第1章三角形的初步认识 中档题拓展训练★★【13个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学八年级上册

第1章三角形的初步认识 中档题拓展训练★★【13个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学八年级上册 一．三角形的角平分线、中线和高 二．三角形的面积 三．三角形内角和定理 四．全等三角形的性质 五．全等三角形的判定 六．全等三角形的判定与性质 七．全等三角形的应用 八．角平分线的性质 九．线段垂直平分线的性质 十．作图—基本作图 十一．作图—复杂作图 十二．作图—应用与设计作图 十三．命题与定理 · 知识点梳理 · 三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． · 三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． · 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． · 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． · 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． · 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． · 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． · 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． · 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． · 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE · 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． · 作图—应用与设计作图 应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中． 首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． · 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 一．三角形的角平分线、中线和高 1．（2023秋•崇明区期末）为的角平分线，交于，若，则　 　． 二．三角形的面积 2．（2024春•丛台区校级月考）嘉淇用绳子围了一个直角三角形，已知斜边用了，一条直角边用了，则这个直角三角形的面积为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•雁江区期末）如图，在中，点、分别是边、上的点，且，，如果，那么　　 A． B． C． D． 4．（2024春•孟村县月考）如图，四边形中，、、、依次是各边中点，是四边形内一点，若四边形、四边形、四边形的面积分别为7、9、10，则四边形的面积为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 5．（2024春•蜀山区期末）如图，在中，，点在边上，，点是内部一点，，延长交于点，连接，且，则的面积是　　 A．32 B．36 C．40 D．44 6．（2024春•泌阳县月考）如图，为的中线，为的中线．若的面积为10，则的面积为　　 A．40 B．30 C．20 D．15 7．（2024春•德惠市期末）如图，，分别为和的中点，的面积为5，则的面积为 　　． 8．（2024春•南京期末）如图，中，是中线，点在边上，，，相交于点．若的面积为6，则的面积为 　　． 三．三角形内角和定理 9．（2024春•东台市期末）如图，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的度数为 　　． 10．（2024春•新野县期末）一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则　　． 11．（2024春•正定县期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，． （1）试说明； （2）若，，求的度数． 四．全等三角形的性质 12．（2024春•五华县期末）如图，已知，点在线段上，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 13．（2024春•连平县期末）如图，点在线段上，，，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 五．全等三角形的判定 14．（2024春•临渭区期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，请你再添加一个条件使得，并说明理由． 六．全等三角形的判定与性质 15．（2024•东昌府区校级模拟）如图，在四边形中，，，于点，且．若，则的值为　　 A． B． C． D． 16．（2024•汕头模拟）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 　　． 17．（2024春•五华县期末）如图，在中，，是边上的高，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，． （1）试说明：， （2）判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 18．（2024春•榆阳区月考）如图，在中，，于点，点在上，，平分交于点，连接且的延长线交于点．试说明： （1）； （2）． 19．（2024春•揭西县期末）如图，在中，，是延长线上一点，是的平分线上一点，过点作于点，于点． （1）求证：； （2）若，求证． 20．（2024春•莲湖区校级月考）如图，在中，于点，为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长 七．全等三角形的应用 21．（2024春•淮安期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是　　 A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．两点之间线段最短 22．（2024春•秦都区校级月考）如图1，小朋友在荡秋千．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离于点，当他从处摆动到处时，测得点到的距离于点，已知秋千的绳长固定不变（即，求的长度． 八．角平分线的性质 23．（2024春•莲湖区校级月考）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在　　 A．在边，两条高的交点处 B．在边，两条中线的交点处 C．在边，两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 24．（2024春•涵江区校级月考）如图，在中，是的角平分线，于点，，，，则长是　　 A．1 B． C． D．2 25．（2023秋•定陶区期末）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为 A． B． C． D． 26．（2024春•金凤区校级期末）如图，是的角平分线，于点，且，，．则的面积为 　　． 九．线段垂直平分线的性质 27．（2024春•长安区校级月考）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，，则的周长为　　 A．4 B．5 C．9 D．13 28．（2024春•南山区期末）如图，的周长为26，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的周长是 　　． 十．作图—基本作图 29．（2024春•章丘区期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知　　 A．66 B．77 C． D． 30．（2024春•新泰市期末）如图，已知中，，，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接；以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点，，分别以点，为半径，以大于长为半径作弧，两弧交于点，连接，延长交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 31．（2024•从江县校级二模）如图，在中，，，．若按如下步骤作图：以点为圆心，长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心，适当长为半径画弧，两弧的一个交点落在边上，连接．则的周长为　　 A．7 B．6 C．5 D．4 32．（2024春•新津区校级月考）中，，，．根据作图痕迹，点是射线和直线的交点．连接，，若的周长为18，则的面积为 　　． 十一．作图—复杂作图 33．（2023秋•河东区期末）如图，已知线段，．按如下步骤完成尺规作图，则的长是　　 ①作射线； ②在射线上截取； ③在线段上截取． A． B． C． D． 34．（2024春•和平区期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，，，均在格点上，，与相交于点． （Ⅰ）请用无刻度的直尺，过点画一条与平行的线段（点在格点上），不写画法； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在线段上找一点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） 　　． 35．（2024春•宝应县校级月考）如图，已知． （1）画角平分线； （2）画中线； （3）画高． 十二．作图—应用与设计作图 36．（2024•绿园区校级一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作，点在格点上． （1）图①中满足平分的面积； （2）图②中满足； （3）图③中满足点到三边的距离相等． 37．（2024春•道里区期末）如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，的三个顶点，，均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，画图结果用实线表示． （1）在图1中取格点（点在上），使的面积是面积的； （2）在图2中取格点，使得不与重合）． 十三．命题与定理 38．（2024春•绥棱县期末）下列命题中是真命题的是　　 A．实数由有理数和无理数组成 B．实数分为正实数和负实数 C．若，则 D．是个分数 39．（2024春•赣榆区期末）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是　　 A． B． C． D． 40．（2024春•昆明期末）下列命题是真命题的是　　 A．有理数和数轴上的点一一对应 B．同位角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．16的平方根是4 第1章三角形的初步认识 中档题拓展训练★★【13个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学八年级上册 一．三角形的角平分线、中线和高 二．三角形的面积 三．三角形内角和定理 四．全等三角形的性质 五．全等三角形的判定 六．全等三角形的判定与性质 七．全等三角形的应用 八．角平分线的性质 九．线段垂直平分线的性质 十．作图—基本作图 十一．作图—复杂作图 十二．作图—应用与设计作图 十三．命题与定理 · 知识点梳理 · 三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． · 三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． · 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． · 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． · 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． · 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． · 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． · 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． · 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． · 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE · 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． · 作图—应用与设计作图 应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中． 首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． · 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 一．三角形的角平分线、中线和高 1．（2023秋•崇明区期末）为的角平分线，交于，若，则　50　． 【分析】由角平分线的定义得到角相等及度数，由平行线得到角相等，根据等量代换可得到答案． 【解答】解：为的角平分线，， ， ， ． 故答案为50． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高及平行线的性质；得到角相等后利用等量代换是正确解答本题的关键． 二．三角形的面积 2．（2024春•丛台区校级月考）嘉淇用绳子围了一个直角三角形，已知斜边用了，一条直角边用了，则这个直角三角形的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出另一条直角边，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：斜边用了，一条直角边用了， 另一条直角边为：， 这个直角三角形的面积为：， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的面积，熟知勾股定理的内容是解题关键． 3．（2024春•雁江区期末）如图，在中，点、分别是边、上的点，且，，如果，那么　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，设，，由，，得到，，，，列出关于、的方程组求解，最后根据四边形的面积等于、的面积之和计算即可． 【解答】解：如图，连接， 设，， ，， ，， ，， ，， ， 解得， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，根据同高的两个三角形底边之间的关系得出三角形面积之间的关系是解题的关键． 4．（2024春•孟村县月考）如图，四边形中，、、、依次是各边中点，是四边形内一点，若四边形、四边形、四边形的面积分别为7、9、10，则四边形的面积为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】 【分析】连接，，，，易证，，，，所以，所以可以求出． 【解答】解：连接，，，， 、、、依次是各边中点， 和等底等高， ， 同理可证，，，， ， ，，， ， 解得，． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的面积．解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论． 5．（2024春•蜀山区期末）如图，在中，，点在边上，，点是内部一点，，延长交于点，连接，且，则的面积是　　 A．32 B．36 C．40 D．44 【答案】 【分析】延长，交于点，根据证明，从而证明，根据等腰三角形的性质得到，，在中利用勾股定理求出，从而求出，由三角形面积公式求出的面积；由可知与的面积相等，从而计算出的面积． 【解答】解：延长，交于点． 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查三角形的面积，正确地作辅助线并掌握等腰三角形的性质和三角形面积公式是解题的关键． 6．（2024春•泌阳县月考）如图，为的中线，为的中线．若的面积为10，则的面积为　　 A．40 B．30 C．20 D．15 【答案】 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【解答】解：为的中线．的面积为10， ， 为的中线， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，关键是三角形中线的应用． 7．（2024春•德惠市期末）如图，，分别为和的中点，的面积为5，则的面积为 　10　． 【答案】10． 【分析】根据中点的性质和等底等高的三角形面积相等进行求解即可． 【解答】解：是的中点， ， ， ， 是的中点， ， ， 故答案为：10． 【点评】本题考查三角形的面积，关键是利用等底等高的三角形面积相等解答． 8．（2024春•南京期末）如图，中，是中线，点在边上，，，相交于点．若的面积为6，则的面积为 　　． 【答案】． 【分析】连接，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”得到各三角形之间的数量关系，从而求出的面积． 【解答】解：连接． ， ， ， 设， 是中线， ， ，即， ， ，， ， ，即，解得， 的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的面积，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”得到各三角形之间的数量关系是解题的关键． 三．三角形内角和定理 9．（2024春•东台市期末）如图，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的度数为 　　． 【分析】先由得到，再结合求得，最后结合求得的度数． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理、垂直的定义，解题的关键是熟知三角形的内角和定理． 10．（2024春•新野县期末）一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则　　． 【答案】． 【分析】由题意可得，，，由平角的定义可求得，再由三角形的内角和可求得，利用对顶角相等得，再利用三角形的内角和即可求． 【解答】解：如图， 由题意得：，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为． 11．（2024春•正定县期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，． （1）试说明； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解答；（2）． 【分析】（1）先根据垂直定义得出，根据平行线判定可得出，故可得出，推出，根据平行线的判定即可得出结论； （2）先根据得出，由直角三角形的性质得出的度数，故可得出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）． 理由是：，， ， ． ， ， ， ； （2）， ． ， ． ， ． 由（1）知， ． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的判定与性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 四．全等三角形的性质 12．（2024春•五华县期末）如图，已知，点在线段上，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的性质求得，最后根据三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：，， ， ， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（2024春•连平县期末）如图，点在线段上，，，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】利用全等三角形的对应边相等解决问题，掌握全等三角形的性质的对应边相等是解题的关键． 【解答】解：，， ， 又， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等解决问题，掌握全等三角形的性质的对应边相等是解题的关键． 五．全等三角形的判定 14．（2024春•临渭区期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，请你再添加一个条件使得，并说明理由． 【答案】见解析． 【分析】添加的条件为，根据证明． 【解答】解：添加， 理由：， ， 在和中， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 六．全等三角形的判定与性质 15．（2024•东昌府区校级模拟）如图，在四边形中，，，于点，且．若，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，如图，先证明得到，再证明得到，由于，则利用等线段代换得到． 【解答】解：连接，如图， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：构建与全等是解决问题的关键． 16．（2024•汕头模拟）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 　　． 【答案】． 【分析】延长到，使得，连接，作于点，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解． 【解答】解：如图，延长到，使得，连接，作于点， 则． 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 即， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，关键是勾股定理及其逆定理等知识的掌握，综合性强． 17．（2024春•五华县期末）如图，在中，，是边上的高，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，． （1）试说明：， （2）判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析． 【分析】（1）由题意易证是等腰三角形，根据是边上的高，推出是的垂直平分线，得到，，利用即可证明； （2）由（1）得到，再根据垂直平分线的性质得到，进而推出 【解答】（1）证明：， 是等腰三角形， 是边上的高， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ； （2）解：．理由如下： 由（1）， 是的垂直平分线， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 18．（2024春•榆阳区月考）如图，在中，，于点，点在上，，平分交于点，连接且的延长线交于点．试说明： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据已知，证出，得到，再根据同角的余角相等即可证明； （2）已知，，则，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可证出． 【解答】证明：（1）平分， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ； （2）， ， ， ， 又平分， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握平行线的判定、角平分线的性质等知识是解题的关键． 19．（2024春•揭西县期末）如图，在中，，是延长线上一点，是的平分线上一点，过点作于点，于点． （1）求证：； （2）若，求证． 【答案】见解析． 【分析】（1）根据即可证明； （2）根据证明即可得出结论． 【解答】证明：（1）平分， ． 又，， ． 在和中， ， ． （2），， ， ， ，， ， ． ， 即． 在和中， ， ． ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（2024春•莲湖区校级月考）如图，在中，于点，为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长 【答案】（1）证明见解析； （2）2． 【分析】（1）根据即可证明； （2）由勾股定理求出，再根据线段的和差即可求解． 【解答】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：在中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 七．全等三角形的应用 21．（2024春•淮安期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是　　 A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．两点之间线段最短 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可． 【解答】解：在和中， ， ， ， 此方案依据的数学定理是全等三角形的判定定理边角边． 故选：． 【点评】本题考查的是全等三角形的应用．一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 22．（2024春•秦都区校级月考）如图1，小朋友在荡秋千．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离于点，当他从处摆动到处时，测得点到的距离于点，已知秋千的绳长固定不变（即，求的长度． 【答案】的长度是． 【分析】证明，得到，即可得到答案． 【解答】解：，， ， 和均为直角三角形． 在和中， ，， ， ， ， ， 即的长度是． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，掌握去全等三角形的判定和性质是解题关键． 八．角平分线的性质 23．（2024春•莲湖区校级月考）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在　　 A．在边，两条高的交点处 B．在边，两条中线的交点处 C．在边，两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 【答案】 【分析】根据角平分线的性质求解即可． 【解答】解：亭子中心到三条马路的距离相等， 亭子中心就是的三个内角的平分线的交点， 因此、、三个选项都不符合要求， 设和两条角平分线的交于点，作于点，于点，于点，如图所示， 平分，，， ， 同理可得：， ， 即点到三边的距离相等， 亭子应建在点，因此，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，理解角平分线的性质是解题的关键． 24．（2024春•涵江区校级月考）如图，在中，是的角平分线，于点，，，，则长是　　 A．1 B． C． D．2 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理得到的长，然后根据平分线的性质可得，再根据得到的长，最后根据勾股定理即可解答． 【解答】解：于点，，， ， 设，则， ， ，解得：， ． 如图：作于点， 是的角平分线，， ， ， ， 在中，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识点，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 25．（2023秋•定陶区期末）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用三角形的角平分线的性质和结合三角形面积求法得出答案． 【解答】解：点为与的平分线的交点， 点在的角平分线上， 点到的三边的距离相等， 过作，连接， ， 又，，为直角三角形， ， ， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形面积是解题关键． 26．（2024春•金凤区校级期末）如图，是的角平分线，于点，且，，．则的面积为 　15　． 【答案】15． 【分析】作，根据角平分线性质可得，利用代入数据计算即可． 【解答】解：如图，作，垂足为， 是的角平分线，，， ， ． 故答案为：15． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到． 九．线段垂直平分线的性质 27．（2024春•长安区校级月考）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，，则的周长为　　 A．4 B．5 C．9 D．13 【答案】 【分析】由垂直平分线的性质可知，，，进而得到的周长，即可得到答案． 【解答】解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长， 故选：． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． 28．（2024春•南山区期末）如图，的周长为26，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的周长是 　16　． 【答案】16． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，，根据的周长求出，再求出的周长，最后代入答案即可． 【解答】解：的垂直平分线交于点，垂足为，， ，， 的周长为26， ， ， 的周长 ， 故答案为：16． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键． 十．作图—基本作图 29．（2024春•章丘区期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知　　 A．66 B．77 C． D． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形的内角和定理及等腰三角形的性质求解． 【解答】解：，， ， 由作图得：平分，垂直平分， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了基本作图，掌握图象基本性质是解题的关键． 30．（2024春•新泰市期末）如图，已知中，，，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接；以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点，，分别以点，为半径，以大于长为半径作弧，两弧交于点，连接，延长交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义求出，再根据线段的垂直平分线的性质求出，可得结论． 【解答】解：，平分， ， 垂直平分线段， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 31．（2024•从江县校级二模）如图，在中，，，．若按如下步骤作图：以点为圆心，长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心，适当长为半径画弧，两弧的一个交点落在边上，连接．则的周长为　　 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】 【分析】分别求出，，可得结论． 【解答】解：由题意，，， ． ， 的周长． 故选：． 【点评】本题考查作图基本作图，解题的关键是读懂图象信息． 32．（2024春•新津区校级月考）中，，，．根据作图痕迹，点是射线和直线的交点．连接，，若的周长为18，则的面积为 　15　． 【答案】15． 【分析】过点作于点，根据作法可得垂直平分，平分，从而得到，，再由的周长为18，可求出的长，再由勾股定理可得的长，然后根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点， 根据作法得：垂直平分，平分， ，， ， 的周长为18， ， ， ， 的面积为． 故答案为：15． 【点评】本题考查了作图一复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． 十一．作图—复杂作图 33．（2023秋•河东区期末）如图，已知线段，．按如下步骤完成尺规作图，则的长是　　 ①作射线； ②在射线上截取； ③在线段上截取． A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用线段的和差定义求解即可． 【解答】解：如图， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查作图复杂作图，两点之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 34．（2024春•和平区期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，，，均在格点上，，与相交于点． （Ⅰ）请用无刻度的直尺，过点画一条与平行的线段（点在格点上），不写画法； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在线段上找一点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） 　取格点，连接交于点，由，推出，由，推出，推出，推出，可得结论　． 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析． 【分析】（Ⅰ）根据平行线的判定作出图形； （Ⅱ）取格点，连接交于点，点即为所求． 【解答】解：（Ⅰ）如图，线段即为所求； （Ⅱ）如图，点即为所求． 方法：取格点，连接交于点，由，推出，由，推出，推出，推出，可得结论． 故答案为：取格点，连接交于点，由，推出，由，推出，推出，推出，可得结论． 【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 35．（2024春•宝应县校级月考）如图，已知． （1）画角平分线； （2）画中线； （3）画高． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【分析】根据三角形的中线、高线、角平分线的定义分别画出图形即可． 【解答】解：（1）如图所示：线段即为所求． （2）如图所示：线段即为所求． （3）如图所示：线段即为所求． 【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握三角形中的三条重要线段的定义． 十二．作图—应用与设计作图 36．（2024•绿园区校级一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作，点在格点上． （1）图①中满足平分的面积； （2）图②中满足； （3）图③中满足点到三边的距离相等． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）见解答． 【分析】（1）使为的中线即可． （2）利用网格，结合垂直的定义画图即可． （3）由题意知，点为三个内角的平分线的交点，由此画图即可． 【解答】解：（1）如图①，即为所求． （2）如图②，和均满足题意． （3）如图③，即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 37．（2024春•道里区期末）如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，的三个顶点，，均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，画图结果用实线表示． （1）在图1中取格点（点在上），使的面积是面积的； （2）在图2中取格点，使得不与重合）． 【答案】见解析． 【分析】（1）作出的中线即可； （2）根据全等三角形的判定作出图形即可． 【解答】解：（1）如图1中，点即为所求； （2）如图2中，即为所求． 【点评】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 十三．命题与定理 38．（2024春•绥棱县期末）下列命题中是真命题的是　　 A．实数由有理数和无理数组成 B．实数分为正实数和负实数 C．若，则 D．是个分数 【答案】 【分析】根据实数的分类，实数的性质进行逐项分析即可． 【解答】解：．实数由有理数和无理数组成，该选项是真命题； ．实数分为正实数，零和负实数，该选项是假命题； ．若，则，该选项是假命题； ．是个无理数，该选项是假命题． 故选：． 【点评】本题考查实数的分类及实数的性质，正确掌握实数的分类是解题关键． 39．（2024春•赣榆区期末）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反例满足题设，与结论不符，逐一进行判断即可． 【解答】解：、时，，不符合题意； 、，满足，同时满足，不是反例，不符合题意； 、时，，不符合题意； 、时，满足，但是不满足，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查举反例．熟练掌握举反例的方法，是解题的关键． 40．（2024春•昆明期末）下列命题是真命题的是　　 A．有理数和数轴上的点一一对应 B．同位角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．16的平方根是4 【答案】 【分析】根据实数与数轴，平方根，平行线的性质等相关知识逐项判断即可． 【解答】解：、实数和数轴上的点一一对应，而不是有理数，故此选项不是真命题，不符合题意； 、缺少条件：“两直线平行”，故此选项不是真命题，不符合题意； 、两直线平行，同旁内角互补，教材定理，故此选项正确，符合题意； 、16的平方根是，故此选项不是真命题，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查实数与数轴，平方根，平行线的性质等相关知识，掌握相关基础知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$