专题1.4 菱形、矩形、正方形中的四大折叠问题专项训练（40题）-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

专题1.4 菱形、矩形、正方形中的四大折叠问题专项训练（40题） 【北师大版】 考卷信息： 本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对特殊四边形中的折叠问题的四大题型的理解！ 【题型1 菱形中的折叠问题】 1．（23-24九年级·四川绵阳·期末）如图，菱形纸片中，，将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合，若，那么菱形的面积为（    ） A． B． C． D．8 2．（23-24九年级·江苏淮安·期末）如图，在一张菱形纸片中，，点E在边上(不与B、C重合)，将沿直线折叠得到，连接．以下选项中正确的是（    ） A． B． C．当平分时， D．以上都不对 3．（23-24·山西太原·一模）图1是一张菱形纸片，点是边上的点．将该菱形纸片沿折叠得到图2，的对应边恰好落在直线上．已知，则四边形的周长为（    ） A．24 B．21 C．15 D．12 4．（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，为边上的一点，将菱形沿折叠后，点恰好落在边上的处．若垂直对角线，则 度． 5．（23-24九年级·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ． 6．（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图所示菱形为边上一点，将沿边折叠，恰好边与所在直线重合，A点落到延长线上F点，过点F作的垂线，垂足为G，若，则 ． 7．（23-24九年级·浙江·阶段练习）综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 8．（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）在矩形纸片中，，，现将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点 (1)尺规作图，画出折痕； (2)判断四边形是什么特殊四边形？并证明； (3)求折痕的长度？ 9．（23-24·吉林松原·三模）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点E为射线上一点，将沿折叠，点A的对应点为点F．    (1)若，直接写出的长（用含a的代数式表示）； (2)若点E与点C重合，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，直接写出的度数． 10．（23-24九年级·吉林长春·期末）【感知】如图①，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上的点处，得到折痕，点在边上，将纸片还原，连结，若，则四边形的周长为______． 【探究】如图②，点、分别是平行四边形纸片的边、上的点，将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，点恰好落在边上的点处，将纸片还原，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，，，则的面积为______． 【题型2 矩形中的折叠问题】 1．（23-24九年级·广东广州·期末）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24·安徽合肥·二模）如图，在矩形中，，，点E为射线上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为（      ）． A． B． C． D． 3．（23-24九年级·湖南长沙·期末）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D．3 4．（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使A点与C点重合，则折痕的长度为 ．    5．（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为 ． 6．（23-24九年级·浙江宁波·期末）在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：    第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶ 第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是 ． 7．（23-24九年级·湖南郴州·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合．    (1)连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由． (2)若，，求四边形的周长与面积． 8．（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若 (1)求的长； (2)证明； (3)如图2，为中点，连接．求的长． 9．（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 矩形中，，，点在边上，且不与点重合，直线与的延长线交于点． (1)如图①，当点是的中点时，猜想与的关系为__________，证明你的结论； (2)如图②，将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点． ①猜想与的数量关系为__________，在（1）条件下可求__________； ②连接，周长的最小值为__________． 10．（23-24九年级·山东德州·期末）如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法： 第一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕和线段． (1)请问图中，和有什么关系？证明你的结论． (2)在第（1）题图中，延长交于点，延长交于点，连接，判断四边形的形状并证明． (3)在第（2）题图中，过点作于点，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为）．若已知，求的长． 【题型3 正方形中的折叠问题】 1．（23-24九年级·海南海口·期末）如图，将正方形纸片对折，得到折痕，把纸片展平，再沿折叠使点A落在折痕上的处，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级·安徽滁州·期末）如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 3．（23-24九年级·黑龙江鸡西·期末）如图，在正方形中，是边上一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的选项是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 4．（23-24九年级·山东东营·期末）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为 ． 5．（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ． 6．（23-24九年级·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形的边长为，点E是边的中点，点F是边上不与点A、D重合的一个动点，将沿直线折叠，使点A落在点处．当为等腰三角形时，的长为 ． 7．（23-24九年级·河南周口·阶段练习）如图，在正方形纸片中，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上． (1)试判断与的数量关系并证明你的结论； (2)若，，则的长为________． 8．（23-24九年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）操作与探究： 数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，连接． (1)操作发现： 根据以上操作，当点落在折痕上时，如图1所示，此时______； (2)迁移探究： 当点落在对角线上时，如图2所示，连接，与分别交于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用： 如图3，连接，若正方形的边长为4，且，连接，则______． 9．（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，点分别是正方形的边上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，交于点，作于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)问四边形是什么特殊四边形？请说明理由． (3)①若三点在一条直线上，求证：． ②若为的中点，求的值． 10．（23-24九年级·河南新乡·期末）【问题情境】如图，在矩形中，，．点F是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点B的对应点为点E． 【猜想证明】（1）当点E落在边上时，四边形的形状为 ． （2）当平分时，连接，求． 【能力提升】（3）在【问题情境】的条件下，是否存在点F，使点F，E，D三点共线．若存在，请直接写出    的长；若不存在，请说明理由． 【题型4 坐标系中的折叠问题】 1．（23-24九年级·辽宁盘锦·期中）如图，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴正半轴上，顶点B、C在第一象限，，，点D在边上，将四边形沿直线翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的和处，且，某正比例函数图象经过，则这个正比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级·河南开封·期末）如图在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标是，将矩形沿对角线进行翻折，点落在点的位置，交轴于点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24·河南安阳·二模）将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将折叠，得到．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点落在直线上，折痕交于点E．已知点，当四边形是正方形时，点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ． 5．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴正半轴上，点D在边上，将矩形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处．若，则 ，点D的坐标是 ． 6．（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，在菱形中，点C在x轴上，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点O重合），将沿直线折叠，使点O落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，直线的解析式是 ．    7．（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）如图，四边形为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是． 点D，E分别在，边上，且，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点F处 (1)F点的坐标是________，D点的坐标是________． (2)若点P在第二象限，且四边形是矩形，则P点的坐标是________ (3)若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 8．（23-24九年级·广东广州·期末）长方形纸片中，，，把这张长方形纸片如图放置在平面直角坐标系中，在边上取一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)在上找一点，使最小，求点坐标． 9．（23-24九年级·江苏无锡·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． (1)如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是______； ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； (2)如图2，动点D，G分别在边上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，直接写出S与t的关系式． 10．（23-24·黑龙江佳木斯·三模）平面直角坐标系内如图放矩形已知点，．将矩形沿折叠，使点与点重合．折痕交于点，交于点． (1)求点的坐标； (2)若动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度的速度向点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，当点运动到点时停止运动，点也同时停止运动．设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，是射线上的一点，点为平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 菱形、矩形、正方形中的四大折叠问题专项训练（40题） 【北师大版】 考卷信息： 本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对特殊四边形中的折叠问题的四大题型的理解！ 【题型1 菱形中的折叠问题】 1．（23-24九年级·四川绵阳·期末）如图，菱形纸片中，，将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合，若，那么菱形的面积为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的折叠问题、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，求出菱形的边长是解题的关键．利用折叠的性质和菱形的性质求出菱形的边长为，过点D作于点H，则，进一步求出，即可求出菱形的面积． 【详解】解：∵菱形纸片中，， ∴， ∵将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合， ∴， ∴，， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， 解得， 即菱形的边长为， 过点D作于点H，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴菱形的面积为． 故选：A． 2．（23-24九年级·江苏淮安·期末）如图，在一张菱形纸片中，，点E在边上(不与B、C重合)，将沿直线折叠得到，连接．以下选项中正确的是（    ） A． B． C．当平分时， D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据折叠的性质即可判断A选项；由折叠的性质，菱形的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识得到，即可判断B选项；证明是等边三角形，进一步得到，证明是等腰直角三角形，由勾股定理求出，即可判断C选项，即可得到答案． 【详解】解：A.∵将沿直线折叠得到， ， 只有时，才成立， 故选项不正确； B.由折叠得：， 四边形是菱形， ，， ∴， ， ，， ， 故选项不正确； C．如图，由折叠得：，，   平分， ， 、分别平分、， ∵三角形三条内角平分线交于一点， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故选项正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形角平分线等，综合性较强，是中考数学常考题型． 3．（23-24·山西太原·一模）图1是一张菱形纸片，点是边上的点．将该菱形纸片沿折叠得到图2，的对应边恰好落在直线上．已知，则四边形的周长为（    ） A．24 B．21 C．15 D．12 【答案】C 【分析】由的对应边恰好落在直线上可知，再证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵的对应边恰好落在直线上， ∴到、的距离相等， ∴，点是边的中点， ∴四边形、四边形是平行四边形，， ∴． 由折叠知， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为∶． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 4．（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，为边上的一点，将菱形沿折叠后，点恰好落在边上的处．若垂直对角线，则 度． 【答案】72 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角．利用菱形的性质设，求得，，，利用平角的性质计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴，，， 设， ∵垂直对角线， ∴， ∴， 由折叠的性质知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：72． 5．（23-24九年级·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】由菱形，可得，，则，由折叠的性质可知， ，，，则，，，可得，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知， ，，， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键． 6．（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图所示菱形为边上一点，将沿边折叠，恰好边与所在直线重合，A点落到延长线上F点，过点F作的垂线，垂足为G，若，则 ． 【答案】1 【分析】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用菱形的性质是解题关键． 连接，交于点O，根据折叠的性质及菱形的性质得出，，再由等量代换确定，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示： 将沿边折叠，恰好边与所在直线重合，A点落到延长线上F点， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：1． 7．（23-24九年级·浙江·阶段练习）综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2 【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有； [类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得； [问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可． 【详解】解： [操作判断]∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴． [类比探究]∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∴， ∵点与点C，E共线， ∴， 即， [问题解决]延长交的延长线于点， 由（2）得， ∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处， 设， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵恰好落在的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质． 8．（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）在矩形纸片中，，，现将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点 (1)尺规作图，画出折痕； (2)判断四边形是什么特殊四边形？并证明； (3)求折痕的长度？ 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形．证明见解析 (3)． 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）直接作线段的垂直平分线即可； （2）由矩形的性质可得，证明，可得，得出四边形是平行四边形．由折叠可知，，即可得证； （3）由勾股定理得出，则，设，则，再由勾股定理求出，，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：四边形是菱形．理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 设与交于点， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 由折叠可知，， ∴四边形是菱形 （3）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴． 由（2）知，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 9．（23-24·吉林松原·三模）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点E为射线上一点，将沿折叠，点A的对应点为点F．    (1)若，直接写出的长（用含a的代数式表示）； (2)若点E与点C重合，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)四边形是菱形．理由见解析 (3)或 【分析】 （1）由直角三角形斜边上的中线性质即得答案； （2）先证明是等边三角形，再证明四边形四边相等，即得答案； （3）分点E在线段上和其延长线上两种情况，根据及折叠的性质，可求得，进一步可分别求得答案． 【详解】（1）在中，， 是斜边上的中线，即点D是的中点，， ； （2）（2）四边形是菱形； 理由如下： 如图②，，， ， ， ∵点D是的中点，即， ，， 是等边三角形， ， 由折叠得， ，， ， 四边形是菱形， ，， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （3）如图③，点E在线段上时， ， ， 由折叠得， ， ， ； 如图④，点E在线段的延长线上时， ， ， 由折叠得， ， ， ； 综上所述，或．    【点睛】 本题主要考查了折叠问题，菱形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解答本题的关键． 10．（23-24九年级·吉林长春·期末）【感知】如图①，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上的点处，得到折痕，点在边上，将纸片还原，连结，若，则四边形的周长为______． 【探究】如图②，点、分别是平行四边形纸片的边、上的点，将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，点恰好落在边上的点处，将纸片还原，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，，，则的面积为______． 【答案】【感知】16；【探究】（1）见解析；（2）． 【感知】由四边形是平行四边形得，则，求得，即可得到答案； 【探究】【感知】由平行四边形的性质和折叠的性质可得，进而进而即可求解； 【探究】（1）四边形是平行四边形，，，由折叠的性质得到，，，则，，，即可得到结论； （2）过点作交于点，则，进步得到，，求得、的长，由折叠可知，，，设，则，由勾股定理列式解得，得到的长，可求得结论． 【详解】【感知】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠可知，，，， ， ， ， 四边形的周长为； 故答案为：． 【探究】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，点恰好落在边上， ，，， ， ， ， 四边形为菱形． （2）解：过点作交于点，则， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ∴， ， 由折叠可知，，， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得， 即， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理、菱形的判定等知识，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【题型2 矩形中的折叠问题】 1．（23-24九年级·广东广州·期末）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形与折叠，根据折叠的性质，推出，得到，进而证明，得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知：直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵对折至，折痕为， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24·安徽合肥·二模）如图，在矩形中，，，点E为射线上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为（      ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键． 设，根据矩形的性质和轴对称的性质求出，，，的长度，根据勾股定理和线段的和差关系求出和的长度，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴点F在上，如图所示， 四边形是矩形，，， ，，， 设，则， 将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处， ，， ∴， ∴， ∵， ∴． 解得． 故选：A． 3．（23-24九年级·湖南长沙·期末）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】连接，交于点，根据翻折的性质知，，，垂直平分，说明，利用等积法求出的长，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：连接，交于点， 在矩形中，，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵点为的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，利用等积法求出的长是解题的关键． 4．（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使A点与C点重合，则折痕的长度为 ．    【答案】 【分析】连接，由勾股定理求出，由折叠的性质可得，由垂直平分线的性质可得，设，则，由勾股定理可得，求出的值即可得到的长，再由勾股定理求出的长，再证明即可得到答案． 【详解】解：连接，记的交点为，   四边形是矩形，，， ，，， ， 由折叠的性质得：， 垂直平分， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，是解题的关键． 5．（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，连接，，则，由四边形是矩形，点为中点，得，，， ，所以，由折叠得，，，，所以，，，则，再证明，得，，可证明，则，所以，，则，由勾股定理得，则得到问题的答案． 【详解】解：设，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，点为中点， ∴，，，， ∴， 由折叠得，，，， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 6．（23-24九年级·浙江宁波·期末）在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：    第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶ 第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的判定性质，正方形的判定和性质，勾股定理，弄清相关线段间的关系，能灵活运用勾股定理列方程是解题的关键．根据矩形的性质，正方形的性质，翻折的性质用表示，，再利用勾股定理列方程解出即可． 【详解】解：由题意可知：四边形是正方形，四边形和四边形都是矩形， ，，， 是由折叠得到的， ， 在中，，即， 在中，，即， 联立解得：， 故答案为：10． 7．（23-24九年级·湖南郴州·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合．    (1)连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由． (2)若，，求四边形的周长与面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)， 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质得出，由折叠的性质可得：，，得到，推出，继而得出，即可得出四边形是平行四边形，从而得证； （2）由矩形的性质得出，，由折叠的性质可得：，设，则， 由勾股定理计算得出，再由菱形的周长和面积公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形的周长， 四边形的面积． 8．（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若 (1)求的长； (2)证明； (3)如图2，为中点，连接．求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形性质与折叠性质可得，，设，则，根据勾股定理即可求解； （2）根据折叠性质，平行线性质可得结论； （3）过点B作于点H，由折叠性质以及矩形性质可得，证明，得到，，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中， ，即， 解得：， 则； （2）证明：由折叠可知， 在矩形中，， ， ； （3）如图，过点B作于点H， 由矩形折叠可知，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 9．（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 矩形中，，，点在边上，且不与点重合，直线与的延长线交于点． (1)如图①，当点是的中点时，猜想与的关系为__________，证明你的结论； (2)如图②，将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点． ①猜想与的数量关系为__________，在（1）条件下可求__________； ②连接，周长的最小值为__________． 【答案】(1)，见详解 (2)① ②6 【分析】（1）根据矩形的性质得，可得，，利用即可得出结论； （2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，等角对等边即可得，设，则，，在中，由勾股定理得，即； ②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，，在中，由勾股定理得，的最小值，即可得周长的最小值； 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 点是的中点， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， 矩形中，，， ， 点是的中点， ， 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ，解得，即； ②由折叠得，， 的周长， 连接，， ， 当点恰好位于对角线上时，最小， 在中，，， ， 的最小值， 周长的最小值； 10．（23-24九年级·山东德州·期末）如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法： 第一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕和线段． (1)请问图中，和有什么关系？证明你的结论． (2)在第（1）题图中，延长交于点，延长交于点，连接，判断四边形的形状并证明． (3)在第（2）题图中，过点作于点，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为）．若已知，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，先证明为等边三角形，可得，由等边三角形的性质及矩形的性质即可求出的度数，即可得到结论； （2）由折叠的性质可得，证得，由全等三角形的性质可得，由矩形的性质可得，推出，进而可得，四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证； （3）先根据黄金矩形求出，然后根据30度角的性质和勾股定理求出，进而求得． 【详解】（1）解：如图，连接， 由折叠可得：，，垂直平分， ， ， 为等边三角形， ， ． 四边形为矩形， ， ， ． （2）解：由折叠知， ， ， 又，， ， ， ， ， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． （3）解：如图： 是矩形纸片，， ， 黄金矩形以为宽，， ， ， ， ， 由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，30度角的性质和勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定，能够根据折叠的性质证出是解题的关键． 【题型3 正方形中的折叠问题】 1．（23-24九年级·海南海口·期末）如图，将正方形纸片对折，得到折痕，把纸片展平，再沿折叠使点A落在折痕上的处，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据正方形的性质和折叠的性质得，，，再根据直角三角形的性质定理得，，即可求出答案． 【详解】四边形是正方形， ， 将正方形纸片对折，得到折痕， ，， 沿折叠使点A落在折痕上的处， ，， ， 连接， 在和中 ， ， ， 是等边三角形， ， 故选：D． 2．（23-24九年级·安徽滁州·期末）如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质以及直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是取中点，利用轴对称的性质得出． 取中点P，连接、、，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而求出，然后利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】如图，取中点P，连接、，    ∵正方形的边长为4， ∴， ∴ 由折叠的性质可知，，Q为中点， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 3．（23-24九年级·黑龙江鸡西·期末）如图，在正方形中，是边上一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的选项是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据折叠的性质，利用证明，得出，，即可判断①．根据全等三角形的性质得出，利用勾股定理得出，可得不是等边三角形，可得判断②．证明垂直平分，利用三角形内角和及等边对等角得出即可判断③．根据得出，求出即可判断④．综上即可得答案． 【详解】解：连接， ∵将正方形边沿折叠到， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴，即，故①正确， ∵，， ∴， 设，则，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴，， ∴不是等边三角形， ∴，故②错误， ∵， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴垂直平分， ∴，故③正确， ∵，， ∴，故④正确， 综上所述，正确的选项是①③④， 故选：A． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理及线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 4．（23-24九年级·山东东营·期末）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，令与交于点，由折叠的性质可得：，垂直平分，证明，得出，由勾股定理得出，再由三角形面积公式得出，即可得解． 【详解】解：如图，令与交于点， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴ 由折叠的性质可得：，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ． 【答案】3.2 【分析】本题考查矩形的折叠问题，正方形的判定，利用完全平方公式变形求值，根据题意可知四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形，设，，结合题意可得，，根据，得，再结合，求得（负值舍去），即可求解．利用完全平方公式变形等式是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠可知，，，，， ∴四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形， ∴设，， ∴，，则， ∴，则， 则， ∴（负值舍去）， 则， 故答案为：3.2． 6．（23-24九年级·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形的边长为，点E是边的中点，点F是边上不与点A、D重合的一个动点，将沿直线折叠，使点A落在点处．当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题．首先证明，只要分两种情形讨论即可：当时，连接．构建方程即可；当点F在中点时，满足条件． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的边长为，点E是边的中点， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， 当时，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 如图，当点F为的中点时， 由折叠的性质得：． ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 即垂直平分， ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∴，此时为等腰三角形，满足条件， 此时； 综上所述，的长为或． 故答案为：或 7．（23-24九年级·河南周口·阶段练习）如图，在正方形纸片中，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上． (1)试判断与的数量关系并证明你的结论； (2)若，，则的长为________． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据折叠性质得到、关于对称，结合正方形性质推得后用“角边角”证即可求解； （2）由折叠性质得，由勾股定理得后利用全等三角形性质和三角形面积公式求得，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： 根据折叠性质得：、关于对称， 即，且平分， ， ， 正方形中，，， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：平分， ， 中，， ， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是折叠性质、正方形性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是善于利用折叠性质得出垂直且平分． 8．（23-24九年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）操作与探究： 数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，连接． (1)操作发现： 根据以上操作，当点落在折痕上时，如图1所示，此时______； (2)迁移探究： 当点落在对角线上时，如图2所示，连接，与分别交于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用： 如图3，连接，若正方形的边长为4，且，连接，则______． 【答案】(1)15 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠得出，， ，证明，取的中点，连接，证明为等边三角形，得出，求出，即可得出结果． （2）连接，根据正方形的性质得出，，根据折叠得出，，，，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，求出，即可得出结论； （3）根据，得出点N在上，根据折叠得出，，，，根据勾股定理求出， 得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：根据折叠可知：，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 取的中点，连接，如图所示： ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 根据折叠可知：，，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵正方形的边长为4， ∴根据折叠可知：， 即与间的距离为2， 设点N到的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴点N在上，如图所示： 根据折叠可知：，，，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 9．（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，点分别是正方形的边上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，交于点，作于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)问四边形是什么特殊四边形？请说明理由． (3)①若三点在一条直线上，求证：． ②若为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)菱形．理由见解析 (3)①见解析；②2 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质得出，由折叠可知，，结合，即可得证； （2）由折叠知，，由平行线的性质得出，从而得出，进而得出，即可得证； （3）①连接，证明得出，证明，得出，求出，即可得解；②设，，则，，，，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形 ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴； （2）解：四边形为菱形．理由如下： 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． （3）解：①连接 ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三点在同一直线上，， ∴， ∴， ②设，，则，，，，， 在中，， 即， 解得， ∴． ． 10．（23-24九年级·河南新乡·期末）【问题情境】如图，在矩形中，，．点F是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点B的对应点为点E． 【猜想证明】（1）当点E落在边上时，四边形的形状为 ． （2）当平分时，连接，求． 【能力提升】（3）在【问题情境】的条件下，是否存在点F，使点F，E，D三点共线．若存在，请直接写出    的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）正方形；（2）；（3）或 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明是菱形，最后再证明是正方形； （2）过点E作于点G，可得为等腰直角三角形，设，在中，由勾股定理得：，解得：，故由代入求解即可； （3）①点F在线段上，根据“平行线+角平分线”可以得到等腰三角形，即 ，对运用勾股定理得，则，点F在线段延长线上，同理可求． 【详解】解：（1）如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴此时， ∵翻折， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； （2）过点E作于点G，则 ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设 ∵翻折， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即， ∴； （3）①点F在线段上，当F、E、D三点共线时，如图： ∵翻折 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴中，由勾股定理得， ∴， ②点F在线段延长线上，当F、E、D三点共线时，如图： 同理可求：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【题型4 坐标系中的折叠问题】 1．（23-24九年级·辽宁盘锦·期中）如图，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴正半轴上，顶点B、C在第一象限，，，点D在边上，将四边形沿直线翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的和处，且，某正比例函数图象经过，则这个正比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠性质，菱形性质，等边三角形的性质和判定的应用，勾股定理，含的直角三角形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 连接，求出是等边三角形，推出，根据且点D在边上，推出A和D重合，连接交x轴于E，根据勾股定理求出的坐标，即可求得正比例函数的解析式． 【详解】解： 连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵将四边形沿直线翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的和处， ∴ 又∵点D在边上， 即点D与点A重合， 连接交x轴于E， 则， ∵ ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得， 则， 即的坐标是， 设正比例函数的解析式为， ∵正比例函数图象经过， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24九年级·河南开封·期末）如图在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标是，将矩形沿对角线进行翻折，点落在点的位置，交轴于点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标系中的点，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 证明出，设，则，对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图， 由翻折得，， ∵四边形是矩形，顶点的坐标是， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选：C． 3．（23-24·河南安阳·二模）将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将折叠，得到．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点落在直线上，折痕交于点E．已知点，当四边形是正方形时，点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质；根据正方形的性质和等腰三角形的性质可得，再由正方形的性质求解即可； 【详解】由题意可得，当四边形是正方形时，， ∴， 由折叠的性质，可得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 故选C； 4．（23-24·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 5．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴正半轴上，点D在边上，将矩形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处．若，则 ，点D的坐标是 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．根据矩形的性质可知，，再利用折叠的性质得，，由勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案． 【详解】解：，， ，， 四边形是矩形， ，， 将该长方形沿折叠，点恰好落在边上的处． ，， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在 中， ， 解得， ， 故答案为：6，． 6．（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，在菱形中，点C在x轴上，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点O重合），将沿直线折叠，使点O落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，直线的解析式是 ．    【答案】或 【分析】分、和，分类讨论即可． 【详解】①当时，连接，作于H，于H，    ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∵M为边的中点， ∴，，   ∵折叠， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴D、E、N三点共线， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 解得，即， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴； ②当时，，此时E和A重合，N和C重合，是等腰三角形，， ∴， 把M，N坐标代入，得 ，解得， ∴；   ③当时， 此时E在的垂直平分线上 ∵，， ∴是等边三角形， ∴的垂直平分线过点A， ∴ 又， ∴ 又， ∴E和A重合， ∴此种情况和②一样． 综上，直线解析式为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 7．（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）如图，四边形为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是． 点D，E分别在，边上，且，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点F处 (1)F点的坐标是________，D点的坐标是________． (2)若点P在第二象限，且四边形是矩形，则P点的坐标是________ (3)若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或或 【分析】（1）由，且，求出、的长，再由折叠的特征求出的长，由勾股定理求出的长即可得到点的坐标；过点D作于G ，则，，所以，由折叠得，，由勾股定理，得，即，求解得，妈可得点D坐标． （2）连接交于点，由矩形的性质得点分别为、的中点，利用中点坐标即可求出点P坐标； （3）由（1）得，，由（2）得，，由折叠得，，分四种情况：①当四边形是菱形，点与点重合，②当四边形是菱形，与点重合，③当四边形是菱形，④当四边形是菱形，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：（1）如图1，矩形的边、分别在轴、轴上，且， ，， ，且， ，， 由折叠得，， ， 根据勾股定理得， ， ． 过点D作于G ， ∵矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠得，， 由勾股定理，得 即 ∴ ∴． （2）解：连接交于点，如图， 四边形是矩形， 点分别为、的中点， 由（1）得，，，， ， 设，则，， ，， ． （3）解：由（1）得，，由（2）得，，由折叠得，， ①当四边形是菱形，如图， 点与点重合，则， ∴ ∴； ②当四边形是菱形，与点重合，如图， ∴； ③当四边形是菱形，如图， 设， 作于点，则，，， ， 由，得， 解得，， ， ∴， ④当四边形是菱形，如图， 连结，交y轴于， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ， 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】此题重点考查矩形的折叠问题、菱形的判定与性质、勾股定理、线段的中点坐标等知识与方法，解第（3）题时要进行分类讨论，求出所有符合条件的结果，此题难度较大，属于考试压轴题． 8．（23-24九年级·广东广州·期末）长方形纸片中，，，把这张长方形纸片如图放置在平面直角坐标系中，在边上取一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)在上找一点，使最小，求点坐标． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）由折叠可得，，利用勾股可得，即得，得到点的坐标是，设，则，在中由勾股定理得，解方程可得，即得点的坐标； （）作点关于的对称点，连接，交于点，则 ，即得，由两点之间线段最短，可得此时最小，由对称可得点，利用待定系数法可得直线的解析式为，把代入函数解析式即可求解； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，轴对称最短线段问题，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数图象上点的坐标，利用轴对称找到点的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， ∵四边形是长方形纸， ∴，，， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：，； （2）解：作点关于的对称点，连接，交于点，则 ， ∴，由两点之间线段最短，可得此时最小， ∵点和点关于对称， ∴点， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴点坐标为． 9．（23-24九年级·江苏无锡·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． (1)如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是______； ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； (2)如图2，动点D，G分别在边上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，直接写出S与t的关系式． 【答案】(1)①；点D的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】（1）①由折叠的性质可得，结合可得；②连接，先证 ，推出，设点D的坐标为，用勾股定理解可得点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设出点的坐标，结合，利用两点间距离公式列方程，即可求解； （2）连接，，，设，用勾股定理解求出m与t的关系，进而用含t的代数式表示出；设，用勾股定理解，，用含t，n的式子分别表示出，，由折叠可知垂直平分，推出，进而可得n与t的关系，用含t的代数式表示出，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：①正方形边长为2，点C的坐标为， ， 由折叠的性质可得， 又 ， ， ， 点D的坐标是， 故答案为：； 如图，连接， 点E是线段的中点， ， 由折叠的性质可得，， 又 ， ， 在和中，， ， ， 设点D的坐标为，则， ， ， 在中，， ， 解得， 点D的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ，， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； （2）解：如图，连接，，， 设，则． 设，则， 在中，， ， 解得， ； 设，则， 在中，， 在中，， 由折叠可知垂直平分， ， ，即， 解得， ； ， 即． 【点睛】本题考查坐标与图形，正方形折叠问题，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理等，第二问有一定难度，根据折叠得出垂直平分，进而得出是解题的关键． 10．（23-24·黑龙江佳木斯·三模）平面直角坐标系内如图放矩形已知点，．将矩形沿折叠，使点与点重合．折痕交于点，交于点． (1)求点的坐标； (2)若动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度的速度向点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，当点运动到点时停止运动，点也同时停止运动．设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，是射线上的一点，点为平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在或或时，，，，，为顶点的四边形是正方形． 【分析】（1）结合点，点，四边形为矩形，可得，，；设，则，在中，由勾股定理可得，代入求解可知，即可求得点的坐标； （2）分两种情况讨论：当点在点右侧和点在点左侧时，利用三角形面积公式即可获得答案； （3）若以，，，为顶点的四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论即可获得答案． 【详解】（1）解：由折叠可得， ∵点，点，四边形为矩形， ∴，，，， 设，则， ∴在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）①如下图，当点在点右侧时，    根据题意，， ， ∴， ∴； ②如下图，当点在点左侧时，    根据题意，， ， ∴， ∴． 综上所述，； （3）解：若以，，，为顶点的四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形， 可分情况讨论： ①如下图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴即； ②如下图，过点作于点，则四边形、均为矩形，    ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴即，， ∴即， ∵四边形是正方形， ∴即； ③如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴ ∵四边形是正方形， ∴即． 综上所述，存在或或时，，，，为顶点的四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，综合性强，难度较大，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$