山东省济南市莱芜凤城高级中学2023-2024学年高一下学期第四次单元检测数学试题

凤城高中2023级高一下学期第四次单元检测 数学试题 (试卷满分150分，考试用时120分钟) 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.每小题给出四个选项，只有一 个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题 1.在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a=(1,3),b=(3,),若a⊥b,则实数1的值为 A.7 B.3 C.-1 D.-3 3.己知P(A)=0.5,P(B)=03,P(AB)=02,则P(AUB)= A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.1 4.己知四边形ABCD是平行四边形，EC=2BE,DF=2F元，记AB=ā，AD=b,则 EF=( A.-1a+2B B.-a-2 2a+6 a-6 3 33 c 331 D. 3 5.在正四面体S-ABC中，D,E分别是SC,AB中点，则DE与BS所成角的为() A.T B. 4 C. -3 D. 2 6.若-个圆锥的体积为25x ,用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶 角为，，则该圆锥的侧面积是(） A.V2π B.2元 C.22r D.4/2r 7.己知问-1，石=1)，a1(a+列，则向量a在向量8上的投影向量为() 高一数学试题第1页（共4页) A.（1,例 B.（5,-1 8.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中 生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间 均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为() A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75 二、多项选择题：本大题共3小题；每小题6分，共18分.每小题给出四个选项，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知a、B为两个不同平面，m、n为两条不同的直线，下列结论正确的为() A若mlln,m⊥a,则n⊥a B.若m⊥a,m⊥B,则all月 C.若a⊥B,m⊥a,则ml1B D.若m⊥a,mCB,则a⊥B 10.如图是一个古典概型的样本空间和事件A和B,其中n(2)=24,n(A)=12, n(AB)=4,n(AUB)=16,则() A@- &P=号 C.事件A与B互斥 D.事件A与B相互独立 11,如图，正方体ABCD-ABCD中，P是线段BC上的动点（不含两端点），则() A.直线AP与平面ACD,相交 B.三棱锥A-D,PC的体积不变 C,平面PDB⊥平面ACD 设直线DP与平面AC所成的角为B,则tanO取值范围为(0，I) 三、填空题：本大题共3小题；每小题5分，共15分. 12.抽取某校高一年级10名女生，测得身高（单位：cm)数据如下：163165161157162 165158155164162,据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是 13.正三角形ABC边长为2，点P满足AP=AB+AC,则BP.AB=一 1A.己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD为等边三角形，平面PAD⊥平 面ABCD,其中AD=2,AB=3,则四棱锥P-ABCD的体积为，其外接球表面 积为 四、解答题：本大题共5小题，共7T7分.解答应写出文字说明、证明过程或步骤， 15.（本小题13分)某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机 抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组 [65,75),第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、 四、五组的频率之和为07，第一组和第五组的频率相同. 频革 组距 (1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数： 0.045-.. (2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然 0.020… 后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率. a" 455565758595分类 16.（本小题15分)在△ABC中，已知角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2 ccos A=2b-a (1)求角C的大小： CD (2)若b=3a,AB边上的中线为CD,求 的值 AB 高一数学试题第3页（共4页） 17.（本小题15分)如图，在正三棱柱ABC-AB,C,中，D是BC中点. (1)证明：AB∥平面ACD: A B (2)若AB=2,AC⊥AB,求A到平面ACD的距离 18.(本小题17分)甲、乙两人组成“九章队”参加凤城高中数学学科周“最强大脑”比赛， 每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，己知甲每轮猜对的概率为。，乙每轮猜对的概率为 3 ，在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影 (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率： (2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率。 19.（本小题17分)如图l,在四边形ABCD中，AE=BE=2CD=2,CE=√5 BC⊥CD,AEIICD,G为AB的中点，将四边形AECD沿AE折起，使得BC=√厅， 数 得到如图2所示的几何体 (1)证明：DG⊥平面ABE; (2)若F为BE上靠近B点的三等分点，求二面角D-AF-B的余弦值， C D E C B D G B A G 图1 图2 高一数学试题 第4页（共4页） 凤城高中2023级高一下学期第四次检测 数学试题答案 一、单选题 1-4A C BA 5-8B C D B 二、多选题 ABD 10.AD 11.BCD 三、填空题 43π 12.153 13.2 14. 25； 3 四、解答额 15.（1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以(0.045+0.020*)×10=0.7，解得a=0.005, 所以前两组的频率之和为1-0.7=0.3， 即(a+b)×10=0.3,所以b=0.025: 平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5， (2)第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为口，b,c,d 第五组志愿者人数为1，设为e,这5人中选出2人，所有情况有(a,b)，(a,c),(a,),(a,e), (6,c),(,d).(6,e),(c.d),(c,e,(d,e,共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有(a,b),(a,c),(a,),(,c,,),(c,共6种情况， 故远出的两人来自同组的概率为合-？、。 16. (1)由2 ccosA=2b-a,以及正弦定理可得：2 sinCcosA=2sinB-sinA, …1分 即2 sin Ccos A=2sin(A+C)-sinA=2 sin AcosC+2 cos Asin C-sinA,…3分 即2 sin AcosC-SinA=0,… …4分 又在A4BC中，sinA≠0，所以eosC=2' …4…5分 又C∈(0，π).所以C= 3 ,…7分 (2)AB=a'+b-2abcos =7a 3 …………9分 AB=a… …10分 ~(2CD)}+AB2=2(a2+b …12分 CD=1 2 -a …14分 2-91 …15分 28 14 17.(1)连接AC,交AC,于点0，连接OD, ~四边形ACC,A为平行四边形，∴O为AC中点，又D为BC中点， ∴DO∥AB,又AB文平面ACD,DOc平面ACD,.AB∥平面ACD. (2)设AA=b,A到平面ACD的距离为d, ,AC⊥AB,DO∥AB,AC⊥DO,又O为AC中点，AD=DC, 又△4BC为等边三角形，AD=V22-下=√5DC=VB+1=√万， 解得：b=2, Vp-MG2 wc=Ixxix2xx-6 8m=00x4G=*9 2 2 6 3 即4到平面ACD的距离为 3 2 1B、(1)设甲两轮至少猪对-个数学名词为事件F,P(F)=2x子x+仔》 4,48 一十一= 999 (2)设事A=“甲第一轮猜对”，8=“乙第一轮猜对”，C=“甲第二轮猜对”，D= “乙第二轮猜对”，E=““九章队”猜对三个数学名词”， 所P()=PC)=子，P(B)=Po)-,P(A=P(@=P(同=P(D)=月 E=ABCDABCDUABCDU ABCD, 由事件的独立性与互斥性，得P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD) =P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D) +P(A)P(B)P(C)P(D) =-x2x2x2+2x1x2x3+2x3x1x323215 一X一X一X一十一X一X一X一= 343434343434343412 D 故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词概率为 2 19.(1)如图，取BE的中点O,连接OC,OG, 所 又因为G为AB的中点，所以OG1IAE,OG=二AE. 因为CD11AE,CD=号AE,故CD11OG,且CD=OG, 所以四边形CDGO为平行四边形，则DG11CO, 因为AE⊥CE,AE⊥EB,CEEB=E,CE,EBC面BCE,所以AE⊥平面BCE, 因为COc平面BCE,所以AE⊥CO, 因为BC=CE,O是BE的中点，所以BE⊥CO,所以AE⊥DG,BE⊥DG, 因为BE∩AE=E,BE,AEC面ABE,所以DG⊥平面ABE. (2)在平面ABE内，过点G作GH⊥AF,连接DH, 由(1)知，DG⊥平面ABE,因为AFc平面ABE,所以DG⊥AF, 因为GH⊥AF,DG,GHC平面DHG,DG⌒GH=G,所以AF⊥平面DHG, 因为DHc平面DHG,所以AF⊥DH, 因为GH∩DH=H,所以∠DHG是二面角D-AF-B的平面角， 24 直角△EF中，AE=2EF=2×号3，所以 16_23 AF=√AE2+EF=4+ 93 因为5a4证Bx2x2=2,所以3心- 1 11 2 23 所以5ase-号4P-GH=兮，解得GH= 2 13 在直角aC0E中，C0=√CE2-OE2=√3-I=2,所以DG=C0=√5， 在直角△DHG中，DH=DG+Gn-2+5-, 所以<Dc8册-吾，即=面角D--B的余孩值为