第1章解直角三角形 中档题拓展训练★★【5个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册

第1章解直角三角形 中档题拓展训练★★【5个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册 一．解直角三角形 二．解直角三角形的应用 三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 五．解直角三角形的应用-方向角问题 · 知识点梳理 · 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． · 同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． · 互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． · 特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． · 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） · 解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． · 解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 一．解直角三角形 1．（2024•丛台区校级模拟）如图，半径为3的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为　　 A． B． C． D． 2．（2024•梁园区校级模拟）如图，已知平分，于点，，，为射线上一点，连接，则的值不可能为　　 A． B．1 C． D．2 3．（2024•商丘模拟）如图，在中，延长斜边到点，使，连接，若，则的值为　　 A． B． C． D． 4．（2024•碑林区校级模拟）如图，点，，在正方形网格的格点上，则是　　 A． B． C． D． 5．（2024•新城区校级模拟）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为　　 A． B． C． D． 6．（2024•渭城区三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为　　 A．1 B．2 C． D． 7．（2024•溧阳市一模）如图，在中，，，点在上，连接，使得，以为边向外作，若，，则边的长为 　　． 8．（2024•新城区校级模拟）如图，在四边形中，，，，，点、在上运动，且，点、分别在、上，连接、，若，，则的值为 　　 9．（2024•下城区校级三模）如图，在中，，，点在边上，且平分的周长，则　　． 10．（2024•门头沟区二模）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线交点，则　　 11．（2024•海淀区校级模拟）如图，在中，，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 二．解直角三角形的应用 12．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼成的大正方形．若，则　　 A． B． C． D． 13．（2024•潮南区三模）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为　　． A． B． C． D． 14．（2023秋•泗水县期末）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角约为，则光线长约为　　 A． B． C． D． 15．（2024•南山区一模）榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面是梯形，其中，，燕尾角，外口宽，榫槽深度是，则它的里口宽为　　 A． B． C． D． 16．（2024•二道区校级三模）如图，将一扇车门侧开，车门和车身的夹角为，车门的底边长为0.95米，则车门底边上点到车身的距离为　　 A．米 B．米 C．米 D．0.95米 17．（2024•江汉区二模）某型号飞机的机翼形状如图所示，，根据图中数据计算得到的长度是 　　．（精确到0.1米，参考数据：， 18．（2024•中宁县一模）图①是某款电动平衡车，图②是其简化示意图，该款平衡车的座位和底盘均平行于地面，座位可沿射线方向调节，当座位的位置最低时，支架，，支架与座位的夹角，与支架的夹角，底盘到地面的距离为，则此时座位到地面的高度为 　　．（结果精确到，参考数据：，， 19．（2024•辽宁）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到． （参考数据：，，， 20．（2024•东湖区校级模拟）为了“让人民群众奔着更好的日子去”，各地广泛进行电商助农销售．如图①，某款直播设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （2）已知摄像头点到桌面的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：，， 21．（2024•襄州区模拟）桔槔gāo俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．图2是桔槔的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米．当点位于最高点时，．求点位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，． 三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 22．（2024•鹿城区一模）图1是一个水平地面上的长方体密封容器，内部装有水，其正方形底面的边，棱上标有刻度，水面与交于点，读得，如图2将容器放在斜坡上，此时水面分别与，交于点，，读得．若容器厚度不计，则　　． 23．（2024•临邑县一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，某运动员在如图所示的跳台上完成动作示意图．赛道剖面图的一部分可抽象为线段，．滑雪运动员从点出发，到点落地．已知跳台的高度为，经测量，斜坡的长为、坡角约为，斜坡与水平地面的夹角为．求斜坡的长度．（结果精确到整数．参考数据：，，，，， 四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 24．（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为，则电子厂的高度为　　 （参考数据：，， A． B． C． D． 25．（2024•云梦县模拟）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点．如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面处成功发射，当飞船到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，飞船直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．点，，在同一直线上，已知，两处相距460米，则飞船从到处的平均速度为多少米秒．（结果精确到1米；参考数据：，　　 A．336 B．335 C．334 D．333 26．（2024春•衡南县校级期中）如图，小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个的标杆，然后他在处测得点的俯角为，再测得点的俯角为，则两幢楼房之间的水平距离大约为（参考数据：，，　　 A． B． C． D． 27．（2024•罗湖区校级模拟）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行30 到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行20 到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是　　 A． B． C． D．40 28．（2024•开福区校级一模）如图，在一艘小船上测得海岸上高为的灯塔的顶部处的仰角是，则船离灯塔的水平距离等于　　 A． B． C． D． 29．（2024•德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为 、在同一平面内，、在同一水平面上），则建筑物的高为　　米． A．20 B．15 C．12 D． 30．（2024•温州三模）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他做了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为　　 A．米 B．米 C． 米 D． 米 31．（2024•福建模拟）福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图．小明想测量白塔的高度（如图，在离白塔底端正前方8米的处，用高为1.5米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 32．（2024•垦利区二模）如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），在河的彼岸选择一点，在点测得为，点处测得为，若，则河宽为 　　（结果保留根号）． 33．（2024•绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 　　（结果保留根号）． 34．（2024•新洲区模拟）如图，是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端出发，先沿水平方向向右行走20米到达点，再经过一段坡度（或坡比）为、坡长为10米的斜坡到达点，然后再沿水平方向向右行走40米到达点，，，，均在同一平面内），在处处测得建筑物顶端的仰角为，则建筑物的高度约为　　米．（参考数据：，， 35．（2024•巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 36．（2024•梁园区校级一模）如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼飞机在点发现航展观礼台在俯角为方向上．飞机继续向前飞行了800米到达点．此时测得点在点俯角为的方向上．请你计算当飞机飞到点的正上方点时（点、、在同一直线上），竖直高度约为多少米？（结果保留整数，参考数值：，， 五．解直角三角形的应用-方向角问题 37．（2024•七星区校级模拟）如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是　　 A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里 38．（2024•李沧区三模）如图是体育公园步道示意图．从处测得点在北偏东，测得点在北偏东，在点处测得点在北偏西，米． （1）求步道的长度（结果保留根号）； （2）游客中心在点的正东方向，步道与步道交于点，测得，小明和爸爸分别从处和处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟米，请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．（结果精确到（参考数据：，， 39．（2024春•大足区期末）一艘渔船在海中自西向东航行，返回渔港，当渔船航行到点时发现剩余油量不足．可知附近有、两岛可以加油，经观测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向60海里处．（参考数据：，， （1）求的长度（结果精确到0.1海里）； （2）该渔船准备加油后返回渔港，决定选择一条较短线路，请计算说明该渔船应选择路线，还是路线？ 40．（2024•东营区三模）如图，，两地被大山阻隔，地在地的北偏东的方向上，在地西北方向上，且，两地间距离为，若要从地到地，现只能沿着的公路先从地到的地，再由地到地．计划开凿隧道，使，两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从地到地的路程将缩短多少？（结果精确到，参考数据， 第1章解直角三角形 中档题拓展训练★★【5个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册 【解析版】 一．解直角三角形 二．解直角三角形的应用 三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 五．解直角三角形的应用-方向角问题 · 知识点梳理 · 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． · 同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． · 互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． · 特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． · 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） · 解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． · 解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 一．解直角三角形 1．（2024•丛台区校级模拟）如图，半径为3的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据90度的圆周角所对的弦是直径可得是的直径，从而可得，再根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 【解答】解：连接， ， 是的直径， ， 点， ， 在中，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2024•梁园区校级模拟）如图，已知平分，于点，，，为射线上一点，连接，则的值不可能为　　 A． B．1 C． D．2 【答案】 【分析】根据的正切及的长，求出的长，再根据角平分线的性质即可解决问题． 【解答】解：在中， ． 令，， 则， 解得（舍负）， 所以，． 因为平分， 所以点到射线的距离为1， 则对于射线上的任一点，总有． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形、垂线段最短及角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键． 3．（2024•商丘模拟）如图，在中，延长斜边到点，使，连接，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，作交于．由可以假设，，推出，，想办法求出即可解决问题． 【解答】解：如图，作交于． 在中，， 可以假设，， ，， ， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 4．（2024•碑林区校级模拟）如图，点，，在正方形网格的格点上，则是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：过点作的垂线，垂足为， 令小正方形的边长为， 根据勾股定理得， ． 因为是等腰直角三角形， 所以， 所以． 在中， ． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键． 5．（2024•新城区校级模拟）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：过点作的垂线，垂足为， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ， ． 在中， ． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，过点作的垂线，构造出合适的直角三角形是解题的关键． 6．（2024•渭城区三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为　　 A．1 B．2 C． D． 【答案】 【分析】过点作边的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：过点作的垂线，垂足为， 根据勾股定理得， ， ， 在中， ． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键． 7．（2024•溧阳市一模）如图，在中，，，点在上，连接，使得，以为边向外作，若，，则边的长为 　　． 【答案】． 【分析】过点作边的垂线，构造全等三角形，再根据结合勾股定理即可解决问题． 【解答】解：过点作边的垂线，垂足为， ，， ． ， ． 在和中， ， ， ． 在中， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键． 8．（2024•新城区校级模拟）如图，在四边形中，，，，，点、在上运动，且，点、分别在、上，连接、，若，，则的值为 　　 【答案】． 【分析】过点作于点，过点作于点，设，，先解得，，根据得，证明为等腰直角三角形得，，，再解得，，再由得，解得，，然后证明为等腰直角三角形得，，由此得，则，最后根据可得出答案． 【解答】解：过点作于点，过点作于点，如下图所示： 设，， 在中，，，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ，， 由勾股定理得：， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ，，， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ，由勾股定理得：， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形的方法与技巧是解决问题的关键． 9．（2024•下城区校级三模）如图，在中，，，点在边上，且平分的周长，则　　． 【答案】． 【分析】过点作的垂线，构造出直角三角形，再根据平分的周长及正切的定义即可解决问题． 【解答】解：过点作的垂线，垂足为， 在中， ， 又， ． 在中， ． 平分的周长， ， ， ． 在中， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，过点作的垂线构造出合适的直角三角形及熟知勾股定理和正切的定义是解题的关键． 10．（2024•门头沟区二模）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线交点，则　　 【答案】． 【分析】根据所给网格图，连接构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：连接， 则，且， 所以是等腰直角三角形， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，连接构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 11．（2024•海淀区校级模拟）如图，在中，，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【分析】（1）先证，得出，则，得出四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2），为边上的中线，则，在 中，，求出，则，又根据点为中点，求出，则可根据勾股定理可求． 【解答】（1）证明：是边上的中线， ， 点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ，为边上的中线， ， ， 四边形为矩形； （2）解：，为边上的中线， ， 在 中，， ， ， 又点为中点， ， 在中，， ． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 二．解直角三角形的应用 12．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼成的大正方形．若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【解答】解：根据题意，设，则， ，四边形为正方形， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．（2024•潮南区三模）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为　　． A． B． C． D． 【答案】 【分析】延长交于点，先在、、中分别求出、、，再利用线段的和差关系求出． 【解答】解：延长交于点，则四边形是矩形． 四边形是矩形， ． ， ． 在中， ， ． ． 在中， ， ． 在中， ，， ． ． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握“等角对等边”特殊角的三角函数值及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 14．（2023秋•泗水县期末）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角约为，则光线长约为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据的余弦函数求解即可． 【解答】解：在中，，，， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了三角函数的应用，掌握所求边长与角的三角函数关系及三角函数的计算公式是解题的关键． 15．（2024•南山区一模）榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面是梯形，其中，，燕尾角，外口宽，榫槽深度是，则它的里口宽为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点，分别作的垂线段，垂足分别为、，在中，，在，，推出四边形是长方形，进而，进而作答． 【解答】解：过点，分别作的垂线段，垂足分别为、，如图， 在中， ， 在，， ，， 四边形是长方形， ， ， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作出正确的辅助线． 16．（2024•二道区校级三模）如图，将一扇车门侧开，车门和车身的夹角为，车门的底边长为0.95米，则车门底边上点到车身的距离为　　 A．米 B．米 C．米 D．0.95米 【答案】 【分析】过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 在中，，米， （米， 车门底边上点到车身的距离为米， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17．（2024•江汉区二模）某型号飞机的机翼形状如图所示，，根据图中数据计算得到的长度是 　3.4　．（精确到0.1米，参考数据：， 【答案】3.4． 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意得：，，，从而可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，， ，， 在中，， 在中，， ， 的长度约为， 故答案为：3.4． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2024•中宁县一模）图①是某款电动平衡车，图②是其简化示意图，该款平衡车的座位和底盘均平行于地面，座位可沿射线方向调节，当座位的位置最低时，支架，，支架与座位的夹角，与支架的夹角，底盘到地面的距离为，则此时座位到地面的高度为 　60　．（结果精确到，参考数据：，， 【答案】60． 【分析】过点作，垂足为，延长交的延长线于点，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为，延长交的延长线于点， ， ， 在中，，， ，， ， ， 在中，， ， 底盘到地面的距离为， 此时座位到地面的高度， 故答案为：60． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 19．（2024•辽宁）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到． （参考数据：，，， 【答案】（1）； （2）约为． 【分析】（1）在中，由的度数求出，利用角所对的直角边等于斜边的一半求出的长即可； （2）的长即为的长，求出，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，由（1）得到的长，上升高度即为变为的长，即，求出即可． 【解答】解：（1）如图2，在中，，， ， ， 则的长为； （2）在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，，， ，即， ， ， 则物体上升的高度约为． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 20．（2024•东湖区校级模拟）为了“让人民群众奔着更好的日子去”，各地广泛进行电商助农销售．如图①，某款直播设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （2）已知摄像头点到桌面的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：，， 【答案】（1）悬臂端点到桌面的距离约为； （2）． 【分析】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设与交于点，根据题意可得，，，，，，从而求出，进而求出，然后先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，进行计算即可解答． （2）过点作，垂足为，设与交于点，则，，，，，，求得，再算出，，得出． 【解答】解：（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设与交于点， 则，，，，，， ， ， 在中，， ， ， 悬臂端点到桌面的距离约为． （2）过点作，垂足为，设与交于点， 则，，，，，， 摄像头点到桌面的距离为， ， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（2024•襄州区模拟）桔槔gāo俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．图2是桔槔的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米．当点位于最高点时，．求点位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，． 【答案】点位于最高点时到地面的距离为4.8米． 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：米，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：米，， ， 在中，米， （米， （米， 点位于最高点时到地面的距离为4.8米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 22．（2024•鹿城区一模）图1是一个水平地面上的长方体密封容器，内部装有水，其正方形底面的边，棱上标有刻度，水面与交于点，读得，如图2将容器放在斜坡上，此时水面分别与，交于点，，读得．若容器厚度不计，则　　． 【答案】． 【分析】过点作于点，确定和的长度，再根据三角函数的定义即可解决问题． 【解答】解：过点作于点， 由将容器放在斜坡上，水的体积没变，可知为的中点， ， ， 在中， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． 23．（2024•临邑县一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，某运动员在如图所示的跳台上完成动作示意图．赛道剖面图的一部分可抽象为线段，．滑雪运动员从点出发，到点落地．已知跳台的高度为，经测量，斜坡的长为、坡角约为，斜坡与水平地面的夹角为．求斜坡的长度．（结果精确到整数．参考数据：，，，，， 【答案】斜坡的长度约为． 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【解答】解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 在中，， ， 斜坡的长度约为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 24．（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为，则电子厂的高度为　　 （参考数据：，， A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可得：，，，，，，，然后设 ，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：，，，，，，， 设 ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 电子厂的高度约为， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 25．（2024•云梦县模拟）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点．如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面处成功发射，当飞船到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，飞船直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．点，，在同一直线上，已知，两处相距460米，则飞船从到处的平均速度为多少米秒．（结果精确到1米；参考数据：，　　 A．336 B．335 C．334 D．333 【答案】 【分析】根据题意可得：，先在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出，的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， 在中，米，， （米， （米， 米， 米， 在中，， 米， 米， 飞船从到处的平均速度（米秒）， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 26．（2024春•衡南县校级期中）如图，小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个的标杆，然后他在处测得点的俯角为，再测得点的俯角为，则两幢楼房之间的水平距离大约为（参考数据：，，　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】延长交于点，则，，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：延长交于点， 则，， 设米， 在中，， （米， 米， 米， 在中，， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， 米， 两座楼房之间的水平距离大约为9米， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 27．（2024•罗湖区校级模拟）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行30 到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行20 到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是　　 A． B． C． D．40 【答案】 【分析】过点作于点，，交的延长线于点，根据以及斜坡的斜面坡度，可得，，，在中，，求出的值，再根据可得出答案． 【解答】解：过点作于点，，交的延长线于点， 由题意得，，，，，， 斜坡的斜面坡度， ， 设 ，则 ， ， ， 解得， ，，， 在中，， 解得， ． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 28．（2024•开福区校级一模）如图，在一艘小船上测得海岸上高为的灯塔的顶部处的仰角是，则船离灯塔的水平距离等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：， 在中，，， ， 船离灯塔的水平距离等于， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 29．（2024•德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为 、在同一平面内，、在同一水平面上），则建筑物的高为　　米． A．20 B．15 C．12 D． 【答案】 【分析】设过点的水平线于交于点，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【解答】解：设过点的水平线于交于点，如图， 由题意，知：四边形是矩形米，， 在中， ， 在中， ， ， 解得（米， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 30．（2024•温州三模）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他做了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为　　 A．米 B．米 C． 米 D． 米 【答案】 【分析】过作于，则四边形是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：过作于，则四边形是矩形，如图． 米，米， ， ， 米， （米， 即旗杆的高度为米， 故选：． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键． 31．（2024•福建模拟）福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图．小明想测量白塔的高度（如图，在离白塔底端正前方8米的处，用高为1.5米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，米， 在中，， （米， 米， 白塔的高度为米， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 32．（2024•垦利区二模）如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），在河的彼岸选择一点，在点测得为，点处测得为，若，则河宽为 　　（结果保留根号）． 【答案】． 【分析】先根据三角形外角的性质求出的度数，判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出的值． 【解答】解：，， ， ， 在中， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中． 33．（2024•绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 　　（结果保留根号）． 【答案】． 【分析】根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：， 在中，，， ， 在中，， ， ， 这栋楼的高度为， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 34．（2024•新洲区模拟）如图，是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端出发，先沿水平方向向右行走20米到达点，再经过一段坡度（或坡比）为、坡长为10米的斜坡到达点，然后再沿水平方向向右行走40米到达点，，，，均在同一平面内），在处处测得建筑物顶端的仰角为，则建筑物的高度约为　21.7　米．（参考数据：，， 【分析】作交的延长线于，于．首先解直角三角形，求出，，再根据，构建方程即可解决问题． 【解答】解：作交的延长线于，于． 在中，，设，， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ，，， 在中，， ， （米， 故答案为：21.7． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 35．（2024•巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）点离水平地面的高度为； （2）电线塔的高度为米． 【分析】（1）根据题意可得：，再根据已知易得：在中，，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：， 斜坡的坡度， ， 在中，， ， ， ，， 点离水平地面的高度为； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，， 设米， 米， 米， 在中，， （米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 电线塔的高度为米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 36．（2024•梁园区校级一模）如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼飞机在点发现航展观礼台在俯角为方向上．飞机继续向前飞行了800米到达点．此时测得点在点俯角为的方向上．请你计算当飞机飞到点的正上方点时（点、、在同一直线上），竖直高度约为多少米？（结果保留整数，参考数值：，， 【答案】竖直高度约为490米． 【分析】根据题意可得：，米，设米，则米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：，米， 设米， 米， 在中，， （米， 在中，， 米， ， 解得：， （米， 竖直高度约为490米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 五．解直角三角形的应用-方向角问题 37．（2024•七星区校级模拟）如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是　　 A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里 【答案】 【分析】作于，则船离灯塔的最近距离是的长．作于．解直角，求出．解直角，求出，那么．再解直角，得出． 【解答】解：如图，作于，则船离灯塔的最近距离是的长．作于． 在直角中，，，， ． 在直角中，，， ， ． 在直角中，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 38．（2024•李沧区三模）如图是体育公园步道示意图．从处测得点在北偏东，测得点在北偏东，在点处测得点在北偏西，米． （1）求步道的长度（结果保留根号）； （2）游客中心在点的正东方向，步道与步道交于点，测得，小明和爸爸分别从处和处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟米，请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．（结果精确到（参考数据：，， 【答案】（1）米． （2）17.9米． 【分析】（1）由题意得，，，，，在中，米，，求出即可． （2）过点作，交的延长线于点，由题意得，，，，，，在中，，，求出和，在中，，，求出和，再由求出，设爸爸的速度每分钟米，根据时间路程速度列方程求解即可． 【解答】解：（1）如图所示， 由题意得，，，， ， 在中，米，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 步道的长度为米． （2）过点作，交的延长线于点， 由题意得，，，， 则， ， 在中，，， 解得，， 在中，，， 解得，， 经检验，是原方程的解且符合题意， 米， 设爸爸的速度每分钟米， 则， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， 爸爸的速度要达到每分钟17.9米，他俩可同时到达游客中心． 【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 39．（2024春•大足区期末）一艘渔船在海中自西向东航行，返回渔港，当渔船航行到点时发现剩余油量不足．可知附近有、两岛可以加油，经观测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向60海里处．（参考数据：，， （1）求的长度（结果精确到0.1海里）； （2）该渔船准备加油后返回渔港，决定选择一条较短线路，请计算说明该渔船应选择路线，还是路线？ 【答案】（1）73.5（米； （2）选择路线比较短． 【分析】（1）过点作于，根据余弦的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出； （2）根据正切的定义求出，根据余弦的定义求出，分别求出路线、路线的距离，判断即可． 【解答】解：（1）如图，过点作于， 在中，海里，， 海里， ， （海里）， ， （海里）； （2）， 海里， 海里， ， 海里，海里， 路线的长为：海里， 的长为：海里， ， 选择路线比较短． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 40．（2024•东营区三模）如图，，两地被大山阻隔，地在地的北偏东的方向上，在地西北方向上，且，两地间距离为，若要从地到地，现只能沿着的公路先从地到的地，再由地到地．计划开凿隧道，使，两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从地到地的路程将缩短多少？（结果精确到，参考数据， 【答案】约． 【分析】由含角的直角三角形的性质得．再由勾股定理得，然后证则，即可求解． 【解答】解：过点作的垂线，垂足为． 也同样得：，， ． ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 即从地到地的路程将缩短约． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握含角的直角三角形的性质，求出、的长是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$