第五章 平面向量与复数综合测试卷-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

第五章 平面向量与复数综合测试卷 （新高考专用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2024·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（5分）（2024·西藏·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（2024·重庆·二模）若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 5．（5分）（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形中，为中点.为线段上靠近点的四等分点，设，，则（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．0 7．（5分）（2024·北京大兴·三模）已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（2024·四川成都·模拟预测）在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2024·山东·模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 10．（6分）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若是的共轭复数，则 C．若，则 D．若，则取最大值时， 11．（6分）（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则的虚部为 . 13．（5分）（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足：， ，，且 ，，则 . 14．（5分）（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形中，，，记，，用和表示 ；若，，则值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2024·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 16．（15分）（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 17．（15分）（2023·黑龙江大庆·二模）已知，，． (1)若，求x的值； (2)求的最大值及取得最大值时相应的x的值． 18．（17分）（2024·湖南邵阳·一模）在中，内角满足. (1)求角的大小； (2)若，求的最大值. 19．（17分）（2024·陕西·模拟预测）等边外接圆圆心为，半径为上有点． (1)若为弧中点，求； (2)求最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 平面向量与复数综合测试卷 （新高考专用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2024·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案. 【解答过程】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出， 由表示同向且模相等，则， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 2．（5分）（2024·西藏·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据共轭复数和除法法则进行计算，得到答案. 【解答过程】因为，所以， 所以． 故选：A． 3．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用转化法求得，再利用两个向量夹角的余弦公式即可得解. 【解答过程】因为向量均为单位向量，即，且，， 则，两边平方可得， 即，所以， 又，所以与的夹角为． 故选：C． 4．（5分）（2024·重庆·二模）若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 【解题思路】根据纯虚数的定义解出，利用复数的几何意义求解． 【解答过程】复数为纯虚数，， 复数在复平面上的对应点为，位置在第一象限． 故选：A． 5．（5分）（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形中，为中点.为线段上靠近点的四等分点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量的线性运算可得答案. 【解答过程】如图所示，由题意可得， 而， 故选：C. 6．（5分）（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．0 【解题思路】变形复数，根据题中定义进行计算，即可判定. 【解答过程】， 所以 , 所以的虚部为. 故选:B. 7．（5分）（2024·北京大兴·三模）已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量共线的坐标表示求出参数的值，即可判断A；根据及数量积的坐标表示求出，即可判断B；表示出，，即可判断C；根据平面向量线性运算的坐标表示判断D. 【解答过程】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：因为，， 显然，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：D. 8．（5分）（2024·四川成都·模拟预测）在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解. 【解答过程】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ，其中锐角满足， 故的最大值为, 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2024·山东·模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【解题思路】利用向量的坐标运算即可，其中在上的投影向量公式为. 【解答过程】对于A，由向量，，则，故A是错误的； 对于B，由向量的夹角公式得：，所以与的夹角为，故B是错误的； 对于C，由，所以，即，故C是正确的； 对于D，由，则在上的投影向量为： ，故D是正确的； 故选：CD. 10．（6分）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若是的共轭复数，则 C．若，则 D．若，则取最大值时， 【解题思路】根据复数的类型求解参数的值判断A，利用复数的除法运算及共轭复数的概念求解参数判断B，利用复数的乘法运算求解参数判断C，根据复数模的运算结合三角换元求解最值即可判断D. 【解答过程】对于A：复数的实部为，虚部为，若为纯虚数，则， 故，错误； 对于B：因为，所以，则，错误； 对于C：，则，正确； 对于D：因为，所以，即， 令，则， 因为，所以，所以当时，取到最大值2， 此时，所以，正确. 故选：CD. 11．（6分）（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 【解题思路】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据结合投影向量的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解. 【解答过程】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项C：由题意可知：， 若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误； 对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系， 则， 可得，所以，故B错误； 设，可知， 则，可得， 则， 可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确； 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则的虚部为 . 【解题思路】根据复数的运算法则可得，进而，结合复数的有关概念即可求解. 【解答过程】， 所以， 则的虚部为. 故答案为：. 13．（5分）（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足：， ，，且 ，，则 . 【解题思路】结合数量积的定义和性质求出、和，利用即可求出答案. 【解答过程】因为，所以， 因为，，， ， 所以， ， 因为， ， 所以. 故答案为：. 14．（5分）（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形中，，，记，，用和表示 ；若，，则值为 . 【解题思路】对于空1，由得，结合即可得解；对于空2，利用已知条件将向量和转换成向量和来表示即可得解. 【解答过程】因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以 ， 故，即， 又 ， 故，即， 因为，， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2024·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标表示求，再代入模的公式，即可求解； （2）首先根据两向量平行求，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【解答过程】（1）由，得，解得， ，则． （2）由题意， 又，，解得， 则，，， ， 即向量与的夹角的余弦值为． 16．（15分）（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【解题思路】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【解答过程】（1）由是纯虚数得，解得. 所以当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 17．（15分）（2023·黑龙江大庆·二模）已知，，． (1)若，求x的值； (2)求的最大值及取得最大值时相应的x的值． 【解题思路】（1）由平面向量的数量积为0可得，再由x的范围求得x值； （2），结合x的范围及正弦函数的最值求解． 【解答过程】（1），， 若，则， ∴，即， ∵，∴，可得，即； （2）， ∵，∴，可得当，即时，取最大值为1． 18．（17分）（2024·湖南邵阳·一模）在中，内角满足. (1)求角的大小； (2)若，求的最大值. 【解题思路】（1）根据辅助角公式求解； （2）根据向量的加法法则将转化为，然后结合换元法和基本不等式求解； 【解答过程】（1）由已知 . . （2）   . 又， . 令， . 当且仅当取等号. 的最大值为. 19．（17分）（2024·陕西·模拟预测）等边外接圆圆心为，半径为上有点． (1)若为弧中点，求； (2)求最大值． 【解题思路】（1）当是弧的中点时，判断出四边形是菱形，再根据向量的线性运算求得，从而求得. （2）根据圆、等边三角形的几何性质，利用向量数量积的运算以及三角函数的最值等知识求得最大值． 【解答过程】（1）设是的中点，则，且三点共线， 若为弧中点，则四点共线， 由于， 所以三角形和三角形是等边三角形，所以， 所以四边形是菱形，， 所以， 所以. （2）因为， 所以，， ， 所以当同向时，取得最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$