第3章 圆的基本性质 基础题过关检测 2024-2025学年浙教版数学九年级上册

第3章圆的基本性质 基础题过关检测★【12个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 一．垂径定理 二．圆心角、弧、弦的关系 三．圆周角定理 四．圆内接四边形的性质 五．点与圆的位置关系 六．三角形的外接圆与外心 七．正多边形和圆 八．弧长的计算 九．扇形面积的计算 十．旋转的性质 十一．作图-旋转变换 十二．利用旋转设计图案 · 知识点梳理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． · 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 一．垂径定理 1．（2024•荔湾区校级三模）如图，是的直径，于，若，，则的半径是　　 A． B． C． D． 2．（2024•蒸湘区一模）如图，点、、、都在上，，，则　　． 3．（2023秋•新昌县期末）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点，，过点，的与该直线相交于点，连结，． （1）求点到轴的距离． （2）连结，求的长． 二．圆心角、弧、弦的关系 4．（2024•琼海校级三模）如图，、是的弦，且，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2024•武威三模）如图，在中，、是直径，且交圆于，求证：． 三．圆周角定理 6．（2024•襄州区模拟）如图，点、、在上，连接，，，，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 7．（2024•娄星区二模）如图，在中，点为弦中点，连接、，点是上任意一点，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 8．（2024•沙洋县模拟）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，重合）．设，则　　 A． B． C． D． 9．（2024•渭城区三模）如图，在中，是直径，是弦，，过点作弦，为垂足，则的度数是　　 A． B． C． D． 10．（2024•云梦县校级一模）如图，在中，弦，相交于点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 11．（2024•金安区校级一模）如图，为的直径，是上的一点，若，则的度数　　 A． B． C． D． 12．（2024•邗江区二模）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，，则等于　　 A． B． C． D． 13．（2024•固镇县二模）如图，已知是的直径，是弦，，垂足为，是的中点，连接，，．若，则的度数是 　　． 14．（2024•安徽三模）如图，在中，是直径，，点在上，，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 四．圆内接四边形的性质 15．（2024•雨花区校级二模）如图，已知四边形内接于，，则的度数为　　 A． B． C． D． 16．（2024•青海）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 　　． 17．（2024•湘潭一模）如图，点、、、都在圆上，顺次连接、、、，若，则　　度． 18．（2024•益阳二模）如图，四边形是的内接四边形，，点是的中点． （1）求的度数； （2）求证：四边形是菱形． 五．点与圆的位置关系 19．（2023秋•天河区期末）已知的半径为3，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是　　 A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 20．（2023秋•射阳县期末）的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件　　 A． B． C． D．无法确定 六．三角形的外接圆与外心 21．（2024•汉中二模）如图，内接于，为的直径，，连接，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 七．正多边形和圆 22．（2024•尤溪县二模）如图，正六边形的外接圆的半径为4，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积和为　　 A． B． C． D． 23．（2024•绥江县二模）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为　　 A． B． C． D． 24．（2024•冷水滩区校级模拟）如图，多边形是正六边形，边长为4，则该正六边形的面积为　　 A． B． C． D． 25．（2024•雁塔区三模）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的边长为 　　． 八．弧长的计算 26．（2024•普宁市校级三模）如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则图中阴影部分的周长是 　　． 27．（2024•兴庆区校级三模）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升，则滑轮旋转的角度为 　　． 28．（2024•长春二模）如图，在中，，，以边为直径的与边、分别交于点、．求的长． 九．扇形面积的计算 29．（2024春•重庆月考）如图，平行四边形的对角线、交于点，且，以为圆心，分别以、的长为半径画弧交对角线于点、，若，，则图中阴影部分的面积为 　　． 30．（2024•垦利区三模）已知：如图，是的直径，弦，垂足为，，． （1）求弦的长； （2）求图中阴影部分的面积． 一十．旋转的性质 31．（2024春•祁阳市期末）如图，将绕点顺时针旋转得到．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 32．（2024春•承德县校级月考）如图，点在射线上，．若将绕点按逆时针方向旋转到，则点的位置可以用的长度和沿逆时针方向旋转至的度数来表示，即．若将延长到点，使，再将按逆时针方向继续旋转到，则点的位置可以表示为　　 A． B． C． D． 33．（2024•凉州区三模）如图，在中，，，，将以为中心逆时针方向旋转，得到，当点的对应点落在边上时，线段的长度值是 　　． 34．（2024春•惠安县期末）如图，将绕点顺时针旋转得到△，点恰好落在上，连接，若，则　　． 一十一．作图-旋转变换 35．（2024•陈仓区二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，． （1）点关于原点对称的点的坐标为 　　； （2）△与关于轴对称，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出△． 36．（2024•松北区二模）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段．点、都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出钝角，且； （2）在方格纸中将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 37．（2024•新余模拟）如图，这是的正方形网格，小正方形的顶点为格点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作格点，连接，使； （2）在图2中作四边形，使点、在格点上，且四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 38．（2023秋•泰兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的△，点、、的对应点分别是、、； （2）画出绕点顺时针旋转后，得到的△，点、、的对应点分别是点、、； （3）△的面积为 　　． 一十二．利用旋转设计图案 39．（2024•呼和浩特一模）把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为　　度时，旋转后的五角星能与自身重合． A．60 B．30 C．72 D．36 40．（2024•深圳）下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 第3章圆的基本性质 基础题过关检测★【12个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 一．垂径定理 二．圆心角、弧、弦的关系 三．圆周角定理 四．圆内接四边形的性质 五．点与圆的位置关系 六．三角形的外接圆与外心 七．正多边形和圆 八．弧长的计算 九．扇形面积的计算 十．旋转的性质 十一．作图-旋转变换 十二．利用旋转设计图案 · 知识点梳理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． · 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 一．垂径定理 1．（2024•荔湾区校级三模）如图，是的直径，于，若，，则的半径是　　 A． B． C． D． 【分析】先连接，由垂径定理求出的长，根据可设，则的半径，在中利用勾股定理即可求出的值，进而得出的长． 【解答】解：连接， 是的直径，于，， ， ， 设，则，， 在中， ，即，解得， ． 故选：． 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 2．（2024•蒸湘区一模）如图，点、、、都在上，，，则　50　． 【答案】50． 【分析】先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得到． 【解答】解：， ， ． 故答案为：50． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理． 3．（2023秋•新昌县期末）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点，，过点，的与该直线相交于点，连结，． （1）求点到轴的距离． （2）连结，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）过点作轴于点，如图，先确定，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可； （2）连结，，如图，先求出，则可判断为等腰直角三角形，所以，再根据圆周角定理得到，所以为等腰直角三角形，于是根据等腰直角三角形的性质可求出的长． 【解答】解：（1）过点作轴于点，如图， 当时，，解得， ， ， ， 在中，， 点到轴的距离为； （2）连结，，如图， 当时，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征． 二．圆心角、弧、弦的关系 4．（2024•琼海校级三模）如图，、是的弦，且，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 5．（2024•武威三模）如图，在中，、是直径，且交圆于，求证：． 【分析】首先连接，由，可证得，，然后由，可得，继而证得，则可证得：． 【解答】证明：连接， ， ，， ， ， ， ． 【点评】此题考查了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 三．圆周角定理 6．（2024•襄州区模拟）如图，点、、在上，连接，，，，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求解即可． 【解答】解：如图，在优弧上取一点，连接、， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理等知识，熟记圆周角定理是解题的关键． 7．（2024•娄星区二模）如图，在中，点为弦中点，连接、，点是上任意一点，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】作所对的圆周角，根据圆内接四边形的对角互补求出，根据圆周角定理求出，利用等腰三角形的性质得到平分，据此求解即可． 【解答】解：作所对的圆周角，如图， ， ， ， ， 为的中点，， ，平分， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，求出所对的圆周角的度数是解决问题的关键． 8．（2024•沙洋县模拟）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，重合）．设，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由垂直的定义得到，由圆周角定理推出，即可求出． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出． 9．（2024•渭城区三模）如图，在中，是直径，是弦，，过点作弦，为垂足，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由垂径定理得到，，由圆心角、弧、弦的关系推出，由圆周角定理求出，再根据“直角三角形的两锐角互余”求解即可． 【解答】解：连接， 直径， ，， ，， ，， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧的关系，熟练运用圆周角定理是解题的关键． 10．（2024•云梦县校级一模）如图，在中，弦，相交于点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用圆周角定理以及三角形的外角的性质解决问题． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型． 11．（2024•金安区校级一模）如图，为的直径，是上的一点，若，则的度数　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求出，再根据圆周角定理求解即可． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 12．（2024•邗江区二模）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，求出，由圆周角定理得到． 【解答】解：是半圆的直径， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出，． 13．（2024•固镇县二模）如图，已知是的直径，是弦，，垂足为，是的中点，连接，，．若，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】连接、、、，根据圆周角、弧的关系及圆周角定理求出，结合圆内接四边形的性质求出，根据垂径定理求出，进而推出是等腰三角形，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，结合二元一次方程组的求解方法进而求解即可． 【解答】解：如图，连接、、、， ， 点是弧的中点， ， ， ， ， ①， ，， ， ， 是等腰三角形， ， ②， 联立①②得， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，熟练运用等腰三角形的判定与性质、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 14．（2024•安徽三模）如图，在中，是直径，，点在上，，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）6.8． 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理求出，，结合直角三角形的性质求出，根据圆内接四边形的性质求出，则，根据等腰三形的判定即可得证； （2）连接，，、交于点，根据垂径定理、圆周角定理求出，设，则，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的判定与性质求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接，， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， ； （2）如图2，连接，，、交于点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得， ， ， ， 是的中位线， ． 【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练运用圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 四．圆内接四边形的性质 15．（2024•雨花区校级二模）如图，已知四边形内接于，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由于四边形内接于，根据圆内接四边形的对角互补即可求得的度数，而、是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到的度数． 【解答】解：四边形内接于， ，而， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 16．（2024•青海）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 17．（2024•湘潭一模）如图，点、、、都在圆上，顺次连接、、、，若，则　60　度． 【答案】60． 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 故答案为：60． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 18．（2024•益阳二模）如图，四边形是的内接四边形，，点是的中点． （1）求的度数； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）证明见解析． 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可； （2）连结，根据等弧对等角，和同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到，为等边三角形，进而得到，即可得证． 【解答】（1）解：，， ； （2）证明：连结， 点为的中点， ， ， ，， ， ， ，为等边三角形， ， 四边形为菱形． 【点评】本题考查圆内接四边形，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系和菱形的判定．熟练掌握圆内接四边形的对角互补，等弧对等角是解题的关键． 五．点与圆的位置关系 19．（2023秋•天河区期末）已知的半径为3，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是　　 A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】 【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点与的位置关系． 【解答】解：的半径分别是3，点到圆心的距离为4， ， 点与的位置关系是：点在圆外． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 20．（2023秋•射阳县期末）的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法求解． 【解答】解：点在外， ． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则点在圆外；点在圆上；点在圆内． 六．三角形的外接圆与外心 21．（2024•汉中二模）如图，内接于，为的直径，，连接，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，设交于点，先求出，再求出，，再利用三角形外角定理即可求解． 【解答】解：如图，连接，设交于点， ，， ， 为的直径， ， ， 点是弧的中点，， ， ， 是的外角， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角的计算，熟练运用等弧所对圆周角相等、利用垂径定理得出点是弧的中点是解题关键． 七．正多边形和圆 22．（2024•尤溪县二模）如图，正六边形的外接圆的半径为4，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积和为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案． 【解答】解：如图，连接，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形， ，， ， 扇形与扇形重合， ， 为等边三角形，，过作于， ， ； 故选：． 【点评】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键． 23．（2024•绥江县二模）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正边形中心角公式即可得出答案． 【解答】解：正八边形内接于， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了正边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 24．（2024•冷水滩区校级模拟）如图，多边形是正六边形，边长为4，则该正六边形的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设正六边形对角线交于点，作于点，先证是等边三角形，正六边形的面积为面积的6倍，由此可解． 【解答】解：如图，设正六边形对角线交于点，作于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 正六边形的面积， 故选：． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质与勾股定理是解题的关键． 25．（2024•雁塔区三模）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的边长为 　3　． 【答案】3． 【分析】由正六边形内接于，由的直径得出的半径，再根据正六边形的半径等于边长即可得出结果． 【解答】解：连接，， 正六边形内接于，的周长为， 的半径为3， ， 是等边三角形， ， 正六边形的边长为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径． 八．弧长的计算 26．（2024•普宁市校级三模）如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则图中阴影部分的周长是 　　． 【答案】． 【分析】连接，由折叠可知，即可证明是等边三角形，可得，根据弧长公式即可求出的长，进而求出即可得答案， 【解答】解：如图，连接，由折叠可知， ， ， 为等边三角形， ，， 弧 的长为， 阴影部分的周长为：． 【点评】本题考查折叠性质、等边三角形的判定与性质及弧长公式，根据折叠性质得到是等边三角形并熟记弧长公式是解题的关键． 27．（2024•兴庆区校级三模）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升，则滑轮旋转的角度为 　270　． 【分析】根据弧长公式进行计算即可． 【解答】解：设滑轮旋转的角度为，根据题意得： ， 即滑轮旋转的角度为． 故答案为：270． 【点评】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，． 28．（2024•长春二模）如图，在中，，，以边为直径的与边、分别交于点、．求的长． 【答案】． 【分析】连接、、，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：如图，连接、、， ，， ， 为的直径， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， 的长为：． 【点评】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，熟记弧长公式是解题的关键． 九．扇形面积的计算 29．（2024春•重庆月考）如图，平行四边形的对角线、交于点，且，以为圆心，分别以、的长为半径画弧交对角线于点、，若，，则图中阴影部分的面积为 　　． 【答案】． 【分析】根据平行四边形的性质求线段的长，利用求扇形的圆心角和线段的长，再用三角形的面积减去扇形的面积求阴影部分的面积． 【解答】解：， ， ， ， 平行四边形， ， ， ， 阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的性质，扇形的面积公式，解直角三角形，掌握不规则图形的面积的计算方法是解题的关键． 30．（2024•垦利区三模）已知：如图，是的直径，弦，垂足为，，． （1）求弦的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据是直径，，，可求出，的长度，弦，可得，即可求得的长度，继而得出的长； （2）． 【解答】解：（1）是的直径， ， ，， 是等边三角形， 则，， 弦， ， ； （2），， ． 【点评】本题考查了扇形的面积计算，垂径定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 一十．旋转的性质 31．（2024春•祁阳市期末）如图，将绕点顺时针旋转得到．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知得旋转角，再根据，即可求的度数． 【解答】解：绕点顺时针旋转得到． ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，根据题意找出与已知和问题相关的旋转角是解题的关键，题目较简单． 32．（2024春•承德县校级月考）如图，点在射线上，．若将绕点按逆时针方向旋转到，则点的位置可以用的长度和沿逆时针方向旋转至的度数来表示，即．若将延长到点，使，再将按逆时针方向继续旋转到，则点的位置可以表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用已知点的意义，进而得出点的位置表示方法． 【解答】解：如图，由题意可得：，， ， 点的位置可以用表示， 故选：． 【点评】本题考查了点的位置确定，正确得出坐标的意义是解此题的关键． 33．（2024•凉州区三模）如图，在中，，，，将以为中心逆时针方向旋转，得到，当点的对应点落在边上时，线段的长度值是 　　． 【答案】． 【分析】先根据勾股定理计算出，根据旋转的性质求得，，从而计算出，最后根据勾股定理即可计算出． 【解答】解：， ， 根据旋转的性质得，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查旋转的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的相关知识． 34．（2024春•惠安县期末）如图，将绕点顺时针旋转得到△，点恰好落在上，连接，若，则　　． 【答案】． 【分析】由旋转的性质得出，得出，再根据直角三角形的性质推出的度数，即可得出的度数，即可得解． 【解答】解：将绕点顺时针旋转得到△， ， ， ，， ， ， ， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解答本题的关键． 一十一．作图-旋转变换 35．（2024•陈仓区二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，． （1）点关于原点对称的点的坐标为 　　； （2）△与关于轴对称，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出△． 【答案】（1）； （2）见详解． 【分析】（1）根据关于原点的对称规律：“横纵坐标分别与原坐标互为相反数”，即可求解； （2）按要求作出图形，即可求解； 【解答】解（1）点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：； （2）如图， △为所求作． 【点评】本题考查了点关于原点的对称，在平面直角坐标系内作关于坐标轴对称的图形；掌握点关于原点的对称规律及对称图形的作法是解题的关键． 36．（2024•松北区二模）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段．点、都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出钝角，且； （2）在方格纸中将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解答． （2）． 【分析】（1）由勾股定理得，结合钝角三角形的定义画图即可． （2）根据旋转的性质作图，再利用勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）由勾股定理得，． 如图，钝角即为所求． （2）画出如图所示， 由勾股定理得，． 【点评】本题考查作图旋转变换、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、钝角三角形的定义是解答本题的关键． 37．（2024•新余模拟）如图，这是的正方形网格，小正方形的顶点为格点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作格点，连接，使； （2）在图2中作四边形，使点、在格点上，且四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． 【分析】（1）取格点，使三角形是以点为直角顶点的等腰直角三角形即可． （2）使四边形是正方形即可． 【解答】解：（1）如图1，点，均满足题意． （2）如图2，四边形即为所求． 【点评】本题考查中心对称图形、轴对称图形、等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 38．（2023秋•泰兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的△，点、、的对应点分别是、、； （2）画出绕点顺时针旋转后，得到的△，点、、的对应点分别是点、、； （3）△的面积为 　　． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）如图，△即为所求． （3）△的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查作图旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 一十二．利用旋转设计图案 39．（2024•呼和浩特一模）把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为　　度时，旋转后的五角星能与自身重合． A．60 B．30 C．72 D．36 【答案】 【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为． 故选：． 【点评】本题考查利用旋转设计图案，旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 40．（2024•深圳）下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的定义即可得出结论． 【解答】解：选项、中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项中的图形是中心对称图形，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了中心对称图形的定义，正方形的性质，熟知正方形是中心对称图形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$