第4章相似三角形 中档题拓展训练★★【9个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册

第4章相似三角形 中档题拓展训练★★【9个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 一．比例的性质 二．黄金分割 三．平行线分线段成比例 四．相似三角形的性质 五．相似三角形的判定 六．相似三角形的判定与性质 七．相似三角形的应用 八．位似变换 九．作图-位似变换 · 知识点梳理 · 比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． · 黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． · 平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． · 相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． · 相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． · 相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． · 相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． · 位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． · 作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 一．比例的性质 1．（2024春•长春期末）已知，则的值为 　　． 二．黄金分割 2．（2024•南充）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点作，使，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点．若，则的值为　　 A． B． C． D． 3．（2024•德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点是边上一点，则满足的点的个数为　　 A．3 B．2 C．1 D．0 4．（2024春•安陆市期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，一片形状均衡的树叶柄与叶面长度之比为，若为整数，且，则的值为 　　． 三．平行线分线段成比例 5．（2024•沭阳县模拟）如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于点，若，则的长为　　 A．2 B．2.5 C．3 D．4 6．（2024•凉州区三模）如图，点、是边、上的点，，连接、，交点为，，那么的值是 　　． 四．相似三角形的性质 7．（2024春•沙坪坝区校级期末）若△，且，则与△的周长之比为 　　． 五．相似三角形的判定 8．（2023秋•高碑店市期末）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是　　 A．平分 B． C． D． 9．（2024•楚雄市一模）如图，要使，可以添加条件：　　． 六．相似三角形的判定与性质 10．（2024•金东区二模）如图，在中，是对角线上一点，连接，．若，，，的面积分别为，，，，则下列关于，，，的等量关系中，不一定正确的是　　 A． B． C． D． 11．（2024•开江县二模）如图，在中，点，为边的三等分点，，点，在边上，，相交于点．若，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2024•温州模拟）如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是　　 A． B． C． D． 13．（2024•东城区校级三模）如图，是半圆的直径，是半圆周上的动点（与，不重合），于点，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 14．（2024•瑞安市校级模拟）已知中，，以，为边分别向外作两个正方形，正方形，，，分别交边，于点，，下列说法不正确的是　　 A． B． C． D． 15．（2024•长汀县二模）如图，在矩形中，平分，点是线段上一定点，点，分别是，延长线上的点，且，过点作交于点，以下判断不正确的是　　 A． B． C． D． 16．（2024•临安区二模）如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片，点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合），连结，，．设与直径交于点．若，，则的值为　　 A． B． C． D． 17．（2024•河东区校级三模）一块三角形材料如图所示：，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点，，分别在，，上，下列结论中正确的个数是　　 ①当时，矩形的面积是； ②矩形面积最大时，点为中点； ③当，矩形面积为时，； ④当矩形面积为时，． A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2024春•深圳校级期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作于点，交于点．已知，，则的值为　　 A． B． C． D． 19．（2024•合肥二模）已知，点是的中点，平分，，若，，则长为　　 A． B． C． D． 20．（2024•庐阳区校级三模）如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 21．（2024•辽宁模拟）如图，在中，，，若，，则的值是　　 A． B． C． D． 22．（2024•汉中二模）如图，在矩形中，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，则的最小值为 　　． 23．（2024•南关区二模）如图，在中，，连接，交于点，，则的长为 　　． 24．（2024•鄄城县二模）如图所示，在正方形中，为边中点，连接并延长交边的延长线于点，对角线交于点．已知，则线段的长度为　　． 25．（2024春•姑苏区期末）如图，在四边形中，点在边上，若，，且．记的面积为，的面积为，的面积为，则　　． 26．（2024•南充模拟）如图，中，，在的延长线上，连接，，分别与交于，，若，，，则与的大小关系是 　　． 27．（2024春•萨尔图区校级期末）中，于点，于点，，交于点，连接．求证： （1）； （2）． 28．（2024•涟水县模拟）如图，为线段外一点． （1）在图1中，求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若在（1）的四边形中，、相交于点，则与的面积比为 　　．（可用图2作图分析，不要破坏（1）中作图） 29．（2024•开福区校级一模）如图，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点． （1）求证：； （2）当时，求的长度． 30．（2024•长沙模拟）如图，点是矩形对角线上的点（不与，重合），连接，过点作交于点．连接交于点，． （1）试判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 31．（2024•拱墅区二模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结．点是延长线上的一点，连结，若平分． （1）求证：． （2）当，求的值． 32．（2024•柯桥区模拟）如图，在中，是上的点，是上一点，且，． （1）求证：； （2）若是的中线，求的值． 七．相似三角形的应用 33．（2024•杭州三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　　． A． B．6 C． D．8 34．（2024春•淮阳区校级月考）如图，为了测量某古塔的高度，小强在地面上处垂直于地面竖立了高度为的标杆，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与古塔顶端重合．小强又在点处竖立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与古塔顶端重合（古塔底端与，，，在同一直线上），小强的眼睛离地面高度，测得，，．请计算古塔的高度． 35．（2024•烟台一模）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．求树的高度． 36．（2024•宝山区校级模拟）如图，已知平行四边形的三个顶点、、都在半径为5的上，且，垂足为点，． （1）求平行四边形的边的长； （2）延长线段交于点，求点到的距离． 八．位似变换 37．（2024•阳泉一模）如图，在平面直角坐标系中，和△是以原点为位似中心的位似图形，点在线段上，．若点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 38．（2023秋•宝鸡期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，．以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将放大，则点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 39．（2024•北碚区校级三模）如图，与△位似，点为位似中心，若，，则的长为　　 A．15 B．20 C．10 D．5 九．作图-位似变换 40．（2024春•苏州期末）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三角形均为格点三角形（即顶点均在格点上）． （1）如图1，绕某一点按逆时针方向旋转一定角度得到△，则点，，，四个点中为旋转中心是点 　　； （2）如图2，以点为位似中心，把按相似比放大，得到（其中点，，的对应点分别为点，，． ①在图2中画出；②的面积为 　　． 第4章相似三角形 中档题拓展训练★★【9个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 【解析版】 一．比例的性质 二．黄金分割 三．平行线分线段成比例 四．相似三角形的性质 五．相似三角形的判定 六．相似三角形的判定与性质 七．相似三角形的应用 八．位似变换 九．作图-位似变换 · 知识点梳理 · 比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． · 黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． · 平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． · 相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． · 相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． · 相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． · 相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． · 位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． · 作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 一．比例的性质 1．（2024春•长春期末）已知，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了比例的性质，根据已知条件得出是解题的关键． 二．黄金分割 2．（2024•南充）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点作，使，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点．若，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】令的长为，根据题中所给作图步骤，可得出的长为，再用勾股定理表示出的长，进而可得出（即的长，据此可解决问题． 【解答】解：令的长为， 则， 在中， ． 因为，， 所以， 则， 所以的值为． 故选：． 【点评】本题考查黄金分割，能用含的代数式表示及的长是解题的关键． 3．（2024•德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点是边上一点，则满足的点的个数为　　 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】 【分析】根据题意可知点在以为直径的圆上，得出与此圆的位置关系即可解决问题． 【解答】解：， 点在以为直径的圆上． 如图所示， 四边形是黄金矩形， 令，， 的半径为． ， 边与相离， 边上满足的点的个数为0． 故选：． 【点评】本题考查黄金分割及矩形的性质，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 4．（2024春•安陆市期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，一片形状均衡的树叶柄与叶面长度之比为，若为整数，且，则的值为 　0　． 【答案】0． 【分析】先估算出，从而得到，由此即可得到答案． 【解答】解：， ， ， 这个比值介于整数和之间， ， 故答案为：0． 【点评】本题考查黄金分割，无理数的估算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． 三．平行线分线段成比例 5．（2024•沭阳县模拟）如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于点，若，则的长为　　 A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】 【分析】过点作交于，如图，先由，根据平行线分线段成比例得到，再由得到比例式，然后利用比例的性质求的长． 【解答】解：过点作交于，如图， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 6．（2024•凉州区三模）如图，点、是边、上的点，，连接、，交点为，，那么的值是 　　． 【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，，进而可得的值． 【解答】解：如图所示，过作，交于， 则，即：，， ，即：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 四．相似三角形的性质 7．（2024春•沙坪坝区校级期末）若△，且，则与△的周长之比为 　　． 【答案】． 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【解答】解：△，且， 与△的周长之比为， 故答案为：． 【点评】本题考查对相似三角形性质的理解： （1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 五．相似三角形的判定 8．（2023秋•高碑店市期末）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是　　 A．平分 B． C． D． 【答案】 【分析】已知，则、选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定． 【解答】解：在和中，， 如果，需满足的条件有： ①或是的平分线； ②； 故选：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键． 9．（2024•楚雄市一模）如图，要使，可以添加条件：　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可． 【解答】解：可添加条件：．证明如下： ，， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似． 六．相似三角形的判定与性质 10．（2024•金东区二模）如图，在中，是对角线上一点，连接，．若，，，的面积分别为，，，，则下列关于，，，的等量关系中，不一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得出，，即可判断、，作于，于，则，证明得出，从而得出，，即可判断，只有当时，，即可判断． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，， ，故正确，不符合题意， ，， ， ，故正确，不符合题意； 如图，作于，于，则， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，，，， ，， ，故正确，不符合题意； 只有当时，，故错误，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 11．（2024•开江县二模）如图，在中，点，为边的三等分点，，点，在边上，，相交于点．若，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质求得的长度，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【解答】解：点，为边的三等分点， ， ， ， ， ， ． 点，为边的三等分点，， 点，为边的三等分点， ， ， ，， ， ，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 12．（2024•温州模拟）如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，得到两组相似三角形，根据边的比例得出面积之比，从而得出的值． 【解答】解：平分， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 13．（2024•东城区校级三模）如图，是半圆的直径，是半圆周上的动点（与，不重合），于点，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】 【分析】根据是半圆的直径，得出，根据直角三角形的性质得出，根据是半圆周上的动点（与，不重合），即可判断①；根据点的运动轨迹确定，即可判定②；证明，根据相似三角形的性质得出，结合①中结论即可判断③． 【解答】解：是半圆的直径， ， 点是中点， ， ，，，， ，， 即，故①正确； 是半圆周上的动点（与，不重合）， ，， ， ，故②错误； ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 14．（2024•瑞安市校级模拟）已知中，，以，为边分别向外作两个正方形，正方形，，，分别交边，于点，，下列说法不正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】证明和全等，即可判断选项和选项，根据和相似，得到选项正确． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，，故选项正确； ， ，故选项正确； ， ， ，故选项正确； ，故选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质等，属于综合题，掌握性质和判定方法是解题的关键． 15．（2024•长汀县二模）如图，在矩形中，平分，点是线段上一定点，点，分别是，延长线上的点，且，过点作交于点，以下判断不正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由矩形的性质得，则，由，，得，可证明，，则，而，则，可判断不符合题意；由，，证明，得，所以，可判断不符合题意；因为，所以，可判断不符合题意；由，且对应边与不一定相等，可知和不一定全等，可判断符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是矩形， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， 故不符合题意； ，， ， ， ， 故不符合题意； ， ， ， ， 故不符合题意； ，且对应边与不一定相等， 和不一定全等， 故符合题意， 故选：． 【点评】此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 16．（2024•临安区二模）如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片，点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合），连结，，．设与直径交于点．若，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连结，由，得，由折叠得，由，得，推导出，求得，再证明，则，而，则，再证明，得，于是得，求得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：连结，则， ， 由折叠得， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 故选：． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 17．（2024•河东区校级三模）一块三角形材料如图所示：，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点，，分别在，，上，下列结论中正确的个数是　　 ①当时，矩形的面积是； ②矩形面积最大时，点为中点； ③当，矩形面积为时，； ④当矩形面积为时，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】当时，矩形的面积，故①正确；矩形面积，故③错误；矩形面积，矩形面积最大时，点为中点，故②正确；当矩形面积为时，或4，故④错误． 【解答】解：，，， ， ， 矩形， ，即， ， ， ， ，， ， 矩形的面积，故①正确； 当时，则， ，， ， 矩形面积，故③错误； 矩形面积， ， 当时，即时，矩形面积最大， ， 点为中点， 矩形面积最大时，点为中点，故②正确； 令，则， 解得：，， 即或8， 或4， 当矩形面积为时，或4，故④错误； 综上，正确的有①②，共2个， 故选：． 【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18．（2024春•深圳校级期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作于点，交于点．已知，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先证明，求出 然后通过，进一步求出即可． 【解答】解：四边形为菱形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， 即， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 19．（2024•合肥二模）已知，点是的中点，平分，，若，，则长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作于点，设，则，利用等腰直角三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质求得值，则可求，再利用等腰直角三角形的性质求得，则结论可求． 【解答】解：过点作于点，如图， ，平分， ， ， 为等腰直角三角形， ，． 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ． 点是的中点， ． ， 为等腰直角三角形， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定与性质，恰当的添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 20．（2024•庐阳区校级三模）如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【分析】利用矩形的性质，角平分线的等于，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和三角形的内角和定理解答即可判断①的结论正确；利用相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质即可判断②的结论正确；利用相似三角形的判定与性质求得，则的长度可知；利用等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可得出，则④的结论正确． 【解答】解：四边形为矩形， ， 平分， ， 为等腰直角三角形， ． ， 为等腰直角三角形， ， ． ， ， ， ， ， ①的结论正确； 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． ②的结论正确； ，， ， ， ， ． ，， ， ③的结论不正确； 为等腰直角三角形， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ． ④的结论正确． 综上，正确的结论有：①②④． 故选：． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 21．（2024•辽宁模拟）如图，在中，，，若，，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，推出，得到，求出，得到，即可求出． 【解答】解：，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是由，推出． 22．（2024•汉中二模）如图，在矩形中，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】先根据两条边对应成比例并且夹角相等证明三角形相似，将转化为，然后做关于的对称线段，当点为与的交点时，取最小值．利用勾股定理求解． 【解答】解：连接， ，， ， ， ， 延长至点，使，连接，则， ， 当点为与的交点时，取最小值． ． 即的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，利用轴对称求最短距离，两点之间线段最短，勾股定理，掌握利用轴对称求最短距离是解题的关键． 23．（2024•南关区二模）如图，在中，，连接，交于点，，则的长为 　3　． 【答案】3． 【分析】由平行四边形的性质得，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 24．（2024•鄄城县二模）如图所示，在正方形中，为边中点，连接并延长交边的延长线于点，对角线交于点．已知，则线段的长度为　12　． 【分析】根据正方形的性质可得出，进而可得出，根据相似三角形的性质可得出，结合可求出、的长度，由、可得出为的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出的长度，此题得解． 【解答】解：四边形为正方形， ，， ，， ， ， ， ． ，， 为的中位线， ． 故答案为：12． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出的长度是解题的关键． 25．（2024春•姑苏区期末）如图，在四边形中，点在边上，若，，且．记的面积为，的面积为，的面积为，则　　． 【答案】． 【分析】过点作，过点作于点，交于点，如图，则，先证明得到，即，再根据平行线分线段成比例定理，由得到，根据三角形的面积公式得到，即，然后利用分式的化简计算求解． 【解答】解：过点作，过点作于点，交于点，如图，则， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 26．（2024•南充模拟）如图，中，，在的延长线上，连接，，分别与交于，，若，，，则与的大小关系是 　　． 【答案】． 【分析】由，得，由平行四边形的性质得，，可证明，得，则，所以，再证明，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，在的延长线上， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 27．（2024春•萨尔图区校级期末）中，于点，于点，，交于点，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）证明见解析过程． 【分析】（1）由垂线的定义可得，结合即可得出； （2）由得出，证明得出，证明，即可得证． 【解答】证明：（1），， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 28．（2024•涟水县模拟）如图，为线段外一点． （1）在图1中，求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若在（1）的四边形中，、相交于点，则与的面积比为 　　．（可用图2作图分析，不要破坏（1）中作图） 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）由基本作图：作一个角等于已知角，即可作出，在上截取，即可得到所要作的四边形． （2）由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可计算． 【解答】解：（1）如图1，四边形即为所求作的四边形， （2）如图2， ， ， ， ， 与的面积比为． 故答案为：． 【点评】本题考查作图—复杂作图，相似三角形的判定和性质，关键是掌握基本作图：作一个角等于已知角；相似三角形面积的比等于相似比的平方． 29．（2024•开福区校级一模）如图，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点． （1）求证：； （2）当时，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）9． 【分析】（1）由，得，由，推导出，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明． （2）由相似三角形的性质得，则，根据等腰三角形的“三线合一”得，所以的长是9． 【解答】（1）证明：如图1，， ， ， ，， ， ． （2）解：如图2，，， ， ， ， ， ， ， 的长是9． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 30．（2024•长沙模拟）如图，点是矩形对角线上的点（不与，重合），连接，过点作交于点．连接交于点，． （1）试判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1），理由见解析； （2）． 【分析】（1）先证明是等腰三角形，再证明，则，根据等腰三角形三线合一即可得到结论； （2）根据勾股定理求出，再用等积法求出，证明，则，代入已知线段长度即可得到答案． 【解答】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ，， ． ， 是等腰三角形， ， ， 在和中， ，， ， ， ； （2），，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得． 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明和是解题的关键． 31．（2024•拱墅区二模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结．点是延长线上的一点，连结，若平分． （1）求证：． （2）当，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）首先利用作图证明，然后利用等腰三角形的性质得到，再利用角平分线的性质得到，由此即可证明结论； （2）首先利用相似三角形的在可以得到，然后利用已知条件即可求解． 【解答】（1）证明：以点为圆心，长为半径画弧，交边于点， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：， 而， ， ． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了等腰三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法解决问题． 32．（2024•柯桥区模拟）如图，在中，是上的点，是上一点，且，． （1）求证：； （2）若是的中线，求的值． 【答案】（1）见解答过程； （2）． 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由三角形的外角性质可得：，，可证得，则有，再结合（1）的结论，以及是的中线，即可求解． 【解答】证明：（1），， ， ， ， ， ， ； （2）是的外角，是的外角， ，， 由（1）可知，，， ， ， 是的中线， ， ， 由（1）得：， ， ， 即． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键． 七．相似三角形的应用 33．（2024•杭州三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　　． A． B．6 C． D．8 【答案】 【分析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，，然后利用平行线的性质可得：，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得： ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：， 蜡烛火焰的高度是， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 34．（2024春•淮阳区校级月考）如图，为了测量某古塔的高度，小强在地面上处垂直于地面竖立了高度为的标杆，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与古塔顶端重合．小强又在点处竖立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与古塔顶端重合（古塔底端与，，，在同一直线上），小强的眼睛离地面高度，测得，，．请计算古塔的高度． 【答案】． 【分析】把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．利用相似三角形的对应边成比例可得相关的两个比例式，求得的长，加上1.5即为古塔的高． 【解答】解：，，， ， ， △△， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ，即， 解得：， ， 答：古塔的高度为． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题， 35．（2024•烟台一模）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．求树的高度． 【答案】． 【分析】由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解． 【解答】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 答：树的高度约为． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 36．（2024•宝山区校级模拟）如图，已知平行四边形的三个顶点、、都在半径为5的上，且，垂足为点，． （1）求平行四边形的边的长； （2）延长线段交于点，求点到的距离． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由，，得出，再根据勾股定理即可得出的长度，进而得出答案； （2）延长线段交于点，过点作，得出，再得出，即可得出与的长度，再根据，得出，进而求出答案． 【解答】解：（1），， ， ， ， ， ． （2）如图，延长线段交于点，过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查相似三角形的应用，勾股定理，垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 八．位似变换 37．（2024•阳泉一模）如图，在平面直角坐标系中，和△是以原点为位似中心的位似图形，点在线段上，．若点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据求出与△的位似比，根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：和△是位似图形，， ． 与△的位似比为：， 点的坐标为， 点的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换，根据题意求出与△的位似比是解题的关键． 38．（2023秋•宝鸡期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，．以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将放大，则点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规律结合点坐标直接得出点的坐标． 【解答】解：以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将放大，将的横纵坐标先扩大为原来的2倍为，再变为相反数为． 故选：． 【点评】此题主要考查了位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键． 39．（2024•北碚区校级三模）如图，与△位似，点为位似中心，若，，则的长为　　 A．15 B．20 C．10 D．5 【答案】 【分析】根据位似图形的性质推知：△，且相似比为，然后由相似三角形对应边的比等于相似比解答． 【解答】解：， ． 与△位似，点为位似中心， △，且． ． ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键． 九．作图-位似变换 40．（2024春•苏州期末）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三角形均为格点三角形（即顶点均在格点上）． （1）如图1，绕某一点按逆时针方向旋转一定角度得到△，则点，，，四个点中为旋转中心是点 　　； （2）如图2，以点为位似中心，把按相似比放大，得到（其中点，，的对应点分别为点，，． ①在图2中画出；②的面积为 　　． 【分析】（1）连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点，则绕点按逆时针方向旋转得到△，即可得出答案． （2）①根据位似的性质作图即可． ②利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图1，连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点， 则绕点按逆时针方向旋转得到△， 旋转中心是点． 故答案为：． （2）①如图2，即为所求． ②的面积为． 故答案为：14． 【点评】本题考查作图位似变换、旋转变换，熟练掌握位似的性质、旋转的性质是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$