直径，的半径为5， ，， ， 是圆的切线， ， ， ， ， 即， 解得：， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理，垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质是解题的关键． 20．（2024•佛山二模）如图，是的切线，切点是点，直线交于点、，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，如图，根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数． 【解答】解：连接，如图， 是的切线，切点是点， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 21．（2021•汉寿县模拟）如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连结．若，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：是的直径，是的切线， ， ， ， 由圆周角定理得，， 故答案为：． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 22．（2019•西湖区一模）如图，是半圆的直径，，过点作半圆的切线，切点为，射线交的延长线于点，若，，则　2　． 【分析】根据切线长定理得，再证明，得，连接，在得，进而得． 【解答】解：连接， 是半的直径，， 是的切线， 切半于点， ， ， ， ， 切半于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，切线的性质与判定，切线长定理，含角的直角三角形的性质，关键是证明． 23．（2023春•青冈县期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为 　　． 【分析】先利用切线的性质得到，则利用互余计算出，再根据切线长定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数． 【解答】解：为切线， ， ， ， ，是的切线， ， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 24．（2022秋•香坊区期末）如图，切于点，为直径， 连接，已知，则的度数为　　． 【分析】首先连接，由切于点， 可求得的度数， 又由，即可求得的度数， 继而求得答案 ． 【解答】解： 连接， 切于点， ， 即， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了切线的性质以及等腰三角形的性质 ． 此题比较简单， 注意掌握辅助线的作法， 注意掌握数形结合思想的应用 ． 25．（2021秋•高新区期中）如图，、是的切线，切点分别为、，若，则　50　． 【分析】首先连接，，由、是的切线，即可得，又由，即可求得的度数，然后由四边形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：连接，， 、是的切线， ， ， ， ． 故答案为：50． 【点评】此题考查了切线的性质与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 26．（2022•香洲区校级一模）矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，与相切于点（如图），延长交于，若，则阴影部分的面积为　　． 【分析】连接、、，如图，在中利用三角函数的定义求出，再利用切线的性质和切线长定理得到，，所以，则，同样可得，利用含30度的直角三角形三边的关系求出，所以；接着计算出，于是得到，然后利用阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积进行计算即可． 【解答】解：连接、、，如图， 在中，， ， ， 为切线， 为切线， ，， ， ， ， ， 为切线， 而为切线， ， 在中，， ； ， ， 阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积． 故答案为． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理． 27．（2024•酒泉三模）如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接，利用切线的性质和角之间的关系解答即可； （2）设，根据勾股定理得出方程，求出方程的解得出，由扇形的面积公式和三角形的面积可得出答案． 【解答】解：（1）如图，连接， 是的切线，是的半径， ， ， ， ， ； （2）设， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 【点评】本题考查了圆周角定理，扇形的面积公式，切线的性质和勾股定理等知识点，能求出和的度数是解此题的关键． 28．（2024•三明模拟）如图，在中，，边与相切于点，边，与分别交于点，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】连接，由切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理即可证得结论． 【解答】证明：连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，综合运用这些知识是解决问题的关键． 29．（2024•金凤区校级二模）如图，，是上的两点，是的直径，过点的切线交的延长线于点，，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的半径； 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）先根据切线的性质得到，再证明，则根据平行线的性质得到，然后根据圆周角定理得到，从而得到结论； （2）先根据圆周角定理得到，，再在中利用正切的定义求出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的半径． 【解答】（1）证明：为的切线， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的直径， ， ， ， 在中，， ， ， 的半径为． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、解直角三角形． 三．切线的判定与性质 30．（2024•阿荣旗一模）如图，以为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，，过点作的切线交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，，则： ①求的长； ②求长． 【答案】（1）证明见解析； （2）①4；② 【分析】（1）连接，，根据对称的性质可得点必在上，是的半径，，根据圆周角定理有，从而，进而得到，由得到，因此，即，得证结论； （2）先求得，进而，，因此，根据，，得到是等边三角形，根据三线合一得到，，而在中，从而． 【解答】（1）证明：连接，如图， 为直径， ， ， ，， ， ，即， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：①如图所示，连接， ，都是切线， ，， 又， 垂直平分， ， ， ， ，， ， ， ； ②设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，切线长定理，解直角三角形． 31．（2024•新邵县三模）如图，已知是的直径，过圆外一点作的切线交于点，交的延长线于点，连接，，且弦于点． （1）求证：是的切线； （2）若，且，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定可知，再根据切线的性质即可解答； （2）根据锐角三角函数及勾股定理可知，再根据切线的定理及锐角三角函数可知，，最后利用相似三角形的判定与性质即可解答． 【解答】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， 为的切线， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接， ，且， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 是的切线，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握切线的判定定理与性质定理是解题的关键． 32．（2024•宁明县一模）如图，已知是的直径，是的弦，延长到，使，连接，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，，求的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【分析】（1）连接，根据，，得出，，再根据，即可证出，从而得出答案； （2）结合（1）中的结论，可以证明是等边三角形，即可求得和的长，再根据锐角三角函数即可计算的长． 【解答】（1）证明：如图，连接． ，， ． ． 又， ． ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ． 又， 是等边三角形． ，． ， ． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定定理，是一道常考题型． 33．（2024春•阿荣旗校级月考）如图，已知：为的直径，交于点、，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【分析】（1）连结，，根据“圆周角定理”及“直径所对的圆周角等于”得到，即，即可判定是的切线； （2）过点作于点，连结，解直角三角形得出，，，由判定，得出，即可求出，，再根据勾股定理求出，，最后根据特殊角的三角函数即可得解． 【解答】（1）证明：连结，如图1， ，， ， 为的直径， ， ， ， 即， ， 是圆的直径， 是的切线； （2）解：过点作于点，连结，如图2， ， ， 在中，， ， ， ，， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 为的直径， ， 又， ， 即， ， ． 【点评】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟记切线的判定与性质、圆周角定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 34．（2024•中宁县模拟）如图，在中，，以为直径作，与的交点为点，过点作，垂足为点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）． 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，于是得到结论； （2）连接，由勾股定理求出，根据三角形面积公式可求出答案． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 又是的半径， 是的切线； （2）解：连接， 为的直径， ， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 35．（2024•北流市一模）如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）证明见解答． （2）半径的长为3． 【分析】（1）连接．由等腰三角形的性质及圆的性质可得，．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得．最后由切线的判定定理可得结论； （2）设半径为，在直角三角形中，根据勾股定理列方程即可求出半径． 【解答】（1）证明：连接， ， ． ， ． ， ． ． ． 又是的半径， 是的切线． （2）解：， ， 设半径为，则， 在直角三角形中， ，即， ． 半径的长为3． 【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键． 36．（2024•江阴市一模）如图，在中以为直径作圆，圆心为，交于点，连接，延长至，连接．已知，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）求证：是的切线； （2）． 【分析】（1）根据三角形内角和定理证明，即可得出结论； （2）先求出，证明，根据相似三角形的性质得，，连接，根据为直径可得出，利用面积法求出，根据勾股定理即可求出的长． 【解答】（1）证明：，． ， ， ， ， 为直径， 是的切线； （2）解：为直径，， ， ，， ， ，． ， ，即， ， ， 连接， 为直径， ， ， ． 【点评】本题主要考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 四．三角形的内切圆与内心 37．（2024•凉州区三模）如图，是 的内切圆，，分别与相切于，两点，已知，，则的周长为　　 A．14 B． C．16 D．18 【答案】 【分析】由是 的内切圆，根据切线长定理得，设于相切于点，则，，可求得，即可求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：是 的内切圆，，分别与相切于，两点， ， 设于相切于点，则，， ， ， 的周长为16， 故选：． 【点评】此题重点考查切线长定理、三角形的周长的定义等知识，证明是解题的关键． 38．（2024•南岗区一模）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则的大小是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由是的内切圆，与，分别相切于点，，得，平分，则，，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：是的内切圆，与，分别相切于点，， ，平分， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线长定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出是解题的关键． 39．（2020秋•鼓楼区校级月考）已知的两直边分别是6和8，则其内切圆半径为　2　． 【答案】2． 【分析】连接、，根据圆是三角形的内切圆，得到，，，，推出正方形，设，得到方程，求出方程的解即可． 【解答】解：如图，，，， ， ， 连接、， 设圆是三角形的内切圆， ，，，， 四边形是正方形， 设， ， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握内切圆与内心的性质． 40．（2020•浙江自主招生）设的内切圆半径为，，，，且其上的高分别为，，满足．则的形状为　等边三角形　． 【分析】根据三角形的面积公式得到，推出，同理，，列方程得到，于是得到结论． 【解答】解：， ， 同理，， ， ，当且仅当时等号成立， ， 的形状为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，等式的性质，三角形面积公式，熟练掌握三角形的面积的计算方法是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$