第4章相似三角形 基础题过关检测　【10个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册

第4章相似三角形 基础题过关检测★【10个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 一．几何变换的类型 二．比例的性质 三．黄金分割 四．平行线分线段成比例 五．相似三角形的性质 六．相似三角形的判定 七．相似三角形的判定与性质 八．相似三角形的应用 九．位似变换 十．作图-位似变换 · 知识点梳理 · 比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． · 黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． · 平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． · 相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． · 相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． · 相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． · 相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． · 位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． · 作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 一．几何变换的类型 1．（2024•望花区三模）如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺之间的变换是　　 A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 二．比例的性质 2．（2024•泾川县校级模拟）已知，那么的值为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•金乡县期末）已知，则下列比例式成立的是　　 A． B． C． D． 三．黄金分割 4．（2024•天元区校级一模）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，如果估算的值应该在　　 A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 5．（2024春•青浦区期末）点是线段的黄金分割点，，那么线段的长是 　　． 四．平行线分线段成比例 6．（2024•城关区校级一模）如图，在中，，若，则的值为　　 A．3 B． C． D． 7．（2024•金平区校级一模）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•岳阳楼区期末）已知，如图，若，，，则线段的长为　　 A．6 B．8 C．9 D．10 9．（2024春•莱西市期末）如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则的值为 　　． 五．相似三角形的性质 10．（2024•南岸区自主招生）若两个相似三角形面积的比为，则这两个三角形对应边的比是　　 A． B． C． D． 11．（2024•甘州区模拟）已知，相似比为，且的周长为15，则的周长为　　 A．1 B．3 C．5 D．45 12．（2024•白银模拟）△，已知，，面积为10，那么另一个三角形的面积为　　 A．15 B．14.4 C．12 D．10.8 13．（2024•盘龙区校级模拟）如图，，，，则为 　　． 14．（2024•响水县二模）如图，在正方形中，点是边上的任一点，连接并将线段绕点顺时针旋转得到线段，在边上取点使，连接、． （1）求证：； （2）线段与交于点，连接，若，试证明． 六．相似三角形的判定 15．（2023秋•顺德区期末）如图，，添加一个条件能判定的是　　 ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 16．（2024•济源模拟）如图，已知点是边长为10的正方形内的一点，且，，若在射线上有一点，使以点，，为顶点的三角形与相似，那么　　． 17．（2024•揭东区一模）如图，与中，，，求证：． 七．相似三角形的判定与性质 18．（2024•阜阳二模）如图，在平面直角坐标系中，直线为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接，．下列结论错误的是　　 A．直线，关于轴对称 B．当时，的值随的增大而增大 C．当时， D．的面积的最小值为 19．（2024•西双版纳一模）如图，在中，，若，，则的值为　　 A． B． C． D． 20．（2024•武都区一模）如图，在中，，分别交，于点，，若，则与的周长之比是　　 A． B． C． D． 21．（2024•龙湾区开学）如图，点，分别在的，边上，且，若，，则的长为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 22．（2024•平邑县一模）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点，，根据图2中的数据可得的值为 　　． 23．（2024•新泰市三模）已知：如图，在菱形中，点是边上的任意一点（不与点、重合），交对角线于，过点作交于点． （1）问题探究：求证：； （2）迁移运用：当时，求证：． 24．（2024•黔南州一模）如图，在四边形中，，过点作交于点，点为边上一点，且，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 25．（2024春•潍坊期末）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 26．（2024•高唐县一模）如图，在矩形中，，点是的中点，于点． （1）求的长； （2）延长交的延长线于点，求证：． 27．（2024•黄浦区二模）如图，是边上点，已知，，． （1）求边的长； （2）如果（点、、对应点、、，求的度数． 28．（2024•盐城二模）校园内有一块三角形空地（如图中的，经测量米，边上的高米．某综合实践小组要在这块空地上规划出一个区域（如图中的种植月季花，其余部分种植牡丹花．根据设计要求，点，分别在边，上，且．已知种植月季花和牡丹花每平方米分别需要50元、80元．设，的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）种植月季花和牡丹花的总费用是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 29．（2024•固原模拟）如图，在中，点、分别在边、上，，若，，则的值为 　　． 八．相似三角形的应用 30．（2024•息县模拟）图为一把椅子的侧面示意图，已知地面，，，，则地面上两点之间的距离为　　 A． B． C． D． 31．（2024•长春模拟）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 　　． 九．位似变换 32．（2024•雷州市一模）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为　　 A．8 B．9 C．10 D．15 33．（2024•沈丘县二模）如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若面积为27，则的面积为　　 A．36 B．48 C．54 D．72 34．（2024•嘉禾县校级二模）按如下方法，将的三边缩小到原来的．如图，任取一点，连接、、，并取它们的中点、、，得到，则下列说法错误的是　　 A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 35．（2024•枣庄一模）如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△，使它与的相似比为2，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是　　 A． B． C． D． 36．（2024•武威三模）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形的面积比值是 　　． 37．（2024•绿园区校级一模）如图，六边形和六边形是以点为位似中心的位似图形，．若六边形的周长为，则六边形的周长为 　　． 38．（2024•南平模拟）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．以原点为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，则点的对应点的坐标是 　　． 39．（2024•锦江区校级模拟）如图，与位似，点为位似中心，已知，则　　． 一十．作图-位似变换 40．（2024•瑶海区一模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）以点为位似中心，在网格中画出△的位似图形△，使△与△的相似比为． 第4章相似三角形 基础题过关检测★【10个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 一．几何变换的类型 二．比例的性质 三．黄金分割 四．平行线分线段成比例 五．相似三角形的性质 六．相似三角形的判定 七．相似三角形的判定与性质 八．相似三角形的应用 九．位似变换 十．作图-位似变换 · 知识点梳理 · 比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． · 黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． · 平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． · 相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． · 相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． · 相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． · 相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． · 位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． · 作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 一．几何变换的类型 1．（2024•望花区三模）如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺之间的变换是　　 A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【答案】 【分析】根据轴对称变换，平移变换，相似变换，旋转变换的相关概念结合题目，采用排除法即可选出正确选项． 【解答】解：根据相似图形的定义可知，用放大镜将图形放大．属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换， 故选：． 【点评】本题考查的是相似图形的识别，关键在于要图形结合，熟记相似图形的定义． 二．比例的性质 2．（2024•泾川县校级模拟）已知，那么的值为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用已知得出，进而代入化简得出答案． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数代入化简是解题关键． 3．（2023秋•金乡县期末）已知，则下列比例式成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母等式仍成立即可解决． 【解答】解：根据等式性质2，可判断出只有选项正确． 故选：． 【点评】本题考查的是等式的性质： 等式性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等； 等式性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为结果仍相等． 三．黄金分割 4．（2024•天元区校级一模）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，如果估算的值应该在　　 A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】 【分析】先估算出的值，再估算出的值在1和2之间，从而可得答案． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了无理数的大小，估算出的值是解题的关键． 5．（2024春•青浦区期末）点是线段的黄金分割点，，那么线段的长是 　　． 【答案】． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：点是线段的黄金分割点，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 四．平行线分线段成比例 6．（2024•城关区校级一模）如图，在中，，若，则的值为　　 A．3 B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用平分线分线段成比例定理求解． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 7．（2024•金平区校级一模）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解答】解：， ，，， 选项、、错误，不符合题意；正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 8．（2023秋•岳阳楼区期末）已知，如图，若，，，则线段的长为　　 A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】 【分析】由，利用平行线分线段成比例，即可求出线段的长． 【解答】解：， ，即， ． 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 9．（2024春•莱西市期末）如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则的值为 　3.2　． 【答案】3.2． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：， ， ，，， ， 解得；， ， 故答案为：3.2． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 五．相似三角形的性质 10．（2024•南岸区自主招生）若两个相似三角形面积的比为，则这两个三角形对应边的比是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可得结论． 【解答】解：相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 两个相似三角形的面积之比为时， 这两个相似三角形的对应边之比是． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质． 11．（2024•甘州区模拟）已知，相似比为，且的周长为15，则的周长为　　 A．1 B．3 C．5 D．45 【答案】 【分析】因为，相似比为，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长． 【解答】解：，相似比为， 的周长：的周长， 的周长为15， 的周长为5． 故选：． 【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，正确记忆相似三角形周长的比等于相似比是解题关键． 12．（2024•白银模拟）△，已知，，面积为10，那么另一个三角形的面积为　　 A．15 B．14.4 C．12 D．10.8 【分析】利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可． 【解答】解：△，，， ， 面积为10， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，利用相似比与面积比的关系得出是解题关键． 13．（2024•盘龙区校级模拟）如图，，，，则为 　3　． 【答案】3． 【分析】根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方，可得，从而可得答案． 【解答】解：， ， 相似比为，即， ， ； 故答案为：3． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是相似比的平方． 14．（2024•响水县二模）如图，在正方形中，点是边上的任一点，连接并将线段绕点顺时针旋转得到线段，在边上取点使，连接、． （1）求证：； （2）线段与交于点，连接，若，试证明． 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，然后即可证得结论； （2）根据同角的余角相等求出，然后求出和相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再求出，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到，即可得解． 【解答】解：（1）证明：在正方形中，，， 在和中， ， ， ， 将线段绕顺时针旋转得到线段， ， ； （2）解：，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，求出两个三角形全等是解题的关键． 六．相似三角形的判定 15．（2023秋•顺德区期末）如图，，添加一个条件能判定的是　　 ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】 【分析】证出，由相似三角形的判定方法即可得出结果． 【解答】解：， ， ①添加，可用两角法判定，故本选项符合题意； ②添加，可用两角法判定，故本选项符合题意； ③添加，无法判定，故本选项不符合题意； ④添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法． 16．（2024•济源模拟）如图，已知点是边长为10的正方形内的一点，且，，若在射线上有一点，使以点，，为顶点的三角形与相似，那么　8或12.5　． 【答案】8或12.5． 【分析】由余角的性质推出，当时，，当时，，两种情况下，分别求出的长，即可得到答案． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， ． 当时，， ， ， 当时，， ， ， 以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或12.5． 故答案为：8或12.5． 【点评】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论． 17．（2024•揭东区一模）如图，与中，，，求证：． 【分析】已经有一对角相等，只需再证一对角相等即可．因为，所以，即．问题得证． 【解答】证明：， ， ． （2分） ，（3分） ． （5分） 【点评】此题考查了相似三角形的判定，内容单一，简单． 七．相似三角形的判定与性质 18．（2024•阜阳二模）如图，在平面直角坐标系中，直线为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接，．下列结论错误的是　　 A．直线，关于轴对称 B．当时，的值随的增大而增大 C．当时， D．的面积的最小值为 【答案】 【分析】设，，其中，，联立得，即，可得，，待定系数法求直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为，同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为．由，可知直线，与轴的交点关于轴对称，即直线，关于轴对称，进而可判断的正误；如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，，，证明，则，可得，证明，则，可得，，由，，可得，即，为定值，进而可判断的正误；当，联立得方程组，可求得，，由，，可得，进而可判断选项的正误；根据，可知当时，的面积有最小值，为，进而可判断选项的正误． 【解答】解：设，，其中，， 联立得，即， ，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为． 令，得， 直线与轴交点的坐标为． 同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为． ， 直线，与轴的交点关于轴对称，即直线，关于轴对称，故选项正确； 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，，， 又， ， ， 解得， 由对称可知，为的角平分线， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ，即为定值，故选项错误； 当，联立得方程组， 解得，或； ，， ，， ，故选项正确； ， 当时，的面积有最小值，为，故选项正确， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数综合，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握二次函数与一次函数综合，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 19．（2024•西双版纳一模）如图，在中，，若，，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据，可得：，所以，然后根据，，求出的值为多少即可． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 20．（2024•武都区一模）如图，在中，，分别交，于点，，若，则与的周长之比是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判断与性质，求出边的比例即可求解． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，求出边的比例即可求出周长的比． 21．（2024•龙湾区开学）如图，点，分别在的，边上，且，若，，则的长为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】 【分析】根据比例的性质求出，再根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22．（2024•平邑县一模）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点，，根据图2中的数据可得的值为 　0.96　． 【分析】在图2中，过点作于点，交于点，则，，由，可得出，再利用相似三角形的性质，即可求出的值． 【解答】解：在图2中，过点作于点，交于点，则，， ， ， ， 即， ． 故答案为：0.96． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的一切对应线段的比等于相似比”是解题的关键． 23．（2024•新泰市三模）已知：如图，在菱形中，点是边上的任意一点（不与点、重合），交对角线于，过点作交于点． （1）问题探究：求证：； （2）迁移运用：当时，求证：． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【分析】（1）利用菱形的性质，可得出，，进而可得出，利用相似三角形的性质，可得出，由，，可得出，进而可得出，利用相似三角形的性质，可得出，结合，可得出，变形后可得出； （2）连接交于点，利用菱形的性质，可得出，，由，可得出，结合，可证出，利用相似三角形的性质，可得出，变形后可得出，两边同时，可得出，再结合且，即可证出． 【解答】证明：（1）四边形是菱形， ，， ， ． ，， ， ， ， ， ； （2）连接交于点，则，，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ，且， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质，找出及；（2）利用相似三角形的性质，找出． 24．（2024•黔南州一模）如图，在四边形中，，过点作交于点，点为边上一点，且，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）10． 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论； （2）证明，即可得出结果． 【解答】解：（1）四边形是矩形，理由如下： 且， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）由（1）知四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 25．（2024春•潍坊期末）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答即可； （2）根据相似三角形的性质和勾股定理解答即可． 【解答】（1）证明：在中， ， ， 在中， ， ， ，， ， ； ， ，， ． （2）解：在中，由勾股定理得， ， ， ， 解得：． 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答． 26．（2024•高唐县一模）如图，在矩形中，，点是的中点，于点． （1）求的长； （2）延长交的延长线于点，求证：． 【答案】（1）； （2）见解析过程． 【分析】（1）根据四边形是矩形，得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到； （2）通过证明，，可得． 【解答】（1）解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．（2024•黄浦区二模）如图，是边上点，已知，，． （1）求边的长； （2）如果（点、、对应点、、，求的度数． 【答案】（1）6； （2）． 【分析】（1）由可得，根据相似三角形的性质即可解答； （2）由得出，进而得出． 【解答】解：（1），． ， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 28．（2024•盐城二模）校园内有一块三角形空地（如图中的，经测量米，边上的高米．某综合实践小组要在这块空地上规划出一个区域（如图中的种植月季花，其余部分种植牡丹花．根据设计要求，点，分别在边，上，且．已知种植月季花和牡丹花每平方米分别需要50元、80元．设，的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）种植月季花和牡丹花的总费用是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），； （2）存在，1740元． 【分析】（1）根据平行线的性质得出，设 米，则米，根据证得，于是有，即可求出，再根据三角形面积公式计算即可； （2）先求出种植牡丹花的面积，再根据种植月季花和牡丹花每平方米分别需要50元、80元即可求出总费用，最后根据二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】解：（1）如图，设与相交于点， 是边上的高， ， ， ， 设 米， 米， 米， ， ， ， ， 米， ； （2）存在， 米，边上的高米， （平方米）， （平方米）， 设种植月季花和牡丹花的总费用为元， 则 ， ， 有最小值， 当时，有最小值，是（元． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 29．（2024•固原模拟）如图，在中，点、分别在边、上，，若，，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】由，的长，可求出的长，由，可得出，利用相似三角形的性质，即可求出的值． 【解答】解：，， ． ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的对应边成比例”是解题的关键． 八．相似三角形的应用 30．（2024•息县模拟）图为一把椅子的侧面示意图，已知地面，，，，则地面上两点之间的距离为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意得出与的比值，再根据相似三角形的判定与性质得到，即可得出结果． 【解答】解：，， ． 地面， ， ， 又， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 31．（2024•长春模拟）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 　3　． 【答案】3． 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ’， ， ，， ， 解得：， 故答案为：3． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 九．位似变换 32．（2024•雷州市一模）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为　　 A．8 B．9 C．10 D．15 【答案】 【分析】根据位似比的概念解答即可． 【解答】解：图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比． 33．（2024•沈丘县二模）如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若面积为27，则的面积为　　 A．36 B．48 C．54 D．72 【答案】 【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：与位似，点为位似中心，相似比为， 与的面积之比为， 面积为27， 的面积是． 故选：． 【点评】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 34．（2024•嘉禾县校级二模）按如下方法，将的三边缩小到原来的．如图，任取一点，连接、、，并取它们的中点、、，得到，则下列说法错误的是　　 A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 【答案】 【分析】位似图形同时也是相似图形；位似比等于其相似比，等于其对应边的比，对应周长的比；面积比等于位似比的平方． 【解答】解：根据位似性质得出与是位似图形，故选项正确； 位似图形也是相似图形，与是相似图形，故选项正确； 将的三边缩小的原来的， 与的周长比为，故选项错误， 根据面积比等于相似比的平方， 与的面积比为，故选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了位似变换的相关知识，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，对应的周长的比等于相似比． 35．（2024•枣庄一模）如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△，使它与的相似比为2，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设点的横坐标为，根据数轴表示出、的水平的距离，再根据位似比列式计算即可． 【解答】解：设点的横坐标为， 则、间的水平距离为，、间的水平距离为， 放大到原来的2倍得到△， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键． 36．（2024•武威三模）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形的面积比值是 　　． 【答案】． 【分析】根据位似图形的概念得到，根据相似多边形的性质计算即可． 【解答】解：四边形与四边形位似， ， 四边形四边形位似，， 四边形与四边形的面积之比， 故答案为： 【点评】本题考查的是位似图形的概念和性质、掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 37．（2024•绿园区校级一模）如图，六边形和六边形是以点为位似中心的位似图形，．若六边形的周长为，则六边形的周长为 　21　． 【答案】21． 【分析】根据位似图形的概念得到六边形六边形，，证明△，根据相似三角形的性质求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比解答即可． 【解答】解：， ， 六边形和六边形是以点为位似中心的位似图形， 六边形六边形，， △， ， 六边形的周长：六边形的周长， 六边形的周长为， 六边形的周长为， 故答案为：21． 【点评】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质，掌握位似图形的概念、相似多边形的性质是解题的关键． 38．（2024•南平模拟）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．以原点为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，则点的对应点的坐标是 　或　． 【答案】或． 【分析】根据位似变换的性质计算，即可解答． 【解答】解：以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的一半得到，点的坐标为， 则点的对应点的坐标为，或，，即或， 故答案为：或． 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，解题关键是在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 39．（2024•锦江区校级模拟）如图，与位似，点为位似中心，已知，则　　． 【答案】． 【分析】根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：， ， 与位似， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是位似变换，熟记位似图形是相似图形是解题的关键． 一十．作图-位似变换 40．（2024•瑶海区一模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）以点为位似中心，在网格中画出△的位似图形△，使△与△的相似比为． 【答案】见解答． 【分析】（1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△，即为所求； （2）如图所示：△，即为所求． 【点评】此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$