第二十三章旋转 知识点详解及题型分类汇总讲义2024-2025学年人教版九年级上册

旋转 【知识点梳理】 一、旋转的定义 在平面内,把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,就叫做图形的旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。 2、 旋转的三要素 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 【新知理解】如图,由 ABC旋转得到 ADE,其中点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,旋转角为 ,连接BD, ABD为何种特殊三角形?连接CE, ACE为何种特殊三角形? 三、旋转的性质 (1) 对应点到旋转中心的距离相等; (2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前后的图形全等。 四、利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质: (1) 任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等,它是利用旋转的性质作图的关键。 步骤可分为: ①连:即连接图形中每一个关键点与旋转中心; ②转:即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角) ③截:即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点; ④接:即连接到所连接的各点。 五、旋转对称图形 (1)旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360 )后能与原图形重合,那么这个图形就叫做旋转对称图形. (2)常见的旋转对称图形有:线段,正多边形,平行四边形,圆等. 六、中心对称 (1)中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180 ,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.. (2)中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合; ②关于中心对称的两个图形,对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分. 七、中心对称图形 (1)定义 把一个图形绕某一点旋转180 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心. 注意:中心对称图形和中心对称不同,中心对称是两个图形之间的关系,而中心对称图形是指一个图形自身的特点,这点应注意区分,它们性质相同,应用方法相同. (2)常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等. 注意:中心对称与中心对称图形的区别 区别:中心对称指两个图形,其中一个旋转180 后与另一个重合。 中心对称图形指一个图形旋转180 后与自身重合 八、关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中,如果两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反,即点p(x,y)关于原点对称点为(-x,-y)。 【题型汇总】 一、旋转定义 1.下列运动属于旋转的是( ) A.足球在草地上滚动 B.火箭升空的运动 C.汽车在急刹车时向前滑行 D.钟表的钟摆动的过程 2.下列各图中,能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是( ) A.B. C.D. 3.将如图的图形按逆时针方向旋转后得到的图形是( ) A. B. C. D. 4.如图,在正方形网格中,三角形ABC绕某点旋转一定的角度得到三角形A’B’C’,则旋转中心是点( ) A.O B.P C.Q D.M 二、旋转三要素 1.将 ABC旋转至 A'BC,指出它的旋转中心和旋转角的大小. 2.下图(6)是一片漂亮的雪花,它可以看作是图(a)绕哪一点旋转多少次而成?其每次的旋转角是多少度? 3.用一张半透明的薄纸,覆盖在画有任意 AOB的纸上,在薄纸上画出与 AOB 重合的一个三角形,然后用一枚图钉在点〇处固定,将薄纸绕着图钉(即点O)转动一个角度45 ,薄纸上的三角形就旋转到了新的位置,标上A'、0’、B’,我们可以认为 A0B旋转 45 后到了上 A'OB.在这样的旋转过程中,你发现了什么? 1 请根据旋转的性质,完成下列填空:点B的对应点是 ;线段 AB 的对应线段是线段 ;线段 OB的对应线段是线段 。 ∠B的对应角是 ;∠A的对应角是 。旋转中心是点 。旋转的角度是 。 2 如上右图,如果旋转中心在 ABC的外面点0处,转动60 ,将整个 ABC旋转到 A'B'C'的位置.那么这两个三角形的顶点、边与角是如何对应的呢? 三、旋转的性质 1.如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为 (0 < <90 ),若∠BAD′=70 ,则 = (度). 2.如图,将绕顶点逆时针旋转得到,且点刚好落在上,若,,则等于( ) A. B. C. D. 3.如图,将绕直角顶点C顺时针旋转,得到,连接,若,则的度数是( ) A. B. C. D. 4.如图,将绕着点O顺时针旋转,得到(点C落在外),若,,则最小旋转角度是( ) A.20 B.30 C.40 D.50 5.如图,将绕点C顺时针旋转,点B的对应点为点E,点A的对应点为点D,当点E恰好落在边上时,连接,若,则的度数是( ) A. B. C. D. 6.如图,在矩形ABCD中,AD=4,DC=3,将 ADC绕点A按逆时针旋转到 AEF(A、B、E在同一直线上),连接CF,则CF的长为( ) A.5 B.3 C.4 D.5 7.如图所示,中,,以为边向外作等边三角形,把绕着点D按顺时针方向旋转到的位置,且点、、在一条直线上,若,,则的长等于( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8.如图,P为正方形内一点,,将绕点C逆时针旋转得到,则的长是( ) A.1 B. C.2 D. 9.如图,在正方形中,,将绕点顺时针旋转得到三角形A’BD’,此时与交于点,则的长度为 . 10.如图,在中,,,将三角形ABC绕点逆时针旋转得到三角形A1B1C,是的中点,是的中点,连接,若,则线段的最小值是 . 11.如图,在三角形ABC中,,.将三角形ABC绕某点逆时针旋转,得到三角形BDE,与相交于点.若是的中点,则的长是 . 12.如图,P为正方形内一点,,将绕点C逆时针旋转得到, (1)旋转中心是_.旋转角为_度. (2)求的长度. 13.如图,在 ABC中,∠B+∠ACB=30 ,AB=4, ABC逆时针旋转一定角度后与 ADE重合,且点C恰好成为AD中点. (1)指出旋转中心,并求出旋转角的度数; (2)求出∠ BAE的度数和AE的长. 14.已知三角形ABC,以为边向外作等边三角形BCD,三角形ABD经过旋转后到达三角形ECD的位置,且点A,C,E恰好在一条直线上, (1)旋转中心是点 ,旋转角的大小为 (度); (2)求 的度数和的长. 15.如图1,在三角形ABC中,,,D为上一点,连接,将绕点C顺时针旋转至,连接. (1)求证: BCD全等于 ACE; (2)如图2,连接,若,,求的长. 16.如图,在正方形中,E为边上的点,将绕点C顺时针方向旋转得到,连接EF,,求的度数. 17.如图,正方形的边长为6,E,F分别是,边上的点,且,将三角形DAE绕点D逆时针旋转,得到. (1)求证:; (2)当时,求的长. 18.如图,在正方形中,点E为上一点,把三角形ADE绕点A顺时针旋转至的位置,,,求线段的长度. 19.如图,将绕点顺时针旋转得,点的对应点恰好落在的延长线上,连接.AC,DE相交于点P. ( )求证: ADB是等边三角形; ( )直接写出∠ APD的度数_. 20.如图,E点是正方形ABCD的边BC上一点,AB=12,BE=5, ABE逆时针旋转后能够与 ADF重合. (1)旋转中心是 ,旋转角为 度; (2) AEF是 三角形; (3)求EF的长. 21.已知:如图,Rt^ABC中,∠ACB=90 ,D为AB中点DE、DF分别交 AC于E,交 BC于F,且DE⊥DF.如果 CA=CB。 (1)求证:AE2+BF2=EF2; (2)如果 CA<CB,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 四、旋转变换求坐标 1.以原点为旋转中心把顺时针旋转得到点B,则点B的坐标为( ) A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(2,5),把OA绕点O逆时针旋转90 ,那么A点旋转后所得到点的坐标是( ) A. B. C. D. 3.如图,在平面首角坐标系中,点A,C在x轴上,点C的坐标为,.将先绕点C顺时针旋转,则变换后点A的对应点坐标是( ) A. B. C. D. 4.如图,在平面直角坐标系中,的顶点都在方格纸的格点上,将绕着某点顺时针旋转一定的角度后,得到,则旋转中心的坐标为( ) A.(-1,1) B.(-1,2) C.(1,1) D.(1,-1) 5.如图,A点的坐标为,B点的坐标为,C点的坐标为,D点的坐标为.小明发现线段与线段存在一种特殊关系,即其中一条线段绕将某点旋转一个角度可以得到另一条线段. (I) . (II)写出旋转中心的坐标是 . 6.如图,在带有平面直角坐标系的正方形网格中,将格点绕某点顺时针旋转得到格点,点与,点与,点与是对应点. (1)请通过画图找出旋转中心,点的坐标为 . (2)直接写出旋转角的度数为 . 7.将按如图方式放在平面直角坐标系中,其中,,顶点A的坐标为,将绕原点逆时针旋转,点A对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 8.如图,已知菱形的顶点,若菱形绕点O顺时针旋转得到菱形,则点的坐标是( ) A. B. C. D. 9.如图,把图中的经过一定的变换得到,如果图中上的点的坐标为,那么它的对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标为( ) A. B. C. D. 11.如果,那么点关于原点的对称点的坐标为( ) A. B. C. D. 12.如图,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,把绕点A顺时针旋转后得到,则点的坐标是 . 13.已知点与关于原点对称,则 . 14.已知点 M(a-1,2a+4)关于原点的对称点在第三象限,那么a的取值范围是 . 五、旋转对称图形 1.一个等边三角形绕其中心至少旋转多少度能与自身重合( ) A.120 B.90 C.60 D.30 2.下列图形绕某点旋转后,能与原来图形重合的是( ) A. B. C. D. 3.(2023上 河北廊坊 九年级统考期末)如图,该图形在绕点按下列角度旋转后,不能与其自身重合的是( ) A. B. C. D. 4.(2023上 陕西安康 九年级统考期末)如图,五角星的五个顶点等分圆周,把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合,那么这个角度不可能是( ) A. B. C. D. 5.如图,在方格纸中,将绕点按顺时针方向旋转90 后得到,则下列四个图形中正确的是( ) A. B.C. D. 6.如图,五角星围绕中心旋转,至少旋转 (度)能与自身重合. 六、中心对称与中心对称图形 1.线段、两相交直线、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等图形中是中心对称图形的有:_ _。 1.如图所示, ABC与 A′B′C′是成中心对称的两个图形,则下列说法不正确的是( ) A.AB=A′B′,BC=B′C′ B.AB∥A′B′,BC∥B′C′ C.S ABC=S A′B′C′ D. ABC ≌ A′OC′ 七、画旋转图形 1.在平面直角坐标系中,的A点坐标为,请你写出B,C点的坐标.画出三角形ABC关于原点O成中心对称的.并写出,,点的坐标. 试卷第6页,共7页 试卷第7页,共19页 学科网(北京)股份有限公司 2.在平面直角坐标系中,已知,, (1)直接写出的长度_; (2)在坐标系中画出关于原点的中心对称图形,并直接写出坐标_; (3)以A为旋转中心,将顺时针旋转形成,在图中画出,并直接写出坐标_. 八、旋转综合 1.在平面直角坐标系中,O为原点,点、点,若正方形绕点O顺时针旋转,得正方形,记旋转角为: (1)如图①,当时,求和的坐标; (2)如图②,当时,求点的坐标; (3)若P为线段的中点,求长的取值范围(直接写结果). 2.(2024年南开期中)在平面直角坐标系中,三角形的顶点,,,将绕点A按逆时针方向旋转,得到,点B,O的对应点分别为C,D,旋转角记为 . (1)如图1,当点C恰好落在x轴上时,点C的坐标为_(直接写出结果); (2)如图2,当时(),设直线,分别与x轴交于点E,F,求点E的坐标和线段的长; (3)如图3,连接,取线段的中点M,连接,在旋转过程中(),直接写出线段的取值范围. 3.(2023年南开期中)将矩形纸片放在平面直角坐标系中,点,点,点.现绕点O顺时针旋转矩形纸片,得到新的矩形,其中A,B,C的对应点分别为.当直线与直线有交点时,设交点为D. (1)在旋转过程中,判断线段和的数量关系,并以图①为例说明理由; (2)在旋转过程中,当点落在线段上时(如图②),直接写出点的坐标 ; (3)在旋转过程中,若线段恰好过线段中点E时(如图③),求线段的长; (4)在旋转过程中,当线段与线段的交点M恰好是线段中点时(如图④),请直接写出点M和点D的坐标. 4.(2022年南开期中)把两个等腰直角 ABC和 ADE按如图1所示的位置摆放,将 ADE绕点A按逆时针方向旋转,如图2,连接BD,EC,设旋转角 (0 < <360 ). ( )当DE⊥AC时,旋转角 = 度,AD与BC的位置关系是 ,AE与BC的位置关系是 ; ( )当点D在线段BE上时,求∠BEC的度数; ( )当旋转角 = 时, ABD的面积最大. 5.(2018年中考)在平面直角坐标系中,四边形是矩形,点,点,点.以点为中心,顺时针旋转矩形,得到矩形,点,,的对应点分别为,,. ( )如图①,当点落在边上时,求点的坐标; ( )如图②,当点落在线段上时,与交于点. ①求证; ②求点的坐标. ( )记为矩形对角线的交点,为的面积,求的取值范围(直接写出结果即可). 试卷第2页,共2页 25 / 25 学科网(北京)股份有限公司 $$