2.5.1直线与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线与圆的方程 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 3、平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是 复习回顾 2、圆的一般方程: 1、圆心C(a,b),半径r的圆的标准方程为 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系: (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点； 问题：如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 学习新知 (2)直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线。 这个点叫做切点。 (1)直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交 ，这条直线叫做圆的割线。这两个公共点叫交点。 (3)直线和圆没有公共点时,这时我们说这条直线和圆相离。 ●O ●O ●O 学习新知 （一）直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分） d< r 直线和圆相切 d= r 直线和圆相离 d> r ∟ r d ∟ r d 数形结合： 位置关系 数量关系 直线和圆相交 O O r d ●O 学习新知 （二）直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的距离d与 圆的半径r的关系来区分） 直线与圆的位置关系的判定方法： 直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 方法一：利用直线与圆的公共点的个数进行判断： 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 △<0 △=0 △>0 消去 y ，得 直线与圆的位置关系的判定方法： 直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 方法二：利用圆心到直线的距离d与半径r的 大小关系判断： d > r d = r d < r 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ ____ ____ ____ 代数法： 消元得到一元二次方程的判别式Δ ____ ____ ____ d<r d＝r d>r Δ>0 Δ＝0 Δ<0 新知 9 例1： 已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆 ，判断直线L与圆的位置关系 方法一，判断直线L与圆的位置关系，就是联立方程，看实数解的情况； 0 x y A B C L 方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系。 类型一：判断直线与圆的位置关系 10 例1.已知直线 与圆 判断l与圆的位置关系 x y O C B A 解：代数法 联立圆和直线的方程得 由①得 把上式代入② ① ② ④ 所以方程④有两个不相等的实根x1，x2 ③ 有两个公共点,所以直线l与圆相交 邢启强 滕州一中 QQ：250019599 10 11 d 例1.已知直线 与圆 判断l与圆的位置关系 x y O C B A 解：几何法 圆心（0，1） 设C到直线l的距离为d 所以直线l与圆相交 有两个公共点 12 判断直线和圆的位置关系 变式1.已知直线l：2x＋y－4＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系． 1.直线与圆的位置关系 变式1.已知直线l：2x＋y－4＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系． 1.直线与圆的位置关系 B 解法1: 3x+y-6=0 ① x2+y2-2y-4=0　② 消去y得: x2-3x+2=0 解得: x1=1, x2=2 ∴直线l与圆C的两个交点是A(2,0),B(1,3). 解方程组: ① [大本例二]. 解法2: 将圆方程化为标准式为:x2+(y-1)2=5 ∴圆心坐标为(0,1),半径为 圆心到直线l的距离 ∴直线l与圆相交,有两个公共点. [大本例二] . x y O C A B l 求直线与圆相交时弦长的两种方法 几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,r圆的半 代数法：联立方程组求交点坐标 总结归纳 总结归纳 2.圆的弦长公式 2.圆的弦长公式 2.圆的弦长公式 2.圆的弦长公式 例3.过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,求切线的方程 分析：如图,容易知道，点P(2,1)位于圆O:x2+y2=1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切，我们设切线方程为y-1=k(x-2),k为斜率，由直线与圆相切可求出k的值. 解:当直线的斜率存在时，设切线l的斜率为k, 则切线l的方程为y-1=k(x-2),即x-y+1-2k=0. 由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1,得 解得k=0或k= 因此，所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0. 当直线的斜率不存在时，直线与圆不相切 综上，所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0. 3.圆的切线问题 例2.过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,求切线的方程 解法2:当直线的斜率存在时，设切线l的斜率为k, 则切线l的方程为y-1=k(x-2).因为直线l与圆相切， 所以方程组 所以，所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0. 消元，得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0. ① 因为方程①只有一个解， 所以△=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0, 当直线的斜率不存在时，直线与圆不相切 综上，所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0. 例题 求过一点P的圆的切线方程问题需注意： 1.先判断点P与圆的位置关系 若点P在圆上，切线有一条 若点P在圆外，切线有两条 2.在求切线的过程中，要注意讨论斜率不存在的情况. 先定位，再定量 解惑提高 变式1.若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程． 3.圆的切线问题 O y x 图2.5-5 港口 轮船 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如图2. 5-5， 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险． O y x 图2.5-5 港口 轮船 所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险． 方法提升：用坐标法解决问题的步骤 ——“三步曲” 1).建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题。 2).通过代数运算,解决代数问题（有目的地）. 3).把代数运算结果“翻译”成几何结论. 几何 代数 几何 题型五　直线与圆的方程的实际应用 [例5]　已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，求B城市处于危险区内的时间． 小结 1、直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ ____ ____ ____ 代数法： 消元得到一元二次方程的判别式Δ ____ ____ ____ d<r d＝r d>r Δ>0 Δ＝0 Δ<0 2、直线与圆相交，注意半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形在解题中的应用． 3、坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：建系→运算→翻译 径为r,弦长为|AB|,则有()2+d2=r2,即|AB|=2. 求直线与圆相交时的弦长有三种方法 1.交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|＝求解. 2.弦长公式： 如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝eq \r(1＋k2)|x1－x2| ＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0). 3.几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq \r(r2－d2).通常采用几何法较为简便. 解法二：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5， 其圆心坐标(0,1)，半径r＝eq \r(5)， 点(0,1)到直线l的距离为d＝eq \f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝eq \f(\r(10),2)， 所以半弦长为eq \f(|AB|,2)＝eq \r(r2－d2)＝eq \r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))2)＝eq \f(\r(10),2)， 所以弦长|AB|＝eq \r(10)． 变式1. (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|. 解法一：由得交点A(1,3)，B(2,0)， 故弦AB的长为|AB|＝． ＝ 变式1. (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|. 解法三：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，)) 消去y，得x2－3x＋2＝0． 设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1·x2＝2． ∴|AB|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12) ＝eq \r(10[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(10×32－4×2) ＝eq \r(10)， 即弦AB的长为eq \r(10)． $$