第3章圆的基本性质 中档题拓展训练　【12个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册

第3章圆的基本性质 中档题拓展训练★★【12个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 一．垂径定理 二．圆周角定理 三．圆内接四边形的性质 四．三角形的外接圆与外心 五．正多边形和圆 六．弧长的计算 七．扇形面积的计算 八．生活中的旋转现象 九．旋转的性质 十．旋转对称图形 十一．坐标与图形变化-旋转 十二．作图-旋转变换 · 知识点梳理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． · 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 一．垂径定理 1．（2024•长沙模拟）如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为．如果，，那么　　 A．12 B． C．13 D．16 2．（2024•黄埔区二模）如图，是的弦，点在弦上，，，，则的半径为　　 A．5 B． C．4 D． 二．圆周角定理 3．（2024•泰安）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•西城区校级月考）如图，在以为直径的半圆中，有一内接矩形，其边长比，若，，，给出下面四个结论： ①②③④ 上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 5．（2024•鹿城区校级三模）如图，是的直径，弦于点，绕点旋转某个度数，使点与上的点重合． （1）求证：． （2）当时，求的值． 6．（2024•安庆一模）如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，且． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 三．圆内接四边形的性质 7．（2024•黄石港区模拟）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是　　 A． B． C． D． 四．三角形的外接圆与外心 8．（2024春•祁东县校级月考）如图，为的内接三角形，为的直径，点在上，，则的度数等于 　　． 五．正多边形和圆 9．（2024•长春校级二模）两个边长为4的正六边形按如图方式放置在平面直角坐标系中，则点的坐标为 　　． 六．弧长的计算 10．（2024•微山县一模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（弧，点是这段弧所在圆的圆心，连接，，，点是的中点，连接并延长交弧于点．若，，则弧的长是　　 A． B． C． D． 七．扇形面积的计算 11．（2024•微山县二模）如图，是的直径，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，．若，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D．27 12．（2024•成都模拟）近期一款热门水壶如图1所示，可以将该水壶的主体部分近似地看作圆柱．水壶内部直径为，厚，原来水壶中有一部分水，水面宽度为，如图2所示，后来再加入一些水，水面宽度为，则加入的水的体积为 　　（结果保留 13．（2024•重庆二模）如图，在扇形中，，，是的垂直平分线，交弧于点，点是的中点，连接，，则图中阴影部分的面积为 　　． 八．生活中的旋转现象 14．（2024•青秀区校级三模）美丽邕城四季常青，这与南宁市重视城市绿化密不可分，市区很多公园广场都安装有绿地喷淋系统．现准备在某草坪上安装一个自动喷水装置，其示意图如图1，喷水装置喷射出来的水流可以近似的看成抛物线，点、在抛物线上，为出水口，为水流与地面的交点．如图2，若水流距离地面的高度（单位与水流距离出水口的水平距离（单位之间具有函数关系：． （1）自动喷水装置喷水口距离地面的高度　　； （2）如图1，该自动喷水装置能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪面积（结果保留； （3）如图3，若喷水口正后方1米处有一条人行步道，为行人安全，水流不能喷溅到步道上，请通过计算说明喷水装置安装位置是否合理？ 九．旋转的性质 15．（2024春•株洲期末）如图，点，，，，都在方格纸的格点上，若绕点按逆时针方向旋转到的位置，则旋转的角度为　　 A． B． C． D． 16．（2024•宜兴市二模）如图，在等腰三角形中，，点在上，连接，把绕点逆时针旋转得到，使，连接，，若，，则的长为　　 A． B． C． D．10 17．（2024•河北二模）如图，矩形中，，，点为的中点，若点绕上的点旋转后可以与点重合，则的长为　　 A．6 B． C．3 D．4 18．（2024春•法库县期末）如图，已知中，于点，以点为中心，取旋转角等于，把顺时针旋转，得到△．连接．若，，则的大小为　　 A． B． C． D． 19．（2024春•开封期末）如图，中，，点是边的延长线上一点，连接，逆时针旋转线段得到，且，连接．则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 20．（2024春•镇江期末）如图，将绕点顺时针旋转，得到，这时点，，恰好在同一条直线上，则的度数为　　 A． B． C． D． 21．（2024春•高碑店市期末）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 22．（2024春•泉州期末）如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③；④若，则．其中正确的是　　 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 23．（2024春•通州区期末）如图，在正方形中，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的值为　　 A． B． C． D．2 24．（2024春•郫都区期末）如图，在中，，，绕点按顺时针方向旋转得，则的度数为 　　． 25．（2024春•泰州期末）如图，中，，，，将绕点顺时针旋转，得到△，、的对应点分别为、，当时，则的长为 　　． 26．（2024春•梁溪区校级期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，此时恰好经过点，则　　． 27．（2024春•冠县期末）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到△，是的中点，是的中点，连接．若，，则线段的最大值是 　　． 28．（2024春•洪洞县期末）如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点为的中点． （1）若，则旋转中心为点 　　，旋转角度为 　　； （2）若，求的长． 一十．旋转对称图形 29．（2024春•石狮市期末）将如图所示的正五角星绕着它的中心点顺时针旋转一定角度后能与原图形重合，则这个旋转角的大小不可能是　　 A． B． C． D． 30．（2024•东海县一模）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　　度． 一十一．坐标与图形变化-旋转 31．（2024•东湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 32．（2024春•北京期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段上，按照的路线循环运动，则第1314秒时点的坐标为　　 A． B． C． D． 33．（2024•蓬江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为　　 A．5 B． C． D． 34．（2024春•青岛期末）如图， 的顶点坐标分别为，，，将 绕某一点旋转可得到△，△的三个顶点都在格点上，则旋转中心的坐标是 　　． 一十二．作图-旋转变换 35．（2024春•盐都区期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，，为格点（格点是指网格线的交点．请利用网格和无刻度的直尺完成下列作图．（不写作法，但要保留作图痕迹） （1）在图1中画出将线段绕点顺时针方向旋转后的对应线段； （2）在图1中确定格点，使的面积等于10．若有多个点，用，，表示； （3）在图2中画出以为一边的矩形，使矩形的面积等于12． 36．（2024•鹤山市校级一模）如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，，． （1）点关于原点的对称点的坐标是 　　； （2）将绕点顺时针旋转得到△，画出旋转后的△； （3）在旋转过程中，点经过的路径为弧，求弧的长． 37．（2024春•锡山区校级月考）如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）画出△，使它与三角形关于坐标原点成中心对称，则的坐标为 　　． （2）在（1）的条件下，仅用无刻度的直尺，作出线段的垂直平分线． （3）将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为 　　． 38．（2024春•二道区校级月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，点在竖格线上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不写作法． （1）在图①中，作点关于点的对称点，连结； （2）在图②中，作线段关于点的成中心对称的线段； （3）在图③中，点是线段上的任意一点，作线段，使． 39．（2024春•拱墅区期末）如图，在的正方格中（每个最小的正方格的边长为，中心点为点，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上．与关于点中心对称，点，点，点的对称点分别是点，点，点． （1）画出． （2）在点，，，，，中取三个点两两连接，使组成的三角形是等腰三角形．写出你取的三个点，并求这个三角形的面积． 40．（2024春•丰泽区期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） （1）画出格点关于直线对称的△； （2）把绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的△； （3）在直线上画一点，使得． 第3章圆的基本性质 中档题拓展训练★★【12个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 【解析版】 一．垂径定理 二．圆周角定理 三．圆内接四边形的性质 四．三角形的外接圆与外心 五．正多边形和圆 六．弧长的计算 七．扇形面积的计算 八．生活中的旋转现象 九．旋转的性质 十．旋转对称图形 十一．坐标与图形变化-旋转 十二．作图-旋转变换 · 知识点梳理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． · 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 一．垂径定理 1．（2024•长沙模拟）如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为．如果，，那么　　 A．12 B． C．13 D．16 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，，设，则，，再利用勾股定理列出方程，解出的值即可． 【解答】解：半径垂直于弦， ，， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．（2024•黄埔区二模）如图，是的弦，点在弦上，，，，则的半径为　　 A．5 B． C．4 D． 【答案】 【分析】过作于，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，，得到圆的半径长． 【解答】解：过作于，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ． 的半径长是5． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理求出的长得到的长，由勾股定理求出的长，即可求出圆的半径的长． 二．圆周角定理 3．（2024•泰安）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用圆周角定理可得：，然后利用平角定义得，根据圆周角定理得，再根据三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：， ， 平分， ， 是的直径， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 4．（2024春•西城区校级月考）如图，在以为直径的半圆中，有一内接矩形，其边长比，若，，，给出下面四个结论： ①②③④ 上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】 【分析】根据，得出，再根据半径相等判断①；证明，根据相似性质判断②；根据完全平方公式变形判断③④． 【解答】解：，，，， ， ， ， ， ， ， ，①正确； 连接，， 是直径， ， ， ， ， ， ，即， 即，②正确； ，， ，故③正确； ，故④错误； 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，圆的性质，完全平方公式，圆周角定理等知识点，解题的关键是证明相似． 5．（2024•鹿城区校级三模）如图，是的直径，弦于点，绕点旋转某个度数，使点与上的点重合． （1）求证：． （2）当时，求的值． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）． 【分析】（1）连接，，依题意得，，由此可依据“”判定和全等，则，进而得，根据得，据此可得出结论； （2）连接，设，则，证明弧弧弧，则，，由此得，进而得，则为等腰直角三角形，，进而得，据此可得的值． 【解答】（1）证明：连接，，如图1所示： 弦是由弦绕点旋转得到的， ， 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图2所示： 设， 由（1）的结论得： 是的直径，弦， 弧弧，， 弧弧， 弧弧弧， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形，即， 由勾股定理得：， ， ， ． 【点评】此题考查考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转变换及其性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，图形的旋转变换及其性质，熟练掌握圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 6．（2024•安庆一模）如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，且． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】． 【分析】（1）由角平分线定义得到，由圆周角定理推出，由垂径定理推出，得到，由圆心角、弧、弦的关系推出； （2）连接，与交于，由垂径定理得到，由勾股定理求出，设半径为，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的半径长． 【解答】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，与交于， ， ， ， 设半径为， ， ， ， ， 的半径是． 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理、垂径定理推出，由垂径定理、勾股定理得到关于圆半径的方程． 三．圆内接四边形的性质 7．（2024•黄石港区模拟）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据圆周角定理得出，根据求出，根据圆周角定理得出即可． 【解答】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理等知识点，能根据圆内接三角形的性质得出和是解此题的关键． 四．三角形的外接圆与外心 8．（2024春•祁东县校级月考）如图，为的内接三角形，为的直径，点在上，，则的度数等于 　　． 【答案】． 【分析】先根据半径所对的圆周角是直角得出，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得出，最后利用角的和差求解即可． 【解答】解：为的直径， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 五．正多边形和圆 9．（2024•长春校级二模）两个边长为4的正六边形按如图方式放置在平面直角坐标系中，则点的坐标为 　　． 【答案】，8．． 【分析】先求出是顶角为的等腰三角形，据此求出、即可得到点的坐标． 【解答】解：如图示标注点、、， 正六边形每个内角为， ， 是顶角为的等腰直角三角形， ， 在中，， ， 点到轴的距离为， ，8．． 故答案为：，8．． 【点评】本题考查了顶角为的等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，通过解直角三角形求得、的长度是关键． 六．弧长的计算 10．（2024•微山县一模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（弧，点是这段弧所在圆的圆心，连接，，，点是的中点，连接并延长交弧于点．若，，则弧的长是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由垂径定理求出的长，再设，在中，利用勾股定理列出方程，求出，即可证得是等边三角形，，然后利用弧长公式求出答案． 【解答】解：连接， 点是的中点， ，， 设，则， 在中， ， ， 解得． ， ， 是等边三角形， ， 弧的长是：． 故选：． 【点评】此题考查了弧长的计算，垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是根据定理列出方程，是一道典型题． 七．扇形面积的计算 11．（2024•微山县二模）如图，是的直径，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，．若，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D．27 【答案】 【分析】连接、、、，根据线段垂直平分线的性质求出，，结合圆的性质推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，同理，则，解直角三角形求得，，即可得到，再根据求解即可． 【解答】解：如图，连接、、、， 由题意可知是的垂直平分线， ，． ， ， 是等边三角形， ， 同理， ， ， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 12．（2024•成都模拟）近期一款热门水壶如图1所示，可以将该水壶的主体部分近似地看作圆柱．水壶内部直径为，厚，原来水壶中有一部分水，水面宽度为，如图2所示，后来再加入一些水，水面宽度为，则加入的水的体积为 　　（结果保留 【答案】． 【分析】先计算水位上涨的面积，即扇形的面积三角形的面积扇形的面积三角形的面积，再求加入的水的体积． 【解答】解：水壶平面如图所示， ， 由题意得，，，， ，， ，，即，， ，， 水位上涨的面积扇形的面积三角形的面积扇形的面积三角形的面积， 加入的水的体积， 故答案为：． 【点评】本题考查了扇形、三角形的面积，特殊三角函数，关键是掌握特殊三角函数的值． 13．（2024•重庆二模）如图，在扇形中，，，是的垂直平分线，交弧于点，点是的中点，连接，，则图中阴影部分的面积为 　　． 【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积扇形的面积的面积空白部分的面积，然后代入数据计算即可解答本题． 【解答】解：连接，作于点， 在扇形中，，，点是的中点， ，的面积是， 是的垂直平分线， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， 空白部分的面积是， 阴影部分的面积是：， 故答案为：． 【点评】本题考查扇形面积的计算、线段的垂直平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 八．生活中的旋转现象 14．（2024•青秀区校级三模）美丽邕城四季常青，这与南宁市重视城市绿化密不可分，市区很多公园广场都安装有绿地喷淋系统．现准备在某草坪上安装一个自动喷水装置，其示意图如图1，喷水装置喷射出来的水流可以近似的看成抛物线，点、在抛物线上，为出水口，为水流与地面的交点．如图2，若水流距离地面的高度（单位与水流距离出水口的水平距离（单位之间具有函数关系：． （1）自动喷水装置喷水口距离地面的高度　　； （2）如图1，该自动喷水装置能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪面积（结果保留； （3）如图3，若喷水口正后方1米处有一条人行步道，为行人安全，水流不能喷溅到步道上，请通过计算说明喷水装置安装位置是否合理？ 【答案】（1）； （2）能喷灌的草坪面积为； （3）喷水装置安装位置不合理． 【分析】（1）当时，求的值即可； （2）先求出的长，在根据扇形的面积公式求解； （3）根据解直角三角形求出弦心距，比较即可． 【解答】解：（1）当时，， 故答案为：； （2）当时，， 解得：或（舍去）， ， 答：它能喷灌的草坪面积为； （3）连接，过作于点， 则，， 在中，， ， 喷水装置安装位置不合理． 【点评】本题考查了生活中的旋转现象，掌握抛物线的性质及与圆的有关计算是解题的关键． 九．旋转的性质 15．（2024春•株洲期末）如图，点，，，，都在方格纸的格点上，若绕点按逆时针方向旋转到的位置，则旋转的角度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，对应边的夹角即为旋转角． 【解答】解：绕点按逆时针方向旋转到的位置， 对应边、的夹角即为旋转角， 而． 旋转的角度为． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键． 16．（2024•宜兴市二模）如图，在等腰三角形中，，点在上，连接，把绕点逆时针旋转得到，使，连接，，若，，则的长为　　 A． B． C． D．10 【答案】 【分析】先证明，得到，推出，再证明，据此即可求解． 【解答】解：绕点逆时针旋转得到，， ，， 又， ， ， ， ， ，，即， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是相似三角形判定定理的应用． 17．（2024•河北二模）如图，矩形中，，，点为的中点，若点绕上的点旋转后可以与点重合，则的长为　　 A．6 B． C．3 D．4 【答案】 【分析】由旋转可得．连接，过点作于点，可得，，，．设，则，，在中，由勾股定理得，，代入求出的值，即可得出答案． 【解答】解：连接，过点作于点． 则，． 点绕上的点旋转后可以与点重合， ． 四边形为矩形， ，． 点为的中点， ． 设， 则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的长为． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、勾股定理是解答本题的关键． 18．（2024春•法库县期末）如图，已知中，于点，以点为中心，取旋转角等于，把顺时针旋转，得到△．连接．若，，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】1、分析题意，首先根据旋转的性质可得：； 2、由平行四边形的对角相等可得，根据平行四边形对边平行，结合平行线的性质可得，进而求得的度数； 3、根据，结合三角形内角和定理可求得的度数，即的度数，接下来根据角度之间的和差关系． 【解答】解：△是由旋转得到的， ． 四边形为平行四边形， ，． ，， ． ． ，，， ． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 19．（2024春•开封期末）如图，中，，点是边的延长线上一点，连接，逆时针旋转线段得到，且，连接．则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由旋转得，，证明，可得，进而可得，则． 【解答】解：由旋转得，， ， 即， ． 在和中， ， ， ． 设与相交于点， 则． ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 20．（2024春•镇江期末）如图，将绕点顺时针旋转，得到，这时点，，恰好在同一条直线上，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设与相交于点．由题意得，，，，则．根据，，可得．根据可得答案． 【解答】解：设与相交于点． 由题意得，，，， ． ，，，， ． ． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 21．（2024春•高碑店市期末）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，，已知，可求的度数． 【解答】解：将绕点逆时针旋转，得到， ，． ， ． ． ． 故选：． 【点评】本题考查了图形旋转的性质，角的和差．关键是熟练运用旋转的性质． 22．（2024春•泉州期末）如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③；④若，则．其中正确的是　　 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】 【分析】将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，从而判断①正确； 由旋转的性质可得，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确； 由点不一定是的中点，可得不一定全等于，故③错误； 过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断④正确． 【解答】解：如图1， 将绕点按顺时针方向旋转，得到， ， 四边形是矩形， ， ，故①正确； 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形，故②正确； 点不一定是的中点， 与不一定相等， 则不一定全等于，故③错误， 如图2，过点作于， ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 又，， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转， ， 四边形是正方形， ， ， ，故④正确； 正确的有：①②④． 故选：． 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键． 23．（2024春•通州区期末）如图，在正方形中，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的值为　　 A． B． C． D．2 【答案】 【分析】由旋转得，，则．结合正方形的性质可得点，，在同一条直线上，，则，即可得出答案． 【解答】解：对角线绕点顺时针旋转得到线段， ，， ． 四边形为正方形， ，，， 点，，在同一条直线上，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质、正方形的性质，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质是解答本题的关键． 24．（2024春•郫都区期末）如图，在中，，，绕点按顺时针方向旋转得，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】先根据三角形内角和定理计算出，再根据性质的性质得到，然后计算． 【解答】解：在中， ，， ， 绕点按顺时针方向旋转得， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 25．（2024春•泰州期末）如图，中，，，，将绕点顺时针旋转，得到△，、的对应点分别为、，当时，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】过点作于点，根据勾股定理求出，根据等积法求出，证明四边形为矩形，得出，根据勾股定理求出，得出，最后根据勾股定理求出． 【解答】解：过点作于点，如图： 在中，，，， ， 根据旋转可知：，，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 在中根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质． 26．（2024春•梁溪区校级期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，此时恰好经过点，则　20　． 【答案】20． 【分析】由旋转的性质可知：全等于，所以，所以，又因为旋转角，根据等腰三角形的性质计算即可． 【解答】解：绕顶点顺时针旋转到， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形． 27．（2024春•冠县期末）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到△，是的中点，是的中点，连接．若，，则线段的最大值是 　3　． 【答案】3． 【分析】由，旋转得到△，是的中点，是的中点，，，得，，即可得． 【解答】解：由，旋转得到△，是的中点，是的中点，，， 得，， 得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题关键是三角形三边关系的应用． 28．（2024春•洪洞县期末）如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点为的中点． （1）若，则旋转中心为点 　　，旋转角度为 　　； （2）若，求的长． 【答案】（1）；； （2）4． 【分析】（1）根据旋转的概念可得结论； （2）由点为的中点得出，由旋转的性质得． 【解答】解：（1）根据题意得，点为旋转中心， 由旋转得，， ， ， ， 旋转角度为， 故答案为：；； （2），且点为的中点， ， 由旋转得，． 【点评】本题主要考查旋转的概念和性质，①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 一十．旋转对称图形 29．（2024春•石狮市期末）将如图所示的正五角星绕着它的中心点顺时针旋转一定角度后能与原图形重合，则这个旋转角的大小不可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据旋转对称图形的性质，用得出最小的旋转角，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， ， 所以当正五角星绕着它的中心点顺时针旋转的整数倍后，能与原图形重合， 显然四个选项中只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了旋转对称图形，熟知旋转对称图形的性质是解题的关键． 30．（2024•东海县一模）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　72　度． 【答案】72． 【分析】观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成， 故最小旋转角为． 故答案为：72． 【点评】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 一十一．坐标与图形变化-旋转 31．（2024•东湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依次求出每次旋转后点的对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：令旋转1秒后点的对应点为，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 同理可得， 旋转2秒后点的对应点的坐标为， 旋转3秒后点的对应点的坐标为， 旋转4秒后点的对应点的坐标为， 旋转5秒后点的对应点的坐标为， ， 由此可见，点旋转后对应点的坐标按，，，循环出现， 又因为余1， 所以旋转2025秒后点的对应点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查点的坐标变化规律，能通过计算发现点旋转后对应点的坐标按，，，循环出现是解题的关键． 32．（2024春•北京期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段上，按照的路线循环运动，则第1314秒时点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转得4秒时回到原来的位置，据此可求出1314秒时，点落在轴的正半轴上，此时点的坐标为，然后再确定2023秒时，点相当于在轴的正半轴上在，之间运动7秒，据此可确定点的坐标． 【解答】解：线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转， 秒时，回到原来的位置， 又， 秒时，相当于绕点顺时针旋转2秒，即旋转了， 点落在轴的负半轴上，此时点的坐标为， 点的坐标为， ， 点从点出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段上，按照的路线循环运动， 点从点出发再回到点时，共用12秒， 又， 秒时，点相当于在轴的负半轴上在，之间运动6秒， 由于点从点出发运动到点用时4秒，再从点向点运动2秒时，运动位置的坐标为． 故选：． 【点评】此题主要考查了图形的旋转变换和性质，点的坐标的运动，解答此题的关键是根据的旋转规律确定2023秒时，落在轴的正半轴上，难点是根据点的运动规律确定在2023秒时，点在轴的正半轴上运动了7秒． 33．（2024•蓬江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为　　 A．5 B． C． D． 【答案】 【分析】过点作轴的垂线，求出点的坐标即可解决问题． 【解答】解：过点作轴的垂线，垂足为， ， ， 又， ， ． 在和中， ， ， ，． 又，， ，， 所以点坐标为， 则，． 在中， ． 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，通过全等三角形求出点的坐标是解题的关键． 34．（2024春•青岛期末）如图， 的顶点坐标分别为，，，将 绕某一点旋转可得到△，△的三个顶点都在格点上，则旋转中心的坐标是 　　． 【答案】． 【分析】根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心即可解决问题． 【解答】解：如图所示， 点即为旋转中心，其坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 一十二．作图-旋转变换 35．（2024春•盐都区期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，，为格点（格点是指网格线的交点．请利用网格和无刻度的直尺完成下列作图．（不写作法，但要保留作图痕迹） （1）在图1中画出将线段绕点顺时针方向旋转后的对应线段； （2）在图1中确定格点，使的面积等于10．若有多个点，用，，表示； （3）在图2中画出以为一边的矩形，使矩形的面积等于12． 【答案】见解析． 【分析】（1）利用旋转变换的性质作出点的对应点即可； （2）利用等高模型作出点即可； （3）首先构造面积为12的平行四边形，取格点，，连接，，直线交于点，交于点，四边形即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，线段即为所求； （2）如图1中，点，即为所求； （3）如图2中，矩形即为所求． 【点评】本题考查作图旋转变换，矩形的判定等知识，今天大概几点掌握旋转变换的性质． 36．（2024•鹤山市校级一模）如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，，． （1）点关于原点的对称点的坐标是 　　； （2）将绕点顺时针旋转得到△，画出旋转后的△； （3）在旋转过程中，点经过的路径为弧，求弧的长． 【答案】（1）； （2）见解答； （3）． 【分析】（1）根据一个点关于原点的对称点的坐标特点即可解答； （2）根据题意先分别求出旋转后的点坐标，再依次连接各点即可得到本题答案； （3）先利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式即可得到本题答案． 【解答】解：（1）关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：； （2），，将绕点顺时针旋转得到△， ，，如图，△即为所求作： ； （3）， ， 由图可知：的长为． 【点评】本题考查旋转的性质，弧长公式，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 37．（2024春•锡山区校级月考）如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）画出△，使它与三角形关于坐标原点成中心对称，则的坐标为 　　． （2）在（1）的条件下，仅用无刻度的直尺，作出线段的垂直平分线． （3）将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为 　　． 【答案】（1），图见解析； （2）图见解析； （3），图见解析． 【分析】（1）根据旋转的性质可知，，进而即可解答； （2）根据题意先找出的中点，再作正方形，取对角线的中点，连接即可； （3）先画出△，再根据旋转的性质即可解答． 【解答】解：（1）三角形的顶点均在格点上，如图1， ，，， △与关于坐标原点成中心对称， ，，， （2）如图2，线段的垂直平分线为，即为所求， （3）如图3所示，点即为旋转中心， ． 【点评】本题考查了旋转的性质，垂直平分线的画法，掌握旋转的性质是解题的关键． 38．（2024春•二道区校级月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，点在竖格线上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不写作法． （1）在图①中，作点关于点的对称点，连结； （2）在图②中，作线段关于点的成中心对称的线段； （3）在图③中，点是线段上的任意一点，作线段，使． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）见解答． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）作线段关于点的成中心对称的线段，延长交于点，即可得线段． 【解答】解：（1）如图①，线段即为所求． （2）如图②，线段即为所求． （3）如图③，作线段关于点的成中心对称的线段，延长交于点， 则线段即为所求． 【点评】本题考查作图旋转变换，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键． 39．（2024春•拱墅区期末）如图，在的正方格中（每个最小的正方格的边长为，中心点为点，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上．与关于点中心对称，点，点，点的对称点分别是点，点，点． （1）画出． （2）在点，，，，，中取三个点两两连接，使组成的三角形是等腰三角形．写出你取的三个点，并求这个三角形的面积． 【答案】（1）见解答． （2）取，，三点．的面积为5． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据等腰三角形的判定确定三点，再利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，即为所求． （2）取，，三点． 的面积为． 【点评】本题考查中心对称、等腰三角形的判定，熟练掌握中心对称的性质、等腰三角形的判定是解答本题的关键． 40．（2024春•丰泽区期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） （1）画出格点关于直线对称的△； （2）把绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的△； （3）在直线上画一点，使得． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）见解答． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）连接，交直线于点，结合轴对称的性质可知，点即为所求． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）如图，△即为所求． （3）如图，连接，交直线于点，连接， 与△关于直线对称， ， ， ， 则点即为所求． 【点评】本题考查作图轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$