第1章解直角三角形 基础题过关检测★【9个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册

第1章解直角三角形 基础题过关检测★【9个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册 一．锐角三角函数的定义 二．同角三角函数的关系 三．互余两角三角函数的关系 四．特殊角的三角函数值 五．解直角三角形 六．解直角三角形的应用 七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 九．解直角三角形的应用-方向角问题 · 知识点梳理 · 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． · 同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． · 互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． · 特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． · 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） · 解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． · 解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 一．锐角三角函数的定义 1．（2024•中山市校级三模）在中，，，，则的值为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•鹿邑县期末）已知在中，，，，则的值为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•商河县期末）如图，在中，，，，则的正切值是　　 A． B． C． D． 4．（2024•阿克苏地区模拟）如图，在中，若，则　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•邹平市期末）在中，，，，则下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 二．同角三角函数的关系 6．（2024•南山区校级模拟）已知是锐角，，则的值为　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•常德期末）若为锐角，且，则等于　　 A．1 B． C． D． 三．互余两角三角函数的关系 8．（2024•金凤区校级二模）在中，，，则的值为　　 A． B． C． D． 四．特殊角的三角函数值 9．（2023秋•江阴市期末）的值是　　 A． B． C．1 D． 10．（2024春•聊城月考）下列各数中不是分数的是　　 A． B． C． D．3.14 11．（2024•会东县二模）在中，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 12．（2024•亳州一模）　　 A． B． C． D． 13．（2024•绥化模拟）的值等于　　 A． B． C．1 D．2 14．（2023秋•宝丰县期末）的值为　　 A． B． C．1 D． 15．（2024•湖南一模）的数值大小为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•桥西区期中）计算：． 17．（2024•天宁区校级模拟）计算：． 18．（2023秋•虹口区期末）计算：． 19．（2023秋•高青县期中）计算： （1）； （2）． 20．（2023秋•宁强县期末）在中，已知，求的值． 21．（2022秋•武义县期末）计算：． 22．（2023秋•招远市期中）求下列各式的值： （1）； （2）． 23．（2023秋•青浦区校级月考）计算：． 五．解直角三角形 24．（2024•民勤县三模）如图：，，，利用此图可求得的值是　　 A． B． C． D． 25．（2024•犍为县模拟）如图中，，，的垂直平分线交于，连接，若，则的长为　　． 26．（2024•连云区一模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的值是 　　． 六．解直角三角形的应用 27．（2023秋•富平县期末）如图，为测一河两岸相对两电线杆、间的距离，在距点15米处的点测得，则、间的距离应为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 28．（2024•益阳二模）如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在处测得，在处测得，米，仪器高度米，这棵树的高度为　　米． 七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 29．（2023秋•醴陵市期末）如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是　　 A． B． C． D． 30．（2024•惠山区三模）一个斜坡的坡角为，则这个斜坡的坡度为　　 A． B． C． D． 31．（2024•嘉禾县校级二模）某新修“商场大厦”的一处自动扶梯如图，已知扶梯长为，该自动扶梯到达的高度为，自动梯与地面所成的角为，则的值为 　　 32．（2024春•鹿城区校级期中）如图，在坡比为的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为，那么相邻两棵树间的在坡面上的间距为 　　． 33．（2024•八步区三模）如图，某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，原阶梯式自动扶梯的长为米，坡角，已知改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，改造后的斜坡式自动扶梯的水平距离增加了的长度且的长度为20米，则的值为 　　．（结果精确到0.1米，参考数据：，，， 八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 34．（2024•凉州区三模）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆．已知观测点到旗杆的距离，测得旗杆的顶部的仰角，旗杆底部的俯角，那么，旗杆的高度是　　 A． B． C． D． 35．（2024•东安县一模）数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测倾器在处测得点的仰角，然后在距离处2米的处测得点的仰角，已知测倾器的高度为1.6米，、、在一条直线上，则车辆限高杆的高度为 　　米．（结果保留根号） 36．（2024•洪山区模拟）黄鹤楼位于湖北省武汉市，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．身高的小伟今天在司门口黄鹤楼地铁站出口（图中点处）观察黄鹤楼的仰角，前行来到民主路上（图中点处）后，观察黄鹤楼的仰角．那么据此可以估算出黄鹤楼的高度为 　　．（精确到0.1米，参考数据：， 37．（2024•赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点处与古树底部处在同一水平面上，且米，无人机从处竖直上升到达处，测得古树顶部的俯角为，古树底部的俯角为，则古树的高度约为 　　米（结果精确到0.1米；参考数据：，，． 38．（2023秋•闵行区月考）如图，，表示两栋建筑，小明想利用建筑玻璃幕墙的反射作用来测建筑的高度，首先他在建筑的底部处用测角仪测得其顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为，然后他沿前进了10米到达点处，再用测角仪测得建筑的顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为，已知，，测角仪置于水平高度1.5米的、处．试求建筑的高度． 39．（2024•固始县二模）某校数学小组拟测量学校新建实验楼的高度，测量方案如下：如图所示，首先，测量者在处放置一平面镜，从点沿后退，当退行1.2米到处时，恰好在镜子中看到实验楼顶的像，此时测量者眼睛到地面的距离为1.5米；然后，沿的延长线继续后退到点，用高度为1.5米的测角仪测得实验楼的顶端的仰角为，已知米，点，，，在同一水平直线上，且，，均垂直于，求实验楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，， 九．解直角三角形的应用-方向角问题 40．（2024•恩施市二模）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为 　　．（结果保留根号） 第1章解直角三角形 基础题过关检测★【9个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级下册 一．锐角三角函数的定义 二．同角三角函数的关系 三．互余两角三角函数的关系 四．特殊角的三角函数值 五．解直角三角形 六．解直角三角形的应用 七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 九．解直角三角形的应用-方向角问题 · 知识点梳理 · 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． · 同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． · 互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． · 特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． · 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） · 解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． · 解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 一．锐角三角函数的定义 1．（2024•中山市校级三模）在中，，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据正弦值的定义求解即可． 【解答】解：，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，关键是勾股定理和角正弦值的求解． 2．（2023秋•鹿邑县期末）已知在中，，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可． 【解答】解：如图所示： 在中，，，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键． 3．（2023秋•商河县期末）如图，在中，，，，则的正切值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的定义得出的正切值，再代入求出答案即可． 【解答】解：中，，，， 的正切值． 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 4．（2024•阿克苏地区模拟）如图，在中，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：在中，若，，， 故选：． 【点评】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 5．（2023秋•邹平市期末）在中，，，，则下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义判断即可． 【解答】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 则，，，， 选项正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 二．同角三角函数的关系 6．（2024•南山区校级模拟）已知是锐角，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义即可求解． 【解答】解：如图所示： ， 设，， 则， ． 故选：． 【点评】本题考查了求角的余弦值，关键是根据题意作出直角三角形． 7．（2023秋•常德期末）若为锐角，且，则等于　　 A．1 B． C． D． 【答案】 【分析】根据，得出，即可得出的值． 【解答】解：为锐角，且， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查三角函数的知识，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 三．互余两角三角函数的关系 8．（2024•金凤区校级二模）在中，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由锐角的正切定义得到，令，则，由勾股定理得到，即可求出的值． 【解答】解：中，， 令，则， ， ． 故选：． 【点评】本题考查互余两角三角函数关系，勾股定理，关键是掌握锐角的正切，余弦定义． 四．特殊角的三角函数值 9．（2023秋•江阴市期末）的值是　　 A． B． C．1 D． 【答案】 【分析】直角利用特殊角的三角函数值求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键． 10．（2024春•聊城月考）下列各数中不是分数的是　　 A． B． C． D．3.14 【答案】 【分析】分数的定义：有限小数和无限循环小数统称为分数．化简负整数指数幂特殊角的三角函数值，利用分数定义逐一判断即可． 【解答】．，是分数，不符合题意， ．，是分数，不符合题意， ．，是无理数，不是分数，符合题意， ．，是分数，不符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了实数分类负整数指数幂特殊角的三角函数值．熟练掌握分数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 11．（2024•会东县二模）在中，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据绝对值、偶次方的非负性分别求出、，再根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：， ，， ，， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、三角形内角和定理、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 12．（2024•亳州一模）　　 A． B． C． D． 【分析】根据即可求解． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 13．（2024•绥化模拟）的值等于　　 A． B． C．1 D．2 【答案】 【分析】把代入原式，即可计算． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，关键是掌握特殊角的三角函数值． 14．（2023秋•宝丰县期末）的值为　　 A． B． C．1 D． 【分析】直接根据求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 15．（2024•湖南一模）的数值大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【解答】解：， 故选：． 【点评】此题考查了特殊角的三角函数值及负整数指数幂，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 16．（2023秋•桥西区期中）计算：． 【答案】． 【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 17．（2024•天宁区校级模拟）计算：． 【答案】． 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 18．（2023秋•虹口区期末）计算：． 【答案】． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案． 【解答】原式 ． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 19．（2023秋•高青县期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值代入并化简求值即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查三角函数的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值代入计算以及零次幂的值是解决本题的关键． 20．（2023秋•宁强县期末）在中，已知，求的值． 【答案】． 【分析】先根据非负数的性质得出及的值，再由特殊角的三角函数值求出，的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】解： ， ， ，， ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 21．（2022秋•武义县期末）计算：． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 22．（2023秋•招远市期中）求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）4． 【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 23．（2023秋•青浦区校级月考）计算：． 【答案】． 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 五．解直角三角形 24．（2024•民勤县三模）如图：，，，利用此图可求得的值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质可计算出，则，设，在中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，则，然后在中利用正切的定义求解． 【解答】解：， ， ， ， ， 设， 在中， ， ，， ， 在中，． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 25．（2024•犍为县模拟）如图中，，，的垂直平分线交于，连接，若，则的长为　4　． 【分析】由于，可设，，由于是线段的垂直平分线，故，，又知，即可据此列方程解答． 【解答】解：，可 设，， 又是线段的垂直平分线， ， 又， ， 解得，， 在中，，， ． 故答案为4． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、解直角三角形的相关知识，综合性较强，计算要仔细． 26．（2024•连云区一模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的值是 　　． 【答案】． 【分析】根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明点是的中点，然后利用直角三角形斜边上的中线得出，从而可得，进而可得，进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得： ， ， ， ， 是直角三角形， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜边上的中线是解题的关键， 六．解直角三角形的应用 27．（2023秋•富平县期末）如图，为测一河两岸相对两电线杆、间的距离，在距点15米处的点测得，则、间的距离应为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】利用已知角的正切函数求解即可． 【解答】解：因为米，，在直角中， 所以米． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 28．（2024•益阳二模）如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在处测得，在处测得，米，仪器高度米，这棵树的高度为　　米． 【分析】根据直角三角形的边角间关系，可用含的代数式表示出、，由于，得到关于的方程，求解即可 【解答】解：由题意，四边形、四边形、四边形均为矩形， 、均为直角三角形， 所以米，米． 在中，， 即， 在中，， 即， 又， 即 （米 故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键． 七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 29．（2023秋•醴陵市期末）如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【解答】解：迎水坡的坡度， ， （米， 在中，由勾股定理得，（米， 故选：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键． 30．（2024•惠山区三模）一个斜坡的坡角为，则这个斜坡的坡度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】坡度是坡角的正切值． 【解答】解：因为，即坡度为．故选：． 【点评】此题主要考查学生对坡度的掌握情况． 31．（2024•嘉禾县校级二模）某新修“商场大厦”的一处自动扶梯如图，已知扶梯长为，该自动扶梯到达的高度为，自动梯与地面所成的角为，则的值为 　　 【答案】． 【分析】先求出自动扶梯水平宽度，再根据三角函数的正切定义解答即可． 【解答】解：扶梯长为，该自动扶梯到达的高度为， 自动扶梯水平宽度， ． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握三角函数的正切的定义是解题的关键． 32．（2024春•鹿城区校级期中）如图，在坡比为的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为，那么相邻两棵树间的在坡面上的间距为 　　． 【答案】． 【分析】先根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【解答】解：由题意可知：斜坡的坡比，， 则， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，又叫做坡比． 33．（2024•八步区三模）如图，某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，原阶梯式自动扶梯的长为米，坡角，已知改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，改造后的斜坡式自动扶梯的水平距离增加了的长度且的长度为20米，则的值为 　10.5米　．（结果精确到0.1米，参考数据：，，， 【答案】10.5米． 【分析】根据等腰直角三角形的性质用表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：在中，米，， 则（米， 米， 米， 在中，， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为：10.5米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 34．（2024•凉州区三模）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆．已知观测点到旗杆的距离，测得旗杆的顶部的仰角，旗杆底部的俯角，那么，旗杆的高度是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用的正切值可求得；利用的正切值可求得，有． 【解答】解：在中，有， 在中，有， （米． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用俯角、仰角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形． 35．（2024•东安县一模）数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测倾器在处测得点的仰角，然后在距离处2米的处测得点的仰角，已知测倾器的高度为1.6米，、、在一条直线上，则车辆限高杆的高度为 　　米．（结果保留根号） 【答案】． 【分析】延长，交于点，设米，在中，可得米，在中，，求出的值，进而可得出答案． 【解答】解：延长，交于点， 由题意得，米，米， 设米， 则米， 在中，， 米， 在中，， 解得， （米． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 36．（2024•洪山区模拟）黄鹤楼位于湖北省武汉市，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．身高的小伟今天在司门口黄鹤楼地铁站出口（图中点处）观察黄鹤楼的仰角，前行来到民主路上（图中点处）后，观察黄鹤楼的仰角．那么据此可以估算出黄鹤楼的高度为 　51.4　．（精确到0.1米，参考数据：， 【答案】51.4． 【分析】在中，根据三角函数求出，，在中，根据三角函数求出，，，进而作答即可． 【解答】解：如图，标记相关字母， 在中， ， ， 在中， ， 即， ， ， 故答案为：51.4． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是对三角函数的熟练掌握． 37．（2024•赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点处与古树底部处在同一水平面上，且米，无人机从处竖直上升到达处，测得古树顶部的俯角为，古树底部的俯角为，则古树的高度约为 　11.5　米（结果精确到0.1米；参考数据：，，． 【答案】11.5． 【分析】过点作，先说明四边形是矩形，再在、中，利用直角三角形的边角间关系求出、的长，最后利用线段的和差关系得结论． 【解答】解：由题意，知，，，． 过点作，垂足为． ，，， ． 四边形是矩形． 米，． ， ，． 在中， ， （米． 在中， ， （米． （米． 故答案为：11.5． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质和判定等知识点是解决本题的关键． 38．（2023秋•闵行区月考）如图，，表示两栋建筑，小明想利用建筑玻璃幕墙的反射作用来测建筑的高度，首先他在建筑的底部处用测角仪测得其顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为，然后他沿前进了10米到达点处，再用测角仪测得建筑的顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为，已知，，测角仪置于水平高度1.5米的、处．试求建筑的高度． 【分析】延长．分别交的延长线于，，于相交于，设，则，，，在△中，，在△中，，根据求得，于是得到，列方程解得，于是得到． 【解答】解：延长．分别交的延长线于，，于相交于， 设，则，，， 在△中，， 在△中，， ， ， ， ， ， 解得：， ． 答：建筑的高度为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． 39．（2024•固始县二模）某校数学小组拟测量学校新建实验楼的高度，测量方案如下：如图所示，首先，测量者在处放置一平面镜，从点沿后退，当退行1.2米到处时，恰好在镜子中看到实验楼顶的像，此时测量者眼睛到地面的距离为1.5米；然后，沿的延长线继续后退到点，用高度为1.5米的测角仪测得实验楼的顶端的仰角为，已知米，点，，，在同一水平直线上，且，，均垂直于，求实验楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，， 【答案】32.3米． 【分析】根据正切函数，三角形相似的判定和性质计算即可． 【解答】解：根据题意可知：米，米，米，，． 设米． ，米． 米． 米， 米． ，， ． ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． （米． 答：实验楼的高度为32.3米． 【点评】本题考查了正切函数的应用，三角形相似的应用，熟练掌握三角函数，相似的性质是解题的关键． 九．解直角三角形的应用-方向角问题 40．（2024•恩施市二模）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为 　　．（结果保留根号） 【分析】作于，根据余弦的定义求出，再根据余弦的定义列式计算即可． 【解答】解：作于， 在中，， 则， 在中，， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$