第1章解直角三角形 培优题突破练习　【6个考点30题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册

第1章解直角三角形 培优题突破练习★★★【6个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册 一．特殊角的三角函数值 二．解直角三角形 三．解直角三角形的应用 四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 六．解直角三角形的应用-方向角问题 · 知识点梳理 · 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． · 同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． · 互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． · 特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． · 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） · 解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． · 解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 一．特殊角的三角函数值 1．（2023•建邺区校级二模）规定：，，．据此 （1）判断下列等式成立的是 　　（填序号）． ①；②；③． （2）利用上面的规定求① ②． 二．解直角三角形 2．（2024•周村区二模）如图，中，，，为边上一点，，，为边上一动点，当最大时的长为　　 A．2 B．3 C． D． 3．（2019•自贡）如图，已知、两点的坐标分别为、，点、分别是直线和轴上的动点，，点是线段的中点，连接交轴于点，当面积取得最小值时，的值是　　 A． B． C． D． 4．（2023•五通桥区模拟）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正切值是　　 A．2 B． C． D． 5．（2023•无锡二模）如图，在中，，，点的坐标是，，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为　　 A． B． C． D． 6．（2023•自贡）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是　　 A． B． C． D． 7．（2023•锦江区校级模拟）如图，，长度为2的线段在射线上滑动，点在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点，过点作，垂足为，则的最大值为　　． 8．（2023•泸县校级三模）如图，是的角平分线，是上一点，，、相交于点．若，，，则　　． 9．（2019•宁波模拟）如图，为射线上一点，以点为直角顶点作交射线于，两点，当时，的最大值为　　． 10．（2003•海淀区）如图，在矩形中，，，，分别为，，，的中点，若，四边形的周长是，则矩形的面积是　　． 11．如图，在中，，在边上，，为中点，，则的面积为　　． 12．若等腰三角形两边为 4 ， 9 ，则底角余弦值是　 　． 13．（2020•道外区三模）如图，在中，，点为内部一点，且，，若，则的值为　　． 三．解直角三角形的应用 14．（2024•渠县校级三模）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图“中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于　　 A． B． C． D． 15．（2022•鹿城区校级开学）“曲柄摇杆机构”是一种运动零件．图1是某个“曲柄摇杆”的示意图，它由四条固定长度的线段组成，其中是静止不动的机架，是绕做圆周运动的曲柄，是绕上下摆动的摇杆，是连结和两个运动的连杆，，，，始终在同一平面内．已知．当运动到图2位置时，记，的交点为，现测得，，，则　　．图2之后，绕继续运动，当再次回到图2位置时（如图，则此时“曲柄摇杆”所围成的四边形的面积为 　　． 16．（2020•长安区二模）如图2，有一块四边形的铁板余料，经测量，，，且，若要从这块余料中裁出顶点、在边上且面积最大的矩形，则该矩形的面积为　　． 四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 17．（2022•义乌市模拟）图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形是矩形，，，，．点在上，椅子的支撑杆、、分别绕、、转动并带动转动，支撑杆、不动．躺椅在转动时： （1）若直线过点，当时，的面积是 　　． （2）若，与地面的夹角为，则的取值范围是 　　． 五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 18．（2023•南安市校级模拟）春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点齐平的处，起风后小明开始往下跑26米至坡底处，并继续沿平地向前跑16米到达处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝、、、、五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离约为　　米．（参考数据：，， A．34.2 B．32.7 C．31.2 D．22.7 19．（1997•山西）如图，两建筑物的水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 20．（2023•泰山区校级三模）某通信公司准备逐步在歌乐山上建设基站．如图，某处斜坡的坡度（或坡比）为，通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长26米，则通讯塔的高度为　　．（参考数据：，， A．米 B．米 C．56米 D．66米 21．（2020秋•北碚区校级期末）北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站，其设计图如图所示，，与地面平行，的坡度为，的坡角为，小王想利用所学知识测量基站顶部到地面的距离，若，米，米，小王在山脚点处测得基站底部的仰角为，在点处测得基站顶部的仰角为，则基站顶部到地面的距离为　　（精确到0.1米，参考数据：，，， A．21.5米 B．21.9米 C．22.0米 D．23.9米 22．（2024•江阴市模拟）五一假期，圆圆带着无人机来到公园开展综合实践活动——测量一古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，测得斜坡底端距塔基中心距离米，斜坡坡度为，圆圆站在斜坡上距点6.5米的处，遥控无人机悬停在点的正上方37.6米的处，从处测得古塔的顶部处的俯角为（古塔在圆圆和无人机的正前方）．（参考数据：，， （1）求古塔的高度； （2）已知目高为1.6米．若无人机保持现有高度并沿着平行于的方向，以4米秒的速度向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 23．（2021秋•东胜区期末）如图，和是同一地面上的两座楼房，已知楼的高为24米，在楼的楼顶点测得楼的楼顶的仰角为，楼底的俯角为，求楼的高（结果保留根号，参考数据：，，． 24．（2023秋•禹城市期中）如图，小明在处看见前面山上有个气象站，测得仰角为（即，当笔直向山行6千米时，小明看气象站测得仰角为（即．你能算出这个气象站离地面的高度吗？是多少？ 25．（2024•金乡县二模）“轻轨飞梭如影重，上天入地驶楼中”， 魔幻城市重庆吸引了全国各地的游客，而李子坝的“轻轨穿梭”成了游客们争相打卡的热门景点．如图，已知斜坡底端距离轻轨所穿楼栋底端处30米远，斜坡长为42米，坡角为，，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端处12米的处挖去部分坡体修建一个平行于水平线的观景平台和一条新的坡角为的斜坡． （1）求观景平台的长；（结果保留根号） （2）小育在处测得轻轨所穿楼栋顶端的仰角为，点、、、、在同一个平面内，点、、在同一条直线上，且，求轻轨所穿楼栋的高度．（结果精确到0.1米，， 26．（2021秋•郯城县期末）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在处用仪器测得到塔尖的仰角，向塔正前方水平直行到达点，测得到塔尖的仰角，若小明的眼睛离地面，你能计算出塔的高度吗？写出计算过程． 27．（2024•江门校级一模）如图，河对岸有铁塔，在处测得塔顶的仰角为，向塔进14米到达处，在处测得塔顶的仰角为，求铁塔的高（结果保留根号） 28．（2024•三门峡二模）数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小亮和小刚分别用不同的方法测量了学校旗杆的高度（不包含底座），他们的测量报告如表所示： 课题 测量学校旗杆的高度 测量学生 小亮 小刚 测量工具 平面镜、皮尺 测倾器、皮尺 测量示意图及说明 说明：①点，，在同一条直线上，，垂直于地面；点，，在同一条直线上，点是旗杆与底座的交点；②平面镜大小忽略不计． 说明：①点，，在同一条直线上，，垂直于地面； ②测倾器支架宽度忽略不计． 测量数据 当小亮刚好在平面镜中看到旗杆顶端时，小亮的眼睛与地面的高度米，他到平面镜的距离米，平面镜到旗杆底座中心的距离米，旗杆底座高度为0.4米． 小刚在点处安置测倾器，测得旗杆顶部处的仰角，测倾器的高度米，测倾器底部到旗杆底座中心的水平距离　　米，旗杆底座高度为0.4米． 参考数据 ，， （1）请你根据小亮的测量报告，求出旗杆顶端到底座连接处的高度； （2）请你依据小亮的测量结果，通过计算完善小刚报告中的数据（结果精确到0.1米）． 六．解直角三角形的应用-方向角问题 29．（2022秋•沙坪坝区校级期中）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心的正北方向的处，其中．明明位于游客中心的西北方向的处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心的北偏西方向的点处相遇． （1）求妈妈步行的速度； （2）求明明从处到处的距离． （参考数据：，，，，，结果保留两位小数） 30．（2022秋•苏州期中）如图，某海岸边有，两码头，码头位于码头的正东方向，距码头60海里．甲、乙两船同时从岛出发，甲船向位于岛正北方向的码头航行，乙船向位于岛北偏东方向的码头航行，当甲船到达距码头40海里的处时，乙船位于甲船北偏东方向的处，求此时乙船与码头之间的距离（结果精确到0.1海里）． （参考数据：，，，，，， 第1章解直角三角形 培优题突破练习★★★【6个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册 【解析版】 一．特殊角的三角函数值 二．解直角三角形 三．解直角三角形的应用 四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 六．解直角三角形的应用-方向角问题 · 知识点梳理 · 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． · 同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． · 互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． · 特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． · 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） · 解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． · 解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 一．特殊角的三角函数值 1．（2023•建邺区校级二模）规定：，，．据此 （1）判断下列等式成立的是 　②③　（填序号）． ①；②；③． （2）利用上面的规定求① ②． 【分析】（1）根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断； （2）利用已知进而将原式变形求出答案． 【解答】解：（1）①，命题错误； ②，命题正确； ③，命题正确． 故答案为：②③； （2）①； ② ． 【点评】本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的定义是关键． 二．解直角三角形 2．（2024•周村区二模）如图，中，，，为边上一点，，，为边上一动点，当最大时的长为　　 A．2 B．3 C． D． 【答案】 【分析】过点作于点，根据二次函数的性质，解直角三角形即可解决问题． 【解答】解：如图，过点作于点， ，， 设， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，从而有最大值，即有最大值， 解得，，其中不符合题意舍去， ． 当最大时的长为． 故选：． 【点评】本题属于综合题，是选择题的压轴题，考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，一元二次方程，勾股定理，解决本题的关键是掌握二次函数最值的问题． 3．（2019•自贡）如图，已知、两点的坐标分别为、，点、分别是直线和轴上的动点，，点是线段的中点，连接交轴于点，当面积取得最小值时，的值是　　 A． B． C． D． 【分析】如图，设直线交轴于．由题意，推出点的运动轨迹是以为圆心，5为半径的圆，推出当直线与相切时，的面积最小，作于．求出，即可解决问题． 【解答】解：如图，设直线交轴于．由题意， 点的运动轨迹是以为圆心，5为半径的圆， 当直线与相切时，的面积最小， 是切线，点是切点， ， ，， ， ， ， ， ， 作于． ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 4．（2023•五通桥区模拟）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正切值是　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】如图，取格点，连接，．观察图形可知，，，推出，解直角三角形求出即可． 【解答】解：如图，取格点，连接，． 观察图形可知，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 5．（2023•无锡二模）如图，在中，，，点的坐标是，，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可知，，，由勾股定理求出，取的中点，由旋转的性质、直角三角形的边角关系以及全等三角形的性质可得点是旋转中心，再根据直角三角形的边角关系求出，，由全等三角形的判定和性质得出，，进而得出点的坐标，由线段中点坐标计算公式可求出答案． 【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，，，过点作轴的垂线交轴于，与过点作轴的垂线相交于点，由旋转可知，，，， ， 点是的中点， ， 点是点、点的旋转中心，点也是点、点的旋转中心， ， ， 又，， △△， ， 点是点、点的旋转中心， 因此点是旋转到的旋转中心， ，， ， ，， ， ，， 在中，由于， 设，则，由勾股定理得， ， 即， 解得（取正值）， 即， ， ， ， 点， 点， 中点的坐标为，， 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，直角三角形的边角关系、全等三角形的判定和性质以及线段中点坐标公式是正确解答的前提． 6．（2023•自贡）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】作的外接圆，连接，，，取的中点，连接．证明，推出点在以为圆心，2为半径的圆上运动，当与相切时，的值最大，此时的值最大． 【解答】解：如图，作的外接圆，连接，，，取的中点，连接． ，， 是等边三角形， ， ，，，， ，， ， 点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 当与相切时，的值最大，此时的值最大， 是等边三角形，， ， ， 是切线，是半径， ， ， 过点作于点，于点，于点． ， ， ， ， ， 设，，则有，， ①，， 解得，，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 7．（2023•锦江区校级模拟）如图，，长度为2的线段在射线上滑动，点在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点，过点作，垂足为，则的最大值为　　． 【答案】． 【分析】如图1中，连接，过点作于，于，过点作于．利用面积法可得，推出当的值最小时，的值最大，想办法求出的最小值即可． 【解答】解：如图1中，连接，过点作于，于，过点作于． 的两个内角的角平分线相交于点，，，， ， 在中，，， ， ， ， ， 当的值最小时，的值最大， 如图2中，过点作，使得，作点关于直线的对称点，连接交于，连接交于，截取，此时的值最小，最小值的长． 由图1可知， 在中，，，， ， 的最小值， 的最大值． 故答案为：． 【点评】考查了轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 8．（2023•泸县校级三模）如图，是的角平分线，是上一点，，、相交于点．若，，，则　　． 【分析】如图，过点作于，连接．在中，解直角三角形求出，，，由，求出，，再利用相似三角形的性质求出，，，，证明点与点重合即可解决问题． 【解答】解：如图，过点作于，连接． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 点与点重合， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 9．（2019•宁波模拟）如图，为射线上一点，以点为直角顶点作交射线于，两点，当时，的最大值为　　． 【答案】． 【分析】取的中点，连接，过点作．设，，由，推出，推出，可得结论． 【解答】解：取的中点，连接，过点作．设，， 在中，， 设，，则， ，， ， ， ， ， ， 的最大值为． 故最大值为． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 10．（2003•海淀区）如图，在矩形中，，，，分别为，，，的中点，若，四边形的周长是，则矩形的面积是　192　． 【分析】由题意知，，，，是全等三角形，所以，即四边形为菱形，四边形的周长是，可知边长为10，根据勾股定理可求得和，即和的值就可求出，从而求矩形面积． 【解答】解：在和中， ，，， ， ， 同理， 即四边形为菱形． 又四边形的周长是， ． ， 设，则． 由勾股定理得，， ，，， 矩形的面积． 故答案为：192． 【点评】本题考查了矩形、菱形的性质及勾股定理，有一定难度． 11．如图，在中，，在边上，，为中点，，则的面积为　12　． 【分析】延长到，使得，延长到，使得．作于，连接、．想办法求出即可解决问题； 【解答】解：法一：延长到，使得，延长到，使得．作于，连接、． ，，， ， ，， ， ， 四边形是等腰梯形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 法二：过点作交于，作于，设为，则为， 是的中点，， ，由题中的条件容易得出为等腰三角形， 又因为， ，得出， 以下同上． 故答案为12． 【点评】本题考查解直角三角形、三角形的面积、全等三角形的判定和性质、等腰梯形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 12．若等腰三角形两边为 4 ， 9 ，则底角余弦值是　　． 【分析】根据三角形三边关系定理确定腰和底边的长 ． 作底边上的高， 利用三角函数的定义求解 ． 【解答】解：， ，． 过点作于点． ，， ． ， ． 【点评】此题主要分类思想和三角函数的定义 ． 13．（2020•道外区三模）如图，在中，，点为内部一点，且，，若，则的值为　　． 【答案】． 【分析】在上取一点，使得，过点作于．想办法证明，推出，，可以假设，，则，，设，则，利用勾股定理求出，可得，由此即可解决问题． 【解答】解：在上取一点，使得，过点作于． ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， 可以假设，，则，， 设，则， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三．解直角三角形的应用 14．（2024•渠县校级三模）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图“中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，设，，再根据已知可设正方形的边长为，则正方形的边长为，然后利用勾股定理以及线段的和差关系可得，从而可得，，进而可得，再利用线段的垂直平分线的性质可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，交的延长线于点， 设，， 正方形与的边长之比为， 设正方形的边长为，则正方形的边长为， ，， ， 解得：， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， ，， ，， ， 在中，， ， 在中，， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．（2022•鹿城区校级开学）“曲柄摇杆机构”是一种运动零件．图1是某个“曲柄摇杆”的示意图，它由四条固定长度的线段组成，其中是静止不动的机架，是绕做圆周运动的曲柄，是绕上下摆动的摇杆，是连结和两个运动的连杆，，，，始终在同一平面内．已知．当运动到图2位置时，记，的交点为，现测得，，，则　　．图2之后，绕继续运动，当再次回到图2位置时（如图，则此时“曲柄摇杆”所围成的四边形的面积为 　　． 【分析】（1）延长交的延长线于，作交于，先解，求得和，推出是等腰三角形，设，在中列出方程，求得，再根据列出比例式，求得； （2）在上截取，连接（即还原图2的的位置），根据勾股定理求得的长，进而求得及的面积，进而求得四边形的面积． 【解答】解：如图1， 延长交的延长线于，作交于， ，， ，， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 如图2， 是在图2的位置， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形及转化图形的面积． 16．（2020•长安区二模）如图2，有一块四边形的铁板余料，经测量，，，且，若要从这块余料中裁出顶点、在边上且面积最大的矩形，则该矩形的面积为　1944　． 【答案】1944． 【分析】延长、交于点，过点作于点，中位线的两端点在线段、上，在中，设，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，由，设，则，可得当时，最大值为，进而可得矩形的最大面积． 【解答】解：如图，延长、交于点，过点作于点， 交于点，如图，设矩形， ， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 设， 则， 当时，最大值为1944， 所以当时，矩形的最大面积为， 答：该矩形的面积为． 故答案为：1944． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查解直角三角形的应用、中位线定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、二次函数的最值及类比思想的运用是解题的关键． 四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 17．（2022•义乌市模拟）图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形是矩形，，，，．点在上，椅子的支撑杆、、分别绕、、转动并带动转动，支撑杆、不动．躺椅在转动时： （1）若直线过点，当时，的面积是 　　． （2）若，与地面的夹角为，则的取值范围是 　　． 【答案】；． 【分析】（1）先证明，得到，进一步得到，求得，过点作交的延长线于点，则，在中，求得，进而求得的面积； （2）分和两种情况，求解，由与地面的夹角随着的增大而增大，求得的取值范围． 【解答】解：（1）若直线过点，当时，如图1所示， 由题意可知，， ，， ， ， ，， ， ， 过点作交的延长线于点，则， 在中，，， ， 的面积； （2）当时，如图2所示，作于点，则，设交于点， 由题意可知，， ，， ， ， ，， ， ， 设，则，由勾股定理得： ， ， 解得， ，，， ； 当时，如图3所示， 同理可求得，，， ， ； 与地面的夹角随着的增大而增大， 当时，的取值范围是． 故答案为：；． 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，读懂题意，分情况画出图形是解题的关键． 五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 18．（2023•南安市校级模拟）春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点齐平的处，起风后小明开始往下跑26米至坡底处，并继续沿平地向前跑16米到达处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝、、、、五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离约为　　米．（参考数据：，， A．34.2 B．32.7 C．31.2 D．22.7 【答案】 【分析】，则，求出：，，则，，，，即可求解． 【解答】解：设小明在处视线的点为，延长交于点，过点作平行于地面交于点，如下图， 坡度为，，则，， ，， 即：，解得：， ，则， ， ， （米， 故选：． 【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 19．（1997•山西）如图，两建筑物的水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】作于点，分别在直角和直角中，利用三角函数即可表示出于的长，根据即可求解． 【解答】解：作于点． 在直角中，， ， ． 同理． ． 故选：． 【点评】本题考查了利用三角函数解决有关仰角、俯角的计算问题，关键是作出辅助线，把实际问题转化成解直角三角形问题． 20．（2023•泰山区校级三模）某通信公司准备逐步在歌乐山上建设基站．如图，某处斜坡的坡度（或坡比）为，通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长26米，则通讯塔的高度为　　．（参考数据：，， A．米 B．米 C．56米 D．66米 【答案】 【分析】通过作辅助线，利用斜坡的坡度为，米，由勾股定理可求出的长，设出的长，根据坡度表示，进而表示出，由于是等腰直角三角形，可表示，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出． 【解答】如图，延长与水平线交于，过作，为垂足，过作，为垂足，连接，， 斜坡的坡度为， ， 设米，则米， 在中，米，由勾股定理得， ， 即， 解得， （米，（米， 斜坡的坡度为， 设米，则米， ， 米， 米， 在中，米，米， ， ， 解得， （米，（米， （米， （米， 答：基站塔的高为米． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键． 21．（2020秋•北碚区校级期末）北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站，其设计图如图所示，，与地面平行，的坡度为，的坡角为，小王想利用所学知识测量基站顶部到地面的距离，若，米，米，小王在山脚点处测得基站底部的仰角为，在点处测得基站顶部的仰角为，则基站顶部到地面的距离为　　（精确到0.1米，参考数据：，，， A．21.5米 B．21.9米 C．22.0米 D．23.9米 【答案】 【分析】延长交过点的水平线于，交延长线于点，作于，于，根据锐角三角函数即可求出结果． 【解答】解：如图，延长交过点的水平线于，交延长线于点，作于，于， 的坡度为， ， 设米，米，则米， ， ， 米，米， 的坡角为，米， 米， 四边形和四边形是矩形， ，米，，米， 米， 在中，， 米， ， ， 米， 在中，， （米， （米． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 22．（2024•江阴市模拟）五一假期，圆圆带着无人机来到公园开展综合实践活动——测量一古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，测得斜坡底端距塔基中心距离米，斜坡坡度为，圆圆站在斜坡上距点6.5米的处，遥控无人机悬停在点的正上方37.6米的处，从处测得古塔的顶部处的俯角为（古塔在圆圆和无人机的正前方）．（参考数据：，， （1）求古塔的高度； （2）已知目高为1.6米．若无人机保持现有高度并沿着平行于的方向，以4米秒的速度向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 【答案】（1）古塔的高度约为28.1米； （2）经过6秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 【分析】（1）延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，再根据已知可设米，米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）连接交于点，根据题意可得：，再根据已知易得：米，然后证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，，， 斜坡坡度为， ， 设米，米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， 米， （米， 在中，， （米， （米， 古塔的高度约为28.1米； （2）连接交于点， 由题意得：， 米，米， （米， ， ， ， ， 解得：， （米， （秒， 经过6秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．（2021秋•东胜区期末）如图，和是同一地面上的两座楼房，已知楼的高为24米，在楼的楼顶点测得楼的楼顶的仰角为，楼底的俯角为，求楼的高（结果保留根号，参考数据：，，． 【答案】米． 【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可． 【解答】解：延长过点的水平线交于点，则有，四边形是矩形． （米， 即米， （米． 米． 答：楼的高是米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，涉及到特殊角的三角函数值及等腰三角形的判定，熟知以上知识是解答此题的关键． 24．（2023秋•禹城市期中）如图，小明在处看见前面山上有个气象站，测得仰角为（即，当笔直向山行6千米时，小明看气象站测得仰角为（即．你能算出这个气象站离地面的高度吗？是多少？ 【分析】由与的关系，可求出的长，再根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半即可求出的值． 【解答】解：，， ， 千米， 在直角中，则千米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求会解一些简单的直角三角形是解题的关键． 25．（2024•金乡县二模）“轻轨飞梭如影重，上天入地驶楼中”， 魔幻城市重庆吸引了全国各地的游客，而李子坝的“轻轨穿梭”成了游客们争相打卡的热门景点．如图，已知斜坡底端距离轻轨所穿楼栋底端处30米远，斜坡长为42米，坡角为，，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端处12米的处挖去部分坡体修建一个平行于水平线的观景平台和一条新的坡角为的斜坡． （1）求观景平台的长；（结果保留根号） （2）小育在处测得轻轨所穿楼栋顶端的仰角为，点、、、、在同一个平面内，点、、在同一条直线上，且，求轻轨所穿楼栋的高度．（结果精确到0.1米，， 【答案】（1）观景平台的长为米； （2）轻轨所穿楼栋的高度约为35.7米． 【分析】（1）根据题意可得：，，从而可得，根据已知可得米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：米，，，在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出，的长，从而求出的长，进而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）如图： 由题意得：，， ， 米，米， （米， 在中，（米，（米， 在中，， （米， 米， 观景平台的长为米； （2）如图： 由题意得：米，，， 在中，，米， （米，（米， 米， 米， 米， 在中，， 米， 米， （米， （米， 轻轨所穿楼栋的高度约为35.7米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 26．（2021秋•郯城县期末）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在处用仪器测得到塔尖的仰角，向塔正前方水平直行到达点，测得到塔尖的仰角，若小明的眼睛离地面，你能计算出塔的高度吗？写出计算过程． 【分析】首先证明，在中，利用直角三角形30度角的性质，求出即可解决问题． 【解答】解：， 又，， ， ， 在中，，， ， ， ， 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 27．（2024•江门校级一模）如图，河对岸有铁塔，在处测得塔顶的仰角为，向塔进14米到达处，在处测得塔顶的仰角为，求铁塔的高（结果保留根号） 【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设（米，再利用的关系，进而可解即可求出答案． 【解答】解：在中， ， ． 在中， ， ． 设（米， ， ． ． 即铁塔的高为米． 【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 28．（2024•三门峡二模）数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小亮和小刚分别用不同的方法测量了学校旗杆的高度（不包含底座），他们的测量报告如表所示： 课题 测量学校旗杆的高度 测量学生 小亮 小刚 测量工具 平面镜、皮尺 测倾器、皮尺 测量示意图及说明 说明：①点，，在同一条直线上，，垂直于地面；点，，在同一条直线上，点是旗杆与底座的交点；②平面镜大小忽略不计． 说明：①点，，在同一条直线上，，垂直于地面； ②测倾器支架宽度忽略不计． 测量数据 当小亮刚好在平面镜中看到旗杆顶端时，小亮的眼睛与地面的高度米，他到平面镜的距离米，平面镜到旗杆底座中心的距离米，旗杆底座高度为0.4米． 小刚在点处安置测倾器，测得旗杆顶部处的仰角，测倾器的高度米，测倾器底部到旗杆底座中心的水平距离　13.1　米，旗杆底座高度为0.4米． 参考数据 ，， （1）请你根据小亮的测量报告，求出旗杆顶端到底座连接处的高度； （2）请你依据小亮的测量结果，通过计算完善小刚报告中的数据（结果精确到0.1米）． 【答案】（1）旗杆顶端到底座连接处的高度为10.4米； （2）13.1． 【分析】（1）根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，，，再利用（1）的结论可得：米，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：，，， ， ， ， ， 解得：， 米， （米， 旗杆顶端到底座连接处的高度为10.4米； （2）延长交于点， 由题意得：，，， 由（1）得：米， （米， 在中，， （米， 米， 测倾器底部到旗杆底座中心的水平距离约为13.1米， 故答案为：13.1． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 六．解直角三角形的应用-方向角问题 29．（2022秋•沙坪坝区校级期中）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心的正北方向的处，其中．明明位于游客中心的西北方向的处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心的北偏西方向的点处相遇． （1）求妈妈步行的速度； （2）求明明从处到处的距离． （参考数据：，，，，，结果保留两位小数） 【答案】（1）； （2）约为． 【分析】（1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度路程时间，代入计算即可； （2）过点作交延长线于点，设 ，过点作于点，得矩形，可得，，，在中，由，得出，解得，进而求得，然后利用30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得结果． 【解答】解：（1）根据题意可知：，， ， ， 答：妈妈步行的速度为； （2）如图，过点作交延长线于点， ，， 是等腰直角三角形， ， 设 ， 过点作于点，得矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ． 答：明明从处到处的距离约为． 【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． 30．（2022秋•苏州期中）如图，某海岸边有，两码头，码头位于码头的正东方向，距码头60海里．甲、乙两船同时从岛出发，甲船向位于岛正北方向的码头航行，乙船向位于岛北偏东方向的码头航行，当甲船到达距码头40海里的处时，乙船位于甲船北偏东方向的处，求此时乙船与码头之间的距离（结果精确到0.1海里）． （参考数据：，，，，，， 【答案】11.8海里． 【分析】过作于，根据题意可得，所以，设海里，则海里，可得海里，再根据锐角三角函数列出方程求出的值，进而可得结果． 【解答】解：过作于， ， ， ， 设海里，则海里， 海里， 在中，， ， ， 在中，，海里， （海里）， （海里）， ， ， 解得， （海里）． 答：乙船与码头之间的距离约为11.8海里． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确的识别图形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$