第01讲 二次根式（3个知识点+3种题型+分层练习）- 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第01讲 二次根式（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 题型强化 题型一．二次根式的定义 1．（2022秋•嘉定区校级月考）下列各式一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（金山区校级月考）在，，，，各式中，是二次根式的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2022秋•浦东新区校级期中）若是二次根式，则的取值范围是 　　． 题型二．二次根式有意义的条件 4．（2024春•青浦区校级期末）当　　时，有意义． 5．（2023秋•浦东新区期中）若在实数范围内成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 6．（浦东新区月考）已知、是实数，且，求． 题型三．二次根式的性质与化简 7．（2023秋•静安区校级期末）如果，那么等式成立的条件是 　　． 8．（2021秋•宝山区校级月考）化简：　　 A． B． C． D． 9．（2021秋•浦东新区期中）计算：． 分层练习 一、单选题 1．（22-23八年级上·上海·单元测试）若 成立，则 应满足（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·上海宝山·阶段练习）下列式子中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·上海长宁·期中）当时，的化简结果（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）使二次根式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知，化简二次根式的值是（    ）． A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·上海·单元测试）实数在数轴上的位置如图所示，化简的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（八年级上·上海浦东新·期中）计算＝ ． 8．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）成立的条件是 ． 9．（23-24八年级上·上海长宁·期末）化简： ． 10．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 11．（23-24八年级上·上海崇明·期中）当 时，二次根式在实数范围内有意义． 12．（23-24七年级下·上海闵行·期中）要使得代数式有意义，那么的取值范围是 ． 13．（23-24八年级上·上海·阶段练习）代数式如果有意义，则x的取值范围为 ． 14．（23-24八年级上·上海·阶段练习）化简二次根式 ． 15．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）如果有意义，那么的取值范围是 ． 16．（23-24八年级上·上海普陀·期中）函数的定义域为 ． 17．（23-24八年级上·上海闵行·期中）、、是的三条边，化简 18．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么等式成立的条件是 . 三、解答题 19．（22-23八年级上·上海嘉定·阶段练习）解不等式： 20．（22-23八年级·上海·假期作业）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 21．（22-23八年级上·上海·阶段练习）若m适合关系式，求m的值． 22．（22-23八年级·上海·假期作业）化简： (1)； (2)； (3)． 23．（21-22八年级上·上海·阶段练习） 24．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）已知：，求x的值． 25．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，求的值． 26．（2023八年级上·上海·专题练习）化简： (1)； (2)． 27．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 题型强化 题型一．二次根式的定义 1．（2022秋•嘉定区校级月考）下列各式一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的概念和性质，逐一判断． 【解答】解：、二次根式无意义，故错误； 、是三次根式，故错误； 、被开方数是正数，故正确； 、当或、异号时，根式无意义，故错误． 故选：． 【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0． 2．（金山区校级月考）在，，，，各式中，是二次根式的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二次根式的意义逐项进行分析即可推出正确的结果． 【解答】解：， 是二次根式， 中，的取值范围不确定， 有可能为负数， 不是二次根式， ， 不是二次根式， 各式中，是二次根式，，共3个． 故选：． 【点评】本题主要考查二次根式的意义，二次根式的定义，关键在于熟练掌握二次根式的概念，并做到熟练应用． 3．（2022秋•浦东新区校级期中）若是二次根式，则的取值范围是 　　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数． 题型二．二次根式有意义的条件 4．（2024春•青浦区校级期末）当　　时，有意义． 【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解． 【解答】解：根据题意得，， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 5．（2023秋•浦东新区期中）若在实数范围内成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件进行判断即可． 【解答】解：在实数范围内成立， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，同时满足这两个条件，原等式在实数范围内才成立． 6．（浦东新区月考）已知、是实数，且，求． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：有意义， ，， 解得：， 故， 则． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 题型三．二次根式的性质与化简 7．（2023秋•静安区校级期末）如果，那么等式成立的条件是 　　． 【分析】根据解答即可． 【解答】解：如果， 那么，， 解得 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握的化简以及二次根式有意义的条件是解题的关键． 8．（2021秋•宝山区校级月考）化简：　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式乘法、商的算术平方根等概念分别判断． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的乘除法，二次根式的性质，注意是非正数． 9．（2021秋•浦东新区期中）计算：． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：原式 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简． 分层练习 一、单选题 1．（22-23八年级上·上海·单元测试）若 成立，则 应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分两种情况：当或时，分别求出x的值即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 即， 解得：； 当时， ∵， ∴， 即， 解得：（不符合题意舍去）； 综上分析可知，，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，． 2．（21-22八年级上·上海宝山·阶段练习）下列式子中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义即可求解，形如的代数式是二次根式． 【详解】解：A、 ，，不是二次根式，不符合题意； B、是三次根式，不符合题意；     C、是二次根式，符合题意； D、，当或异号时无意义，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了二次根式的定义，被开方数为非负数，掌握二次根式的定义是解题的关键． 3．（22-23八年级上·上海长宁·期中）当时，的化简结果（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，． 4．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）使二次根式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件得出，求出不等式的解集即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式中被开方数不能是负数． 5．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知，化简二次根式的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件求出，求出、的范围，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件求出， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 6．（22-23八年级上·上海·单元测试）实数在数轴上的位置如图所示，化简的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数轴上点的位置得到，据此化简二次根式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴ ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，正确得到是解题的关键． 二、填空题 7．（八年级上·上海浦东新·期中）计算＝ ． 【答案】1 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：原式， 故答案为1 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 8．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式商的性质，解题的关键是利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：要使有意义，则： ， 解得：， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·上海长宁·期末）化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质即可化简得出答案．本题主要考查二次根式的性质与化简，关键是熟练掌握二次根式的性质． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据化简即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：. 11．（23-24八年级上·上海崇明·期中）当 时，二次根式在实数范围内有意义． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·上海闵行·期中）要使得代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：若代数式有意义， 则有且， 解得且． 故答案为：且． 13．（23-24八年级上·上海·阶段练习）代数式如果有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·上海·阶段练习）化简二次根式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用二次根式的性质得出绝对值，进而化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 15．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）如果有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得：，解得：， 则的取值范围是， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·上海普陀·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查求函数自变量的范围，根据二次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解即可． 【详解】解：依题意， 解得：， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·上海闵行·期中）、、是的三条边，化简 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，三角形三边关系的应用，正确去掉根号是解答本题的关键． 根据已知条件，，已知、、是的三条边，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知． 【详解】解：由已知得， ， ， ， 、、是的三条边， 原式， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么等式成立的条件是 . 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求不等式组的解集，解题的关键是根据二次根式的性质得出，，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴等式成立的条件是：， 故答案为：． 三、解答题 19．（22-23八年级上·上海嘉定·阶段练习）解不等式： 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤． 20．（22-23八年级·上海·假期作业）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 【答案】、、、、（）是二次根式，、、、不是二次根式． 【分析】根据二次根式的概念即可逐一判定. 【详解】解：根据二次根式的概念，可知、、、、（）是二次根式，其中、的根指数分别为3、4，不是二次根式；、是分式，不是二次根式． 【点睛】此题主要考查二次根式的概念，解题的关键是被开方数为非负数. 21．（22-23八年级上·上海·阶段练习）若m适合关系式，求m的值． 【答案】301 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出的值，再列出关于、、的三元一次方程组解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 则， 即， 则， 解得， 故． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0． 22．（22-23八年级·上海·假期作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （2）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （3）根据二次根式性质进行的化简即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴原式=； （2）解：由二次根式非负性，即有，可得， 原式=； （3）解：原式=． 【点睛】考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键． 23．（21-22八年级上·上海·阶段练习） 【答案】 【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，需注意的是，当二次被开方数为平方的形式时，化简的结果要带着绝对值，而合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变． 24．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）已知：，求x的值． 【答案】4015 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得出x的取值范围，根据绝对值的性质可去掉绝对值，进而解方程即可得答案． 【详解】∵有意义， ∴x-2008≥0， 解得：x≥2008， ∴＜0， ∴， 整理得：=， 两边同时平方得：x-2008=2007， 解得：x=4015． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数的性质得出x的取值范围是解题关键． 25．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据已知的等式可知a、b为负数，再根据分式的运算得到，再根据完全平方公式的变形即可求解． 【详解】∵，， ∴a、b为负数， ∴ ， ∵，， ∴原式 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知分式的运算及乘方公式的运用． 26．（2023八年级上·上海·专题练习）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方差公式，将二次根式恒等变形后，利用二次根式性质化简，再结合去绝对值运算即可得到结论； （2）根据完全平方和公式，将二次根式恒等变形后，利用二次根式性质化简，再结合去绝对值运算即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查复合二次根式的化简，注意观察，被开方式可转化为一个完全平方式，即，同时根据二次根式性质及去绝对值运算进行相关化简是解决问题的关键． 27．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a的符号，再根据化简即可. （2）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a的符号，再化简即可. （3）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a-1的符号，再化简即可. 【详解】（1）      ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． 学科网（北京）股份有限公司 $$