2.3.1有理数的乘方冲刺满分同步练习（题型突破+链接中考+专项精练）2024-2025学年人教版数学七年级上册

冲刺满分（题型突破+链接中考+专项精练） 2.3.1乘方 考点目录 考点1 乘方的概念 考点2 有理数乘方的运算方法 考点3 乘方运算符号的规律 考点4 含乘方的有理数的混合运算运算顺序 考点1 乘方的概念 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作，读作a的n次方。也可以读作a的n次幂。 在中，a叫做底数，n叫做指数。 考点2 有理数乘方的运算方法 根据乘方的符号规律确定幂的符号。再计算幂的绝对值。 考点3 乘方运算符号的规律 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0. 考点4 含乘方的有理数的混合运算运算顺序 1、先乘方，再乘除，最后加减； 2、同级运算,从左到右进行； 3、如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。 0的任何正整数次幂都是0。 目录 【题型一】乘方的意义 【题型二】有理数乘方的运算 【题型三】乘方运算中数字个位数的变化规律 【题型四】乘方运算的符号规律 【题型五】含乘方的混合运算 【题型六】应用乘方解决实际问题 【题型一】乘方的意义 【典型例题】 1.在下列表述中，能表示整式“”的意义的是（    ） A．3的倍 B．的3倍 C．3个相加 D．3个相乘 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义．根据代数式的意义逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、3的倍可以用代数式“”表示，不符合题意，本选项不符合题意； B、的3倍可以用代数式“”表示，不符合题意，本选项不符合题意； C、3个相加可以用代数式“”表示，不符合题意，本选项不符合题意； D、3个相乘可以用代数式“”表示，符合题意，本选项符合题意； 故选：D． 2．下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可． 【详解】解：A、的底数是2，∴此选项的说法错误，故不符合题意； B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意； C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意； D、 的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意， 故选：D． 3.根据乘方的意义可得算式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方的意义．熟练掌握：个相乘可表示为是解题的关键． 根据乘方的意义作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：B． 【题型二】有理数乘方的运算 【典型例题】 1.下列算式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2.计算： ， ， ． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了去括号法则、有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则、去括号法则计算即可，熟记相关法则，正确计算出结果是解题的关键． 【详解】解：；；； 故答案为：，4，． 【题型三】乘方运算中数字个位数的变化规律 【典型例题】 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，，……，请你推算的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律，并求出每一个循环4个数相加后的个位数字为0，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴尾数每4个一循环， ∵， 又∵， ∴每一组的4个数相加以后个位数字为0， ∴505组相加后个位数字为0， ∵， ∴的个位数字为4，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键． 【题型四】乘方运算的符号规律 【典型例题】 1.计算（-2）11+（-2）10的值是（　　） A．-2 B．（-2）21 C．0 D．-210 【答案】D 【分析】根据负数的乘方，偶数次方结果为正，奇数次方结果为负，可以对（-2）11+（-2）10进行化简，可以得到-211+210，在利用乘法分配律，即可得出答案． 【详解】解：∵（-2）11+（-2）10=-211+210 ∴-2×210+210=210×（-2+1）=-210 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，能够正确的运算出结果以及熟练利用乘法分配律是解决本题的关键． 【题型五】含乘方的混合运算 【典型例题】 1.计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其计算方法是解题的关键．根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 2.观察下列各式的计算结果： (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： × ； × ． (2)用你发现的规律计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中的规律解答即可； （2）根据题目中的规律解答即可； 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题． 【详解】（1）解：依题意，， ； 故答案为：； （2）解： ． 【题型六】应用乘方解决实际问题 【典型例题】 1.《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是 ． 【答案】 【分析】根据题意依次每一天剩余木棍的长度，即可求得第4天截取后木棍剩余的长度． 【详解】解：第一天截取后剩：（米）； 第二天截取后剩：（米）； 第三天截取后剩：（米）； 第四天截取后剩：（米）； 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键． 2.当你把纸对折一次时，就得到层，当对折两次时，就得到层，照这样折下去（最多折次）． (1)计算当你对折次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是，求对折次时，总厚度是多少． 【答案】(1)64 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键． （）根据题意总结规律即可得解； （）先算出层数，再乘即可得出结果． 【详解】（1）解：纸对折一次时，就得到层，即层； 当对折两次时，就得到层，即层； 当对折三次时，就得到层，即层； 当折纸的次数是时，折得的层数是（且为正整数）； ， 所以对折次时，层数是； （2）解：， 所以对折次时，总厚度是． 3.腾讯公司将等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级标识图为两个皇冠，则其等级为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等级规则可得一个皇冠是级，由此即可得． 【详解】解：由题意得：两个皇冠的等级是， 即其等级为， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确列出运算式子是解题关键． 【题型一】乘方的意义 【典型例题】 1．（2021·河北·二模）表示的意义是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：表示的意义是， 故选A． 【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数． 2．（2023·广东揭阳·一模）式子的意义是（　　） A．2的平方 B．的平方 C．2的平方的相反数 D．的平方的相反数 【答案】C 【分析】根据乘方的意义和相反数的定义进行判断． 【详解】解：的意义为2的平方的相反数． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数．读作a的n次方．也考查了相反数． 【题型二】有理数乘方的运算 【典型例题】 1.（2024·安徽滁州·三模）等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 2.（2023·山东聊城·一模）的倒数是（   ） A． B．25 C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再计算倒数． 【详解】解：， 25的倒数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数，有理数的乘方，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【题型三】乘方运算中数字个位数的变化规律 【典型例题】 1.（2022·山东聊城·二模）计算，，，，，，并观察这些幂的个位数字，根据你发现的规律，判断的个位数字跟（    ）的个位数字相同． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算几个幂的运算，然后从中发现规律即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ⋯ 据此发现，这些幂的个位数字分别为3，9，7，1四个循环一次， ∴2022÷4=505⋯2， ∴个位数字为9，与个位数字相同， 故选：B． 【点睛】题目主要考查有理数乘方运算及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键． 2.（2023·云南·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，则的结果的个位数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了数字变化规律探索，从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， ，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， … 由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环， 又， 所以的末位数字与的末位数字相同是7． 故答案为：7． 3.（2023·河北保定·一模）观察： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 数 20 21 22 23 24 25 26 … 个位上数字 1 2 4 8 6 m n … 思考：（1）上面表格中m、n的值分别是多少？ 探究：（2）第⑩个数是什么？它个位上的数字是多少？ 延伸：（3）的个位数字是多少？ 拓展：（4）用含k的代数式表示个位上的数字是6的数的序号．（k为正整数） 【答案】（1）；（2）第⑩个数是，个位上的数字是2；（3）的个位数字是4；（4）第k个6的序号为： 【分析】（1）不难看出个位上的数字是以2，4，8，6重复出现，则可求解； （2）根据表格中的规律，可表示出第10个数，即可求解； （3）结合（1）进行求解即可； （4）结合表格进行求解即可． 【详解】解：（1），， ，； （2）表格中的数是以2为底数，指数是从0开始的自然数， 个位上的数字是以1，2，4，8，6，2，4，8，6，排列， 第⑩个数是，， 个位上的数字是2； （3）， 的个位数字是4； （4）个位上的数字是6的数的序号是：5，9，13，， 第个6的序号为：． 【点睛】本题主要考查列代数式，有理数的乘方，解答的关键是由表格分析出存在的规律． 【题型四】乘方运算的符号规律 【典型例题】 1.（2023·山东聊城·三模）计算等于（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】先根据有理数乘方法则计算，再根据有理数加法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数乘方法则和有理数加法法则是解题的关键． 【题型五】含乘方的混合运算 【典型例题】 1.（2024·江苏南京·一模）计算：． 【答案】81 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算法则，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据有理数乘法、乘方、绝对值化简，然后做加减运算，最后做乘方运算即可． 【详解】解： ． 2．（2024·湖北·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可得出答案； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 3．（2021·广西·中考真题）计算：． 【答案】-2 【分析】先分别计算出有理数的乘方及括号内的有理数加减，再计算乘除，即可求得结果． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序及相关运算法则是解答此题的关键． 【题型六】应用乘方解决实际问题 【典型例题】 1．式子的意义为（    ） A． B． C． D． 2．下列各式计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．乘方是特殊的乘法运算，乘方具有简洁之美，请观察下列等式：请思考： 的个位数字是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 4．如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A．15 B．13 C．12 D．11 5．如果是非零有理数，且为正整数，那么的值（   ） A．等于 B．大于 C．不小于 D．不大于 6．算式的值与下列选项的值相等的是（　　） A． B． C． D． 7．下列运算结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 8．算式可以表示为（　　） A． B． C． D． 9．若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．1.计算（    ） A． B． C． D． 11．规定，如，据此可得的值为 12．按照如图所示的运算程序，若输入的，则输出的值为    13．某校初二年级名师生参加“研学旅行”活动，计划租车前往，租车收费标准如下： 车型 大巴车 （最多可坐人） 中巴车 （最多可坐人） 小巴车 （最多可坐人） 每车租金（元天） 要完成这次“研学旅行”活动，一天租车的最低费用为 元． 14．观察下列等式：，，，，，，试猜想， 的个位数字是 ． 15．某种细菌在培养过程中，由一个分裂成两个，每小时分裂一次，若这种细菌由1个分裂为32个，则这个过程要经过 小时． 16．阅读观察下列解题过程： 例：计算 解：因为 所以 计算： 17．计算： （1） （2） （3）（-+）×（-36） （4） （5） (—199)×5（用简便方法计算） （6） 18．青青的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每周工作五天，该厂实行工资“日结算制”：每天的基本工资为200元，每天基本任务量为40个，若超额完成任务，则超出部分每个按8元奖励；若未完成任务，则未完成部分每个按10元扣除．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是青青的妈妈上周的生产情况（比基本任务量多生产的玩具个数记为正，比基本任务量少生产的玩具个数记为负．单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 与基本任务量的差值 (1)根据记录的数据可知青青的妈妈星期四生产玩具______个； (2)青青的妈妈上周实际生产玩具多少个？ (3)若将工资“日结算制”改为“周结算制”，即每周的基本工资为1000元，每周基本任务为200个；若超额完成任务，则超出部分每个按8元奖励；若未完成任务，则未完成部分每个按10元扣除，在此方式下青青的妈妈上周“周结算制”的工资与“日结算制”的工资哪一个更多？请说明理由． 19．杜大伯将自家种的西瓜进行促销：第一周按售价2元/销售，第二周按售价2.2元/销售，第三周按售价2.4元/销售，从第4周开始按售价2.6元/销售，一个月后结算时发现，如果销量以每周为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这个月（四周）的销售情况如下表： 周次 第一周 第二周 第三周 第四周 与标准销量的差值/ 58 28 (1)这个月杜大伯总的销售额为多少元？ (2)如果西瓜的成本价为1.2元/，请通过计算说明这个月哪一周的利润最多？哪一周的利润最少？ 20．某钢材仓库6天内进出钢材的吨数如下：（“”表示进库，“”表示出库） (1)经过这6天，仓库里的钢材吨数是增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)如果进出仓库的钢材装卸费都是每吨15元，那么这6天要付多少元装卸费？ 21．某超市销售草莓，对一个月（按四周计算）的实际销售情况进行了统计．售价为每千克10元．现以每周的销售量为标准，超过或不足的数量分别用正数、负数来表示，记录如下： 第一周 第二周 第三周 第四周 相对于标准销售数量/kg 10 20 100 (1)在这个月内，草莓销量最高的是第________周，这一周的销量是________千克． (2)这个月草莓实际销售数量是多少千克？ (3)已知这种草莓的进价是每千克8元，则这家超市本月实际销售草莓的利润是多少元？ 22．有8筐萝卜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： 第一筐 第二筐 第三筐 第四筐 第五筐 第六筐 第七筐 第八筐 1.2 -3 0.8 -0.5 1 -1.5 -2 -1 回答下列问题： （1）这8筐萝卜中，最接近标准重量的这筐萝卜重_____千克； （2）这8筐萝卜中，有两筐萝卜的重量相差最大，这两筐萝卜的重量相差_______千克； （3）若这批萝卜以2元/千克全部售出，可售得多少元？ 试卷第1页，共3页 答案 1．A 2．B 3．B 4．D 5．B 6．A 7．A 8．C 9．D 10．D 11．6 12． 13． 14． 15．5 16． 17．（1）-1；（2）-1；（3）-19；（4）0；（5）；（6）-2 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 18．(1)42 (2)青青的妈妈上周实际生产玩具205个 (3)青青的妈妈上周“周结算制”的工资更多一些，理由见解析 19．(1)这个月杜大伯总的销售额为6139.6元 (2)第三周的利润最多，第一周的利润最少 20．(1)经过这6天，仓库甲的钢材吨数是减少了，减少了2吨； (2)这6天要付1650元装卸费 22．（1）24.5；（2）4.2；（3）390元 学科网（北京）股份有限公司 $$