2.5.2圆与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线与圆的方程 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2 圆与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ ____ ____ ____ 代数法： 消元得到一元二次方程的判别式Δ ____ ____ ____ d<r d＝r d>r Δ>0 Δ＝0 Δ<0 复习 前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系．现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系． 我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系： O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 圆与圆的位置关系（R>r） r R 一种特殊的内含 两个圆之间存在以下三种位置关系： (1)两圆相交，有两个公共点 (2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点 (3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点 探究 思考： 类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的关系？ 解：设两圆的一般方程为： C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D12＋E12－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)，联立方程，则方程组解的个数n与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 新知 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公共点个数 0 1 2 1 0 几何法:d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1-r2| <d< r1＋r2 d＝|r1－r2| d< |r1－r2| 代数法：联立方程组解的个数 0 1 2 1 0 × 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.(　　) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(　　) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　　) × × 自学检测1: 解　(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件； (2)除外切外，还有可能内切； (3)两圆还可能内切或内含. AB 2.(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是(　) A.0＜m＜1 B.－1＜m＜0 C.m＜1 D.－3＜m＜1 已知圆C1:x2+y2-6x+8y=0和圆C2:x2+y2+2x-3=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系。 ③ 分析：思路1:圆C1与圆C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定； ① ② 自学检测2: 方法二 将C1的方程化成标准方程，得 将C2的方程化成标准方程，得 圆心坐标（3，-4），半径为5。 圆心坐标（-1，0），半径为2。 圆C1与C2的连心线的长为： 圆C1与圆C2的半径长之和为： r1+r2=5+2=7 圆C1与圆C2的半径长之差为： r1-r2=5-2=3 因为 所以两圆相交。 已知圆C1:x2+y2-6x+8y=0和圆C2:x2+y2+2x-3=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系。 思路2:借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和r1+r2或两半径的差的绝对值|r1-r2|的大小关系， 判断两圆的位置关系. 3.圆与圆的位置关系的判定： 几何方法 两圆心坐标及半径（配方法） 圆心距d （两点间距离公式） 比较d和r1，r2的大小，下结论 代数方法 消去y（或x） [例1]　已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系． 方程④的根的判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0， 所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2.把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2.因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交． 法二：把圆C1的方程化成标准方程，得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25， 圆C1的圆心是(－1，－4)，半径r1＝5. 和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线 两圆的公切线 外公切线 内公切线 公切线 两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫外公切线 A A B B 公切线上两个切点的距离叫做公切线长 两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫内公切线 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 4条 3条 2条 1条 无 合 作 交 流 公切线上两个切点的距离叫做公切线长 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有( ) A．1条　　　B．2条 C．3条 D．4条 自学检测3:公切线问题 B 2.已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝__________，b＝__________. 解　如图，直线分别与两个半径相等的圆相切，由对称性可知，直线与x轴的交点为A(2，0). 由AB＝2，BM＝1，∠AMB＝90°，得∠MAB＝30°， 轨迹问题 考点三：圆与圆的公共弦 圆 与圆 相交于A,B两点，如何求公共弦的方程？ 圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦． 方法一： 将两圆方程联立，求出两个交点的坐标，利用两点式求公共弦的方程. 方法二： 先来探究一般情形． 已知圆 与圆 相交于A,B两点， 设 那么 同理可得 由③④可知 一定在直线 显然通过两点的直线只有一条，即直线方程唯一， 故公共弦的方程为 消去二次项 所以前面探究问题可通过 （D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0 得出, 即公共弦的方程为：2x+1=0 圆 与圆 1．圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦． 2.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. 3.求两圆公共弦长的方法：一代数法是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二几何法是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和半弦构成的直角三角形求解. 知识探究: C 自学检测4:公共弦问题 1．已知圆M：x2＋y2＝10和圆N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为__________；过两圆交点，且面积最小的圆的方程为________． x＋y－2＝0 　(x－1)2＋(y－1)2＝8 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 自学检测4:公共弦问题 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 自学检测4:公共弦问题 圆系方程 1、定义：具有某种 ______ 性质的圆叫做圆系； 它的方程叫 _____________ 2、常见的圆系方程： (1) 半径相等的圆系方程为 ______________________________________ 图象特点：_______________________ 共同 圆系方程 ( x －a ) 2 + ( y －b ) 2 = r 2 ( a、b 为参数 ) 大小一样，位置不同 知识探究: (2) 同心圆系方程为： ___________________________________ 图象特点：____________________ (3) 过两圆交点的圆系：若两圆 x 2 + y 2 + D1x + E1y + F1 = 0 和 x 2 + y 2 + D2x + E2y + F2 = 0 相 交，则过这两圆交点的圆系方程为 ________________________________________ ( x －a ) 2 + ( y －b ) 2 = k 2 ( k 为参数 ) 位置相同，大小不同 公共弦方程 当 = －1 时，方程表示两圆的 故求两圆的公共弦方程，只需消去 x 2、y 2 项 [大本例四]　求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程． 分析：法一：两圆方程相减得公共弦方程，后与其中一圆方程联立．求两交点A，B的坐标，进而求以A，B为直径的圆的方程． 法二：利用圆系方程直接求解． 1.点M在圆心为C1的圆x2+y2+6x-2y+1=0上,点N在圆心为C2的圆x2+y2+2x+4y+1=0上,求|MN|的最大值. 五、最值问题： y x O M N C1 C2 解:把圆的方程都化成标准形式,为 (x+3)2+(y-1)2=9 (x+1)2+(y+2)2=4 如图,C1的坐标是(-3,1),半径3; C2的坐标是(-1,-2),半径是2, 所以,|C1C2|= = 因此,|MN|的最大值是 3. 求圆 关于直线 对称的圆的方程. C E D (a,b) 解： 设对称圆圆心为D（a,b)半径同圆C. 五、其它问题 满足 解　点C在直线l：y＝2x－4上，故设C的坐标为(a，2a－4). 因为半径r1＝1，所以圆C的方程是(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1. 设点M(x，y)，则由|MA|＝2|MO|可得点M的轨迹正是阿波罗尼斯圆D， (2)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围. 化简整理得x2＋(y＋1)2＝4. 所以点M(x，y)在以D(0，－1)为圆心，r2＝2为半径的圆上. 又点M(x，y)在圆C上，所以两圆有公共点的条件是|r1－r2|≤|DC|≤|r1＋r2|， 1.研究两圆的位置关系可以有两种方法: 代数法：联立两者方程看是否有解 几何法：判断圆心距与两圆半径的和与差的 绝对值的大小 2.会求两圆相交时的公共弦所在的直线的方程 和公共弦长. 五、课堂小结 探究3　(1)与两个圆都相切的直线叫作两圆的公切线，两圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． ①两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； ②两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； ③两圆相交时，只有2条外公切线； ④两圆内切时，只有1条外公切线； ⑤两圆内含时，无公切线． (2)确定公切线的条数，应首先判断两圆的位置关系，从而防止漏解． [例3]　求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆 x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0交点的圆的方程． [解析]　解法一　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0.)) 得到两圆公共弦所在的直线为y＝x， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x2＋y2－4x－6＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝3.)) ∴两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点 分别为A(－1，－1)，B(3，3)， 线段AB的垂直平分线方程为y－1＝－(x－1)． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－1＝－（x－1），,x－y－4＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.)) ∴所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为 eq \r(（3－3）2＋[3－（－1）]2)＝4. ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 解法二　由解法一知A(－1，－1)，B(3，3)． 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b－4＝0，,（－1－a）2＋（－1－b）2＝r2，,（3－a）2＋（3－b）2＝r2，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1，,r2＝16，)) ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 解法三　设经过两圆交点的圆的方程为： x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)， 即x2＋y2－eq \f(4,1＋λ)x－eq \f(4λ,1＋λ)y－6＝0， ∴圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))). 又∵圆心在直线x－y－4＝0上， ∴eq \f(2,1＋λ)－eq \f(2λ,1＋λ)－4＝0，即λ＝－eq \f(1,3)， ∴所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0. 过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0. 过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的 交点的圆的方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0 (λ≠－1，其中不含圆C2)． 当λ＝－1时，l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0为两圆的公共弦所在 直线的方程； 当两圆相切时，l为过两圆切点的直线方程． $$