第4章图形与坐标 培优题突破练习 【6个考点30题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学八年级上册

第4章图形与坐标 培优题突破练习★★★【6个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学八年级上册 一．点的坐标 二．规律型：点的坐标 三．坐标确定位置 四．坐标与图形性质 五．坐标与图形变化-平移 六．坐标与图形变化-旋转 · 知识点梳理 · 点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． · 规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． · 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． · 两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． · 关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． · 坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） · 坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 一．点的坐标 1．（2021春•饶平县校级期末）若点在轴的下方，轴的左方，到轴的距离是3，到轴的距离是2．则点的坐标为　　 A． B． C． D． 二．规律型：点的坐标 2．（2023春•启东市期中）如图，平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记，在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 3．（2024•振兴区校级二模）如图，平面直角坐标系中长方形 的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记，在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 4．（2020秋•阜南县期中）如图，一个粒子在第一象限和，轴的正半轴上运动，在第一秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在轴、轴的平行方向来回运动，（即，，，，，，且每秒运动一个单位长度，那么2020秒时，这个粒子所处位置为　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•隆安县期中）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，，则三角形⑩的直角顶点的坐标为　　 A． B． C． D． 6．（2024春•恩施市期中）如图，在平面直角坐标系中，△，△，△，△的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，则依此规律，点的纵坐标为　　 A．0 B． C． D． 7．（2017•东平县一模）如图，所有正三角形的一边平行于轴，一顶点在轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，，顶点依次用、、、、表示，其中与轴、底边与、与、均相距一个单位，则的坐标是　　． 8．（2023春•永州期末）如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，，依此规律，则点的坐标是 　　． 9．（2021秋•兴庆区校级期末）如图，在平面直角坐标内有点，点第一次跳动到点，第二次点跳动到，第三次点跳动到，第四次点跳动到，依此规律动下去，则点的坐标是　　． 10．（2019•锦州二模）如图，已知等边的周长为3，作于点，在轴上取点，使，以为边作等边△；作于点，在轴上取点，使，以为边作等边△；作于点，在轴上取点，使，以为边作等边△；，且点，，，，都在第一象限，如此下去，则等边△的顶点坐标为　　． 三．坐标确定位置 11．小明去市旅游，在从景点回酒店的路上迷路了，他连续问了3个人，得到下列3种回答： 甲：你住的酒店在这儿的东面； 乙：从这儿到你住的酒店大约要走两站路； 丙：你从这儿往东走，大约两站路的距离就是你住的酒店． 你认为　　的回答能帮助小明准确找到所住的酒店． 12．（2021春•重庆期中）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点，处，其中，，当时，，表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第2021棵树种植点的坐标为　　． 四．坐标与图形性质 13．（2020秋•江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，为线段的中点，线段交线段于点，当线段最短时，此时点的坐标为　　 A．， B． C．， D．， 14．（2024春•玉州区期中）已知两点，且直线轴，则　　 A．可取任意实数， B．，可取任意实数 C．， D．， 15．（2022•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为 　　． 16．（2014春•黄陂区期末）在直角坐标系中，已知点、的坐标是，，，，满足方程组，为轴正半轴上一点，且． （1）求、、三点的坐标； （2）是否存在点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； （3）若是的中点，是上一点，，连、相交于点，求四边形的面积是　　． 17．（2014春•西城区校级期中）在直角坐标系中，四边形中各个定点坐标分别是，，，，动点在第三象限，且满足．求点的坐标． 18．（2015春•阿拉善左旗校级期中）在图中、、，求四边形的面积． 19．（2014春•宜昌校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，过作轴于． （1），满足，求的面积． （2），满足，在轴上是否存在点，使得和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，若，分别平分，，且，，问与有何位置关系？ 20．（2018春•金乡县期中）某区进行课堂教学改革，将学生分成5个学习小组，采取团团坐的方式，如图所示，这是某校八（1）班教室简图，点、、、、分别代表五个学习小组的位置，已知点的坐标为． （1）请按题意建立平面直角坐标系（横轴和纵轴均为小正方形的边所在直线，每个小正方形边长为1个单位长度），写出图中其他几个学习小组的坐标； （2）若（1）中建立的平面直角坐标系坐标原点为，点在的延长线上，直接写出、、之间的等量关系，并说明原因． 21．（2014春•西城区校级期中）已知，两点的坐标分别为，， （1）在平面直角坐标系内画出三角形； （2）求三角形的面积． 22．（2015春•海安县校级期中）已知点，，，． （1）在如图所示的坐标系中描出上述各点，顺次连接得四边形； （2）求． 23．（2019春•乐亭县期末）长方形放置在如图所示的平面直角坐标系中，点，，轴，轴，，． （1）分别写出点，，的坐标； （2）在轴上是否存在点，使三角形的面积为长方形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2023春•鸡西期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，点、在轴上，，，，点的坐标是， （1）求三个顶点、、的坐标； （2）连接、，并用含字母的式子表示的面积； （3）在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 五．坐标与图形变化-平移 25．（2020春•岳池县期末）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，，以此规律跳动下去，点第2020次跳动至点的坐标是　　 A． B． C． D． 26．（2024春•曾都区期末）如图，在第一象限内有两点，，将线段平移使点，分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是 　　． 27．（2022春•蔡甸区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． （1）平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，求点的坐标； （2）平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，，如图2所示，若三角形的面积为7，求点、的坐标； （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使三角形与三角形的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 六．坐标与图形变化-旋转 28．（2021•岱岳区一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2021次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为　　 A． B．， C． D． 29．（2022春•皇姑区校级期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△是边长为2的等边三角形，作△与△关于点成中心对称，再作△与△关于点成中心对称，，如此作下去，则△的顶点的坐标是 　　． 30．（2020•长春模拟）在平面直角坐标系中，点、、，点绕坐标原点逆时针旋转后，恰好落在内部（不包括边界），则的取值范围为　　． 第4章图形与坐标 培优题突破练习★★★【6个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学八年级上册 【解析版】 一．点的坐标 二．规律型：点的坐标 三．坐标确定位置 四．坐标与图形性质 五．坐标与图形变化-平移 六．坐标与图形变化-旋转 · 知识点梳理 · 点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． · 规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． · 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． · 两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． · 关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． · 坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） · 坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 一．点的坐标 1．（2021春•饶平县校级期末）若点在轴的下方，轴的左方，到轴的距离是3，到轴的距离是2．则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据点的位置确定点坐标即可． 【解答】解：点在轴的下方，到轴的距离是3， 点纵坐标为， 在轴的左方，到轴的距离是2， 点横坐标为， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是正确画出坐标系，再确定点位置． 二．规律型：点的坐标 2．（2023春•启东市期中）如图，平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记，在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据点坐标计算长方形的周长为，设经过秒，第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，求出相遇点坐标，进一步求出相遇点坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的余数即可求出第2023次相遇点的坐标． 【解答】解：长方形的周长为， 设经过秒，第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为， 根据题意得， 解得， 当时，、第一次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第二次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第三次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第四次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第五次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第六次相遇，此时相遇点坐标为， 五次相遇一循环， ， 的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标，通过计算找出每一循环的相遇次数是解决本题的关键． 3．（2024•振兴区校级二模）如图，平面直角坐标系中长方形 的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记，在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据点坐标计算长方形的周长为，设经过秒，第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，求出相遇点坐标，进一步求出相遇点坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的余数即可求出第2021次相遇点的坐标． 【解答】解：长方形的周长为， 设经过秒，第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为， 根据题意得， 解得， 当时，、第一次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第二次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第三次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第四次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第五次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第六次相遇，此时相遇点坐标为， 五次相遇一循环， ， 的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了平面直角坐标系上点坐标的规律，通过计算找出每一循环的相遇次数是解决本题的关键． 4．（2020秋•阜南县期中）如图，一个粒子在第一象限和，轴的正半轴上运动，在第一秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在轴、轴的平行方向来回运动，（即，，，，，，且每秒运动一个单位长度，那么2020秒时，这个粒子所处位置为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】该题显然是数列问题．设粒子运动到，，时所用的时间分别为，，，则，，，，，由，则，，，，，以上相加得到的值，进而求得来解． 【解答】解：由题意， 设粒子运动到，，，时所用的间分别为，，，， 则，，，，，， ， ， ， ， ， 相加得： ， ． ，故运动了1980秒时它到点； 又由运动规律知：，，，中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动． 故达到时向左运动40秒到达点， 即运动了2020秒．所求点应为． 故选：． 【点评】考查了规律型：点的坐标，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列通项的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：，，中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键． 5．（2022秋•隆安县期中）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，，则三角形⑩的直角顶点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据旋转的性质观察连续作旋转变换，得到每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了个单位，于是判断三角形⑩和三角形①的状态一样，然后可计算出它的直角顶点的横坐标，从而得到三角形⑩的直角顶点的坐标． 【解答】解：对连续作如图所示的旋转变换， 每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了个单位， 而， 三角形⑩和三角形①的状态一样， 则三角形⑩与三角形⑨的直角顶点相同， 三角形⑩的直角顶点的横坐标为，纵坐标为0． 三角形⑩的直角顶点的坐标为：． 故选：． 【点评】本题主要考查平面直角坐标系及图形的旋转变换的相关知识，要通过几次旋转观察旋转规律，学生往往因理解不透题意而出现问题． 6．（2024春•恩施市期中）如图，在平面直角坐标系中，△，△，△，△的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，则依此规律，点的纵坐标为　　 A．0 B． C． D． 【答案】 【分析】根据，，在△中，，则，同理可得：，，根据，可知点在轴的负半轴上，因此点的纵坐标为：． 【解答】解：，，在△中， ， 则， 同理可得：， ， ， ， ， 点在轴的负半轴上， 点的纵坐标为：， 故选：． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟练找出点的坐标间的变化规律是解题的关键． 7．（2017•东平县一模）如图，所有正三角形的一边平行于轴，一顶点在轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，，顶点依次用、、、、表示，其中与轴、底边与、与、均相距一个单位，则的坐标是　　． 【分析】先根据每一个三角形有三个顶点确定出所在的三角形，再求出相应的三角形的边长以及的纵坐标的长度，即可得解． 【解答】解：， 是第673个等边三角形的第1个顶点， 第673个等边三角形边长为， 点的横坐标为， 边与、与、均相距一个单位， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质，是点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质，确定出点所在三角形是解题的关键． 8．（2023春•永州期末）如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，，依此规律，则点的坐标是 　　． 【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，所以可求出从到的后变化的坐标，再求出、、、、，得出即可． 【解答】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以， 从到经过了3次变化， ，． 点所在的正方形的边长为，点位置在第四象限． 点的坐标是； 可得出：点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 故答案为． 【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大． 9．（2021秋•兴庆区校级期末）如图，在平面直角坐标内有点，点第一次跳动到点，第二次点跳动到，第三次点跳动到，第四次点跳动到，依此规律动下去，则点的坐标是　　． 【分析】根据偶数次跳动后点的坐标的变化，可得出变化规律“点的坐标为，为非负整数）”，再代入即可求出结论． 【解答】解：依题意，得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， 点的坐标为，为非负整数）， 点的坐标为． 故答案为 【点评】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化，找出变化规律“点的坐标为，为非负整数）”是解题的关键． 10．（2019•锦州二模）如图，已知等边的周长为3，作于点，在轴上取点，使，以为边作等边△；作于点，在轴上取点，使，以为边作等边△；作于点，在轴上取点，使，以为边作等边△；，且点，，，，都在第一象限，如此下去，则等边△的顶点坐标为　，　． 【分析】根据等边三角形的性质分别求出，，，，的边长即可解决问题． 【解答】解：等边△的周长为3，作于点， ，， ，，，，，的长分别为1，，，，，， ，， 等边△顶点的横坐标， 等边△顶点的纵坐标． 故答案为：，． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标和等边三角形的性质、解题的关键是点的横坐标变化规律． 三．坐标确定位置 11．小明去市旅游，在从景点回酒店的路上迷路了，他连续问了3个人，得到下列3种回答： 甲：你住的酒店在这儿的东面； 乙：从这儿到你住的酒店大约要走两站路； 丙：你从这儿往东走，大约两站路的距离就是你住的酒店． 你认为　丙　的回答能帮助小明准确找到所住的酒店． 【分析】利用平面内点的位置是用一对有序数对表示的进行判断解答． 【解答】解：确定一个点的位置时需要两个必要条件：（1）方向，（2）距离；据此来判断可知丙能确定位置． 故答案为：丙． 【点评】本题考查坐标确定位置，知道确定一个点的位置所需要的条件是解此题的关键．确定一个点的位置时需要两个必要条件：（1）方向，（2）距离． 12．（2021春•重庆期中）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点，处，其中，，当时，，表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第2021棵树种植点的坐标为　　． 【答案】． 【分析】由题意知，要求第2021棵树的坐标，不能直接求出，需要分别找出横纵坐标的规律， 依次代入，3，等分别求出和的规律即可． 【解答】解：分别求出横纵坐标的规律，；； 当时，；； 当时，；； 当时，；； 当时，；； 当时，；； 当时，；； 由此规律，横坐标的周期为5，，故； 纵坐标的周期为5，5个数为一组，且同一周期内数相同，组内数等于组数，故． 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标位置的确定，根据题目条件找出横坐标和纵坐标的规律是解决本题的关键，规律性较强，难度较大． 四．坐标与图形性质 13．（2020秋•江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，为线段的中点，线段交线段于点，当线段最短时，此时点的坐标为　　 A．， B． C．， D．， 【答案】 【分析】根据题目中给的坐标，可以求出、的直线解析式，交点坐标可以用表示出来，用两点之间距离公式，用配方法求出最值，相应的点坐标就能解出． 【解答】解：为线段的中点， 点坐标为，， ①当时，设直线解析式为， 将，，两点代入，解得， ， 设直线解析式为， 将代入到，解得， 联立，解得，， 点坐标为，， ，即当时，最短，，即，， ②当时，即，直线解析式为，由于在轴上， 故时，，即，，故当时，最短，此时，， 故选：． 【点评】本题考查了动点问题，利用数形结合思维解决问题，联立方程求出交点坐标，难点在于要分类讨论，注意的取值情况． 14．（2024春•玉州区期中）已知两点，且直线轴，则　　 A．可取任意实数， B．，可取任意实数 C．， D．， 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线纵坐标相等解答可得． 【解答】解：轴， ，， 故选：． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握平面内点的坐标的特点是解题的关键． 15．（2022•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】将线段向左平移到的位置，作点关于原点的对称点，连接，．再作点关于轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案． 【解答】解：如图，将线段向左平移到的位置，作点关于原点的对称点，连接，． 则，，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将的最小值转化为是解本题的关键． 16．（2014春•黄陂区期末）在直角坐标系中，已知点、的坐标是，，，，满足方程组，为轴正半轴上一点，且． （1）求、、三点的坐标； （2）是否存在点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； （3）若是的中点，是上一点，，连、相交于点，求四边形的面积是　　． 【分析】（1）解出方程组即可得到时点，的坐标，利用，求出点的坐标． （2）利用求出点的坐标即可． （3）先求出点，的坐标，再求出所在的直线，所在的直线，进而求出点的坐标，利用三角形面积公式可求出，及，利用四边形的面积的面积的面积求出四边形的面积． 【解答】解：（1）方程组，解得， ，， 为轴正半轴上一点，且， ，解得 （2），且， ，解得， 或； （3）如图， 是的中点，， 点的坐标为：，，点的坐标为， 设所在的直线为，所在的直线为 ，， 方程组为， 解得， 所在的直线为，所在的直线为． 解得 点的坐标为，， ， ， ， 四边形的面积的面积的面积． 解法二：连接．易知，， 设，，， 由题意， 解得， 四边形的面积， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，三角形的面积和解二元一次方程组，解题的关键是求出点的坐标． 17．（2014春•西城区校级期中）在直角坐标系中，四边形中各个定点坐标分别是，，，，动点在第三象限，且满足．求点的坐标． 【分析】根据平面直角坐标系找出点、、、的位置，然后顺次连接即可，再根据三角形的面积等于三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式表示出，利用待定系数法求出直线的解析式，表示出过点与轴平行的直线与直线的交点到的距离，然后表示出，再列出方程求出的值，再求解即可． 【解答】解：四边形如图所示； ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 所以，， 当时，， ， 或， ， ， 解得， 点的坐标为， 或， 解得， 点的坐标为，， 综上所述，点的坐标为或，． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于的表示，并且有点在直线的下方和上方两种情况． 18．（2015春•阿拉善左旗校级期中）在图中、、，求四边形的面积． 【分析】分别过点，作轴的垂线，把四边形转化成两直角三角形和一个直角梯形，四边形的面积就是两直角三角形和直角梯形面积的和． 【解答】解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，， 四边形转化为直角，直角梯形和直角， 所以四边形的面积是12.5． 【点评】求不规则图形的面积，通过作辅助线，转化成特殊的图形再求解． 19．（2014春•宜昌校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，过作轴于． （1），满足，求的面积． （2），满足，在轴上是否存在点，使得和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，若，分别平分，，且，，问与有何位置关系？ 【分析】（1）先根据非负数的性质求出，的值，进而得出，两点的坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论； （2）分点在轴的正半轴上与负半轴上两种情况进行讨论； （3）先根据直角三角形的性质求出的度数，再由平分得出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，同理可得出的度数，根据平分可得出的度数，进而得出的度数，由此可得出结论． 【解答】解：（1）， ，，解得，， ，， ； （2）当点在轴正半轴上时，如图①设， 过点作轴，轴，轴， ， ，解得， ； 当点在轴负半轴上时，如图②设， 过点作轴，轴，轴， ， ，解得， ． 综上所述，或． （3）设与交于点， ，， ，， 平分， ， ， ． ， ． 平分， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是坐标与图形性质，熟知三角形的面积公式及非负数的性质是解答此题的关键． 20．（2018春•金乡县期中）某区进行课堂教学改革，将学生分成5个学习小组，采取团团坐的方式，如图所示，这是某校八（1）班教室简图，点、、、、分别代表五个学习小组的位置，已知点的坐标为． （1）请按题意建立平面直角坐标系（横轴和纵轴均为小正方形的边所在直线，每个小正方形边长为1个单位长度），写出图中其他几个学习小组的坐标； （2）若（1）中建立的平面直角坐标系坐标原点为，点在的延长线上，直接写出、、之间的等量关系，并说明原因． 【分析】（1）根据点的坐标画出平面直角坐标系，再得出各个点的坐标即可； （2）根据平行线的性质和三角形外角性质得出即可． 【解答】解：（1） ，，，； （2）， 理由是：， ， ， ． 【点评】本题考查了点的坐标和平行线的性质、三角形的外角性质，能正确画出图形是解此题的关键． 21．（2014春•西城区校级期中）已知，两点的坐标分别为，， （1）在平面直角坐标系内画出三角形； （2）求三角形的面积． 【分析】（1）在坐标系内描出两点，画出即可； （2）根据的面积等于矩形的面积减去三个顶点三角形的面积即可得出结论． 【解答】解：（1）如图所示； （2） ． 【点评】本题考查的是坐标与图形的性质，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 22．（2015春•海安县校级期中）已知点，，，． （1）在如图所示的坐标系中描出上述各点，顺次连接得四边形； （2）求． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）在坐标系中找着对应点，顺次连接即可； （2）根据即可求得． 【解答】解：（1）如图所示： （2） ． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质以及三角形的面积，做题时重点要掌握把不规则四边形的面积看作成几个规则图形面积的和． 23．（2019春•乐亭县期末）长方形放置在如图所示的平面直角坐标系中，点，，轴，轴，，． （1）分别写出点，，的坐标； （2）在轴上是否存在点，使三角形的面积为长方形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据点的坐标以及、的长度即可得出点、、的坐标； （2）假设存在，设点的坐标为，则三角形的边上的高为，根据三角形的面积公式以及长方形的面积公式即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求出值，从而得出点的坐标． 【解答】解：（1）轴，轴，，，点，， ，，，． （2）假设存在，设点的坐标为，则三角形的边上的高为， ， 即， 解得：或， 在轴上存在点，使三角形的面积为长方形面积的，点的坐标为或． 【点评】本题考查了坐标与图形性质、矩形的性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据矩形的性质找出点、、的坐标；（2）找出关于的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据面积间的关系找出方程是关键． 24．（2023春•鸡西期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，点、在轴上，，，，点的坐标是， （1）求三个顶点、、的坐标； （2）连接、，并用含字母的式子表示的面积； （3）在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形面积公式得到，解得，则，，然后根据坐标轴上点的坐标特征写出三个顶点的坐标； （2）分类讨论：当点在直线上方即；当点在直线下方，即；利用面积的和与差求解； （3）先计算出，利用（2）中的结果得到方程，然后分别求出的值，从而确定点坐标． 【解答】解：（1）， ， ，解得， ， ， ，，； （2）当点在第二象限，直线的上方，即，作轴于，如图， ； 当点在直线下方，即，作轴于，如图， ； （3）， 当， 解得． 此时点坐标为； 当， 解得． 此时点坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；掌握三角形面积公式． 五．坐标与图形变化-平移 25．（2020春•岳池县期末）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，，以此规律跳动下去，点第2020次跳动至点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解． 【解答】解：因为，，，，，，，，，为正整数） 所以， 所以 故选：． 【点评】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律． 26．（2024春•曾都区期末）如图，在第一象限内有两点，，将线段平移使点，分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是 　或　． 【答案】或． 【分析】设平移后点、的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在轴上，在轴上；②在轴上，在轴上． 【解答】解：设平移后点、的对应点分别是、． 分两种情况： ①在轴上，在轴上， 则横坐标为0，纵坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； ②在轴上，在轴上， 则纵坐标为0，横坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点平移后的对应点的坐标是或． 故答案为：或． 【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 27．（2022春•蔡甸区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． （1）平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，求点的坐标； （2）平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，，如图2所示，若三角形的面积为7，求点、的坐标； （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使三角形与三角形的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）．； （3）或． 【分析】（1）利用平移的性质确定出平移的单位和方向； （2）根据平移的性质，设出平移单位，根据建立方程求解，即可， （3）设出点的坐标，表示出，用，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）平移后的对应点， 设，， ，， 即：点向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点， 点平移后的对应点； （2）点在轴上，点在第二象限， 线段向左平移3个单位，再向上平移个单位，符合题意， ，， 连接， ， ， ．； （3）设点， ， ， ， ， 或， 存在点，其坐标为或． 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，解本题的关键是平移性质的灵活运用，用面积关系建立方程． 六．坐标与图形变化-旋转 28．（2021•岱岳区一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2021次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为　　 A． B．， C． D． 【答案】 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论． 【解答】解：如图， 四边形是正方形，且， ， 连接， 由勾股定理得：， 由旋转得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ，，，，，，， 发现是8次一循环，所以， 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 29．（2022春•皇姑区校级期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△是边长为2的等边三角形，作△与△关于点成中心对称，再作△与△关于点成中心对称，，如此作下去，则△的顶点的坐标是 　　． 【答案】． 【分析】首先根据△是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【解答】解：△是边长为2的等边三角形， 的坐标为：，的坐标为：， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是：， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是：， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是：，， ，，，，， 的横坐标是：， 当为奇数时，的纵坐标是：，当为偶数时，的纵坐标是：， △的顶点的横坐标是：，纵坐标是：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键． 30．（2020•长春模拟）在平面直角坐标系中，点、、，点绕坐标原点逆时针旋转后，恰好落在内部（不包括边界），则的取值范围为　　． 【分析】将绕点顺时针旋转，得到△，与直线交于点，，则点在线段上（不含端点），据此可得的取值范围． 【解答】解：如图所示：将绕点顺时针旋转，得到△，则 ，，， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 设直线与△的边交于点，， 中，令，则； 中，令，则； 当点在线段上（不含端点）时，， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题时要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$