第01讲 二次根式（三类知识点+十一大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第01讲 二次根式（十一大题型） 学习目标 1、 了解二次根式的概念，掌握二次根式的双重非负性； 2、 理解并掌握二次根式的性质； 3、并会根据二次根式的性质进行化简求值． 一．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 【即学即练1】 下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C．2 D． 二．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即学即练1】 若有意义，则的值可以是（    ） A． B．0 C．5 D．7 三、二次根式的性质 ①≥0；a≥0（双重非负性）． ②性质1：；a拓展到实数范围内：＝|a|＝（算术平方根的意义） ③性质2：（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 【即学即练1】 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 下列各式成立的是（    ）． A． B． C． D． 题型1：二次根式的概念 【典例1】．下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．下列各式中，是二次根式的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例3】．若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 题型2：二次根式有意义的条件 【典例4】．在二次根式中，字母x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≤0 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1 【典例5】．在函数中，自变量x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【典例6】．函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3：二次根式的性质1 【典例7】．的化简结果是（    ） A．4 B． C．16 D． 【典例8】．用一个x的值来说明“”是错误的，则x的值可以是 ． 题型4：二次根式的性质2 【典例9】．计算：()2 = ． 【典例10】．计算的结果是（    ） A． B． C． D．5 【典例11】．计算的结果为 ． 【典例12】．下列各式成立的是（    ）． A． B． C． D． 【典例13】．已知，那么a应满足什么条件 （　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a ＝0 D．a任何实数 题型5：化简二次根式 【典例14】．化简：= ． 【典例15】．化简： ． 题型6：根据二次根式的化简结果求参数范围 【典例16】．若，则b满足的条件是( ) 【典例17】．若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型7：由参数范围化简二次根式 【典例18】．若，化简二次根式 ． 【典例19】．当时，代数式的值是 ． 【典例20】．当时，化简的结果是 ． 题型8：由数轴确定参数范围，从而化简二次根式 【典例21】．如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ．    【典例22】．如图，数轴上点A表示的数为a，化简： ． 题型9：二次根式非负性的代数应用 【典例23】．已知，则x+y的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【典24】．已知是有理数，且，则化简的结果为 ． 【典例25】．已知 则 的值为（    ） A． B． C． D．12 题型10：由二次根式的值确定参数（含最值问题） 【典例26】．已知二次根式的值为4，则 ． 【典例27】．已知是整数，正整数n的最小值为(   ) A．0 B．1 C．6 D．36 【典例28】．已知是整数，则满足条件的最小的正整数n的值是(      ) A．0 B．1 C．2 D．5 题型11：二次根式的几何应用（挖掘几何中的隐含条件） 【典例29】．【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 【典例30】．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：由，解得： ∴， ∴原式= (1)按照上面的解法，试化简． (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． (3)已知a，b，c为的三边长，化简：． 一、单选题 1．给出下列各式：①；②6；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．要使有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．化简的结果是（    ） A．5 B． C． D． 4．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若等式，成立，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 6．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．x< 7．当时，化简（    ） A． B． C． D． 8．实数a，b在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（    ）    A． B． C．a D． 9．当时，代数式的值是（   ） A． B．1 C． D． 10．设为正整数，，，，，…，….，已知，则(   ). A．1806 B．2005 C．3612 D．4011 二、填空题 11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 12．计算： ． 13．如果有：，则= ． 14．化简 ． 15．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．    16．是整数，则最小的正整数a的值是 ． 17．已知y＝1＋＋，则2x＋3y的算术平方根为 ． 18．对于有理数，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为 ． 19．若，则= ． 三、解答题 20．下列各式是否二次根式？说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)（a＜0）． 21．下列式子哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ ． 22．下列各式有意义，求的取值范围． (1) (2) (3) (4) 23．求下列二次根式中字母a的取值范围． (1)． (2)． (3)． 24．计算下列各式； （1）       （2）      （3）       （4） （5）     （6）         （7） 25．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 26．已知为有理数，且等式成立，求a+b-c的值 27．（1）通过计算下列各式的值探究问题： ______；______； ______；______；______； 探究：对于任意有理数a，______； （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： ______. 28．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）； (3)先化简，再求值：，其中． 29．阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式（十一大题型） 学习目标 1、 了解二次根式的概念，掌握二次根式的双重非负性； 2、 理解并掌握二次根式的性质； 3、并会根据二次根式的性质进行化简求值． 一．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 【即学即练1】 下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，根指数为2且被开方数为非负数，即为二次根式，据此逐项分析即可作答． 【解析】解：A、是二次根式，故该选项是正确的； B、根指数不为2，故该选项是错误的； C、2不是二次根式，故该选项是错误的； D、的被开方数为负数，故该选项是错误的； 故选：A． 二．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即学即练1】 若有意义，则的值可以是（    ） A． B．0 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，得出求解，选择答案即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【解析】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴选项中符合的数只有7， 故选：D． 三、二次根式的性质 ①≥0；a≥0（双重非负性）． ②性质1：；a拓展到实数范围内：＝|a|＝（算术平方根的意义） ③性质2：（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 【即学即练1】 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质即可解答． 【解析】解：∵， 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【即学即练2】 下列各式成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【解析】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 题型1：二次根式的概念 【典例1】．下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，结合选项进行判断即可． 【解析】A、被开方数为负数，不是二次根式，故本选项错误； B、，一定二次根式，故本选项正确； C、不一定为非负数，即原式不一定能满足被开方数为非负数，故本选项错误； D、根指数为3，不是二次根式，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，注意判断二次根式的方法：二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2． 【典例2】．下列各式中，是二次根式的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解析】解：①是二次根式，故正确； ②，-3＜0，不是二次根式，故错误； ③是三次根式，故错误； ④是二次根式，故正确； 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 【典例3】．若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次根式的定义，分别进行判断，即可得到答案． 【解析】解：A、当x＝1时，不是二次根式，不符合题意； B、当x＝﹣1时，不是二次根式，不符合题意； C、当x＝﹣1时，不是二次根式，不符合题意； D、x为任意实数，是二次根式，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行判断． 题型2：二次根式有意义的条件 【典例4】．在二次根式中，字母x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≤0 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1 【答案】C 【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得x+1≥0，解得x≥﹣1． 故选C． 【典例5】．在函数中，自变量x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解析】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【典例6】．函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的性质，二次根式的性质的综合，掌握分式的性质，二次根式有意义的条件求自变量的取值范围是解题的关键． 根据二次根式的性质，被开方数为非负数，即，根据分式的性质，分母不能为零，即，由此即可求解． 【解析】解：根据题意可得，，且， ∴， 故选：． 题型3：二次根式的性质1 【典例7】．的化简结果是（    ） A．4 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可得到答案． 【解析】解：， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题关键． 【典例8】．用一个x的值来说明“”是错误的，则x的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一，只要负数即可） 【分析】本题考查二次根式的性质，根据求解即可得到答案； 【解析】解：∵“”是错误的， ∴， 故答案为：（答案不唯一，只要负数即可）． 题型4：二次根式的性质2 【典例9】．计算：()2 = ． 【答案】2021 【分析】根据二次根式的性质即可得出答案． 【解析】解：． 故答案为：2021． 【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 【典例10】．计算的结果是（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质，即可求解． 【解析】解：， 故选：D． 【典例11】．计算的结果为 ． 【答案】18 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握是正确解答的关键．根据即可得出答案． 【解析】解：， 故答案为：18 【典例12】．下列各式成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【解析】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 【典例13】．已知，那么a应满足什么条件 （　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a ＝0 D．a任何实数 【答案】B 【分析】分别求出与的被开方数中a的取值范围即可得到答案. 【解析】∵的被开方数a的取值范围是，的被开方数中a的取值范围是任意实数， 故a应满足的条件是， 故选：B. 【点睛】此题考查二次根式的性质：双重非负性，二次根式的被开方数满足大于等于零的条件. 题型5：化简二次根式 【典例14】．化简：= ． 【答案】 【分析】根据进行计算即可． 【解析】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和化简，关键是掌握二次根式的性质． 【典例15】．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【解析】解：， 故答案为：． 题型6：根据二次根式的化简结果求参数范围 【典例16】．若，则b满足的条件是( ) 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根据的性质 ，即可得结果． 【解析】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【典例17】．若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质：，得到关于的不等式，解不等式即可得到答案． 【解析】解：， ， ， 解得 故选：C． 题型7：由参数范围化简二次根式 【典例18】．若，化简二次根式 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的非负性是解题的关键．先将化成，再根据二次根式的非负性即可解答． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例19】．当时，代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，绝对值的性质，正确化简是解题关键．根据a的取值范围，可求出和的取值范围，再结合二次根式的性质化简即可． 【解析】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：1． 【典例20】．当时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次根式的意义化简即可． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型8：由数轴确定参数范围，从而化简二次根式 【典例21】．如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ．    【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值；根据数轴可得，进而根据绝对值的意义，二次根式的性质化简，即可求解． 【解析】解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：． 【典例22】．如图，数轴上点A表示的数为a，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，先判定，再化简二次根式即可． 【解析】解：由数轴可得：， ∴． 故答案为：． 题型9：二次根式非负性的代数应用 【典例23】．已知，则x+y的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据非负数的性质可得关于x、y的方程，解方程即可求出x、y的值，然后代入所求式子计算即可． 【解析】解：∵，，， ∴1－x=0，2－y=0，解得：x=1，y=2，∴x+y=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质，属于常见题型，熟知完全平方式和二次根式的非负性是解题的关键． 【典例24】．已知是有理数，且，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，从而得出，代入结合二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：由题意得：，， 解得：， 将代入得， ， 故答案为：． 【典例25】．已知 则 的值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件求出的值，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 题型10：由二次根式的值确定参数（含最值问题） 【典例26】．已知二次根式的值为4，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的化简运算，根据题意建立等式求解，即可解题． 【解析】解：由题知，， ， ， ． 故答案为：5． 【典例27】．已知是整数，正整数n的最小值为(   ) A．0 B．1 C．6 D．36 【答案】C 【解析】∵，且是整数， ∴是整数，即6n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为6． 故选C． 【典例28】．已知是整数，则满足条件的最小的正整数n的值是(      ) A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】D 【分析】首先化简二次根式进而得出n的最小值． 【解析】∵2是整数，∴最小正整数n的值是5． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键． 题型11：二次根式的几何应用（挖掘几何中的隐含条件） 【典例29】．【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 【答案】（）；（），；【拓展应用】． 【分析】本题考查了二次根式，三角形的三边关系，解方程等， （）根据二次根式的性质即可求出答案； （）根据三角形的三边关系可得，然后根据二次根式的性质即可求出答案；根据二次根式的性质可得x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简，再解方程即可求出答案； 解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及三角形的三边关系． 【解析】解：（）原式， ∵（显性条件）， 由题意得（隐含条件）， ∴， ∴， ∴原式， ； （）∵三角形的三边长分别为， ∴， ∴的取值范围是，（隐含条件） ∴原式 ， ， 故答案为：； 【拓展应用】由题意得， ∴（隐含条件）， ∴原方程可化为：， 解得，符合题意． 【典例30】．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：由，解得： ∴， ∴原式= (1)按照上面的解法，试化简． (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． (3)已知a，b，c为的三边长，化简：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简、绝对值的性质、数轴、三角形的三边关系， （1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得； （2）由a、b在数轴上的位置判断出、，再利用二次根式的性质化简即可得； （3）由三角形三边间的关系得出、，再利用二次根式的性质化简可得． 【解析】（1）解：隐含条件， 解得：， ，即， ∴原式 ； （2）解：观察数轴得隐含条件：，，， ∴，， ∴原式 ； （3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，， ∴，， ∴原式 ． 一、单选题 1．给出下列各式：①；②6；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，把形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义逐项判断即可． 【解析】解：， 是二次根式，故①符合题意； 6不是二次根式，故②不符合题意； ， 不是二次根式，故③不符合题意； ， ， 是二次根式，故④符合题意； ， 是二次根式，故⑤符合题意； 是三次根式，故⑥不符合题意； 综上所述，二次根式有个， 故选：B． 2．要使有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质可以得到x-1是非负数，由此即可求解． 【解析】解：依题意得x-1≥0， ∴x≥1． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题． 3．化简的结果是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式性质化简求值即可得到答案． 【解析】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式性质，熟记二次根式性质化简是解决问题的关键． 4．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质进行计算即可求解． 【解析】A、，故选项A不正确； B、，故选项B不正确； C、，故选项C不正确； D、，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 5．若等式，成立，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解析】解：∵等式成立， ∴a≥0． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 6．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．x< 【答案】C 【分析】由题意利用二次根式的性质，进而去绝对值讨论即可得出x的取值范围. 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 7．当时，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定是正是负，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：， 当时，，而， 所以． 原式＝， 故答案选择B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和分式的运算，解题关键是判断的正负，再根据二次根式和绝对值的性质熟练进行化简． 8．实数a，b在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（    ）    A． B． C．a D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可． 【解析】解：由数轴可得：，， ∴，， 则 ， 故选：B． 9．当时，代数式的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的化简，直接利用，再化简绝对值即可． 【解析】解：∵， ∴ ， 故选C 10．设为正整数，，，，，…，….，已知，则(   ). A．1806 B．2005 C．3612 D．4011 【答案】A 【分析】利用多项式的乘法把各数开方进行计算，然后求出A1，A2，A3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k=100代入进行计算即可求解. 【解析】∵(n+3)(n-1)+4=n2+2n-3+4=n2+2n+1=(n+1)2， ∴A1= ∵(n+5)A1+4=(n+5)(n+1)+4=n2+6n+5+4=n2+6n+9=(n+3)2， ∴A2= ∵(n+7)A2+4=(n+7)(n+3)+4=n2+10n+21+4=n2+10n+25=(n+5)2， ∴A3= ⋯⋯ 依此类推，Ak=n+(2k-1) ∴A100=n+(2×100-1)=2005 解得，n=1806. 故选A. 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1，A2，A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键. 二、填空题 11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义可得，根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【解析】由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数． 12．计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，即可求解． 【解析】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，属于基础题，关键是掌握二次根式的算术平方根为非负数． 13．如果有：，则= ． 【答案】1 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性即可求解． 【解析】解：由题意可知：，且， 而它们相加为0，故只能是且， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根的概念及绝对值的概念是解决本题的关键． 14．化简 ． 【答案】-2x 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【解析】解：， 故答案为：-2x． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，要牢牢掌握，化简时注意符号． 15．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．    【答案】 【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及根式的性质，根据数轴判断与和0的关系，再根据二次根式的性质化简即可得到答案； 【解析】解：由数轴可得， ∴， ∴， 故答案为：． 16．是整数，则最小的正整数a的值是 ． 【答案】5 【分析】由45a＝5×3×3×a，是正整数，最小值只需要即可． 【解析】解：由于45a＝5×3×3×a，要使其为整数，则必能被开得尽方，所以满足条件的最小正整数a为5． 解：45a＝5×3×3×a， 若为整数，则必能被开方，所以满足条件的最小正整数a为5． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查二次根式的化简方法的运用，把被开方数里开得尽方的因数写成平方数，再寻找a的最小整数值． 17．已知y＝1＋＋，则2x＋3y的算术平方根为 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式的非负性求出，代入计算得到，再根据算术平方根的定义解答． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴2x＋3y的算术平方根为2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查二次根式的非负性，算术平方根的定义，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 18．对于有理数，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据的含义可得，由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入计算即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∵，且a和b为两个连续正整数，， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、立方根、实数的运算等知识点，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 19．若，则= ． 【答案】 【分析】考查了二次根式的意义和性质，化简二次根式，式子叫二次根式，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据二次根式有意义的条件可知，由此求得、的值，代入求值即可． 【解析】解：根据题意，得且，则， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题 20．下列各式是否二次根式？说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)（a＜0）． 【答案】(1)是二次根式 (2)根号下小于零，不是二次根式 (3)是三次根式，不是二次根式 (4)是二次根式 【分析】此题主要考查了二次根式，正确把握定义是解题关键． （1）直接利用二次根式的定义得出答案． （2）直接利用二次根式的定义得出答案． （3）直接利用二次根式的定义得出答案． （4）直接利用二次根式的定义得出答案． 【解析】（1）是二次根式； （2），被开方数小于零，不是二次根式； （3），是三次根式，不是二次根式； （4）是二次根式． 21．下列式子哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ ． 【答案】是二次根式；不是二次根式 【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐个判断即可得． 【解析】解：都是二次根式， 因为， 所以是二次根式， 是三次根式，不是二次根式， 的被开方数为，不是二次根式， 综上，是二次根式；不是二次根式． 【点睛】本题考查了二次根式，熟记定义是解题关键． 22．下列各式有意义，求的取值范围． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)为任意实数 (3) (4)且 【解析】略 23．求下列二次根式中字母a的取值范围． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)大于或等于的实数； (2)小于的实数； (3)全体实数． 【分析】根据二次根式的性质：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不能为0，即可求解 【解析】（1）解：由，得， 所以字母a的取值范围是大于或等于的实数． （2）解：由，得，即， 所以字母a的取值范围是小于的实数． （3）解：因为无论a取何值，都有，所以a的取值范围是全体实数． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 24．计算下列各式； （1）       （2）      （3）       （4） （5）     （6）         （7） 【答案】（1）18；（2）6；（3）；（4）-9；（5）36；（6）-；（7） 【分析】根据二次根式的性质计算即可求解． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4） （5）； （6） ； （7） 【点睛】本题主要考查了二次根式性质的运用，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 25．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）5；（2）0.2；（3）；（4）125；（5）10；（6）14；（7）；（8） 【分析】（1）根据二次根式的性质即可化解求解； （2）根据二次根式的性质即可化解求解； （3）根据二次根式的性质即可化解求解； （4）根据二次根式的性质即可化解求解； （5）根据二次根式的性质即可化解求解； （6）根据二次根式的性质即可化解求解； （7）根据二次根式的性质即可化解求解； （8）根据二次根式的性质即可化解求解． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质及运算法则． 26．已知为有理数，且等式成立，求a+b-c的值 【答案】0 【分析】先把化简为，然后利用实数的性质，得到a，b，c值，然后代入代数式计算即可． 【解析】解：∵==， ∴ ∴a=0，b=1，c=1 所以a+b-c=0+1-1=0． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．同时考查了实数的性质． 27．（1）通过计算下列各式的值探究问题： ______；______； ______；______；______； 探究：对于任意有理数a，______； （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： ______. 【答案】（1）4， 0.7， 0，3， ， （2）-2b 【解析】略 28．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)（或） (3)；2030 【分析】此题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行判断即可； （2）根据二次根式的性质进行回答即可； （3）由m的值可知，根据二次根式的性质得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【解析】（1）解：根据二次根式的性质可知，小亮的解答过程是错误的； 故答案为：小亮 （2）小亮错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质，二次根式的性质：（或）， 故答案为：（或） （3）原式， ， ， 原式            ． 29．阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和二次根式有意义的条件是解题的关键； （1）先根据二次根式有意义的条件求出m的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （2）先根据二次根式有意义的条件求出的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （3）先根据二次根式有意义的条件求出x的范围，再分类讨论，根据二次根式的性质化简即可； 【解析】解：（1）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， （2）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为；               （3）由题意可知隐含条件，解得：， 当时，， 则，符合题意， 当时，， 则，不符合题意， 综上所述，的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 27 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$