新课预习衔接：表面涂色的正方体（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

表面涂色的正方体 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．简单的立方体切拼问题 【知识点归纳】 1．拼起来，表面积减小，因为面的数目减少． 2．剪切会增加表面积，因为面的数目增加． 3．两种方式的体积都没有发生变化． 2．长方体和正方体的表面积 【知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 3．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/5 8:54:04；用户：张学成；邮箱：19955156610；学号：50309849 第二部分 典型例题 例题1：用一个长12dm、宽10dm、高5dm的长方体纸箱，装棱长2dm的正方体饼干盒，最多能装多少个饼干盒？ 【答案】60个。 【分析】首先根据“包含”除法的意义，用除法分别求出长方体纸箱的长、宽、高里面各包含多少个2分米，然后根据整数乘法的意义，用乘法解答。 【解答】解：12÷2＝6（个） 10÷2＝5（个） 5÷2＝2（个）......1（分米） 6×5×2 ＝30×2 ＝60（个） 答：最多能装60个饼干盒。 【点评】此题是易错题，不能用长方体纸箱的容积除以饼干盒的体积，必须先用除法分别求出长方体纸箱的长、宽、高里面各包含多少个2分米，进而求出最多能装的个数。 例题2：把一个高为12cm的圆锥沿高竖直切开成两个半圆锥，表面积之和比原来增加了72平方厘米，求原来圆锥的体积． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分，结果表面积之和比原来增加了36平方厘米，增加了两个截面，每个截面都是高为12厘米，底为圆锥的底面直径的三角形，根据三角形的面积计算方法求出三角形的底（圆锥的底面直径），再由圆锥的体积公式vsh，列式解答即可． 【解答】解：圆锥的底面直径： 72÷2×2÷12＝6（厘米）； 圆锥的体积： 3.14×（6÷2）2×12 3.14×32×12 3.14×9×12 ＝3.14×36 ＝113.04（立方厘米）； 答：圆锥的体积是113.04立方厘米． 【点评】此题解答关键是求出圆锥的底面直径，再根据圆锥的体积公式解答． 例题3：用多少个棱长为1.5分米的小正方体可以堆成棱长是0.6米的大正方体？ 【答案】64个。 【分析】把0.6米换算成分米，然后用正方体的棱长除以1.5，求出1条棱长上能摆出几个小正方体，再根据正方体的体积公式即可求出小正方体的个数。 【解答】解：0.6米＝6分米 6÷1.5＝4（个） 4×4×4＝64（个） 答：需要64个。 【点评】本题考查了正方体体积公式的灵活应用。 例题4：用120个小正方体拼成一个大长方体，大长方体的每层摆2行，每行摆4个小正方体．这个大长方体有多少层？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为大长方体的每层摆2行，每行摆4个小正方体，所以每层摆：4×2＝8（个），求摆多少层，就是求出120里面有几个8，根据求一个数里面有几个另一个数，用除法解答． 【解答】解：120÷（4×2） ＝120÷8 ＝15（层） 答：这个大长方体有15层． 【点评】明确求一个数里面有几个另一个数，用除法，是解答此题的关键． 第三部分 高频真题 1．在“我给祖国说心里话”活动中，小学生用棱长为2dm的正方体塑料拼插积木，在城市广场搭起了一面长6m、宽2.4m、高4dm的“中国梦”心愿墙，搭成这面墙一共用了多少块积木？ 2．把棱长为1m的立方体切割成棱长是1cm的小立方体，把这些小立方体一个挨一个地连起来，可以排多长？ 3．有30个，摆成如图的物体，可以摆多少个？ 4．如图，一个长方体由三个同样的小正方体拼成，如果去掉一个小正方体，表面积就减少20平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 5．把一个长9dm、宽7dm、高4dm的长方体，截成棱长是2dm的正方体，最多可以截多少个？可以画图想一想，再算一算． 6．将三个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，棱长之和减少多少厘米？如果是四个正方体呢？ 7．把8个棱长为10厘米的小正方体拼成一个大正方体，然后拿走一个小正方体（如图），这时 立体模型的表面积是多少？ 8．一个长8cm、宽6cm、高4cm的长方体木块，最多可以切成多少个棱长是1cm的小正方体？ 9．把棱长1米的正方体截成棱长1分米的小正方体，再把这些小正方体排成一排拼成一个长方体，长方体的长是多少米？ 10．把2个长3分米、宽和高都为2分米的长方体铁箱堆放在墙角处，有几种堆法？露在外面的面积各是多少？请你画一画，算一算． 11．如图所示，把3个完全一样的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来3个小 正方体表面积之和减少了100平方厘米，拼成的这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 12．将一些棱长为1cm的小正方体拼成一个长3dm、宽5cm、高0.8dm的长方体，共需要多少个这样的小正方体？ 13．把24块棱长1厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的长宽高可能是多少？ 14．一个集装箱长12.5米，宽3.2米，高4.5米，往这个集装箱中装1立方米的大正方体木箱，最多能装多少个？ 15．如图，把一根长18米的长方体木料截成3段，表面积总和比原来增加了2.4 平方米．你知道原来长方体木料的体积是多少立方米吗？ 16．将一个正方体沿着棱平均截成4段，每段长2分米，表面积增加了多少平方分米？原正方体的体积是多少立方分米？ 17．快乐提升： 把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，一个截面的面积是10cm2．如果原来圆锥的高是5cm，那么它的底面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？（得数保留两位小数） 18．把一个棱长是5厘米的正方体木块锯成棱长为1厘米的小正方体木块，然后把这些小正方体木块排成一行成为长方体．这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 19．把一根30分米长的方钢横截成3段时，表面积增加120平方分米，原来方钢的体积是多少立方米？ 20．一个长方体木块，长12分米，宽9分米，高7分米，将它锯成棱长3分米的正方体小木块，最多可锯多少块？ 21．用6块如图所示（长3cm，宽2cm，高1cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？ 22．用三个棱长为6cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是多少？ 23．一位玩具制作者有一块长方体木块，其长、宽、高分别是20cm、11cm、9cm，如图①所示．他从长方体木块上切取尽可能多的小正方体木块（棱长为2cm），剩下的木块如图②所示（L形）． （1）被切掉了的棱长为2cm的小正方体木块最多有多少块？ （2）剩下的L形木块的表面积是多少平方厘米？ 24．仓库里有以下四种规格的长方形、正方形的塑料片：（数量足够多） ①长0.5米，宽0.2米 ②长0.4米，宽0.2米 ③长0.5米，宽0.4米 ④边长0.2米 从中选5块塑料片，拼接成一个无盖的长方体（或正方体）塑料盒． 规格① 规格② 规格③ 规格④ 水箱的容积/m3 （1）一共可以拼接成多少种不同的塑料盒？请写出你的思考过程． 答：一共可以拼接成　 　种不同的塑料盒． （2）这些盒子中容积最大的是多少？ 25．把7个棱长为8cm的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是多少厘米？ 26．从里面量直径是4分米，高是10分米的一桶饮料，分装到长方体盒里。至少需要多少个这样的盒子？ 27．小明要将长和宽都是10cm，高25cm的长方体礼品盒装入棱长为20cm的正方体纸箱，能装下吗？为什么？ 28．将一个棱长15厘米的正方体木块锯成棱长5厘米的小正方体，锯完后表面积增加了多少？ 29．如图是由9个棱长为1cm的小正方体组成的． （1）以“dm”为单位，用分数表示这个长方体的长是　 　dm，宽是　 　dm． （2）这个长方体上面的面积是后面的面积的几分之几？前面的面积占长方体表面积的几分之几？ （3）在图中涂出长方体体积的． 30．把一根长5分米的圆柱形木料沿着与底面平行的方向锯成两段后，表面积增加了200平方分米，这根木料的体积是多少立方分米． 31．一块长方体木料如图。（单位：分米） 如果把这块木料锯成大小相同的小正方体，小正方体的棱长最长是几厘米？能锯成多少个小正方体？ 32．有个长20cm、宽10cm、高15cm的长方体大纸箱，最多可以装几个棱长为5cm的正方体小盒子？ 33．用边长为60cm，宽为48cm，高为36cm的长方体木块叠成一个正方体，至少需要多少块这种长方体木块？ 34．将两个棱长都是5厘米的正方体小方块拼成一个长方体．这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积呢？ 35．把3个完全相同的正方体拼成一个长方体，表面积比原来减少了64平方厘米．原来每个正方体的表面积是多少平方厘米？ 36．用6个棱长都是2分米的正方体木箱拼成一个长方体．拼成的长方体的表面积最大是多少平方分米？最小是多少平方分米？ 37．一个长方体的长是4厘米，宽是2厘米，高是1厘米。至少需要多少个这样的长方体就可以拼成一个正方体？ 38．如图，笑笑用8个棱长为1cm的小正方体拼成了一个稍大一些的正方体，淘气看到后拿走了1个小正方体，这时这个立体图形的表面积会怎样变化？现在的表面积是多少？ 39．将20块棱长80厘米的正方体木块堆放成一个长方体．这个长方体的体积是多少立方米？ 40．把8个同样的小正方体拼成一个大正方体，已知每个小正方体的表面积是96平方厘米，拼成的大正方体的表面积是多少平方厘米？ 41．用12个棱长1厘米的正方体木块摆成不同形状的长方体，有多少种不同的摆法？它们的长、宽、高各是多少？体积各是多少？ 42．你玩过魔方吗？假设组成魔方的每个小正方体的棱长都是1cm，那么你能算出这个魔方的表面积吗？ 43．小赵和小李想用一袋长、宽、高分别是4cm，3cm，2cm的积木搭一个正方体，至少要用多少块这样的积木？ 44．饼干盒长20cm，宽和高都是5cm．现有一纸箱，内侧的尺寸如图（单位：cm）．这个纸箱中最多能放多少盒饼干？ 45．一种长方体礼品盒，长10厘米，宽10厘米，高6厘米。要把一些这样的礼盒拼成正方体形状打包，拼成的正方体的棱长最小是多少？ 46．一个小正方体的棱长是4cm，如果把8个这样的正方体组合成如图的一个大正方体，这个大正方体的棱长总和是多少厘米？ 47．文具盒的长、宽、高如图所示．用一张大包装纸将8个这样的文具盒包起来（如图），至少需要多大面积的包装纸？（接头处不计） 48．如图所示，一个长方体长12厘米，宽10厘米，高为6厘米，沿水平方向切成2片，再将每片切成3条，再将每条切成4块，共得到24个大小不一样的长方体，那么这24个长方体的表面积总和是多少？ 49．用多少个棱长1分米的小正方体才能拼成一个棱长1米的大正方体？如果把这些小正方体排成一行，长多少米？ 50．丽丽、兰兰和红红用三种不同的切法把一个长方体切成两个完全一样的小长方体，发现表面积分别增加了60平方厘米、48平方厘米、40平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 51．用棱长是2厘米的正方体，拼成一个正方体，最少需要几个小正方体？拼成的正方体的棱长之和是多少厘米？ 52．有一个长方体，横截面是个边长为8分米的正方形，长方体的长是12分米，若将这一长方体切割下一个最大的正方体（不拼接）剩下多少立方分米？ 53．把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的长是10cm，这个长方体的表面积和体积各是多少？ 54．一个棱长为1分米的正方体木块，如果把它锯成棱长为1厘米的正方体木块，这些小正方体的表面积的总和是多少？表面积增加多少平方分米？ 55．用24个大小相同的小正方体搭出两个物体，其中一个物体的体积是另一个物体体积的3倍．想一想，搭一搭． 参考答案与试题解析 1．在“我给祖国说心里话”活动中，小学生用棱长为2dm的正方体塑料拼插积木，在城市广场搭起了一面长6m、宽2.4m、高4dm的“中国梦”心愿墙，搭成这面墙一共用了多少块积木？ 【答案】240块。 【分析】用除法分别求出搭成这面墙长、宽、高各用多少块棱长为2dm的正方体积木，再用乘法即可求出搭成这面墙一共用了多少块积木。 【解答】解：2m＝20dm，2.4m＝240dm （20÷2）×（24÷2）×（4÷2） ＝10×12×2 ＝240（块） 答：搭成这面墙一共用了240块积木。 【点评】关键是求出搭成这面墙长、宽、高各用多少块棱长为2dm的正方体积木。注意单位换算。 2．把棱长为1m的立方体切割成棱长是1cm的小立方体，把这些小立方体一个挨一个地连起来，可以排多长？ 【答案】见试题解答内容 【分析】1米＝100厘米，棱长是1米的正方体切成棱长是1厘米的正方体，每条棱上都能切下100个小正方体，由此可以求得小正方体的个数，再求把这些小正方体排成一排的总长度即可． 【解答】解：1米＝100厘米，所以可以切成棱长是1厘米的小正方体的块数为： 100×100×100＝1000000（块） 排成一排的长为：1000000×1＝1000000（厘米） 1000000厘米＝10千米 答：可以排10千米长． 【点评】抓住正方体切割正方体的特点，先求出每条棱上小正方体的个数和总个数是解答的关键，注意单位的转化． 3．有30个，摆成如图的物体，可以摆多少个？ 【答案】5个。 【分析】根据图示可知，摆1个图示的物体需要6个正方体，求30个正方体可以摆几个物体，用除法计算。 【解答】解：30÷6＝5（个） 答：可以摆5个。 【点评】本题主要考查图形的切拼问题，关键是数出摆一个物体需要正方体的个数。 4．如图，一个长方体由三个同样的小正方体拼成，如果去掉一个小正方体，表面积就减少20平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】70平方厘米。 【分析】去掉一个小正方体，一共减少了4个面，表面积就减少20平方厘米，一个面的面积就是20÷4＝5（平方厘米），观察长方体一共由（5+5+4）个这样的面组成的，即可求得。 【解答】解：20÷4＝5（平方厘米） 5×（5+4+5）＝70（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是70平方厘米。 【点评】先算出一个面是多少，再观察这个长方体一共有多少个这样的面。 5．把一个长9dm、宽7dm、高4dm的长方体，截成棱长是2dm的正方体，最多可以截多少个？可以画图想一想，再算一算． 【答案】见试题解答内容 【分析】以长为边，最多能截9÷2＝4（个）…1（dm），以宽为边，最多能截7÷2＝3（个）…1（dm），以高为边，最多能截4÷2＝2（个），再把每条棱上截的个数相乘即可计算． 【解答】解：9÷2＝4（个）…1（dm） 7÷2＝3（个）…1（dm） 4÷2＝2（个） 4×3×2＝24（个） 答：最多可以截24个． 【点评】此类问题，先求出每条棱长上最多能截成的小正方体的个数，再把每条棱上截成的个数相乘即可计算出最多可以截成的个数． 6．将三个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，棱长之和减少多少厘米？如果是四个正方体呢？ 【答案】见试题解答内容 【分析】如图：2个棱长为5厘米的正方体，拼成一个长方体后，用棱长乘上8就是减少的棱长和，如果是三个正方体，拼成一个长方体后，减少了2×8＝16个正方体的棱长，如果是四个正方体，则减少了3×8＝24个正方体的棱长，据此计算即可解答问题． 【解答】解：2×8×5 ＝16×5 ＝80（厘米） 3×8×5 ＝24×5 ＝120（厘米） 答：将三个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，棱长之和减少80厘米，如果是四个正方体则棱长之和减少120厘米． 【点评】此题抓住正方体拼组成长方体之后，棱长和表面积变化的特点即可进行解答． 7．把8个棱长为10厘米的小正方体拼成一个大正方体，然后拿走一个小正方体（如图），这时 立体模型的表面积是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知，拿走一个小正方体减少了3个面，又增加了3个面，现在图形的表面积就等于原来大正方体的表面积，由此根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，解答即可． 【解答】解：（10×2）×（10×2）×6 ＝400×6 ＝2400（平方厘米） 答：这时立体模型的表面积是2400平方厘米． 【点评】解答此题的关键是明白，拿走一个小正方体减少了3个面，又增加了3个面，则表面积不变． 8．一个长8cm、宽6cm、高4cm的长方体木块，最多可以切成多少个棱长是1cm的小正方体？ 【答案】192。 【分析】求最多能分成的小正方体个数，就是将长、宽、高分别能分成的个数相乘。 【解答】解：长可以分成的个数是：8÷1＝8（个） 宽可以分成的个数是：6÷1＝6（个） 高可以分成的个数是：4÷1＝4（个） 大长方体最多能切成小正方体的个数是： 8×6×4 ＝48×4 ＝192（个） 答：最多可以切成192个棱长是1cm的小正方体。 【点评】掌握正方体特征是关键。 9．把棱长1米的正方体截成棱长1分米的小正方体，再把这些小正方体排成一排拼成一个长方体，长方体的长是多少米？ 【答案】100米。 【分析】棱长1分米的小正方体体积是1立方分米，与1立方米的小正方体的体积之间的进率是1000，所以就是1000个小正方体，排成一排一共长1000×1＝1000（分米）；进而得出结论。 【解答】解：1立方米＝1000立方分米 1000÷1＝1000（个） 1000分米＝100米 答：长方体的长是100米。 【点评】解答此题应根据体积单位间的进率进行分析，或先把棱长为1米的正方体化为棱长为10分米的正方体，进而根据正方体的体积计算公式进行解答。 10．把2个长3分米、宽和高都为2分米的长方体铁箱堆放在墙角处，有几种堆法？露在外面的面积各是多少？请你画一画，算一算． 【答案】见试题解答内容 【分析】解答此题可以先摆一摆，画一画，然后根据图形露出的面积再进行计算解答问题． 【解答】解：一共有4种不同的堆法，画图如下： （1）有3个3×2的面和2个2×2的面露在外面 3×2×3+2×2×2 ＝18+8 ＝26（平方分米） 答：露在外面的面积是26平方分米． （2）有4个3×2的面和1个2×2的面露在外面 3×2×4+2×2 ＝24+4 ＝28（平方分米） 答：露在外面的面积是28平方分米． （3）有4个3×2的面和3个2×2的面露在外面 3×2×4+2×2×3 ＝24+12 ＝36（平方分米） 答：露在外面的面积是36平方分米． （4）有3个3×2的面和2个2×2的面露在外面 3×2×3+2×2×2 ＝18+8 ＝26（平方分米） 答：露在外面的面积是26平方分米． 【点评】解答此题关键是画出图形，找出露在外面的面都有哪几个，再计算露在外面的面积即可解答问题． 11．如图所示，把3个完全一样的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来3个小 正方体表面积之和减少了100平方厘米，拼成的这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】三个完全相等的正方体摆成一个长方体的方法是：一字排列，所以拼组后表面积减少了4个正方形的面的面积，由此可以求出一个面的面积是：100÷4＝25平方厘米，那么拼组后的长方体的表面积就是6×3﹣4＝14个正方体的面的面积，由此即可解决问题． 【解答】解：正方体一个面的面积： 100÷4＝25（平方厘米） 25×（6×3﹣4） ＝25×14 ＝350（平方厘米） 答：拼成的这个长方体的表面积是350平方厘米． 【点评】抓住3个正方体拼组长方体的方法，得出拼组后的长方体表面是由14个正方形的面组成的，从而根据长方体的表面积求出一个面的面积，是解决此类问题的关键． 12．将一些棱长为1cm的小正方体拼成一个长3dm、宽5cm、高0.8dm的长方体，共需要多少个这样的小正方体？ 【答案】1200个。 【分析】把长方体的长与高都换算成用厘米做单位的数，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别计算出长方体的体积与小正方体的体积各是是多少，再用大长方体的体积除以小正方体的体积，就可以计算出共需要多少个这样的小正方体。 【解答】解：3dm＝30cm 0.8dm＝8cm 30×5×8÷（1×1×1） ＝150×8÷1 ＝1200（个） 答：共需要1200个这样的小正方体。 【点评】本题解题关键是熟练掌握长方体与正方体体积的计算方法，理解用大长方体的体积除以小正方体的体积，就可以计算出共需要多少个这样的小正方体。 13．把24块棱长1厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的长宽高可能是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把24分解成3个数的乘积，这三个数就是拼成的长方体的长宽高，由此求解． 【解答】解：24＝24×1×1＝12×2×1＝6×4×1＝8×3×1＝4×3×2＝6×2×2 所以拼成的长方形的长宽高有以下几种可能： ①长24厘米，宽1厘米，高1厘米；②长12厘米，宽2厘米，高1厘米；③长6厘米，宽4厘米，高1厘米； ④长8厘米，宽3厘米，高1厘米；⑤长4厘米，宽3厘米，高2厘米；⑥长6厘米，宽2厘米，高2厘米． 【点评】解决本题关键是先把24分解成三个数相乘的形式，这三个数就分别是长方体的长宽高． 14．一个集装箱长12.5米，宽3.2米，高4.5米，往这个集装箱中装1立方米的大正方体木箱，最多能装多少个？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先分别求出长方体集装箱的长、宽、高各包含正方体木箱棱长的个数，也就是说看长、宽、高中最多有多少个正方体棱长，再将长、宽、高中包含的正方体的棱长的个数相乘即可． 【解答】解：体积是1立方米的正方体木箱的棱长是1米 12.5÷1＝12（个）…0.5（米） 3.2÷1＝3（个）…0.2（米） 4.5÷1＝4（个）…0.5（米） 则正方体的个数：12×3×4＝144（个） 答：最多能装144个木箱． 【点评】解答此题的关键是先分别求出长方体集装箱的长、宽、高各包含正方体木箱棱长的个数，从而求得木箱的个数． 15．如图，把一根长18米的长方体木料截成3段，表面积总和比原来增加了2.4 平方米．你知道原来长方体木料的体积是多少立方米吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知：把这根木料截成3段后，表面积比原来增加了2.4平方米，表面积增加的是4个截面的面积，因此可以求出木料的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答即可． 【解答】解：2.4÷4×18 ＝0.6×18 ＝10.8（立方米） 答：原来长方体木料的体积是10.8立方米． 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，明确表面积增加的是4个截面的面积，由此求出长方体的底面积（截面的面积），是解答此题的关键． 16．将一个正方体沿着棱平均截成4段，每段长2分米，表面积增加了多少平方分米？原正方体的体积是多少立方分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知，将正方体体平均截成4段，每段长2分米，即正方体的棱长是2×4＝8（分米），增加（4﹣1）×2＝6个面，表面积增加：6×8×8＝384（平方分米），根据正方体的体积公式V＝a3，列式解答即可． 【解答】解：2×4＝8（分米） （4﹣1）×2×8×8 ＝6×8×8 ＝384（平方分米） 8×8×8＝512（立方分米） 答：表面积增加了384平方分米；原正方体的体积是512立方分米． 【点评】此题解答关键是求出增加的面的个数及原正方体的棱长． 17．快乐提升： 把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，一个截面的面积是10cm2．如果原来圆锥的高是5cm，那么它的底面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？（得数保留两位小数） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知：截面是以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，即可求出三角形的底（圆锥底面直径），再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出底面积，据此解答． 【解答】解：底面直径：10×2÷5＝4（厘米） 底面积：3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 体积：12.56×5≈20.93（立方厘米） 答：它的底面积是12.56平方厘米，体积是20.93立方厘米． 【点评】此题主要考查三角形的面积公式、圆的面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用． 18．把一个棱长是5厘米的正方体木块锯成棱长为1厘米的小正方体木块，然后把这些小正方体木块排成一行成为长方体．这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把棱长为5厘米的正方体锯成棱长为1厘米的小正方体可以锯成125个；把这些小正方体排成一行，是一个长125厘米，宽1厘米，高1厘米的长方体．利用长方体表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，计算其表面积即可． 【解答】解：把棱长为5厘米的正方体锯成棱长为1厘米的小正方体可以锯成： 5×5×5＝125（个） （125×1+125×1+1×1）×2 ＝（125+125+1）×2 ＝251×2 ＝502（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是502平方厘米． 【点评】本题主要考查立体图形的切拼，关键计算拼成的长方体的长宽高各是多少． 19．把一根30分米长的方钢横截成3段时，表面积增加120平方分米，原来方钢的体积是多少立方米？ 【答案】0.9立方米。 【分析】根据题意可知：把这根长方体方钢截成3段，表面积增加的是4个截面的面积，由此可以求出底面积，然后根据长方体的体积公式：V＝sh，把数据代入公式解答。 【解答】解：120÷4×30 ＝30×30 ＝900（立方分米） 900立方分米＝0.9立方米 答：原来方钢的体积是0.9立方米。 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 20．一个长方体木块，长12分米，宽9分米，高7分米，将它锯成棱长3分米的正方体小木块，最多可锯多少块？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先求出每条棱长上最多能锯出的块数，再根据长方体的体积公式进行计算即可解答． 【解答】解：以长为边最多锯：12÷3＝4（块） 以宽为边最多锯：9÷3＝3（块） 以高为边最多锯：7÷3＝2（块）…1（分米） 所以：4×3×2＝24（块） 答：最多可锯24块． 【点评】解答此题时不要用大体积除以小体积来计算块数，因为高还有剩余． 21．用6块如图所示（长3cm，宽2cm，高1cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？ 【答案】66平方厘米。 【分析】根据题意，要使拼成的长方体表面积最小，则6个小长方体接触的面积最多，且重叠面的面积尽可能大。据此解答即可。 【解答】解：表面积最小时，长方体的拼法如下： 拼成的大长方体长3厘米，宽（2+2）厘米，高（1+1+1）厘米。 2+2＝4（厘米） 1+1+1＝3（厘米） 表面积为：（3×4+3×3+3×4）×2 ＝（12+9+12）×2 ＝33×2 ＝66（平方厘米） 答：表面积最小的是66平方厘米。 【点评】本题考查长方体的表面积，解题关键在于构造新长方体的摆放方式。 22．用三个棱长为6cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】三个大小相等的正方体，一共有12×3＝36个棱长，拼成一个长方体后，棱长比原来减少了16个，所以拼组后的长方体的棱长是36﹣16＝20个正方体的棱长之和，由此即可解答． 【解答】解：（12×3﹣4×4）×6 ＝20×6 ＝120（厘米） 答：这个长方体的棱长总和是120厘米． 【点评】根据3个小正方体拼组长方体的特点，求出拼组后的长方体的棱长是由几个小正方体的棱长组成的是解决本题的关键． 23．一位玩具制作者有一块长方体木块，其长、宽、高分别是20cm、11cm、9cm，如图①所示．他从长方体木块上切取尽可能多的小正方体木块（棱长为2cm），剩下的木块如图②所示（L形）． （1）被切掉了的棱长为2cm的小正方体木块最多有多少块？ （2）剩下的L形木块的表面积是多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）要求切取得最多，就看沿着长方体木块长、宽、高分别切取多少个，即看20cm、11cm、9cm分别包含了多少个2cm，再相乘即可； （2）结合剩下的L形木块的表面积和切取的长方体的长是20cm、宽是10cm、高是8cm，所以比原来减少的表面积仅仅是两个10×8的长方形的面的面积；然后用原来长方体的表面积减去这两个10×8的长方形的面的面积即是剩下的L形木块的表面积． 【解答】解：（1）（20÷2）×（11÷2）×（9÷2） ≈10×5×4 ＝200（块） 答：被切掉了的棱长为2cm的小正方体木块最多有200块． （2）11÷2≈5（个），2×5＝10（厘米）； 9÷2≈4（个），2×4＝8（厘米）； （20×11+20×9+11×9）×2﹣10×8×2 ＝（220+180+99）×2﹣160 ＝998﹣160 ＝838（平方厘米）； 答：剩下的L形木块的表面积是838平方厘米． 【点评】（1）本题因为长方体木块的长、宽、高不全是2的倍数，所以求被切掉的小正方体有多少块，不能用长方体的体积除以一个小正方体的体积； （2）不要单独的求剩下的L形木块的表面积，那样计算比较麻烦，要认真分析增加的和减少的面的面积之间的关系． 24．仓库里有以下四种规格的长方形、正方形的塑料片：（数量足够多） ①长0.5米，宽0.2米 ②长0.4米，宽0.2米 ③长0.5米，宽0.4米 ④边长0.2米 从中选5块塑料片，拼接成一个无盖的长方体（或正方体）塑料盒． 规格① 规格② 规格③ 规格④ 水箱的容积/m3 （1）一共可以拼接成多少种不同的塑料盒？请写出你的思考过程． 答：一共可以拼接成　 　种不同的塑料盒． （2）这些盒子中容积最大的是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）选法一，规格④边长0.2米，即正方体的棱长是0.2米，根据正方体的体积（容积）公式解答； 选法二，规格①2个，规格②2个，规格③1个，即长方体的长是0.5米，宽是0.4米，高是0.2米；根据长方体的体积（容积）公式解答； 选法三，规格①1个，规格②2个，规格③2个，即长方体的长为0.5米、宽0.2米、高0.4米；根据长方体的体积公式计算即可； 选法四，规格①2个，规格②1个，规格③2个，即长方体的长为0.2米，宽0.4米，高0.5米；根据长方体的体积公式计算即可； 选法五，规格①4个，规格④1个，即长方体的长0.2米，宽0.2米，高0.5米；根据长方体的体积公式计算即可； 选法六，规格②4个，规格④1个，即长方体的长0.2米，宽0.2米，高0.4米，根据长方体的体积公式计算即可．； 选法七，规格①3个，规格④2个，即长方体的长0.2米，宽0.5米，高0.2米，根据长方体的体积公式计算即可； 选法八：规格②3个，规格④2个，即长方体的长0.2米，宽0.4，高0.2米，根据长方体的体积公式计算即可 （2）根据（1）中的结果进行比较，得出结论． 【解答】解： （1）利用列举法进行拼接如下： 　 规格① 规格② 规格③ 规格④ 水箱容积（m3） 选法一 0 0 0 5 0.008 选法二 2 2 1 0 0.04 选法三 1 2 2 0 0.04 选法四 2 1 2 0 0.04 选法五 4 0 0 1 0.02 选法六 0 4 0 1 0.016 选法七 3 0 0 2 0.02 选法八 0 3 0 2 0.008 答：一共可以拼接成 八种不同的塑料盒． （2）0.008＜0.016＜0.02＜0.04 答：这些盒子中容积最大的是0.04立方米． 故答案为：八． 【点评】此题主要考查长方体和正方体的表面积的意义以及长方体和正方体的容积的计算． 25．把7个棱长为8cm的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是多少厘米？ 【答案】288厘米。 【分析】7个小正方体拼成一个长方体只有一种拼组方法：一字排列法，这个长方体的长是正方体棱长的7倍，宽和高都等于正方体的棱长，长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，据此计算即可解答。 【解答】解：拼组后的长方体的长是：7×8＝56（厘米），宽和高都是8分米，棱长总和： （56+8+8）×4 ＝72×4 ＝288（厘米） 答：这个长方体的棱长之和是288厘米。 【点评】抓住7个正方体拼组长方体的方法得出拼组后的长方体的长、宽、高的值是解决此类问题的关键；用到的知识点：长方体棱长总和的计算方法。 26．从里面量直径是4分米，高是10分米的一桶饮料，分装到长方体盒里。至少需要多少个这样的盒子？ 【答案】126个。 【分析】根据题意，用饮料的体积除以一个方体盒的体积，结合圆柱的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，解答即可。 【解答】解：3.14×（ ）2×10÷（1×0.5×2） ＝125.6÷1 ＝125.6（个） ≈126（个） 答：至少需要126个这样的盒子。 【点评】本题考查了长方体和圆柱体积公式的灵活运用，结合题意分析解答即可。 27．小明要将长和宽都是10cm，高25cm的长方体礼品盒装入棱长为20cm的正方体纸箱，能装下吗？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【分析】分别比较长方体礼盒的长宽高和正方体的棱长，当长方体有一个量比正方体大时就不能装下． 【解答】解：长：10＜20 宽：10＜20 高：25＞20 答：不能，因为礼品盒的高度高于正方体纸箱． 【点评】此题是长方体与正方体体积的实际应用，关键要按长、宽、高分别来装，不能用正方体的体积除以长方体盒子的体积． 28．将一个棱长15厘米的正方体木块锯成棱长5厘米的小正方体，锯完后表面积增加了多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据正方体的体积公式：v＝a3，求出大小正方体的体积，进而求出锯成小正方体的块数，再根据正方体的表面积公式：s＝6a2，用小正方体的表面积和减去原来大正方体的表面积即可． 【解答】解：15×15×15÷（5×5×5） ＝3375÷125 ＝27（块）， 5×5×6×27﹣15×15×6 ＝150×27﹣1350 ＝4050﹣1350 ＝2700（平方厘米） 答：表面积增加2700平方厘米． 【点评】此题主要考查正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用． 29．如图是由9个棱长为1cm的小正方体组成的． （1）以“dm”为单位，用分数表示这个长方体的长是　 　dm，宽是　 　dm． （2）这个长方体上面的面积是后面的面积的几分之几？前面的面积占长方体表面积的几分之几？ （3）在图中涂出长方体体积的． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）观察图可知这个长方体的长是由3条小长方体的棱长组成的，用小长方体的棱长乘3就是这个长方体的长，再化成以分米为单位的数；宽是由1条小正方体的棱长组成的，即1厘米，把它化成以分米为单位的数即可； （2）长方体的上面是一个长方形，它的长是由3条小长方体的棱长组成的，用小长方体的棱长乘3就是这个长方体的长；宽是由1条小正方体的棱长组成的，即1厘米，再根据长方形的长面积＝长×宽求解； 长方形的后面是一个正方形，它的边长是由3条小长方体的棱长组成的，用小长方体的棱长乘3就是这个正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，求出后面的面积，然后用上面的面积除以后面的面积即可求出这个长方体上面的面积是后面的面积的几分之几；再求出右面的面积，然后把长方体上面、后面、右面的面积相加，然后乘2，求出这个长方体的表面积，再用前面的面积除以表面积，即可前面的面积占长方体表面积的几分之几． （3）这个长方体是由一共有9个小正方体组成的，用9乘，即可求出这个长方体的是多少个小正方体，再涂色． 【解答】解：1×3＝3（厘米） 3厘米＝0.3分米 1厘米＝0.1分米 答：以“dm”为单位，用分数表示这个长方体的长是 0.3dm，宽是 0.1dm． （2）长：1×3＝3（厘米） 宽：1厘米 高：1×3＝3（厘米） 上面：1×3＝3（平方厘米） 后面：3×3＝9（平方厘米） 右面：1×3＝3（平方厘米） 3÷9 表面积： （3+9+3）×2 ＝15×2 ＝30（平方厘米） 9÷30 答：这个长方体上面的面积是后面的面积的，前面的面积占长方体表面积的． （3）96（个） 在图中涂出长方体体积的如下： 故答案为：0.3，0.1． 【点评】本题综合性较强，注意观察图先找出长方体的长、宽、高各是多少，再根据长方体的表面积公式，以及求一个数是另一个数的几分之几，以及分数乘法的意义求解． 30．把一根长5分米的圆柱形木料沿着与底面平行的方向锯成两段后，表面积增加了200平方分米，这根木料的体积是多少立方分米． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意知道表面积增加的200平方分米是两个圆柱的底面积，由此可以求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积公式V＝sh，即可求出木料的体积． 【解答】解：圆柱的底面积：200÷2＝100（平方分米）， 体积：100×5＝500（立方分米）， 答：木料的原体积是500立方分米． 【点评】解答此题的关键是知道200平方分米是两个圆柱的底面积，由此再根据圆柱的体积公式V＝sh解决问题． 31．一块长方体木料如图。（单位：分米） 如果把这块木料锯成大小相同的小正方体，小正方体的棱长最长是几厘米？能锯成多少个小正方体？ 【答案】12厘米，72个。 【分析】这个正方体的最大棱长，就是这个长方体的长宽高的最大公因数，然后进一步求出切成的块数，由此即可解答。 【解答】解：7.2分米＝72厘米 4.8分米＝48厘米 3.6分米＝36厘米 因为72厘米、48厘米、36厘米的最大公因数是12厘米，所以小正方体的棱长最长是12厘米。 72÷12＝6 48÷12＝4 36÷12＝3 6×4×3 ＝24×3 ＝72（个） 答：小正方体的棱长最长是12厘米，能锯成72个小正方体。 【点评】本题考查了立体图形的拼切知识，长方体内切割小正方体，没有剩余的情况下，小正方体的最大棱长是长方体的长、宽、高长度的最大公因数，结合题意分析解答即可。 32．有个长20cm、宽10cm、高15cm的长方体大纸箱，最多可以装几个棱长为5cm的正方体小盒子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】通过观察数据可知：长、宽、高都能被5整除，所以可以直接根据长方体体积计算公式V＝abh分别计算出体积，再相除即可． 【解答】解：20×10×15÷（5×5×5） ＝3000÷125 ＝24（个） 答：最多可以装24个棱长为5cm的正方体小盒子． 【点评】本题考查的是长方体体积计算公式的运用． 33．用边长为60cm，宽为48cm，高为36cm的长方体木块叠成一个正方体，至少需要多少块这种长方体木块？ 【答案】3600块。 【分析】正方体的棱长等于60、48和36的公倍数，60、48和36的最小公倍数是480，正方体的棱长最小是720，据此解答。 【解答】解：60、48和36的最小公倍数是720。 720÷60＝12 720÷48＝15 720÷36＝20 12×15×20＝3600（块） 答：至少需要3600块这种长方体木块。 【点评】本题主要考查公因数和公倍数的应用，关键是掌握求3个数的最小公倍数的方法。 34．将两个棱长都是5厘米的正方体小方块拼成一个长方体．这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积呢？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积减少了两个正方形的面，即原来两个正方体一共有6×2＝12个面，现在只剩下12﹣2＝10个，然后用一个正方形的面积乘10即是这个长方体的表面积，列式为：5×5×（6×2﹣2），然后解答即可得出答案； （2）由于两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，体积没有发生变化即是两个正方体的体积和，根据公式“V＝a3”求出一个的体积再乘2即可． 【解答】解：（1）5×5×（6×2﹣2） ＝25×10 ＝250（平方厘米） （2）53×2 ＝125×2 ＝250（立方厘米） 答：这个长方体的表面积是250平方厘米，体积是250立方厘米． 【点评】本题关键要明确当两个正方体拼接时，体积和不变，但表面积变化了，注意：两个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积减少了两个正方形的面而不是一个． 35．把3个完全相同的正方体拼成一个长方体，表面积比原来减少了64平方厘米．原来每个正方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】三个正方体一拼成一个长方体减少了4个面，减少的面积就是64平方厘米，可以求出一个面的面积，即64平方厘米除以4等于16平方厘米，再根据正方体的表面积公式进行计算． 【解答】解：64÷4＝16（平方厘米） 16×6＝96（平方厘米） 答：原来每个正方体的表面积是96平方厘米． 【点评】本题是一道关于立体图形的拼接问题，考查了学生长方体的表面积公式及正方体的表面积公式的灵活运用． 36．用6个棱长都是2分米的正方体木箱拼成一个长方体．拼成的长方体的表面积最大是多少平方分米？最小是多少平方分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】6个正方体拼成长方体有2种拼法：①拼成长宽高分别为6分米、4分米、2分米的长方体；②拼成长宽高分别为12分米、2分米、2分米的长方体，根据长方体的表面积公式：s＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答即可． 【解答】解：①拼成长宽高分别为6分米、4分米、2分米的长方体， （6×4+6×2+4×2）×2 ＝（24+12+8）×2 ＝44×2 ＝88（平方分米） ②拼成长宽高分别为12分米、2分米、2分米的长方体， （12×2+12×2+2×2）×2 ＝（24+24+4）×2 ＝52×2 ＝104（平方分米） 答：拼成的长方体的表面积最大是104平方分米，最小是88平方分米． 【点评】此题解答关键是搞清拼成的两种不同的长方体的长、宽、高各是多少，再根据长方体的表面积公式解答． 37．一个长方体的长是4厘米，宽是2厘米，高是1厘米。至少需要多少个这样的长方体就可以拼成一个正方体？ 【答案】8个。 【分析】用这个长方体拼成一个最小的正方体，这个正方体的棱长是长方体长、宽、高的最小公倍数，据此计算出拼成的正方体的棱长；需要长方体的个数＝正方体体积÷每个长方体的体积；据此解答即可。 【解答】解：4、2、1的最小公倍数是4； 4×4×4÷（4×2×1） ＝64÷8 ＝8（个） 答：至少需要8个这样的长方体就可以拼成一个正方体。 【点评】明确拼成的正方体的棱长是长方体长、宽、高的最小公倍数是解答本题的关键。 38．如图，笑笑用8个棱长为1cm的小正方体拼成了一个稍大一些的正方体，淘气看到后拿走了1个小正方体，这时这个立体图形的表面积会怎样变化？现在的表面积是多少？ 【答案】不变，24cm2。 【分析】拿走了1个小正方体后，减少了3个边长为1cm的正方形面，同时增加了3个边长为1cm的正方形面，因此表面积不变，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，即可解答。 【解答】解：拿走了1个小正方体后，减少了3个边长为1cm的正方形面，同时增加了3个边长为1cm的正方形面，因此表面积不变。 1×2＝2（cm） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（cm2） 答：这时这个立体图形的表面积不变，现在的表面积是24平方厘米。 【点评】本题考查的是立方体的切拼问题，知道拿走了1个小正方体后，减少了3个边长为1cm的正方形面，同时增加了3个边长为1cm的正方形面，因此表面积不变是解答关键。 39．将20块棱长80厘米的正方体木块堆放成一个长方体．这个长方体的体积是多少立方米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据长方体体积公式V＝a3求出1块棱长80厘米的正方体体积，再乘以20即可求解． 【解答】解：80厘米＝0.8米 0.8×0.8×0.8×20 ＝0.512×20 ＝10.24（立方米） 答：这个长方体的体积是10.24立方米． 【点评】此题解答关键是理解：把20块棱长相同的正方体木块粘接成一个长方体，这个长方体的体积就等于这20个棱长相同的正方体的体积之和．本题也可以求出粘接成的长方体的长宽高，再利用长方体的体积公式求解． 40．把8个同样的小正方体拼成一个大正方体，已知每个小正方体的表面积是96平方厘米，拼成的大正方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】384平方厘米。 【分析】把8个同样大的小正方体拼成一个大正方体，大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍，根据正方形的面积公式，即可得出大正方体的每个面的面积是小正方体的每个面的面积的4倍，再根据正方体的表面积公式即可得到拼成的大正方体的表面积。 【解答】解：96×（2×2） ＝96×4 ＝384（平方厘米） 答：大正方体的表面积是384平方厘米。 【点评】考查了简单的立方体切拼问题，本题关键是理解拼成的大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍。 41．用12个棱长1厘米的正方体木块摆成不同形状的长方体，有多少种不同的摆法？它们的长、宽、高各是多少？体积各是多少？ 【答案】四种摆法： （1）长12厘米，宽1厘米，高1厘米；体积12立方厘米； （2）长6厘米，宽2厘米，高1厘米；体积12立方厘米； （3）长4厘米，宽3厘米，高1厘米；体积12立方厘米； （4）长3厘米，宽2厘米，高1厘米；体积12立方厘米。 【分析】有四种摆法： （1）12＝12×1×1，拼成长12厘米，宽、高都是1厘米的长方体； （2）12＝6×2×1，拼成长6厘米，宽2厘米，高1厘米的长方体； （3）12＝4×3×1，拼成长4厘米，宽3厘米，高1厘米的长方体； （4）12＝3×2×2，拼成长3厘米，宽、高都是2厘米的长方体。 根据长方体的体积计算公式”V＝abh“即可分别求出拼成的各长方体的体积。 【解答】解：有四种拼法： （1）如图 长12厘米，宽1厘米，高1厘米 体积：12×1×1＝12（立方厘米）； （2）如图 长6厘米，宽2厘米，高1厘米 体积：6×2×1＝12（立方厘米）； （3）如图 长4厘米，宽3厘米，高1厘米 体积：4×3×1＝12（立方厘米）； （4）如图 长3厘米，宽2厘米，高1厘米 体积：3×2×2＝12（立方厘米）。 【点评】摆法注意不要重复，如摆成长6厘米，宽1厘米，高2厘米的与第二种摆法相同；不论哪种摆法，小正方体块数不变，体积也不变。 42．你玩过魔方吗？假设组成魔方的每个小正方体的棱长都是1cm，那么你能算出这个魔方的表面积吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】 组成魔方的每个小正方体的棱长都是1cm，那么魔方的棱长就是1×3＝3厘米，然后根据正方体表面积公式S＝6a2解答即可． 【解答】解：1×3＝3（厘米） 32×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 答：这个魔方的表面积是54平方厘米． 【点评】此题主要考查正方体表面积公式S＝6a2的灵活运用，关键是熟记公式，求出棱长． 43．小赵和小李想用一袋长、宽、高分别是4cm，3cm，2cm的积木搭一个正方体，至少要用多少块这样的积木？ 【答案】72块。 【分析】根据题意，先求出4、3、2的最小公倍数是12，由此得出拼成的这个正方体的棱长最小是12厘米，据此解答即可。 【解答】解：4、3、2的最小公倍数是12，所以拼成的这个正方体的棱长最小是12厘米。 （12÷4）×（12÷3）×（12÷2） ＝3×4×6 ＝72（个） 答：至少要用72块这样的积木。 【点评】本题考查了立体图形的拼切知识，利用长、宽、高的最小公倍数确定出拼组后的正方体的棱长是解决本题的关键。 44．饼干盒长20cm，宽和高都是5cm．现有一纸箱，内侧的尺寸如图（单位：cm）．这个纸箱中最多能放多少盒饼干？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据以长为边可以放60÷20＝3个；以高为边可以放20÷5＝4个；以宽为边可以放20÷5＝4个；据此利用长方体的体积公式计算即可解答问题． 【解答】解：以长为边可以放60÷20＝3个；以高为边可以放20÷5＝4个；以宽为边可以放20÷5＝4个； 3×4×4＝48（盒）， 答：最多能装48盒饼干． 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活应用和除法的意义的应用． 45．一种长方体礼品盒，长10厘米，宽10厘米，高6厘米。要把一些这样的礼盒拼成正方体形状打包，拼成的正方体的棱长最小是多少？ 【答案】30厘米。 【分析】根据题意，一种长方体礼品盒，长10厘米，宽10厘米，高6厘米。要把一些这样的礼盒拼成正方体形状打包，拼成的正方体的棱长是10、10和6的最小公倍数，据此解答即可。 【解答】解：10＝2×5 10＝2×5 6＝2×3 10、10和6的最小公倍数是5×2×3＝30。 答：拼成的正方体的棱长最小是30厘米。 【点评】本题考查了图形拼组知识，结合最小公倍数知识解答即可。 46．一个小正方体的棱长是4cm，如果把8个这样的正方体组合成如图的一个大正方体，这个大正方体的棱长总和是多少厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】观察图形可知，大正方体的棱长是4+4＝8（厘米），据此利用正方体的棱长之和＝棱长×12，据此计算即可解答问题． 【解答】解：（4+4）×12 ＝8×12 ＝96（厘米） 答：这个大正方体的棱长总和是96厘米． 【点评】此题主要考查了正方体的棱长之和公式的计算应用． 47．文具盒的长、宽、高如图所示．用一张大包装纸将8个这样的文具盒包起来（如图），至少需要多大面积的包装纸？（接头处不计） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据长方体的表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）÷2，由此代入解答即可． 【解答】解：长为：20×2＝40（厘米） 高为：3×4＝12（厘米） （40×10+40×12+10×12）×2 ＝（400+480+120）×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 答：至少需要2000平方厘米的包装纸． 【点评】此题主要考查长方体的表面积的计算方法的灵活应用． 48．如图所示，一个长方体长12厘米，宽10厘米，高为6厘米，沿水平方向切成2片，再将每片切成3条，再将每条切成4块，共得到24个大小不一样的长方体，那么这24个长方体的表面积总和是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知：把这个长方体沿水平方向切成2片，表面积增加12×10×2＝240（平方厘米），再将每片切成3条，表面积增加4个切面的面积，即10×6×4＝240（平方厘米），再将每条切成4块，表面积增加6个切面的面积，即12×6×6＝432（平方厘米），然后根据加法的意义，把长方体原来的表面积与三种方式切后增加的表面积合并起来即可．据此解答． 【解答】解：（12×10+12×6+10×6）×2+12×10×2+10×6×4+12×6×6 ＝（120+72+60）×2+240+240+432 ＝252×2+240+240+432 ＝504+240+240+432 ＝1416（平方厘米）， 答：这24个长方体的表面积总和1416平方厘米． 【点评】此题解答关键是明确：三种方式切割，每组切割方式增加了多少个切面的面积． 49．用多少个棱长1分米的小正方体才能拼成一个棱长1米的大正方体？如果把这些小正方体排成一行，长多少米？ 【答案】1000个，100米。 【分析】因为1米＝10分米，先根据正方体的体积计算公式V＝a3计算出棱长是1米和棱长是1分米的正方体的体积，然后用大正方体的体积除以小正方体的体积，即可得出结论；把这些小正方体木块排成一行，即长是1000分米、宽和高都是1分米的长方体，进而得出结论。 【解答】解：1米＝10分米 （10×10×10）÷（1×1×1） ＝1000÷1 ＝1000（个） 1000×1＝1000（分米） 1000分米＝100米 答：用1000个棱长1分米的小正方体才能拼成一个棱长1米的大正方体，如果把这些小正方体排成一行，长100米。 【点评】本题考查了立体图形的拼切知识，解答此题的关键是先根据正方体的体积计算公式求出大、小正方体的体积，然后根据题意进行解答即可得出结论。 50．丽丽、兰兰和红红用三种不同的切法把一个长方体切成两个完全一样的小长方体，发现表面积分别增加了60平方厘米、48平方厘米、40平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】有一个长方体，若用三种不同的方法切成两个完全一样的长方体，方法分别是横切、纵切和平切，每一种切法就增加两个面，所以把三种切法增加的面相加，就是原长方体的表面积．据此解答． 【解答】解：60+40+48＝148（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是148平方厘米． 【点评】本题的重点是让学生理解：三种切法增加的面积的和就是长方体的表面积． 51．用棱长是2厘米的正方体，拼成一个正方体，最少需要几个小正方体？拼成的正方体的棱长之和是多少厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用棱长是2厘米的小正方体，拼成一个较大的正方体，拼成的大正方体的每条棱长上至少有2个小正方体，由此可知至少需要2×2×2＝8个这样的小正方体；拼成的正方体的棱长是2×2＝4（厘米），用4×12可得棱长之和是多少厘米；由此即可解答． 【解答】解：拼成大正方体至少需要的小正方体的个数为：2×2×2＝8（个）， 2×2＝4（厘米）， 4×12＝48（厘米） 答：最少需要8个小正方体，拼成的正方体的棱长之和是48厘米． 【点评】此题可得结论：小正方体拼组大正方体至少需要8个同样大小的小正方体． 52．有一个长方体，横截面是个边长为8分米的正方形，长方体的长是12分米，若将这一长方体切割下一个最大的正方体（不拼接）剩下多少立方分米？ 【答案】256立方分米。 【分析】根据题干，切下的最大的正方体的棱长是8分米，那么用长方体的体积减去这个最大的正方体的体积，就是剩下的体积。 【解答】解：8×8×12﹣8×8×8 ＝768﹣512 ＝256（立方分米） 答：剩下的体积是256立方分米。 【点评】此题考查了长方体、正方体的体积公式的计算应用，关键是明确最大的正方体的棱长。 53．把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的长是10cm，这个长方体的表面积和体积各是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，减少了两个正方形的面，还剩2×6﹣2＝10个正方形的面；长方体的体积就等于两个正方体的体积和；这个长方体的长是10cm，那么原来正方体的棱长就是10÷2＝5cm，然后根据正方体表面积公式：S＝6a2和体积公式V＝a3解答即可． 【解答】解：10÷2＝5（厘米） 5×5×（2×6﹣2） ＝25×10 ＝250（平方厘米） 5×5×5×2 ＝25×10 ＝250（立方厘米） 答：这个长方体的表面积是250平方厘米，体积是250立方厘米． 【点评】解答此题的关键是：弄清楚长方体的表面积和两个正方体的表面积的关系、长方体的体积与正方体的体积之间的关系． 54．一个棱长为1分米的正方体木块，如果把它锯成棱长为1厘米的正方体木块，这些小正方体的表面积的总和是多少？表面积增加多少平方分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先求出大正方体的体积，然后再求出大正方体一共可以切成多少个小正方体；然后求出一个小正方体的表面积，用一个小正方体的表面积乘小正方体的个数即可． 【解答】解：1分米＝10厘米 小正方体木块的个数是：（10×10×10÷（1×1×1）＝1000（个） 大正方体木块的表面积：1×1×6×1000＝6000 （平方厘米）＝60（平方分米） 一个小正方体木块的表面积是：1×1×6＝6 （平方分米） 增加的面积：60﹣6＝54 （平方分米） 答：这些小正方体的表面积的总和是60平方分米，表面积增加了54平方分米． 【点评】此题的关键是求出切成小正方体的个数，然后再求所有小正方体的表面积． 55．用24个大小相同的小正方体搭出两个物体，其中一个物体的体积是另一个物体体积的3倍．想一想，搭一搭． 【答案】见试题解答内容 【分析】摆出两个物体，使其中一个物体的体积是另一个物体的3倍，即小正方体的总数是另一个物体所需正方体个数的（3+1）倍，所以另一个物体需要：24÷4＝6个，大的需要24﹣6＝18个；由此画出即可． 【解答】解：24÷（3+1） ＝24÷4 ＝6（个） 24﹣6＝18（个） 【点评】此题考查了简单立方体的切拼问题，求出两个物体所需小正方体的个数，是解答此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$