精品解析：广东省湛江市廉江市实验学校2021-2022学年上学期九年级期中考试（B卷）试卷

廉江市实验学校2021-2022学年度第一学期九年级期中考试数学试卷（B卷） （考试时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是    A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 平行四边形 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（　　） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 5. 对于二次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，有最大值 B. 当时，随的增大而减小 C. 开口向下 D. 函数图象与轴交于点和 6. 某校为落实“光盘行动”，对每天的剩饭菜进行称重，第一周的剩余量为20kg，第三周为9.8kg，设每周剩余量的平均减少率为x，则可列方程（　　） A. 20（1﹣x）2＝9.8 B. 20（1+x）2＝9.8 C. 20（1﹣2x）＝9.8 D. 20（1+2x）＝9.8 7. 若二次函数的图象过，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线与坐标轴交点为（　　） A. 二个交点 B. 一个交点 C. 无交点 D. 三个交点 9. 如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为 A. 1 B. C. D. 10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc>0；②a+b+c>0；③a+c>b；④2a+b=0；⑤=b2-4ac<0中，成立的式子有( ) A. ②④⑤ B. ②③⑤ C. ①②④ D. ①③④ 二．填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 12. 把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为______________． 13. 已知m是方程x2－x－3＝0的一个根，则代数式m2－m的值等于_________． 14. 已知的半径是3cm，则中最长的弦长是___________． 15. 如图，已知抛物线与直线相交于两点，则时的取值范围是________________________． 16. 如图，、是的两条互相垂直的弦，圆心角，，的延长线相交于P， _____度． 17. 如图，在直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为______________． 三．解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 解方程：． 19. 求抛物线与轴的交点坐标及抛物线的对称轴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若和关于原点成中心对称图形，画出图形并写出的各顶点的坐标； （2）将绕着点按顺时针方向旋转得到，作出，并写出各顶点的坐标． 四．解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m为正整数时，求的值． 22. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系． （1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式． （2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元?如果能，求出此时的销售价格；如果不能，请说明理由． 23. 如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF. (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心____点，按顺时针方向旋转___度得到； (3)若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积． 五．解答题（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，是⊙O的直径，是弦，平分交于D，连接交于F，与交于点E． （1）若，求的度数； （2）若的半径为6，且E是的中点，求． 25. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交BC与点Q，当点P在何位置时，线段PQ的长度有最大值？ （3）点M在x轴上，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M，点N，使以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 廉江市实验学校2021-2022学年度第一学期九年级期中考试数学试卷（B卷） （考试时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故A错误； B、不是一元二次方程，故B错误； C、不是一元二次方程，故C错误； D、是一元二次方程，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义进行解题． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】A、B都只是轴对称图形； C、既是轴对称图形又是中心对称； D、只是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式的意义直接解答即可． 【详解】解：二次函数y=（x+1）2-4的图象的顶点坐标是（-1，-4）． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）． 4. 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（　　） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】D 【解析】 【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB＝2∠C，得到答案． 【详解】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB， ∴， ∴∠DOB＝2∠C＝50° 故选D． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5. 对于二次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，有最大值 B. 当时，随的增大而减小 C. 开口向下 D. 函数图象与轴交于点和 【答案】A 【解析】 【分析】先把一般式配成顶点式得到y=-（x-1）2+4，再根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程-x2+2x+3=0得抛物线与x轴的交点坐标，可对D进行判断． 【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，-1＜0， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），故C正确，不符合； 当x≥1时，y随x的增大而减小，故B正确，不符合； 当x=1时，y有最大值4，故A错误，符合； 当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），故D正确，不符合； 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 6. 某校为落实“光盘行动”，对每天的剩饭菜进行称重，第一周的剩余量为20kg，第三周为9.8kg，设每周剩余量的平均减少率为x，则可列方程（　　） A. 20（1﹣x）2＝9.8 B. 20（1+x）2＝9.8 C. 20（1﹣2x）＝9.8 D. 20（1+2x）＝9.8 【答案】A 【解析】 【分析】设每周剩余量的平均减少率为x，根据第一周的剩余量为20kg，第三周为9.8kg，，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每周剩余量的平均减少率为x， 根据题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 7. 若二次函数的图象过，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴，利用图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=3． ∵点A（4，a），B（3，b），C（-1，c）都在二次函数y=x2-6x+k的图象上， 而三点横坐标离对称轴x=3的距离按由远到近为： （-1，c）、（4，a）、（3，b）， ∴c＞a＞b， 故选：D． 【点睛】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据二次函数关系式，找出对称轴的位置． 8. 抛物线与坐标轴交点为（　　） A. 二个交点 B. 一个交点 C. 无交点 D. 三个交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，分别求出抛物线与x轴和y轴的交点，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 则抛物线交y轴交于点； 当时，， 解得：或， 则该抛物线与x轴交于点，， 综上分析可得抛物线与坐标轴有2个交点． 故选：A． 9. 如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为 A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】作点A关于MN的对称点A′,连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小， 连接OA′,AA′. ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′， ∵点B是弧AN∧的中点， ∴∠BON=30 °， ∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°， 又∵OA=OA′=1， ∴A′B= ∴PA+PB=PA′+PB=A′B= 故选：C. 10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc>0；②a+b+c>0；③a+c>b；④2a+b=0；⑤=b2-4ac<0中，成立的式子有( ) A. ②④⑤ B. ②③⑤ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号， ∴b＜0， ∵抛物线交y轴于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①正确， ∵x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，故②错误， ∵x=-1时，y＞0， ∴a-b+c＞0， ∴a+c＞b，故③正确， ∵对称轴x=1， ∴-=1， ∴2a+b=0，故④正确， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴∆=b2-4ac＞0，故⑤错误， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 二．填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 得到直线解析式为：，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 13. 已知m是方程x2－x－3＝0的一个根，则代数式m2－m的值等于_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，可得，进而即可求得代数式m2－m的值． 【详解】 m是方程x2－x－3＝0的一个根， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 14. 已知的半径是3cm，则中最长的弦长是___________． 【答案】6cm 【解析】 【分析】根据圆的直径为圆中最长的弦，即可求解． 【详解】解：∵圆的直径为圆中最长的弦， ∴中最长的弦长为cm． 故答案为：6cm． 【点睛】本题主要考查圆的相关概念，掌握圆的直径为圆中最长的弦是关键． 15. 如图，已知抛物线与直线相交于两点，则时的取值范围是________________________． 【答案】x≤-2或x≥3 【解析】 【分析】直接根据两函数图象的交点为A（-2，3）、B（3，-1）两点，进而结合函数图象得出y1≥y2时x的取值范围． 【详解】解：如图所示：∵抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=kx+m相交于A（-2，3）、B（3，-1）两点， ∴y1≥y2时x的取值范围是：x≤-2或x≥3． 故答案为：x≤-2或x≥3． 【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确画出函数图象是解题关键． 16. 如图，、是的两条互相垂直的弦，圆心角，，的延长线相交于P， _____度． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形外角的性质，先根据圆周角定理求出，再根据直角三角形的性质求出，然后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】设与交于点E， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：40． 17. 如图，在直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为______________． 【答案】（36，0） 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再求出三角形OAB的周长，再研究图形旋转的规律，每三次旋转为一个周期，相当平移一个三角形的周长12个单位，利用10除以3求余数1，说明三个循环直角回坐标轴上，第10次绕直角旋转没动即可求出． 【详解】∵点A(－3，0)，B(0，4)， ∴AB=， ∴△OAB的周长=3+4+5=12， 由原图到图③，旋转一个周期，相当于向右平移了12个单位长度，每三个图旋转一个周期直角回到坐标轴上， 10÷3=3…1， 由于⑨直角顶点到⑩位置没动， 三角形④的直角顶点的坐标为（12，0），象这样平移三次直角顶点是（12×3，0），即（36，0）， 则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36，0）． 故答案为：（36，0）． 【点睛】本题考查图形旋转规律探索题涉及点的坐标，勾股定理，三角形周长，旋转与平移关系，掌握点的坐标的求法，勾股定理的应用，会求三角形周长，会用旋转与平移关系解释旋转规律是解题关键． 三．解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次次方程，直接利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 解得：． 19. 求抛物线与轴的交点坐标及抛物线的对称轴． 【答案】（1，0），（-3，0），直线x=-1 【解析】 【分析】令x2+2x-3=0，求出x的值即可得出抛物线与x轴的交点坐标，再根据对称轴公式求出对称轴即可． 【详解】解：令x2+2x-3=0， 则x1=1，x2=-3， 则抛物线y=x2+3x-4与x轴的交点坐标为：（1，0），（-3，0）, 对称轴为直线x==-1． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意把求抛物线与x的交点问题转化为求一元二次方程解的问题是解答此题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若和关于原点成中心对称图形，画出图形并写出的各顶点的坐标； （2）将绕着点按顺时针方向旋转得到，作出，并写出各顶点的坐标． 【答案】（1） 即为所求： ，，， （2） 如图：即为所求， ，，． 【解析】 【分析】本题主要考查作图一旋转变换，关于原点的对称的图形，求关于原点对称和旋转后点的坐标． （1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将三个顶点分别绕着点O按顺时针方向旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四．解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m为正整数时，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可； （2）先求出的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且； 【小问2详解】 ∵且，m为正整数， ∴， ∴原方程为， ∴， 设为的两个根， 则， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟知以下知识点是解本题的关键：一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；若分别是一元二次方程的两个根，则，． 22. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系． （1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式． （2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元?如果能，求出此时的销售价格；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由： 由（1）得． 又∵， 可得，当售价定为42元时，获得的利润最大，最大销售利润是432元， ∵， ∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=(销售价-进价) ×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法； （1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=(销售价-进价) ×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围； （2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案； 【小问1详解】 解：由题意，得每件商品的销售利润为元，那么m件的销售利润为， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴所求关系式为． 【小问2详解】 略 23. 如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF. (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心____点，按顺时针方向旋转___度得到； (3)若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积． 【答案】 (1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°， 而F是CB的延长线上的点， ∴∠ABF＝∠D＝90°， 又∵AB＝AD，DE＝BF， ∴△ADE≌△ABF(SAS)； (2)A，90；(3) 34 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得，，然后利用“”易证得； （2）由于得，则，即，根据旋转的定义可得到可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转得到； （3）先利用勾股定理可计算出，再根据可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到，，然后根据直角三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：(1) 略 （2）， ， 而， ，即， 可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到． 故答案为A、90； (3)∵BC＝8， ∴AD＝8， 在Rt△ADE中，DE＝2，AD＝8， ∴AE＝＝2， ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴△AEF的面积＝AE2＝×4×17＝34． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理． 五．解答题（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，是⊙O的直径，是弦，平分交于D，连接交于F，与交于点E． （1）若，求的度数； （2）若的半径为6，且E是的中点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆中的计算及综合证明问题，难度较大．解答时，注意同弧所对的圆周角的关系运用，注意全等三角形的性质的运用，根据图形，分析清楚边、角之间的关系是关键． （1）先利用直径所对的圆周角为直角，结合可得，再由平分可知,利用同弧所对的圆周角相等可得； （2）先证明，得到为的中点，得到，因为是的中点，则，在和中，可利用证明出，得到，再根据，得，，然后在中，由勾股定理计算出即可． 【小问1详解】 解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中 ∴≌， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 25. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交BC与点Q，当点P在何位置时，线段PQ的长度有最大值？ （3）点M在x轴上，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M，点N，使以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（，）；（3）存在，点M的坐标为（4，0）或（﹣2，0）或（2，0） 【解析】 【分析】（1）点A（﹣1，0），点C（0，3），顶点在直线x＝1上，则c＝3，点B（3，0），故抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解； （2）设点P（t，﹣t2+2t+3），Q（t，﹣t+3）．则PQ＝﹣t2+3t，即可求解； （3）分BC是平行四边形的边、BC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，顶点在直线x＝1上， ∴点B（3，0）， ∵抛物线与y轴交于点C（0，3）， ∴c＝3， 设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， ∴﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将点B、C的坐标代入得： ， 解得， 直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 设点P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3）． ∴PQ＝﹣t2+3t=， ∴当t＝时，PQ长度的最大值为， 此时﹣t2+2t+3＝， ∴点P的坐标为（，）； （3）设点M（m，0）、点N（1，n），点C（0，3）、点B（3，0）， ①当BC是平行四边形的边时， 点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到B， 同理点C（B）向右平移3个单位向下平移3个单位得到B（C）， 即1+3＝m或1﹣3＝m，解得：m＝4或﹣2； ②当BC是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：1+m＝3，解得：m＝2， 故点M的坐标为（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法，求图象中线段长度的最大值，利用平行四边形的性质求点坐标，线段的中点计算公式，（3）中注意分类讨论的方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $