第1章 二次函数 中档题拓展训练 2024-2025学年浙教版数学九年级上册

第1章二次函数 中档题拓展训练★★【10个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 一．二次函数的性质 二．二次函数图象与系数的关系 三．二次函数图象上点的坐标特征 四．二次函数图象与几何变换 五．二次函数的最值 六．抛物线与x轴的交点 七．二次函数与不等式（组） 八．根据实际问题列二次函数关系式 九．二次函数的应用 十．二次函数综合题 · 知识点梳理 · 二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． · 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． · 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． · 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． · 二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． · 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． · 待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． · 二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． · 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． · 根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． · 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． · 二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 一．二次函数的性质 1．（2024•神木市模拟）已知抛物线为常数），当时，其对应的函数值最大为，则的值为　　 A．4 B．或7 C．1或7 D．或4 2．（2024•路桥区二模）已知二次函数，，为常数，的最小值分别为，，　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则， 3．（2024春•昆明校级期末）关于二次函数，下列说法正确的是　　 A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．图象顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 4．（2024•二道区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）与直线为常数）相交于、两点．若抛物线上有且只有一点到轴的距离与、两点到轴的距离相等，且的面积为4，则的值为 3． 5．（2024•二道区校级模拟）抛物线的图象与直线有且只有一个公共点时，　　． 二．二次函数图象与系数的关系 6．（2024•无棣县一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线，是抛物线的顶点，则下列说法正确的是　　 A． B． C．当时，的值随值的增大而增大 D．若，则 7．（2024•东营区三模）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点，都在该抛物线上，则；③；④方程有两个不相等的实数根．正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024春•昆明校级期末）二次函数的部分图象如图，图象过点，下列结论：①；②；③，④，⑤若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确的结论有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（2024•邯郸一模）对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是　　 A． B．0 C． D．2 10．（2024•龙湾区二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是　　 A． B．的解为， C． D．点在第三象限 11．（2024•朝阳区校级一模）函数、、为常数，与的图象如图所示，给出下面4个结论：①；②；③；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是 　　． 12．（2024•让胡路区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：函数的“镜面函数”的解析式为也可以写成．已知，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，则的取值范围是 　　． 13．（2024•淮滨县三模）已知抛物线，，为常数，且，其对称轴为直线．下列结论： ①； ②若，，，，是抛物线上两点，若，则； ③若方程有四个根，则这四个根的和为12； ④当时，若，对应的整数值有4个，则． 其中正确的结论是 　　（填写序号） 14．（2024•温江区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．若，则的取值范围 　　． 15．（2024春•西城区校级月考）已知抛物线经过点． （1）用含的式子表示及抛物线的顶点坐标； （2）当时，所有对应的函数值都满足：，求的取值范围． 16．（2024春•栖霞区校级月考）已知二次函数． （1）求证：该函数的图象与轴必有公共点； （2）当时，该函数图象顶点的最低点坐标是 　　． （3）若点、、、在平面直角坐标系中构成一个正方形，随着的变化，函数的图象也不断发生变化，请直接写出此时图象与正方形的交点个数以及相应的的取值范围． 三．二次函数图象上点的坐标特征 17．（2024•南岗区四模）抛物线与轴的交点的坐标为　　 A． B． C． D． 18．（2024春•赣榆区校级月考）已知为常数）图象过点，，，则有　　 A． B． C． D． 19．（2023秋•义乌市期末）已知二次函数经过点，点，点，那么，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 20．（2024•科右前旗模拟）如图，在正方形中，点，的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是　　 A． B． C． D． 四．二次函数图象与几何变换 21．（2023秋•义乌市期末）把抛物线的图象向下平移3个单位，所得函数解析式为　　 A． B． C． D． 五．二次函数的最值 22．（2024•玉林模拟）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，连结、，则四边形面积的最小值为　　 A．142 B．96 C．192 D．124 23．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在四边形中，，，，当四边形面积最大时，作平分该四边形面积交于点，则此时线段的长为 　　． 24．（2024春•莱山区校级月考）如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度（单位：与跳跃时间（单位：之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为 　　． 六．抛物线与x轴的交点 25．（2024•耒阳市一模）已知抛物线与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线　　 A． B． C． D． 26．（2024春•青秀区校级期末）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为　　 A．， B．， C．， D． 27．（2024•古冶区三模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为点，则： ①；②的面积为；③当时，若，，在图象上，则．上述结论正确的个数有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 28．（2024•石家庄模拟）已知二次函数的图象与其向上平移个单位所得的图象都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 29．（2024•西湖区校级二模）在二次函数中， （1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标． （2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点． （3）若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 七．二次函数与不等式（组） 30．（2024•长清区二模）已知函数为常数），当时，随的增大而增大，，，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 31．（2024•江夏区模拟）抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论： ①； ②对于任意实数，都有； ③关于的不等式的解集为； ④若点，、，是图象上任意两点，且，则； 其中正确的结论是 　　． 32．（2023秋•商河县期末）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）点的坐标为 　　； （2）当 　　时，随的增大而减小； （3）不等式的解集为 　　． 八．根据实际问题列二次函数关系式 33．（2024•沁水县二模）一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于轴对称，如图所示对应一个单位长度），轴，，最低点在轴上，且，．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为　　 A． B． C． D． 九．二次函数的应用 34．（2024春•北碚区校级期末）如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面高为8米的点、处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为 　　米． 35．（2024•瓦房店市模拟）辽宁省是我国著名的水果产区之一，很多地区的水果还被列为地标性水果，如大连樱桃、小梁山西瓜、鞍山南果梨、绥中白梨、东港草莓、盖州苹果、朝阳大枣等．某果园今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市20天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第天时，日销售量（单位：与之间的函数关系为，草莓单价（单位：元）与之间的函数关系如图所示． （1）求第18天的日销售量； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）设日销售额为元，当时，求的最大值． 36．（2024•连山区二模）某超市购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若超市按单价不低于成本价，且不高于55元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元最大？ 37．（2024•东营区三模）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元． （1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？ （2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少3元；每减少1盆，每盆利润增加3元；花卉每增加1盆，花卉的平均每盆利润减少1元；每减少1盆，每盆利润增加1元．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为，（单位：元）． ①求，关于的函数关系式； ②当取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 38．（2024•犍为县模拟）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个与销售单价（元个）之间的对应关系如图所示： （1）试判断与之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）若许愿瓶的进价为6元个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元与销售单价（元个）之间的函数关系式； （3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润． 39．（2024春•赣榆区校级月考）万达广场以每件10元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且特价部门规定这种商品的销售价不得高于20元件，试销中发现每天的销售量（件与每件的销售价（元满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表： 销售价元） 10 15 18 20 销售量件） 30 25 22 20 求商场每天的销售利润（元与每件的销售价（元的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？ 十．二次函数综合题 40．（2024•西安校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，且过，与轴交于，两点． （1）求该抛物线抛物线的表达式； （2）设抛物线关于轴对称后的抛物线记为，其顶点记为点，连接，在抛物线对称轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1章二次函数 中档题拓展训练★★【10个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 一．二次函数的性质 二．二次函数图象与系数的关系 三．二次函数图象上点的坐标特征 四．二次函数图象与几何变换 五．二次函数的最值 六．抛物线与x轴的交点 七．二次函数与不等式（组） 八．根据实际问题列二次函数关系式 九．二次函数的应用 十．二次函数综合题 · 知识点梳理 · 二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． · 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． · 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． · 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． · 二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． · 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． · 待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． · 二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． · 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． · 根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． · 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． · 二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 一．二次函数的性质 1．（2024•神木市模拟）已知抛物线为常数），当时，其对应的函数值最大为，则的值为　　 A．4 B．或7 C．1或7 D．或4 【答案】 【分析】根据时，其对应的函数值最大为，分两种情况代入抛物线解析式得到值即可． 【解答】解：①当时，当，时，代入抛物线为常数）得， ，整理得， 解得或1（舍去）， ②当时，当，，代入抛物线为常数）得， ，整理得：， 解得或4（舍去）． 故的值为7或． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 2．（2024•路桥区二模）已知二次函数，，为常数，的最小值分别为，，　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则， 【答案】 【分析】根据对称轴公式求出和的对称轴，再依据二次函数，，为常数，都有最小值可知，两抛物线开口都是向上，进而得出，，结合条件得出，列出方程求解即可． 【解答】解：由两函数表达式可知， 函数的对称轴 为， 函数的对称轴为直线， 二次函数，，为常数，的最小值分别为，， 两函数图象均开口向上，两函数均在对称轴上取到最小值， 则有，， 若，则有， 解得：或（舍去）， 将代入，得：， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴及二次函数最大（小值的求法． 3．（2024春•昆明校级期末）关于二次函数，下列说法正确的是　　 A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．图象顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】 【分析】根据解析式得出开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而减小，即可求解． 【解答】解：关于二次函数， ，开口向上，不符合题意； 对称轴为直线，不符合题意； 顶点坐标为，不符合题意； 当时，随的增大而减小，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 4．（2024•二道区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）与直线为常数）相交于、两点．若抛物线上有且只有一点到轴的距离与、两点到轴的距离相等，且的面积为4，则的值为 3． 【答案】3． 【分析】根据抛物线的对称性及图象上点的坐标特征列方程求解． 【解答】解：由题意得得：抛物线的顶点为，， 的面积为4， 、到的距离都为1， ，， ， 解得：， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象上的点的坐标特征是解题的关键． 5．（2024•二道区校级模拟）抛物线的图象与直线有且只有一个公共点时，　4　． 【答案】4． 【分析】依据题意，由的图象与直线有且只有一个公共点，可得令，得方程，从而△，进而计算即可得解． 【解答】解：由题意，的图象与直线有且只有一个公共点， 令，得方程． △． ． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 二．二次函数图象与系数的关系 6．（2024•无棣县一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线，是抛物线的顶点，则下列说法正确的是　　 A． B． C．当时，的值随值的增大而增大 D．若，则 【答案】 【分析】根据抛物线的位置判断即可；利用对称轴公式，可得，可得结论；应该是时，随的增大而增大；设抛物线的解析式为，可得，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点．利用相似三角形的性质，构建方程求出即可． 【解答】解：．抛物线开口向上， ， 对称轴是直线， ， 抛物线交轴的负半轴， ， ，故不正确，不符合题意， ．，， ，故不正确，不符合题意， ．观察图象可知，当时，随的增大而减小，不正确，不符合题意， ．抛物线经过，， 可以假设抛物线的解析式为， ，， 过点作轴于点，设对称轴交轴于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 7．（2024•东营区三模）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点，都在该抛物线上，则；③；④方程有两个不相等的实数根．正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据所给函数图象可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴的交点在轴正半轴， ， ， 故①错误； 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ， ， 故②错误； 由图象知，当时，， 即， 故③错误； 如图所示： 二次函数的图象与直线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， 故④正确． 综上，正确的个数有1个， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及巧妙利用数形结合的思想是解题的关键． 8．（2024春•昆明校级期末）二次函数的部分图象如图，图象过点，下列结论：①；②；③，④，⑤若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确的结论有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质逐个进行判断判断即可得解． 【解答】解：由题意，抛物线的对称轴是直线，且抛物线过， 抛物线必过点，即． 抛物线与轴有两个交点． ，即，故①正确． 抛物线的对称轴是直线， ，则，故②正确． 由图象可得当时，， ，故③错误． 当时，， 又， ，故． ，故④错误． 顶点坐标为， 又抛物线开口向下， 抛物线有最大值为4． 直线与抛物线没有交点． 方程没有实数根，故⑤正确． 综上，正确的有3个． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 9．（2024•邯郸一模）对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是　　 A． B．0 C． D．2 【答案】 【分析】画出一次函数与二次函数的相关函数的图象，利用数形结合的思想解答即可． 【解答】解：直线与轴的交点为， 二次函数的相关函数为， 一次函数与函数恰有两个交点，如图所示： 由图象知，当时，与恰有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， 即， △， ， 的取值范围为， 可能的值为2， 当时，如图： 当时，一次函数与函数恰有两个交点， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是画出函数图象，利用数形结合的思想解答． 10．（2024•龙湾区二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是　　 A． B．的解为， C． D．点在第三象限 【答案】 【分析】、根据，得到； 、抛物线与轴的交点为，，得到的解为，； 、把交点式化成一般式，根据，即可得到，解得； 、利用图象求得，，则点在第二象限． 【解答】解：根据函数图象可知， ，故正确，不合题意； 图象与轴的一个交点为， 图象与轴的另一个交点为， 的解为，，故正确，不合题意； 由题意可知， ， ， ， ，故正确，不合题意； ， ， ， ， 点在第二象限，故错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与轴的交点，掌握相关知识是解题的关键． 11．（2024•朝阳区校级一模）函数、、为常数，与的图象如图所示，给出下面4个结论：①；②；③；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是 　①③④　． 【答案】①③④． 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：抛物线与轴无交点，即△， △，故此选项正确； ②由图象可知：抛物线过点即当时，，故此选项错误； ③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点和， 当时，， 当时，， ， 故③正确； ④由图象可知，当时，抛物线在直线的下方， 即当时，， ，故此选项正确； 故答案为：①③④． 【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定． 12．（2024•让胡路区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：函数的“镜面函数”的解析式为也可以写成．已知，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，则的取值范围是 　或　． 【答案】或． 【分析】先求出的“镜面函数”解析式，再分以及顶点在上的情况和时，列出不等式求解即可． 【解答】解：函数的“镜面函数”解析式为， 当时，， ， 解得， 当的顶点在上时，， 解得或（舍， 此时，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边有5个交点，不合题意， ， 当时，， ， 解得， 综上，的取值范围为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象和性质，矩形的性质，坐标与图形变化对称，理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 13．（2024•淮滨县三模）已知抛物线，，为常数，且，其对称轴为直线．下列结论： ①； ②若，，，，是抛物线上两点，若，则； ③若方程有四个根，则这四个根的和为12； ④当时，若，对应的整数值有4个，则． 其中正确的结论是 　②③　（填写序号） 【答案】②③． 【分析】根据题意和利用函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【解答】解：①无法判断的符号， 无法判断的符号，故①错误，不合题意； ②若，则抛物线开口向上， ，，，是抛物线上两点，且， 点，到对称轴的距离小于点，到对称轴的距离， ，故②正确，符合题意； ③方程的四个根分别为和的根， 抛物线关于直线对称， 抛物线与直线的交点的横坐标之和为6， 抛物线与直线的交点横坐标之和为12， 方程的四个根的和为12，故③正确，符合题意； ④对称轴为直线， ， ， ， 抛物线， 抛物线过点， 若，对应的整数值有4个， 若，分别为，，，，则，解得； 若，分别为，，，， 则， 解得，故④错误． 故答案为：②③． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 14．（2024•温江区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．若，则的取值范围 　　． 【答案】． 【分析】利用二次函数的性质即可得出关于的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：抛物线， 该抛物线开口系数，对称轴为直线， 当时，可知点，，从左至右分布， ， ， 解得； 当时， ， ，不合题意， 综上，的取值范围是； 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（2024春•西城区校级月考）已知抛物线经过点． （1）用含的式子表示及抛物线的顶点坐标； （2）当时，所有对应的函数值都满足：，求的取值范围． 【答案】（1），抛物线的顶点坐标为，． （2）或． 【分析】（1）把点代入，可得，之间的关系，利用顶点公式可得顶点坐标； （2）分两种情况讨论，得出关于的不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）把点代入， 可得， ， 则抛物线的顶点横坐标为， 当时，， 抛物线的顶点坐标为，． （2）由题意可知，当时，时，，即，解得； 当时，时，，即，解得； 当时，所有对应的函数值都满足：，则或． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及二次函数的图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质进行作答是解题的关键． 16．（2024春•栖霞区校级月考）已知二次函数． （1）求证：该函数的图象与轴必有公共点； （2）当时，该函数图象顶点的最低点坐标是 　　． （3）若点、、、在平面直角坐标系中构成一个正方形，随着的变化，函数的图象也不断发生变化，请直接写出此时图象与正方形的交点个数以及相应的的取值范围． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）时，当时，当或时，当时，当时． 【分析】（1）利用一元二次方程根的情况判断抛物线与轴的交点情况； （2）由，设函数顶点纵坐标为，则，由二次函数性质可得答案． （3）令，得或，故抛物线必过点，抛物线的对称轴为直线，由（2）知顶点坐标为，，再分情况讨论． 【解答】（1）证明：令，得， △， 二次函数的图象与轴必有交点； （2）解：， 设函数顶点纵坐标为，则， ， ， 当时，的最小值为0， 此时二次函数解析式为， 该函数图象顶点的最低点坐标是， 故答案为：2，0； （3）解：令，则， 或， 抛物线必过点，抛物线的对称轴为直线， 由（2）知顶点坐标为，， ①当时，如图， ， 抛物线的对称轴在直线的左侧， 抛物线在对称轴左侧的部分与正方形方框无交点， 在正方形方框内部， 抛物线在对称轴右侧的部分与正方形方框有两个交点， 当时，； ②当时， ， 抛物线的对称轴直线在直线的右侧， （Ⅰ）若抛物线过，则， 解得， 此时抛物线顶点为，，顶点在直线上方，如图： 由图可知时，； （Ⅱ）当时，如图： 此时抛物线顶点在直线上方，抛物线在对称轴直线左侧的部分与正方形方框无交点， 时，； （Ⅲ）当顶点在线段上时，如图： 此时， 解得（此时顶点在线段上，舍去）或， 由图可知，时，； （Ⅳ）当时，如图： 此时顶点在直线上方，抛物线与正方形方框有4个交点， 时，； （Ⅴ）当对称轴直线过时，如图： ， 解得， 此时抛物线顶点为， 时，； （Ⅵ）当时，抛物线顶点在正方形方块内部，故； （Ⅶ）当，即时，如图： 此时抛物线顶点在正方形方块内部， 时，， （Ⅷ）当，即时，抛物线顶点为，如图： 时，； （Ⅸ）当时，如图： 此时抛物线在对称轴右侧部分与正方形方块无交点， ； 综上所述，时，当时，当或时，当时，当时． 【点评】本题考查四边形综合应用，涉及二次函数的性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用． 三．二次函数图象上点的坐标特征 17．（2024•南岗区四模）抛物线与轴的交点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】取，求出的值，即可得出答案． 【解答】解：设，则， 抛物线与轴的交点坐标为， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解答本题的关键是要牢记图象与轴的交点的求法． 18．（2024春•赣榆区校级月考）已知为常数）图象过点，，，则有　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据开口向上，距离对称轴越远函数值越大解答即可． 【解答】解：中，开口向上，对称轴为直线， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 根据开口向上，距离对称轴越远函数值越大， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是关键． 19．（2023秋•义乌市期末）已知二次函数经过点，点，点，那么，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数解析式求出抛物线对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质求判断即可． 【解答】解：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 时，最大， ， ， ，，的大小关． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数的性质． 20．（2024•科右前旗模拟）如图，在正方形中，点，的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】作轴，于，于，证明得到，，设，可得方程组，解方程组得到，代入二次函数解析式得，又由抛物线经过原点得，即可得到，再代入计算即可求解． 【解答】解：作轴，于，于，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， 设， 点，的坐标分别是，， ， 解得， ， 点在抛物线的图象上， ， ， 抛物线经过原点， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，证明得到，是解题的关键． 四．二次函数图象与几何变换 21．（2023秋•义乌市期末）把抛物线的图象向下平移3个单位，所得函数解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”即可得到新的图象解析式． 【解答】解：抛物线的图象向下平移3个单位， 平移后图象的解析式为：， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是解答本题的关键． 五．二次函数的最值 22．（2024•玉林模拟）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，连结、，则四边形面积的最小值为　　 A．142 B．96 C．192 D．124 【答案】 【分析】连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，由四边形是矩形，得，又，点是的中点，即得，故在以为圆心，5为半径的弧上，当运动到时，最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积，根据，，可得，，，可得，从而，得四边形面积的最小值是142． 【解答】解：连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，如图： 四边形是矩形， ， ，点是的中点， ， 在以为圆心，5为半径的弧上，当运动到时，最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积， ，， ，， ， ， ， ，即四边形面积的最小值是142． 故选：． 【点评】本题考查矩形中的动点问题，解题的关键是求出的运动轨迹． 23．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在四边形中，，，，当四边形面积最大时，作平分该四边形面积交于点，则此时线段的长为 　　． 【答案】． 【分析】依据题意，连接，过点作于点，由，，得出是等边三角形，由等边三角形的性质求出，，当时，的面积最大，此时，四边形的面积最大，过点作于点，则，进而求出，，，由平分四边形的面积，得出，即可求出值． 【解答】解：如图，连接，过点作于点， ，， 是等边三角形， ，． 当时，的面积最大，此时，四边形的面积最大， 过点作于点，则． ， ． ． ． ， ． ． ． 平分四边形的面积， ． ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理，掌握等边三角形判定的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形等知识是解决问题的关键． 24．（2024春•莱山区校级月考）如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度（单位：与跳跃时间（单位：之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为 　　． 【答案】． 【分析】利用配方法把一般式转化为顶点式，确定二次函数的最值即为所求． 【解答】解：， ， 当时，的最大值为， 他能跳过的最大高度为． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练进行配方是解题的关键． 六．抛物线与x轴的交点 25．（2024•耒阳市一模）已知抛物线与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点的纵坐标为，求出，然后代入解析式，并把解析式化为顶点式即可得出结论． 【解答】解：抛物线顶点的纵坐标为， ， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线， 故选：． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，关键是求出和的关系． 26．（2024春•青秀区校级期末）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为　　 A．， B．， C．， D． 【答案】 【分析】依据题意，根据函数的图象可得，二次函数的对称轴是直线，又图象与轴的一个交点坐标为，结合对称性可得图象与轴的另一个交点坐标为，即，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，根据函数的图象可得，二次函数的对称轴是直线， 又图象与轴的一个交点坐标为， 图象与轴的另一个交点坐标为，即． 关于的一元二次方程的解为，． 故选：． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 27．（2024•古冶区三模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为点，则： ①；②的面积为；③当时，若，，在图象上，则．上述结论正确的个数有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 【分析】依据题意，令，则，又，从而可得，坐标，进而求出对称轴，再代入抛物线解析式即可判断①；由、两点为，，求出，再结合的坐标，则可得，故可判断②；由，从而当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，进而求出与对称轴的距离即可判断③． 【解答】解：由题意，令， ． 又， 或． 、两点为，． 对称轴是直线． 当时，． 顶点，故①正确． 、两点为，． ． 又， ，故②错误． ， 当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小． ， ，故③正确． 故正确的有2个． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 28．（2024•石家庄模拟）已知二次函数的图象与其向上平移个单位所得的图象都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】当时，先解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，则抛物线与轴的交点之间的距离为3，根据题意四个交点中每相邻两点间的距离都相等，即每相邻两点间的距离都为1，于是得到平移后的抛物线与轴的交点坐标为，，利用交点式写出平移后的抛物线解析式为，即，接着利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，从而得到的值． 【解答】解：当时，， 解得，． 抛物线与轴的交点坐标为，，如图， 抛物线与轴的交点之间的距离为， 二次函数的图象与其向上平移个单位所得的图象都与轴有两个交点，这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 每相邻两点间的距离都为1， 平移后的抛物线与轴的交点坐标为，，如图， 平移后的抛物线解析式为， 即， 抛物线向上平移个单位所得的抛物线解析式为， ． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 29．（2024•西湖区校级二模）在二次函数中， （1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标． （2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点． （3）若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线为，顶点坐标． （2）见解答； （3）． 【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标． （2）依据题意，由△，又对于任意的都有，从而可以判断△的大小，进而可以得解； （3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合，可得，再分类讨论即可得解． 【解答】（1）解：二次函数的图象经过， ， ， 抛物线为， ， 对称轴直线，顶点坐标． （2）证明：△， 二次函数图象与轴总有两个公共点． （3）解：，在二次函数图象上， 对称轴直线， ． ， ， 抛物线过， ，即， ， ，解得，即， 抛物线开口向上， 当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． ， ， 当，解得，不合题意舍去， 当，即，解得， 故的取值范围是． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 七．二次函数与不等式（组） 30．（2024•长清区二模）已知函数为常数），当时，随的增大而增大，，，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，由时，随的增大而增大，可得，即；又由二次函数的增减性可知，时，；时，；根据，建立不等式，并求出的取值范围，即可得出结论． 【解答】解：由题意，抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， 对称轴直线，即． 抛物线上的点离对称轴越远就越大， 又，， 当时，， 当时，． ， 解得，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数图象的性质及二次函数最值问题，弄清楚二次函数的增减性与二次函数的最值何时取到是解题基础． 31．（2024•江夏区模拟）抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论： ①； ②对于任意实数，都有； ③关于的不等式的解集为； ④若点，、，是图象上任意两点，且，则； 其中正确的结论是 　①④　． 【答案】①④． 【分析】根据抛物线的对称轴及开口方向，可得出，，的正负，再根据抛物线的对称性和增减性依次对所给结论进行判断即可解决问题． 【解答】解：因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则． 因为， 所以． 因为抛物线过点， 所以， 所以， 所以． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，函数取得最小值， 则对于任意实数，都有， 即． 故②错误． 二次函数的大致图象如图所示， 因为当时， 二次函数的图象在一次函数图象的上方， 所以当时，，即． 故③错误． 因为点，、，是图象上任意两点，且， 所以点离抛物线的对称轴的距离小于点离对称轴的距离． 因为抛物线的开口向上， 所以． 故④正确． 故答案为：①④． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组及二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 32．（2023秋•商河县期末）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）点的坐标为 　　； （2）当 　　时，随的增大而减小； （3）不等式的解集为 　　． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）由图可得：、到直线的距离相等，根据的坐标，即可求出点坐标； （2）利用图象得出函数对称轴进而得出随的增大而减小的自变量的取值范围； （3），即对应轴上方的部分的取值范围即可得出答案． 【解答】解：（1）由图象可知，、到直线的距离相等， ， 点坐标为：， 故答案为：； （2）由图象可知，随的增大而减小的自变量的取值范围是：； 故答案为：； （3）由图象可知，不等式的解集是：； 故答案为：． 【点评】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点以及方程根与不等式等知识，正确利用数形结合得出是解题关键． 八．根据实际问题列二次函数关系式 33．（2024•沁水县二模）一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于轴对称，如图所示对应一个单位长度），轴，，最低点在轴上，且，．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可以求得点、点的坐标，然后根据眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于轴对称，从而可以求得点和点的坐标，然后设出右轮廓线所在抛物线的函数顶点式，从而可以解答本题． 【解答】解：眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，， 点的坐标为，点， 点，点， 设轮廓线所在抛物线的函数解析式为：， 则， 解得，， 右轮廓线所在抛物线的函数解析式为：， 故选：． 【点评】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，解答此类问题的关键是明确题意，求出抛物线的顶点坐标和经过的点的坐标，利用二次函数的顶点式解答． 九．二次函数的应用 34．（2024春•北碚区校级期末）如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面高为8米的点、处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为 　10　米． 【答案】10． 【分析】依据题意，由题可知，、两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，的横坐标减去的横坐标即为的长． 【解答】解：由题意，由“在该抛物线上距水面高为8米的点”， 可知， 把代入，得： ， ． 由两点间距离公式可求出（米． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解决此题的关键． 35．（2024•瓦房店市模拟）辽宁省是我国著名的水果产区之一，很多地区的水果还被列为地标性水果，如大连樱桃、小梁山西瓜、鞍山南果梨、绥中白梨、东港草莓、盖州苹果、朝阳大枣等．某果园今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市20天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第天时，日销售量（单位：与之间的函数关系为，草莓单价（单位：元）与之间的函数关系如图所示． （1）求第18天的日销售量； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）设日销售额为元，当时，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）1560元． 【分析】（1）依据题意，将代入解析式计算可以得解； （2）依据题意，设与之间的函数关系式为，再将点，代入可得，求出，即可得解； （3）依据题意，根据和时，分别计算再比较可以得解． 【解答】解：（1）由题意，当时，， 第18天的日销售量为． （2）由题意，当时，设与之间的函数关系式为， 将点，代入可得， ， ． 与之间的函数关系式为． （3）由题意，当时，， ，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为． 当时，． 又， 当时，随的增大而增大． 当时，取得最大值，最大值为． ， 当时，的最大值为1560元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 36．（2024•连山区二模）某超市购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若超市按单价不低于成本价，且不高于55元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元最大？ 【答案】（1）；（2）销售单价定为55元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大． 【分析】（1）依据题意，设该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式为，从而将图中数据代入建立方程组，求出，即可得解； （2）依据题意，可得，再结合，从而当时，随的增大而增大，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式为， ． ． 所求函数关系式为． （2）由题意得，． 又 ， 当时，随的增大而增大． 当时，有最大值为：（元． 销售单价定为55元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用和一次函数的应用，解题时要能熟练掌握并正确求出函数关系式是关键． 37．（2024•东营区三模）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元． （1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？ （2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少3元；每减少1盆，每盆利润增加3元；花卉每增加1盆，花卉的平均每盆利润减少1元；每减少1盆，每盆利润增加1元．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为，（单位：元）． ①求，关于的函数关系式； ②当取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【答案】（1）1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元；（2）①，；②当或3时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是8024元． 【分析】（1）依据题意，设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为元和元，由题意得二元一次方程组，求解即可； （2）①依据题意，由（1）知1盆盆景的利润为140元，为盆景增加盆后每盆的利润，第二期有盆景盆，两者相乘即为，由（1）知1盆花卉的利润为元，第二期花卉有盆，两者相乘即为； ②依据题意，由得出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）由题意，设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为元和元，由题意得：， 解得：． 答：1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元． （2）由题意可知，第二期有盆景盆，则花卉有盆． 由题意得： ①， ． ② ， ，抛物线开口向下， 当或3时，取得最大值，， 当或3时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是8024元． 【点评】本题主要考查了一次函数、二次函数和二元一次方程组在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 38．（2024•犍为县模拟）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个与销售单价（元个）之间的对应关系如图所示： （1）试判断与之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）若许愿瓶的进价为6元个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元与销售单价（元个）之间的函数关系式； （3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润． 【分析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同； （2）销售利润每个许愿瓶的利润销售量； （3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润． 【解答】解：（1）是的一次函数，设图象过点，， ， 解得． 故与之间的函数关系为：， 当时，；当时，， 即点，均在函数的图象上． 与之间的函数关系式为； （2） 即与之间的函数关系式为； （3）由题意得，解得． 图象对称轴为， ， 抛物线开口向下，当时，随增大而减小， 当时，． 即以15元个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题． 39．（2024春•赣榆区校级月考）万达广场以每件10元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且特价部门规定这种商品的销售价不得高于20元件，试销中发现每天的销售量（件与每件的销售价（元满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表： 销售价元） 10 15 18 20 销售量件） 30 25 22 20 求商场每天的销售利润（元与每件的销售价（元的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？ 【答案】；每件商品的销售价定为20元时，利润最大，最大销售利润为200元． 【分析】依据题意，可得，又设销售量与销售价之间的函数关系式为，结合表格数据，可得函数图象过，，则，可得销售量与销售价之间的函数关系式为，从而商场每天的销售利润，再结合二次函数的性质，即可判断得解． 【解答】解：由题意，． 设销售量与销售价之间的函数关系式为， 结合表格数据，可得函数图象过，， ． ． 销售量与销售价之间的函数关系式为． 商场每天的销售利润 ． ，且， 当时，取最大值，最大值为200． 答：每件商品的销售价定为20元时，利润最大，最大销售利润为200元． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 十．二次函数综合题 40．（2024•西安校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，且过，与轴交于，两点． （1）求该抛物线抛物线的表达式； （2）设抛物线关于轴对称后的抛物线记为，其顶点记为点，连接，在抛物线对称轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，点的坐标为：或或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得，， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： 由（1）中抛物线的表达式得，点， 由题意得，新抛物线的对称轴为直线，设点， 由、、的坐标得，，，， 当时， 则， 解得：， 则点； 当或时， 则或， 解得：或8（舍去）或， 则点的坐标为：或； 综上，点的坐标为：或或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数的平移、等腰三角形的性质等，分类求解是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$