第3章圆的基本性质 培优题突破练习★★★【12个考点30题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册

第3章圆的基本性质 培优题突破练习★★★【12个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 一．垂径定理 二．垂径定理的应用 三．圆心角、弧、弦的关系 四．圆周角定理 五．圆内接四边形的性质 六．点与圆的位置关系 七．三角形的外接圆与外心 八．正多边形和圆 九．扇形面积的计算 十．生活中的旋转现象 十一．旋转的性质 十二．作图-旋转变换 · 知识点梳理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． · 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 一．垂径定理 1．（2022•海曙区一模）如图，圆的半径为4，点是直径上定点，，过的直线与圆交于，两点，则面积的最大值为 　　；作弦，于，则的最大值为 　　． 二．垂径定理的应用 2．（2021•金东区模拟）已知，有一个井泵如图1所示，它的一个纵向截面如图2，当活塞向上移动时，底面上的阀门打开，上的阀门关闭，外部液体被吸入活塞下方的空间内，活塞上方的液体被上推；当活塞向下移动时，上的阀门关闭，上的阀门打开，液体从活塞下方空间被压入活塞内上方空间． 在图2中，点在直径上，水泵底面直径，活塞直径，为中点．手柄支撑杆长，弧是直径为的半圆，连轴的长为（点，，，四点共线，，，三点共线，水泵材质厚度忽略不计），则　　，当手柄从图2位置按压到与重合（如图过程中井泵的最大出水量是 　　． 三．圆心角、弧、弦的关系 3．（2021秋•台安县期中）如图，的弦，且于点，连接，若的半径是，则的长是 　　． 4．（2021秋•曾都区期中）如图，在中，，直径，，则　　． 四．圆周角定理 5．如图，是直径，，点、分别是、上的点，当周长最小时，的度数为　　 A． B． C． D． 6．（2021•拱墅区校级四模）如图，在中，，，，是上的一点，于点，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2019•下城区二模）如图，为的直径，为延长线上的一点，在上（不与点，点重合），连接交于点，且．设，，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2017•天山区校级一模）如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为　　 A．4 B． C． D． 9．（2023秋•淮阴区期中）如图，是的直径，弦与相交于点，，，求及的度数． 五．圆内接四边形的性质 10．（2017秋•雨花台区期末）如图，四边形是的内接四边形，，为直径，，垂足为． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 六．点与圆的位置关系 11．（2021秋•惠山区校级月考）如图，在矩形中，，，连接，点为上一个动点，点为上一个动点，连接、，且始终满足，则　　，线段的最小值为 　　． 七．三角形的外接圆与外心 12．（2021•永嘉县校级模拟）如图，，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为　　 A． B． C． D．1 13．（2021•郎溪县校级自主招生）如图为圆的内接三角形，为中点，为中点，，，则的大小为　　 A． B． C． D． 14．（2023•大冶市校级一模）如图，内接于，，，是的中点，则的长度的最大值是　　 A． B． C． D．8 15．（2020秋•城厢区校级期末）如图，内接于，交于点，垂足为点，连接，，，． （1）求的度数； （2）过点作，，垂足分别为点，，若的半径为1，求的值． 八．正多边形和圆 16．（2024•海港区一模）如图，正六边形的边长为2，内部有一个正方形（正方形的顶点可以在正六边形的边上），正方形的两个顶点、分别在边、上． （1）如图1，则正方形的边长为 　　． （2）正方形面积的最大值为 　　． 九．扇形面积的计算 17．（2022•虞城县一模）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当时，阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 18．（2017秋•余杭区期末）如图，弧的半径为，弓形的高 为．求弧的长和弓形的面积． 一十．生活中的旋转现象 19．（2024•曹县一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点，的坐标分别为，，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2023次旋转后，点的坐标为　　 A． B． C． D． 一十一．旋转的性质 20．（2023秋•朝阳县期末）如图，在正方形中，，点在对角线上任意一点，将正方形绕点逆时针旋转后，点的对应点为，则点到线段距离的最小值为　　 A．1 B． C． D．2 21．（2021•东莞市校级二模）如图，在中，，，是的中点，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是　　． 22．（2022春•邗江区期末）如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，直线、相交于点．取的中点，连接，则长的最大值为 　　． 23．（2021秋•江夏区月考）如图，点是以为直径的半圆上任意一点，．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则的最大值为 　　． 24．（2024•岳阳模拟）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到△，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是 　　． 25．（2017秋•铜梁区期末）如图，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点正好落在边上，连接，，且交于． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，直接写出的长． 26．（2018•江岸区校级模拟）如图（1）正方形和正方形，边在边上，，．将正方形绕点逆时针旋转 （1）如图（2）正方形旋转到此位置，求证：； （2）在旋转的过程中，当时，试求的长； （3）的延长线交直线于点，当正方形由图（1）绕点逆时针旋转，请直接写出旋转过程中点运动的路线长； （4）在旋转的过程中，是否存在某时刻？若存在，试求出的长；若不存在，请说明理由．（点即（3）中的点） 27．（2018•乐陵市二模）如图1，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接、． （1）当正方形旋转至如图2所示的位置时，求证：； （2）如图3，如果，，，求点到的距离． 一十二．作图-旋转变换 28．（2018春•宜兴市期中）如图， 在的正方形网格中， 每个小正方形的边长都为 1 ． 请在所给网格中按下列要求画出图形 ． （1） 画线段，使它的另一个端点落在格点 （即 小正方形的顶点） 上， 且长度为； （2） 以线段为对角线， 画一个凸四边形，使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形， 顶点都在格点上， 且边长是无理数；此时四边形的周长为　 　面积为　 　． 29．（2019秋•上杭县期末）如图，已知是一张直角三角形纸片，其中，，小亮将它绕点逆时针旋转后得到，交直线于点． （1）当时，利用尺规在图中作出旋转后的，并直接写出直线与线段的位置关系； （2）求为等腰三角形时的度数． 30．（2019春•锡山区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系的原点在格点上，轴、轴都在格线上．线段的两个端点也在格点上． （1）若将线段绕点顺时针旋转得到线段．试在图中画出线段； （2）若线段与线段关于轴对称，请画出线段； （3）若点是此平面直角坐标系内的一点，当点、、、四边围成的四边形为平行四边形时，请你直接写出点的坐标． 第3章圆的基本性质 培优题突破练习★★★【12个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 【解析版】 一．垂径定理 二．垂径定理的应用 三．圆心角、弧、弦的关系 四．圆周角定理 五．圆内接四边形的性质 六．点与圆的位置关系 七．三角形的外接圆与外心 八．正多边形和圆 九．扇形面积的计算 十．生活中的旋转现象 十一．旋转的性质 十二．作图-旋转变换 · 知识点梳理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． · 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 一．垂径定理 1．（2022•海曙区一模）如图，圆的半径为4，点是直径上定点，，过的直线与圆交于，两点，则面积的最大值为 　8　；作弦，于，则的最大值为 　　． 【答案】8；． 【分析】当时，面积有最大值，利用三角形的面积公式即可求解；当面积有最大值时，取最大值，设的边上的高为，的边上 的高为，利用，列出等式，即可求得，则，结论可得． 【解答】解：如图1， ， 当时，面积有最大值，且最大值； 设的边上的高为，的边上的高为，如图， ， 当面积有最大值时， ． ， ． 的最大值为． 故答案为：8；． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，勾股定理，相交弦定理，平行线的判定与性质，利用圆的性质确定出取得最大值时点的位置是解题的关键． 二．垂径定理的应用 2．（2021•金东区模拟）已知，有一个井泵如图1所示，它的一个纵向截面如图2，当活塞向上移动时，底面上的阀门打开，上的阀门关闭，外部液体被吸入活塞下方的空间内，活塞上方的液体被上推；当活塞向下移动时，上的阀门关闭，上的阀门打开，液体从活塞下方空间被压入活塞内上方空间． 在图2中，点在直径上，水泵底面直径，活塞直径，为中点．手柄支撑杆长，弧是直径为的半圆，连轴的长为（点，，，四点共线，，，三点共线，水泵材质厚度忽略不计），则　　，当手柄从图2位置按压到与重合（如图过程中井泵的最大出水量是 　　． 【答案】，． 【分析】如图2中，连接，过点作于．解直角三角形求出，在图3中，求出，求出线段的移动的距离，可得结论． 【解答】解：如图2中，连接，过点作于． 在中，，，， ， ， ， 在中，， ， ， 如图3中，， ， 移动的距离， 井泵的最大出水量． 故答案为：，． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． 三．圆心角、弧、弦的关系 3．（2021秋•台安县期中）如图，的弦，且于点，连接，若的半径是，则的长是 　　． 【答案】． 【分析】在同圆或等圆中，弦相等可得，弧相等，继而得到等弧所对的圆周角相等，所以添加辅助线，连接，得到，从而得到是一个等腰直角三角形，由圆周角的度数能得出圆心角的度数，所以连接，，然后求出圆心角的度数即可解决． 【解答】解：连接，，， ， 弧弧， 弧弧弧弧， 即弧弧， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，以及勾股定理，正确添加辅助线是解决问题的关键． 4．（2021秋•曾都区期中）如图，在中，，直径，，则　　． 【答案】． 【分析】如图，连接，，过点作于点，交的延长线于点．证明四边形是正方形，可得，想办法求出，可得结论． 【解答】解：如图，连接，，过点作于点，交的延长线于点． 是直径， ， ，， ，， ， 四边形是矩形， 平分， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，特殊四边形解决问题． 四．圆周角定理 5．如图，是直径，，点、分别是、上的点，当周长最小时，的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】延长到，使，延长到，使，连接，，，，，根据圆周角定理及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质求解即可． 【解答】解：延长到，使，延长到，使，连接，，，，， 是直径， ， ，， ，， ，，， ，，，，，，， 周长， 当点，，，在一条直线上时，周长最小为的长， 此时， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并得到“点，，，在一条直线上时，周长最小”是解题的关键． 6．（2021•拱墅区校级四模）如图，在中，，，，是上的一点，于点，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】当与的交点落在上时，因为是直径，可以判定，再证垂直平分，求出的长度，最后证，即可求出的长度． 【解答】解：如图所示，当与的交点落在上时， 是直径， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 同理可证， ， 垂直平分， ， 在中， ， ， ，， ， ， 即， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，判断出． 7．（2019•下城区二模）如图，为的直径，为延长线上的一点，在上（不与点，点重合），连接交于点，且．设，，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】如图，连接，．首先证明，再一一判断即可． 【解答】解：如图，连接，． ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， 不妨设选项正确，则，，显然不满足①，故假设错误． 不妨设正确，则，，显然不满足①，故假设错误． 不妨设正确，则，，满足条件①，故选项正确． 不妨设正确，则，，显然不满足①，故假设错误． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 8．（2017•天山区校级一模）如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为　　 A．4 B． C． D． 【分析】如图，作点关于的对称点，连接，，，，，．证明是等边三角形，再利用两点之间线段最短即可解决问题． 【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，，，，，． 则， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，关于对称， ， ， 的最小值为4， 的周长的最小值， 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，最短问题，等边三角形的判定，轴对称变换等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 9．（2023秋•淮阴区期中）如图，是的直径，弦与相交于点，，，求及的度数． 【分析】连接，求出，继而可得出，再由外角的性质可得出． 【解答】解：连接， 则（圆周角定理）， ， （直角三角形的两个锐角互余）； （外角定理）． ． 综上可得：，． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于． 五．圆内接四边形的性质 10．（2017秋•雨花台区期末）如图，四边形是的内接四边形，，为直径，，垂足为． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明即可； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】（1）证明：四边形是内接四边形， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：为直径， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 六．点与圆的位置关系 11．（2021秋•惠山区校级月考）如图，在矩形中，，，连接，点为上一个动点，点为上一个动点，连接、，且始终满足，则　60　，线段的最小值为 　　． 【答案】60，2． 【分析】先利用矩形的性质及已知条件得出的长，再由勾股定理得出的长，然后利用三角函数得出，从而，再证得，取中点，在以为直径的圆上，则当时，最短，设，则，，根据题意得出关于的一元一次方程，解得的值，则答案可求． 【解答】解：四边形为矩形， ，，， ，， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， 取中点，连接， ， 当取最小值时，也为最小值， 为上的动点， 当时，最短， ， ， 设，则，， ， ， ， ． 故答案为：60，2． 【点评】本题考查矩形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 七．三角形的外接圆与外心 12．（2021•永嘉县校级模拟）如图，，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为　　 A． B． C． D．1 【答案】 【分析】如图，连接．首先证明，由此推出点在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，此时的值最小． 【解答】解：如图，连接． ， ， ， ， 点在以为圆心，为半径的上运动， 连接交于，此时的值最小．此时与交点为． 所对圆周角为， ， △是等腰三角形，， ， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题． 13．（2021•郎溪县校级自主招生）如图为圆的内接三角形，为中点，为中点，，，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，连接，取中点，连接、，根据圆周角定理得到，，求得，连接，推出为等边三角形，得到，于是得到结论． 【解答】解：如图，连接，取中点，连接、， ，， ， 连接， 为中点， ，， ， ， ， ， 为中点， ， 为等边三角形， ， 点是外接圆的圆心， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 14．（2023•大冶市校级一模）如图，内接于，，，是的中点，则的长度的最大值是　　 A． B． C． D．8 【答案】 【分析】延长到，使，作于，连接，，，当长最大时，长最大，当过圆心时，长最大，由圆周角定理，锐角的正弦求出长，的长，由勾股定理求出长，得到长，由三角形中位线定理即可得到答案． 【解答】解：延长到，使，作于，连接，，， 是的中点， 是的中位线， ， 当长最大时，长最大，当过圆心时，长最大， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度的最大值是， 故选：． 【点评】本题考查求线段长的最大值，关键是延长到使，连接构造的中位线，当过圆心时，即可求得长的最大值． 15．（2020秋•城厢区校级期末）如图，内接于，交于点，垂足为点，连接，，，． （1）求的度数； （2）过点作，，垂足分别为点，，若的半径为1，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由圆周角定理可求解，利用直角三角形的性质可求，进而可求解； （2）取的中点，连接，，，，，先证明、、、四点共圆，，，同理可得到，，再利用圆周角定理及直角三角形的性质可求得，即、、三点共线，可得，通过证明，列比例式可求得，由圆周角定理及等腰三角形的性质可求解的长，进而可求解． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ； （2）取的中点，连接，，，，， ， ，， ， ， 、、、四点共圆， ，， 同理可得、、、四点共圆， ，， ，， ， ， ， 、、三点共线， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即的值为． 【点评】本题主要考查圆周角定理，与圆有关的位置关系，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质等知识的综合运用，证明三点共线是解题的关键． 八．正多边形和圆 16．（2024•海港区一模）如图，正六边形的边长为2，内部有一个正方形（正方形的顶点可以在正六边形的边上），正方形的两个顶点、分别在边、上． （1）如图1，则正方形的边长为 　　． （2）正方形面积的最大值为 　　． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）如图，设边长为2的正六边形的中心为，连接，，，，，交于点，设正方形的另外两个顶点为、，根据正多边形的性质得，证明四边形是平行四边形，得到，设边长为，再根据正方形的性质及勾股定理即可得解； （2）如图，以正六边形的中心为原点建立直角坐标系，其中点，在轴上，得到，，， 要使正方形的面积最大，则正方形的边长最大，此时正方形的四个顶点都在正六边形的边上，且点为正方形的中心，设点、、、分别在、、、上， 设，证明，得，， ，确定直线的解析式，根据函数图象上点的坐标特征可得，继而得到，，再根据两点间的距离求出即可． 【解答】解：（1）如图，设边长为2的正六边形的中心为，连接，，，，，交于点，设正方形的另外两个顶点为、， 这个正六边形的中心角为：， 每个内角的度数为：， ， ， 点、、共线，即正六边形的中心在对角线上， ， 是等边三角形， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形，设边长为， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 在中，， ， 解得：或（负数不符合题意，舍去）， 故答案为：； （2）如图，以正六边形的中心为原点建立直角坐标系，其中点，在轴上， 由（1）知：，，， ，，， ， 轴， ， ， ，，， 要使正方形的面积最大，则正方形的边长最大，此时正方形的四个顶点都在正六边形的边上，且点为正方形的中心，设点、、、分别在、、、上， 设， ，， 连接、，过点作轴于点，设交轴于点， 轴， 轴， ， 点为正方形的中心， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设直线的解析式为，过点，， ， 解得：， 直线的解析式为， 在直线上， ， ，， ， 正方形面积的最大值为， 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，待定系数法确定一次函数的解析式，两点间的距离等知识点．正确找出正方形边长的最大值是解题的关键． 九．扇形面积的计算 17．（2022•虞城县一模）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当时，阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，证明，，三点共线，则阴影部分的面积为． 【解答】解：连接， ，， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ，， ， ，，三点共线，， 阴影部分的面积为 ． 故选：． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 18．（2017秋•余杭区期末）如图，弧的半径为，弓形的高 为．求弧的长和弓形的面积． 【分析】首先求得弦心距是，则在直角三角形中，根据锐角三角函数，可以求得．再根据弧长公式即可计算． 【解答】解：由题意： 在中，， ， ， 则． ． 【点评】本题考查扇形的面积公式、弧长公式、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 一十．生活中的旋转现象 19．（2024•曹县一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点，的坐标分别为，，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2023次旋转后，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据风车绕点顺时针旋转，每次旋转，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2023次旋转后，点的坐标与第3次旋转结束时点的坐标相同，进行求解即可． 【解答】解：在正方形中，点的坐标为， 点． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ． 由题意，可得风车第1次旋转结束时，点的坐标为；第2次旋转结束时，点的坐标为；第3次旋转结束时，点的坐标为；第4次旋转结束时，点的坐标为． 将风车绕点顺时针旋转，每次旋转， 旋转4次为一个循环． ， 经过第2023次旋转后，点的坐标与第3次旋转结束时点的坐标相同，为； 故选：． 【点评】本题考查规律探索求点坐标．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，抽象概括出相应的坐标规律是解题的关键． 一十一．旋转的性质 20．（2023秋•朝阳县期末）如图，在正方形中，，点在对角线上任意一点，将正方形绕点逆时针旋转后，点的对应点为，则点到线段距离的最小值为　　 A．1 B． C． D．2 【答案】 【分析】连接，，，由旋转可得，，，，证明是等腰直角三角形，，过点作于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，要求的最小值，只需求的最小值，设，则，根据勾股定理求出的值，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，连接，，， 四边形是正方形，， ，， 由旋转可知：，，，， 是等腰直角三角形，， 过点作于点， ， 要求的最小值，只需求的最小值， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， ， 当时，有最小值，最小值为16， 此时，， ， 则点到线段距离的最小值为2． 故选：． 【点评】本题旋转的性质，正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用勾股定理求线段的长是本题的关键． 21．（2021•东莞市校级二模）如图，在中，，，是的中点，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是　　． 【分析】在上取一点，使，连接，根据等腰直角三角形三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【解答】解：如图，在上取一点，使，连接， ， ， ， 旋转角为， ， 又， ， 是等腰直角的对称轴， ， ， 又旋转到， ， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，时，最短，即最短， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 22．（2022春•邗江区期末）如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，直线、相交于点．取的中点，连接，则长的最大值为 　4　． 【答案】4． 【分析】设，可得，根据四边形内角和可得，取的中点，连接、，则，，继而可得，即可得到答案． 【解答】解：取的中点，连接、，如图： 是由绕点旋转得到， ，，， 设，则， 在四边形中，， 在中，，，， ， 中，， 是中位线， ， 而， 当、、在一条直线上时，最大，最大值为， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理、中位线定理，构建以为边的三角形，根据三角形三边关系得出的长度范围是解题的关键． 23．（2021秋•江夏区月考）如图，点是以为直径的半圆上任意一点，．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则的最大值为 　　． 【答案】． 【分析】设圆心为点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，可以看作绕点逆时针旋转得到△，则△，，根据图形可得、、三点共线时，取得最大值，求出此时的便可． 【解答】解：设圆心为点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，可以看作绕点逆时针旋转得到△，如图， △，， ， 当、、三点共线时，，其取得最大值， 过点作，交的延长线于点， 则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，三角形三边关系．关键是作辅助线，求得的值． 24．（2024•岳阳模拟）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到△，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是 　①②④　． 【答案】①②④． 【分析】根据旋转的性质可得，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【解答】解：①绕点逆时针旋转得到△， ，故①正确； ②绕点逆时针旋转， ． ， ． ， ． ，故②正确； ③在中， ，， ． ． 与不垂直．故③不正确； ④在中， ，， ． ，故④正确． ①②④这三个结论正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了旋转性质的应用，掌握图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小是解决问题的关键． 25．（2017秋•铜梁区期末）如图，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点正好落在边上，连接，，且交于． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，直接写出的长． 【分析】（1）依据，可得，再根据，即可得到，进而得出； （2）先判定平分，得到，再由旋转可得，，，再根据，即可得到，进而得出； （3）以及勾股定理可得中，，进而得到，再根据勾股定理可得中，，即可得出． 【解答】解：（1）矩形中，， ， 即，① 由旋转可得，， ， ，② 由①②可得，， ； （2）如图，过作于，则， 由（1）可得，， ， ， ， 即平分， ， 由旋转可得，，， ，， 又， ， ， 即； （3），， 中，， ， ， 中，， ． 【点评】本题考查了勾股定理，矩形性质，旋转性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． 26．（2018•江岸区校级模拟）如图（1）正方形和正方形，边在边上，，．将正方形绕点逆时针旋转 （1）如图（2）正方形旋转到此位置，求证：； （2）在旋转的过程中，当时，试求的长； （3）的延长线交直线于点，当正方形由图（1）绕点逆时针旋转，请直接写出旋转过程中点运动的路线长； （4）在旋转的过程中，是否存在某时刻？若存在，试求出的长；若不存在，请说明理由．（点即（3）中的点） 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）过点作交的延长线于，根据邻补角的定义求出，解直角三角形求出、，再利用勾股定理列式求出，然后根据代入数据计算即可得解； （3）根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据直径所对的圆周角是直角判断出点的运动轨迹为以为直径的弧，然后根据弧长公式列式计算即可得解； （4）利用勾股定理列式求出，从而得到，判断出是等边三角形，再根据到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上判断出直线是的垂直平分线，根据等边三角形的性质可得，设与相交于，解直角三角形求出，再求出，然后在中，利用的余弦列式求解即可． 【解答】（1）证明：在正方形和正方形中， ，，， ， ， ， 在和中，， ， ； （2）如图，过点作交的延长线于， ， ， ， ， ， 在中，， ； （3）， ， ， 点的运动轨迹为以为直径的，所对的圆心角是， ， ， 旋转过程中点运动的路线长； （4）由勾股定理得，， ， ， 是等边三角形， 又， 直线是的垂直平分线， ， 设与相交于， 则， ， 在中，． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，综合题，难点较大，（2）作辅助线构造出有一个角是的直角三角形是解题的关键，（3）难点在于判断出路线是以为直径的弧长的一部分，（4）利用到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上判断出直线是的垂直平分线是解题的关键． 27．（2018•乐陵市二模）如图1，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接、． （1）当正方形旋转至如图2所示的位置时，求证：； （2）如图3，如果，，，求点到的距离． 【分析】（1）由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，，然后依据可证明，然后依据全等三角形的性质进行证明即可； （2）连接、，延长交与．当时，可证明为等腰直角三角形，然后可求得和的长，然后依据等腰三角形三线合一的性质可得到，最后在中，利用面积法可求得点到的距离． 【解答】解：（1）由旋转的性质可知：，由正方形的性质可知：，． 在和中，， ． ． （2）连接、，延长交与． 当时，则． ． ． 又， ． 又，， 为等腰直角三角形． ． ． ． 设点到的距离为． ，即，解得． 点到的距离为． 【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、矩形的性质，面积法的应用是解题的关键． 一十二．作图-旋转变换 28．（2018春•宜兴市期中）如图， 在的正方形网格中， 每个小正方形的边长都为 1 ． 请在所给网格中按下列要求画出图形 ． （1） 画线段，使它的另一个端点落在格点 （即 小正方形的顶点） 上， 且长度为； （2） 以线段为对角线， 画一个凸四边形，使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形， 顶点都在格点上， 且边长是无理数；此时四边形的周长为　　面积为　 　． 【分析】（1） 根据勾股定理， 边长为 3 的正方形的对角线的长即为，然后确定出点的位置即可； （2） 根据轴对称和中心对称的性质， 四边形是菱形即可；利用勾股定理求出，再求出，然后根据菱形的周长和面积公式分别列式计算即可得解 ． 【解答】解： （1） 线段如图所示； （2） 四边形如图所示； （答 案不唯一） 由勾股定理得，，， 四边形的周长，面积． 故答案为：， 15 ． 【点评】本题考查了勾股定理， 利用轴对称和旋转设计图案， 熟练掌握网格结构以及菱形的性质的解题的关键 ． 29．（2019秋•上杭县期末）如图，已知是一张直角三角形纸片，其中，，小亮将它绕点逆时针旋转后得到，交直线于点． （1）当时，利用尺规在图中作出旋转后的，并直接写出直线与线段的位置关系； （2）求为等腰三角形时的度数． 【答案】 【分析】（1）在的延长线上截取，在的延长线上截取，连接得到，根据旋转的性质可判断直线与线段垂直； （2）根据旋转的性质得，分类讨论：当时，根据等腰三角形的性质得，即；当时，根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和可计算出，即；当时，根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和可计算出，即． 【解答】解：（1）如图，为所作， 因为绕点逆时针旋转后得到， 所以旋转得到， 所以； （2）绕点逆时针旋转后得到， ， 当时，则，即； 当时，则，而，所以，即； 当时，则，则，即， 综上所述，的度数为或或． 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．应用分类讨论思想和等腰三角形的性质是解决第（2）问的关键． 30．（2019春•锡山区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系的原点在格点上，轴、轴都在格线上．线段的两个端点也在格点上． （1）若将线段绕点顺时针旋转得到线段．试在图中画出线段； （2）若线段与线段关于轴对称，请画出线段； （3）若点是此平面直角坐标系内的一点，当点、、、四边围成的四边形为平行四边形时，请你直接写出点的坐标． 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到线段； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征写出、点的坐标，然后描点即可得到线段； （3）分别以、和为对角线画平行四边形，从而得到点位置，然后写出对应点的坐标． 【解答】解：（1）如图，线段为所作； （2）如图，线段为所作； （3） 点坐标为、、． 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$