第1章三角形的初步认识培优题突破练习　【11个考点30题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学八年级上册

第1章三角形的初步认识 培优题突破练习★★★【11个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学八年级上册 一．三角形的面积 二．三角形的重心 三．三角形三边关系 四．三角形内角和定理 五．三角形的外角性质 六．全等三角形的判定与性质 七．全等三角形的应用 八．角平分线的性质 九．线段垂直平分线的性质 十．作图—基本作图 十一．作图—复杂作图 · 知识点梳理 · 三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． · 三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． · 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． · 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． · 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． · 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． · 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． · 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． · 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． · 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE · 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． · 作图—应用与设计作图 应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中． 首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． · 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 一．三角形的面积 1．（2016•武汉校级模拟）如图，内有一定点，过点的一条直线分别交射线于，射线于．当满足下列哪个条件时，的面积一定最小　　 A． B．为的角平分线 C．为的高 D．为的中线 2．（2004•重庆）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点、是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个的方格纸中，找出格点使的面积为2个平方单位，则满足条件的格点的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在中，点是边上的点，且，点是边上的点，且，与相交于点，若四边形的面积是16，则的面积为 　　． 4．（2020•武汉模拟）【新知探究】新定义：平面内两定点，，所有满足为定值）的点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆” 【问题解决】如图，在中，，，则面积的最大值为 　　． 二．三角形的重心 5．（2008•台湾）如图，是的重心，直线过点与平行．若直线分别与，交于，两点，直线与交于点，则的面积：四边形的面积　　 A． B． C． D． 三．三角形三边关系 6．（2014•台湾）如图，有一，今以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若，，则关于、、、的大小关系，下列何者正确？　　 A． B． C． D． 四．三角形内角和定理 7．（2023春•招远市期末）在中，，当　　，为等腰三角形． 五．三角形的外角性质 8．（2022春•谷城县期末）【推理证明】 （1）如图1，，求证； 小勇同学给出了如下证明，请在下面括号内填写上小勇推理的根据 证明：过点作 　　 ，　　 （等量代换） 备注：小勇同学在证明过程中，先过点作，是证明本题关键的一步，小勇同学作的这条线，叫做“辅助线”，通常用虚线表示，在几何证明过程中有时会用到． 【类比探究】 （2）在小学我们已知道“三角形内角和等于”这个结论，下面请作出合适的辅助线并用所学到的平行线的相关知识证明这个结论． 如图2，已知三角形，求证：请写出证明过程（不写推理根据） 【综合运用】 请运用（1）（2）的经验和结论解答下列问题： 如图3，和交于点，，，的平分线和的平分线交于点，若，直接写出的度数 　　． 六．全等三角形的判定与性质 9．（2022春•即墨区期末）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是　　 A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤ 10．（2023•宁波模拟）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法正确的个数为　　 ①；②，③若，则；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2023秋•遵化市期中）如图，在四边形中，，若的角平分线交于，连接，且平分，则下列结论：①；②为的中点；③；④，其中正确的是　　 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 12．（2023秋•重庆月考）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法错误的个数为　　 ①； ②； ③； ④； ⑤若，则是的高． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 13．（2023春•黄梅县期中）如图，于点，于点，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的是 　　（填序号）． ①； ②；③；④若，则． 14．（2021秋•梁溪区期中）如图，在中，，，分别为，边上的高，连接，过点作交于点，为中点，连接，．则，关系是 　　． 15．（2024春•兴宁市期末）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 　　． 16．（2021秋•方正县期末）如图，在四边形中，是四边形的对角线，，过点作于点，，，若的长度比的长度多2，则的长为 　　． 17．（2022秋•沈河区期末），，点在线段上，点在射线上，连接，作交射线于，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2．延长，当，求的长； ②若，直接写出的长． 18．（2022秋•阿荣旗期末）已知：如图，为外角平分线上一点，且，于点 （1）若，，求的面积； （2）求证：． 19．（2021秋•黄石期末）已知和为等腰三角形，，，，点在上，点在射线上． （1）如图1，若，点与点重合，求证：； （2）如图2，若，求证：． 20．（2021秋•平潭县校级月考）已知：于，，， （1）求证：； （2）求证：． 21．（2023春•汉源县校级期中）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试证明． 22．（2022秋•洛龙区期中）如图，已知：是上的中线，．求证：． 七．全等三角形的应用 23．（2021秋•泰山区期末）已知如图，要测量水池的宽，可过点作直线，再由点观测，在延长线上找一点，使，这时只要量出的长，就知道的长，对吗？为什么？ 八．角平分线的性质 24．（2022秋•黄石港区校级期中）与是的角平分线，，分别在，上，若，，则　　 A． B． C． D．不能确定 25．（2022秋•黄岛区校级期末）如图，，的内角的角平分线与的外角平分线交于点，的外角的角平分线与的反向延长线交于点，以下结论： ①；②；③；④平分；⑤． 其中正确的结论有 　　．（填序号） 26．（2022春•菏泽期末）如图，在中，，两锐角的角平分线交于点，点、分别在边、上，且都不与点重合，若，连接，当，，时，则的周长为 　　． 九．线段垂直平分线的性质 27．（2018秋•江岸区校级期中）点是的边、的垂直平分线的交点，点是、的平分线的交点，若，则　　． 一十．作图—基本作图 28．（2024春•杨浦区期中）作图并写出结论：如图，直线与直线相交于，根据下列语句画图． （1）过点作，交于点． （2）过点作，垂足为． （3）若，则是多少度？请说明理由． 解：因为（已作） 所以 　 　 因为 所以　 　． 一十一．作图—复杂作图 29．（2019•烟台）已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为　　 A． B． C．或 D．或 30．（2023春•兰州期末）已知，求作，使（尺规作图，保留作图痕迹）． 第1章三角形的初步认识 培优题突破练习★★★【11个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学八年级上册 一．三角形的面积 二．三角形的重心 三．三角形三边关系 四．三角形内角和定理 五．三角形的外角性质 六．全等三角形的判定与性质 七．全等三角形的应用 八．角平分线的性质 九．线段垂直平分线的性质 十．作图—基本作图 十一．作图—复杂作图 · 知识点梳理 · 三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． · 三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． · 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． · 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． · 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． · 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． · 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． · 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． · 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． · 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE · 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． · 作图—应用与设计作图 应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中． 首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． · 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 一．三角形的面积 1．（2016•武汉校级模拟）如图，内有一定点，过点的一条直线分别交射线于，射线于．当满足下列哪个条件时，的面积一定最小　　 A． B．为的角平分线 C．为的高 D．为的中线 【分析】当点是的中点时最小；过点的另一条直线交、于点、，设，过点作交于，由全等三角形的性质可以得出，，从而求得，即可得出结论； 【解答】解：当点是的中点时最小； 如图，过点的另一条直线交、于点、，设，过点作交于， 在和中， ， ， ． ， ， 当点是的中点时最小； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，四边形的面积和三角形的面积的关系，解答时建立数学模型解答是关键． 2．（2004•重庆）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点、是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个的方格纸中，找出格点使的面积为2个平方单位，则满足条件的格点的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】首先分别在的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点，再分别过这两点作的平行线．找到所有的格点即可．即有5个． 【解答】解：满足条件的点有5个，如图平行于的直线上，与网格的所有交点就是． 故选：． 【点评】此题主要是注意：根据两条平行线间的距离处处相等，只需在两侧各找一个符合条件的点，再作平行线，即可找到所有符合条件的点． 3．（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在中，点是边上的点，且，点是边上的点，且，与相交于点，若四边形的面积是16，则的面积为 　60　． 【答案】60． 【分析】连接，设，，推出，， ，， 根据得到，与构成方程组， 解方程组求出、的值，进而求得三角形的面积． 【解答】解：连接，如图所示： 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：60． 【点评】本题考查三角形的面积，二元一次方程组，解决本题的关键是掌握三角形的面积公式． 4．（2020•武汉模拟）【新知探究】新定义：平面内两定点，，所有满足为定值）的点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆” 【问题解决】如图，在中，，，则面积的最大值为 　　． 【答案】． 【分析】以为顶点，为边，在外部作，与的延长线交于点，证明，由相似三角形的性质可得，，从而求出、和，即可求出点的运动轨迹，再找出距离最远的点的位置即可求解． 【解答】解：以为顶点，为边，在外部作，与的延长线交于点， ，，， ， ， ，， ， ，解得：， ，，即点为定点， 点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆上，如图，过点作的垂线，交圆与点，此时点到的距离最大，即的面积最大， ． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积，确定点的运动轨迹，熟练掌握三角形的判定和性质以及三角形的面积公式是解题的关键． 二．三角形的重心 5．（2008•台湾）如图，是的重心，直线过点与平行．若直线分别与，交于，两点，直线与交于点，则的面积：四边形的面积　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据重心的概念得出，分别是三角形的中点．若设的面积是2，则的面积和的面积都是1．又因为，可求得的面积．则四边形的面积也可求出．根据可以证明，则的面积是1．则的面积：四边形的面积可求． 【解答】解：设三角形的面积是2 三角形的面积和三角形的面积都是1 三角形的面积是 四边形的面积是 的面积是1 的面积：四边形的面积． 故选：． 【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 三．三角形三边关系 6．（2014•台湾）如图，有一，今以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若，，则关于、、、的大小关系，下列何者正确？　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由利用大角对大边得到，进一步得到，从而得到． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角． 四．三角形内角和定理 7．（2023春•招远市期末）在中，，当　，，　，为等腰三角形． 【分析】分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题 【解答】解：①当时， ， ． ②当时， ， ． ③当时， ， 综上所述，的值为或或， 故答案为：，，． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题． 五．三角形的外角性质 8．（2022春•谷城县期末）【推理证明】 （1）如图1，，求证； 小勇同学给出了如下证明，请在下面括号内填写上小勇推理的根据 证明：过点作 　两直线平行内错角相等　 ，　　 （等量代换） 备注：小勇同学在证明过程中，先过点作，是证明本题关键的一步，小勇同学作的这条线，叫做“辅助线”，通常用虚线表示，在几何证明过程中有时会用到． 【类比探究】 （2）在小学我们已知道“三角形内角和等于”这个结论，下面请作出合适的辅助线并用所学到的平行线的相关知识证明这个结论． 如图2，已知三角形，求证：请写出证明过程（不写推理根据） 【综合运用】 请运用（1）（2）的经验和结论解答下列问题： 如图3，和交于点，，，的平分线和的平分线交于点，若，直接写出的度数 　　． 【答案】【推理证明】（1）两直线平行内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行； 【类比探究】（2）证明过程见解答； （3）． 【分析】【推理证明】（1）利用平行线的判定与性质可证明结论； 【类比探究】（2）过点作，根据平行线的性质可证明； 【综合运用】由平行线的判定与性质可得，利用角平分线的定义及三角形外角的性质可证明，结合可求解的度数，即可求得的度数，再利用三角形的内角和定理可求解的度数． 【解答】解：【推理证明】 （1）证明：过点作， ， （两直线平行内错角相等）， ，， （平行于同一条直线的两直线平行）， ． ， （等量代换）， 故答案为：两直线平行内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行； 【类比探究】 （2）证明：过点作， ，， ； （3）【综合运用】 解：，，， ， ， ， 的平分线和的平分线交于点， ，， ， ， ， ，即， ， ， 解得， ，即， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键． 六．全等三角形的判定与性质 9．（2022春•即墨区期末）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是　　 A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤ 【答案】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，又、都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长交的延长线于点，先证明与全等，再根据全等三角形对应边相等得到，然后证明与全等，从而可以证明①②⑤正确，与不一定相等，所以③④不正确． 【解答】解：， ， 、分别是与的平分线， ，， ， ， 故①小题正确； 如图，延长交延长线于， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ，故②小题正确； ， ，即点为的中点， 与不一定相等 与不一定相等，故③小题错误； 若，则是斜边上的中线，则， 与不一定相等， 与不一定相等，故④小题错误； ，， 的取值范围为，故⑤小题正确． 综上所述，正确的有①②⑤． 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高． 10．（2023•宁波模拟）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法正确的个数为　　 ①；②，③若，则；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【分析】①根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断； ②当是的中线时，，进而可以进行判断； ③延长至，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断； ④作的平分线交于点，可得，证明，，可得，，进而可以判断； ⑤过作，于点，，由④知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，进而可以进行判断． 【解答】解：①在中，， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ②当是的中线时，， 而平分，故②错误； ③如图，延长至，使，连接， ， ， ， ， ，， 为角平分线， ， ， ， ， ，故③正确； ④如图，作的平分线交于点， 由①得， ， ， ， ，， ，， ，， ，故④正确； ⑤过作，于点，， 由④知，为的角平分线， ， ， ，， ，故⑤正确． 综上所述：正确的有①③④⑤，共4个， 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是关键，有难度． 11．（2023秋•遵化市期中）如图，在四边形中，，若的角平分线交于，连接，且平分，则下列结论：①；②为的中点；③；④，其中正确的是　　 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，又、都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长交的延长线于点，先证明与全等，再根据全等三角形对应边相等得到，然后证明与全等，从而可以证明①②③④正确． 【解答】解：， ， 、分别是与的平分线， ，， ， ， 故①小题正确； 延长交延长线于， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ，故③小题正确； ， ，即点为的中点，故②小题正确； ， ， ， ， ，故④小题正确； 综上所述，正确的有①②③④． 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高． 12．（2023秋•重庆月考）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法错误的个数为　　 ①； ②； ③； ④； ⑤若，则是的高． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】 【分析】①当是的中线时，，进而可以进行判断； ②根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断； ③过作，于点，，由④知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，进而可以进行判断； ④作的平分线交于点，可得，证明，，可得，，进而可以判断； ⑤延长至，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断． 【解答】解：①当是的中线时，， 而平分，故①错误； ②在中，， ， 平分，平分， ，， ， ；故②正确； ③如图1，作的平分线交于点，过作，于点，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，故③正确； ④，， ，， ， ，故④正确； ⑤如图2，延长至，使，连接， ， ， ， ， ， ，， 为角平分线， ， ， ， ， ， 是的高，故⑤正确； 综上所述：正确的有②③④⑤，错误的有①，共1个， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作辅助线，构建三角形全等是关键，有难度． 13．（2023春•黄梅县期中）如图，于点，于点，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的是 　①②③　（填序号）． ①； ②；③；④若，则． 【答案】①②③． 【分析】根据平行线的判定和性质解答即可． 【解答】解：于点，于点， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； ， 平分交于点， ， ， ， ，故③正确； ，无法得出，故④错误； 结论正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 14．（2021秋•梁溪区期中）如图，在中，，，分别为，边上的高，连接，过点作交于点，为中点，连接，．则，关系是 　且　． 【答案】，且；理由见解答过程． 【分析】延长至，使，交于，连接，根据题意证明，推出，利用证明，得出，，再利用证明，得出，，证出，即可得出结论． 【解答】解：，且；理由如下： 延长至，使，交于，连接，如图所示： ，分别为，边上的高， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，且． 故答案为：，且． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 15．（2024春•兴宁市期末）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 　2.4　． 【分析】延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【解答】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2.4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．（2021秋•方正县期末）如图，在四边形中，是四边形的对角线，，过点作于点，，，若的长度比的长度多2，则的长为 　1　． 【答案】1． 【分析】在上截取，连接，则垂直平分，结合题意推出，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，则有，，进而得出，根据题意及三角形外角性质推出，利用判定，根据全等三角形的性质得到，结合题意即可得解． 【解答】解：在上截取，连接， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，则有，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的长度比的长度多2， ， ， 故答案为：1． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 17．（2022秋•沈河区期末），，点在线段上，点在射线上，连接，作交射线于，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2．延长，当，求的长； ②若，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①；②或． 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可； ②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理，可得，与等面积法可得，可得，，证明，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得答案． 【解答】解：（1），， ， ，， ； （2）①，， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 而，， ， ， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ； 综上：或． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键． 18．（2022秋•阿荣旗期末）已知：如图，为外角平分线上一点，且，于点 （1）若，，求的面积； （2）求证：． 【分析】（1）如图作于．根据角平分线的性质定理可得，由此即可解决问题； （2）由，推出，由，推出，由此即可解决问题； 【解答】（1）解：如图作于． 平分，，， ， ． （2），， ， ， ，， ， ， 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 19．（2021秋•黄石期末）已知和为等腰三角形，，，，点在上，点在射线上． （1）如图1，若，点与点重合，求证：； （2）如图2，若，求证：． 【分析】（1）由，推出、为等边三角形，于是得到，推出，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论； （2）在上截取，连接，推出，根据全等三角形的性质得到，，证得，推出，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【解答】证明：（1）， 、为等边三角形， ， 在和中 ， ， ； （2）在上截取，连接， ， ， 在和中 ， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 即． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．（2021秋•平潭县校级月考）已知：于，，， （1）求证：； （2）求证：． 【分析】（1）根据已知利用即可判定； （2）根据第（1）问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到，从而不难求得． 【解答】证明：（1）， ， 在与中， ， ； （2）由（1）知，， ． ，， ，即． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 21．（2023春•汉源县校级期中）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试证明． 【分析】（1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由就可以求出，进而由就可以得出，就可以得出，而得出结论； （3）由等边三角形的性质就可以求出，就可以得出，就有，进而得出，得出． 【解答】证明：（1），， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）成立． 理由：， ， ． 在和中 ， ， ， ； （3） 理由：和均为等边三角形 ，， ， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ． 在和中 ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用．等边三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键． 22．（2022秋•洛龙区期中）如图，已知：是上的中线，．求证：． 【分析】根据平行线性质得出，由，，根据推出，即可得出结论． 【解答】证明：， ， 是上的中线， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，解题时注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 七．全等三角形的应用 23．（2021秋•泰山区期末）已知如图，要测量水池的宽，可过点作直线，再由点观测，在延长线上找一点，使，这时只要量出的长，就知道的长，对吗？为什么？ 【分析】本题让我们了解测量两点之间的距离不止一种，只要符合全等三角形全等的条件，方案的操作性强，需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施． 【解答】解：对． 理由： 在和△中， △ ． 【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系． 八．角平分线的性质 24．（2022秋•黄石港区校级期中）与是的角平分线，，分别在，上，若，，则　　 A． B． C． D．不能确定 【答案】 【分析】根据和三角形内角和、外角性质，寻找和的关系的表达式；再根据，寻找和关系的另一种表达式，由此可得关于的方程，求得的度数，代入即可求得． 【解答】解：， ， ； ， ， ， 解得， ． 故选：． 【点评】此题综合考查角平分线的定义、外角的性质、三角形的内角和和等边对等角等知识点，难度较大，注意寻找角之间的关系． 25．（2022秋•黄岛区校级期末）如图，，的内角的角平分线与的外角平分线交于点，的外角的角平分线与的反向延长线交于点，以下结论： ①；②；③；④平分；⑤． 其中正确的结论有 　①②③⑤　．（填序号） 【答案】①②③⑤． 【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理逐项进行判断即可． 【解答】解：如图，过点作于，交的延长线于点，于，过点作于， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 是的平分线， 即， ， ， ，， ， ， 因此①正确； 平分，平分，， ， 即， 因此②正确； 是的平分线， ， 是的平分线， ， ，， ， ，， ， ， ， 因此③正确； ，而 与不一定相等， 因此④不正确； ， ， ， ， ， 因此⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理是正确解答的前提． 26．（2022春•菏泽期末）如图，在中，，两锐角的角平分线交于点，点、分别在边、上，且都不与点重合，若，连接，当，，时，则的周长为 　4　． 【答案】4． 【分析】如图，过点作于，于，于，在上取一点，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【解答】解：如图，过点作于，于，于，在上取一点，使得，连接． 平分，平分，，，， ，， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长， ， ， 的周长为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查角平分线的性质定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，证明是本题的突破点． 九．线段垂直平分线的性质 27．（2018秋•江岸区校级期中）点是的边、的垂直平分线的交点，点是、的平分线的交点，若，则　或　． 【分析】分两种情况讨论，根据中垂线定理及角平分线的性质分别将和用表示出来，再根据可得出答案． 【解答】解：分两种情况： ①如图所示，当在内部时，连接， 点是的边、的垂直平分线的交点， ， ，， ， 点是、的平分线的交点， ，， ， 又， ， 解得； ②如图所示，当在外部时，连接， 点是的边、的垂直平分线的交点， ， ，， 四边形中，， 点是、的平分线的交点， ，， ， 又， ， 解得， 故答案为：或． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，注意掌握中垂线及角平分线的性质． 一十．作图—基本作图 28．（2024春•杨浦区期中）作图并写出结论：如图，直线与直线相交于，根据下列语句画图． （1）过点作，交于点． （2）过点作，垂足为． （3）若，则是多少度？请说明理由． 解：因为（已作） 所以 　两直线平行，同旁内角互补　 因为 所以　 　． 【分析】（1）平移使它过点，此时交于，则； （2）过点作的垂线，垂足为； （3）根据平行线的性质得，然后利用互补计算的度数． 【解答】解：（1）如图，为所画； （2）如图，为所画； （3）因为（已作）， 所以， 两直线平行，同旁内角互补 ， 因为， 所以． 故答案为 两直线平行，同旁内角互补，． 【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线． 一十一．作图—复杂作图 29．（2019•烟台）已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为　　 A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】（1）以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，则为的平分线；（2）两弧在内交于点，以为边作，则为作或的角平分线，即可求解． 【解答】解：（1）以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以点，为圆心， 以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，则为的平分线， （2）两弧在内交于点，以为边作，则为作或的角平分线， 则或， 故选：． 【点评】本题考查的是复杂作图，主要要理解作图是在作角的平分线，同时要考虑以为边作的两种情况，避免遗漏． 30．（2023春•兰州期末）已知，求作，使（尺规作图，保留作图痕迹）． 【分析】分别作出三边等于已知三角形的三边即可． 【解答】解：步骤如下： （1）画线段； （2）分别以、为圆心，线段，为半径画弧，两弧交于点； （3）连接线段、．就是所求作的三角形． 【点评】此题考查作图，用到的知识点为：三边对应相等的两三角形全等． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$