第07讲 基本不等式及其应用 （4大知识点+8种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第07讲 基本不等式及其应用 课程标准 学习目标 1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养. 1. 理解两个正数的算数平均值、几何平均值的概念及其意义。 2．理解平均值不等式及其取等号的条件，会运用平均值不等式求解较简单最大值和最小值问题，能运用平均值不等式比较大小及证明一些简单的不等式。(重点) 3．理解三角不等式及其取等号的条件，会运用三角不等式证明一些不等式，并求解一些简单的最大值或最小值问题。(难点) 知识点01.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 【即学即练1】（1）（24-25高一上·上海·单元测试）两正数a与b的几何平均值为2，则与的算术平均值的最小值为 ． （2）．（24-25高一上·上海·期中）若正实数a、b的几何平均值为，则2a与b的算术平均值的最小值为 ． 知识点02平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【注意】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 【即学即练2】（1）（24-25高一上·上海·课前预习）不等式中等号成立的条件是 ． （2）．（24-25高一上·上海·课前预习）定理：对任意的实数和，总有，且等号当且仅当 时成立． 知识点03.平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 【即学即练3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若实数，满足，则的最大值是 ． （2）设，则的最小值是 ． 知识点04.三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2） 由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 【即学即练4】（24-25高一上·上海·假期作业）已知为实数，求证：，并指出等号成立的条件． 题型01 利用基本不等式比较大小 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·课后作业）若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小） 2．（2023高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是 ． 二、解答题 4．（2023高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ 题型02 由基本不等式证明不等关系 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若x，y为正实数，求证：． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知、是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件； （2）已知，，求证：． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，且，求证：． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、为正实数，且满足．证明：． 题型03 利用基本不等式求积的最大值、和的最小值 一、填空题 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则函数的最小值是 ． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则的最大值为 ． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）周长为6的所有矩形中，面积最大为 ． 6．（23-24高一上·上海·期末）设、为正数，且，则 （填“，，，”） 7．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则函数的最大值为 . 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若正实数满足，则的最大值为 ． （2）已知，且，则的最小值是 ． 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 二、解答题 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 13．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有可围网长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少，可使每间虎笼面积最大？    16．（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 题型04 条件等式求最值 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若正数a、b满足，则ab的最小值为 ． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知实数、满足，则的最大值为 ． 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 5．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）已知a、，且，则ab的最大值是 . 二、解答题 6．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 题型05 基本不等式恒成立问题 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 4．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 5．（22-23高一上·上海黄浦·期中）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 二、解答题 6．（24-25高一上·上海·课后作业）设，且恒成立，求的取值范围． 题型06 基本不等式的应用 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·单元测试）由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（　　） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 2．（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    4．（23-24高一上·上海奉贤·期末）如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题： ①由图知，即可以得到不等式； ②由图知，即可以得到不等式； ③由图知，即可以得到不等式； 以上三个命题中真命题的是 .（写出所有正确命题的序号） 5．（22-23高一上·上海·期末）已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 8．（23-24高一上·上海黄浦·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里=300步）． 9．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则下列四个命题正确的个数是 ． ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则． 三、解答题 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）有一批材料，可以建成长为的围墙，如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可以取得最大面积？    11．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，假设①甲、乙各加同一种汽油两次；②两人第一次加油的油价均为x，第二次加油的油价均为y且；③乙每次加满油箱加入的油量都为a升．就加油两次来说，甲、乙谁更合算？ 12．（23-24高一上·上海松江·期中）2023年10月25日松江区第六届中学生社团节线上投票正式开始，为了加大宣传力度，作为华政附高的一份子，现在请大家为我校模拟政协社团设计一份矩形宣传海报，海报内容主要包括社团简介和社团活动两部分，即海报分为两个面积相等的宣传栏，如图所示为海报的宽x，为海报的高y.宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，四周空白的宽度为2cm，两栏之间的中缝留白的宽度为2cm.    (1)请用海报的宽x表示海报的高y，并写出x和y的取值范围； (2)为了节约成本，应该如何选择海报的高与宽的尺寸（单位：cm），可使得用纸最少（即矩形的面积最小），并求出这个最小值. 题型07 “1”的妙用求最值 一、单选题 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，，若，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 二、填空题 2．（23-24高一上·上海嘉定·期中）若，，，则的最小值为 ． 3．（23-24高一上·上海·期中）已知正数满足，则取到最小值时， ． 4．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知实数，则的最小值为 ． 三、解答题 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，且，求的最小值． 7．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知正数，满足，求的最小值．判断下面的解法是否正确，若不正确，请给出正确的解法；若正确，则说明理由． ∵，，，∴， ∴的最小值为． 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，且，求的最小值. 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，且，求的最小值. 11．（24-25高一上·上海·单元测试）已知正数、满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 12．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知函数，． (1)若不等式的解集为空集，求实数的取值范围； (2)若，且的解集为，求的最大值，并写出此时和的取值． 题型08 三角不等式 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·期末）代数式的最小值是 ． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的最小值为5，则a的值为 ． 3．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 4．（23-24高一上·上海虹口·期末）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 5．（23-24高一上·上海·期末）已知实数满足且，则的最小值是 6．（23-24高一上·上海·期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 二、解答题 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 8．（24-25高一上·上海·单元测试）若对恒成立，求实数的取值范围． 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，求证：无论取何值，总有，并求出当时，的取值范围． 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）对任意的实数、，求证：，并指出等号成立的条件． 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）对于实数、、，求证：成立； （2）对于实数、，若，，求的最大值． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•宝山区校级期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数的值为 　　． 2．（2023秋•奉贤区期末）设、为正数，且与的算术平均值为1，则与的几何平均值最大值为 　　． 3．（2023秋•长宁区期末）已知，方程的解集为 　　． 4．（2024•闵行区二模）已知正数、满足，则的最大值是 　　． 5．（2024春•黄浦区校级期末）已知非零实数，满足，则的取值范围是 　　． 6．（2023秋•浦东新区校级期末）设、为正数，且，则 　　（填“，，，” ． 7．（2023秋•普陀区校级期末）设，，且，若的最小值为4，则实数的值为 　　． 8．（2023秋•青浦区期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 　　． 9．（2023秋•浦东新区校级期末）关于的方程的解集为 　　． 10．（2023秋•浦东新区校级期中）若关于的不等式对所有实数均成立，则实数的取值范围是 　　． 11．（2024春•浦东新区校级期末）已知，若实数，且，则的最小值是 　　． 12．（2023秋•杨浦区校级期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 　　． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•黄浦区校级期末）已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2023秋•浦东新区校级期末）若实数，满足，则　　成立． A． B． C． D．． 15．（2023秋•浦东新区校级期末）对于实数、，下面哪个不等式不恒成立　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•青浦区期末）已知，．且，则下列结论正确的是　　 ①； ②的最小值为16； ③的最小值为8； ④的最小值为2． A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 三．解答题（共5小题） 17．（2023秋•闵行区期中）已知函数． （1）求不等式的解集； （2）在（1）的条件下，设中的最小的数为，正数，满足，求的最小值． 18．（2023秋•浦东新区校级期中）设、、为互不相同的实数，对于． （1）令，用、表示 （2）求的最小值． 19．（2023秋•普陀区校级期末）某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元． （1）设半圆的半径（米，试建立塑胶跑道面积与的函数关系； （2）由于条件限制，，问当取何值时，运动场造价最低？（精确到元） 20．（2023秋•上海期中）已知，，． （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）若不等式对于任意及条件中的任意、恒成立，求实数的取值范围． 21．（2023秋•闵行区校级期中）已知代数式和． （1）若，，求不等式的解集； （2）若，，证明，中至少有一个数不小于； （3）若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数，满足的条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 基本不等式及其应用 课程标准 学习目标 1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养. 1. 理解两个正数的算数平均值、几何平均值的概念及其意义。 2．理解平均值不等式及其取等号的条件，会运用平均值不等式求解较简单最大值和最小值问题，能运用平均值不等式比较大小及证明一些简单的不等式。(重点) 3．理解三角不等式及其取等号的条件，会运用三角不等式证明一些不等式，并求解一些简单的最大值或最小值问题。(难点) 知识点01.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 【即学即练1】（1）（24-25高一上·上海·单元测试）两正数a与b的几何平均值为2，则与的算术平均值的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据题意结合重要不等式运算求解即可. 【详解】因为两正数a与b的几何平均值为2，所以，所以， 因为，所以与的算术平均值最小值为4． 故答案为：4． （2）．（24-25高一上·上海·期中）若正实数a、b的几何平均值为，则2a与b的算术平均值的最小值为 ． 【答案】8 【分析】根据几何平均数求出，再利用基本不等式“积定，和最小”求解． 【详解】因为，所以 又因为，，所以,当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：8. 知识点02平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【注意】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 【即学即练2】（1）（24-25高一上·上海·课前预习）不等式中等号成立的条件是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故答案为： （2）．（24-25高一上·上海·课前预习）定理：对任意的实数和，总有，且等号当且仅当 时成立． 【答案】 知识点03.平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 【即学即练3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若实数，满足，则的最大值是 ． （2）设，则的最小值是 ． 【答案】 4 【分析】（1）根据题意，结合，得到，即可求解； （2）化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）因为， 由，可得，解得， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为. （2）因为 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 知识点04.三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2） 由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 【即学即练4】（24-25高一上·上海·假期作业）已知为实数，求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】证明见解析，时取等. 【分析】不等式等价于，利用三角不等式即可得出. 【详解】证明：等价于， 由三角不等式，有， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 题型01 利用基本不等式比较大小 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·课后作业）若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小） 【答案】≤ 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】．当且仅当时等号成立， 故, 故答案为： 2．（2023高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 【答案】④ 【分析】由重要不等式可得，当时，等号成立，所以①错误；显然若时，②和③均错误；利用基本不等式可知④正确. 【详解】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误； 对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误； 对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确； 故答案为：④ 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式和作差法比较大小，得到答案. 【详解】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 二、解答题 4．（2023高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ 【答案】 【分析】先利用基本不等式判断最大数为或，再做差判断正负可得出最大的数. 【详解】因为，，所以，， 所以四个数中最大的数应为或； 又因为，，所以 所以，所以最大. 题型02 由基本不等式证明不等关系 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若x，y为正实数，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】利用公式（当且仅当时，取等号），（当且仅当时，取等号）证明，即可得出答案． 【详解】 ， 当且仅当，且， 即时等号成立． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）变形后，利用基本不等式进行求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时取等号． （2）∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知、是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析，当且仅当时，等号成立；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法来证明，借助公式，完全平方公式的非负性来证明； （2）通过将分数指数幂转化为根式，不等式两边同时加上，再利用基本不等式来证明． 【详解】（1） ， 即，当且仅当时，等号成立． （2）因为（当且仅当时等号成立），从而得到， 所以． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将展开，利用完全平方公式及基本不等式进行计算证明． 【详解】证明：，故 ， 即不等式成立. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、为正实数，且满足．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】先由题意可得，化简后利用基本不等式可证得，然后再利用基本不等式可证得结论. 【详解】证明：因为、为正实数，且满足， 所以， 当且仅当时取等号， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以原不等式成立． 题型03 利用基本不等式求积的最大值、和的最小值 一、填空题 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则函数的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式即可求解最值. 【详解】由于，所以，故当且仅当时取等号，故最小值为， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】整理，观察和为定值，利用基本不等式直接求解即可． 【详解】， 当且仅当， 即时等号成立， 故答案为：． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）周长为6的所有矩形中，面积最大为 ． 【答案】 【分析】先设矩形边长，再根据周长得等式，再应用基本不等式求最值. 【详解】设矩形长宽为a，b，，则, 所以. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海·期末）设、为正数，且，则 （填“，，，”） 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式即可比较大小． 【详解】因为、为正数，且， 所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立． 故答案为： 7．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则函数的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据重要不等式，当且仅当时等号成立，得到，当且仅当时等号成立，代入即可求得函数的最大值. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最大值为4. 故答案为：4 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若正实数满足，则的最大值为 ． （2）已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 1 16 【分析】（1）根据题意，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，结合，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）由正实数、满足，可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. （2）由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 【答案】 1 6 【分析】（1）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （2）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （3）用分离常数法得，再用基本不等式即可求解. 【详解】（1），，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故所求的值为. （2），，即， 则 ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最大值为1. （3）， ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值为. 故答案为：. 二、解答题 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】根据基本不等式即可求解 【详解】（1）因为 所以， 当且仅当，即时，上式取等号. 所以函数的最小值为. （2）当时， 所以， 当且仅当，即时上式取等号， 所以函数的最大值为. 13．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）通过减加，将目标式配凑成积为定值，然后利用基本不等式可得； （2）通过乘以除以，将目标式配凑成和为定值，然后利用基本不等式可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，故函数的最小值为. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最大值为. 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）由， 因为，可得，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，当时，函数的最小值为. （2）由，当且仅当，即时取等号， 所以，当时，函数取得最大值. 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有可围网长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少，可使每间虎笼面积最大？    【答案】长，宽 【分析】设每间虎笼长，宽，根据材料建立等式，利用基本不等式得出，根据等号成立的条件得到关系，联立求解方程组即可． 【详解】设每间虎笼长，宽， 则由“有可围网长的材料”，得，即． 设面积， 由于， 所以，得， 即， 且仅当时，等号成立． 解方程组 解得 所以每间虎笼设计长，宽分别为、时，面积最大为． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 【答案】15米，总造价最低为36000元 【分析】设污水处理池的宽为米，长为米，从而得到总造价，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】设污水处理池的宽为米，则长为米． 则总造价 ， 当且仅当，即时，取等号． 此时，所以当长为15米时，总造价最低为36000元． 题型04 条件等式求最值 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若正数a、b满足，则ab的最小值为 ． 【答案】25 【分析】利用基本不等式得到关于的不等式进行求解即可解答． 【详解】， 所以， 即， 当且仅当时等号成立， 故答案为：25． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知实数、满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】使用重要不等式即可得解 【详解】因为，又 所以，即，当且仅当时取等号， 故答案为：2. 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合换元法解一元二次方程即可. 【详解】由题意得，， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 令，则，方程， ，所以是方程的根， 所以. 故答案为：1 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】变形得到，并得到，变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正实数满足，故，所以， 则，又，解得， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 5．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）已知a、，且，则ab的最大值是 . 【答案】/0.25 【分析】利用基本不等式得，即可得到最大值. 【详解】因为实数满足， 所以由基本不等式可得： 所以，当且仅当，即或时等号成立， 即的最大值为. 故答案为：. 二、解答题 6．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，消去y即可得结果； （2）令，由（1）整理可得，结合常用不等式分析求解. 【详解】（1）因为，可得， 整理得. （2）令，由（1）可得：，即， 因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当，等号成立， 即，则， 可得，即， 所以的最小值为. 题型05 基本不等式恒成立问题 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将不等式整理得到，再利用基本不等式求解． 【详解】， 当且仅当，且， 即，时等号成立， 所以， 故答案为：． 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】妙用“1”，利用基本不等式先求的最小值，即可求解. 【详解】因为，x＞0，y＞0， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立， 所以，即k的取值范围为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为，再利用基本不等式求的最小值可得答案. 【详解】不等式恒成立，即， 因为正实数满足，所以 ， 当且仅当即，时等号成立， 则实数的取值范围. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以. 故答案为：. 5．（22-23高一上·上海黄浦·期中）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，且，若恒成立， 则， 又 ， 当且仅当，即，时，等号成立， ，即实数的取值范围是． 故答案为：． 二、解答题 6．（24-25高一上·上海·课后作业）设，且恒成立，求的取值范围． 【答案】． 【分析】恒成立问题转化为求最值问题，通过等价变形与配凑，可以使用基本不等式求最值即可求解 【详解】由知，，，． 要使不等式恒成立， 只需的最小值不小于即可． ∵ ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴，即． 题型06 基本不等式的应用 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·单元测试）由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（　　） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 【答案】B 【分析】设两次加油时的油价分别为元/升和元/升，计算出两种方案下的燃油的均价，利用基本不等式比较即得. 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升． 第一种方案的均价： ，当且仅当时取等号； 第二种方案的均价： ,因，则，故，当且仅当时取等号. 所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 故选:B． 2．（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件. 【详解】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值. 故选：A. 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    【答案】 【分析】根据均值不等式求最值及最值取得的条件即可. 【详解】由题得，周长，当且仅当，即，时，等号成立，所以． 故答案为：；. 4．（23-24高一上·上海奉贤·期末）如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题： ①由图知，即可以得到不等式； ②由图知，即可以得到不等式； ③由图知，即可以得到不等式； 以上三个命题中真命题的是 .（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③ 【分析】根据图形由直角三角形相似可分别计算出各边长，可得，，，，利用图形中线段的大小关系即可得出结论. 【详解】由题意利用三角形相似可得，即得， 易知，又，所以由可得；即①正确； 在中，易知，所以可得， 由三角形相似可得，所以， 由可得，即②正确； 易知， 利用勾股定理可得， 所以由，即可以得，即③正确； 故答案为：①②③ 5．（22-23高一上·上海·期末）已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】 【分析】借助基本不等式可得其最小值，借助不等式的性质可得其最大值，即可得解. 【详解】由，故， 当且仅当时，等号成立，即， 由，故，则， 故. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 【答案】50 【分析】依据题意建立函数关系，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设汽车速度为千米/时，运输成本为， ∴当且仅当，即时，运输成本最小． 故答案为：50 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 【答案】 2 . 【分析】由海伦公式及基本不等式求解即可 【详解】解：，， 则周长， 故； ． 等号成立时，，即， 故答案为：2， 8．（23-24高一上·上海黄浦·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里=300步）． 【答案】 【分析】根据题目条件得到，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】设该小城的长宽分别为，，步里，步里， 则，即， 故周长为，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则下列四个命题正确的个数是 ． ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则． 【答案】3 【分析】根据不等式的性质判断ABC，取特殊值判断D即可. 【详解】因为，所以，所以，即，故①正确； 因为，由不等式性质可得，即，故②正确； 因为，所以由可得，即， 同理，由可得，所以，故③正确； 取，满足，而，故④错误. 故答案为：3 三、解答题 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）有一批材料，可以建成长为的围墙，如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可以取得最大面积？    【答案】当面积相等的小矩形的长为时，矩形面积最大，最大为. 【分析】设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式即可求得矩形面积的最大值. 【详解】如图，设每个小矩形的长为，宽为，由题可知， 所以． 当且仅当时，等号成立， 所以，.    11．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，假设①甲、乙各加同一种汽油两次；②两人第一次加油的油价均为x，第二次加油的油价均为y且；③乙每次加满油箱加入的油量都为a升．就加油两次来说，甲、乙谁更合算？ 【答案】甲更合算 【分析】根据已知分别求甲乙油的平均单价比较即可. 【详解】两次加油的油价分别是元/升且， 甲加两次油的平均单价为元/升, 乙每次加油a升，加两次油的平均单价为元/升， 即甲的平均单价低，甲更合算． 12．（23-24高一上·上海松江·期中）2023年10月25日松江区第六届中学生社团节线上投票正式开始，为了加大宣传力度，作为华政附高的一份子，现在请大家为我校模拟政协社团设计一份矩形宣传海报，海报内容主要包括社团简介和社团活动两部分，即海报分为两个面积相等的宣传栏，如图所示为海报的宽x，为海报的高y.宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，四周空白的宽度为2cm，两栏之间的中缝留白的宽度为2cm.    (1)请用海报的宽x表示海报的高y，并写出x和y的取值范围； (2)为了节约成本，应该如何选择海报的高与宽的尺寸（单位：cm），可使得用纸最少（即矩形的面积最小），并求出这个最小值. 【答案】(1)， (2)海报的高为，宽为； 【分析】（1）根据题意，结合题中图象，可得阴影部分面积等式，变化等式即可； （2）把x表示海报的高y的表达式代入，分离常数后，可利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）根据题意知，， 则，且有. （2）因为 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 故海报的高为，宽为时，用纸最少，此时用纸为 题型07 “1”的妙用求最值 一、单选题 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，，若，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】B 【分析】将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知，，， 则， 当且仅当时，结合，即时等号成立， 故当时，. 故选：B. 二、填空题 2．（23-24高一上·上海嘉定·期中）若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将原式变形为，然后再展开计算并利用基本不等式求解出最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期中）已知正数满足，则取到最小值时， ． 【答案】/ 【分析】借助“1”的灵活运用，由基本不等式即可求解. 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以，取到最小值时，． 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 【答案】2 【分析】利用配凑法，结合基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，且，知， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，由，解得， 所以当时，有最小值为4，实数a的值为2. 故答案为：2 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知实数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知为正，利用基本不等式中“1”的应用即可求得，即可求得其最小值为. 【详解】由可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立； 所以，即的最小值为. 故答案为： 三、解答题 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，且，求的最小值． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式的乘“1”法求解. 【详解】解：∵，∴， ∴． 当且仅当即，时取等号，∴的最小值为． 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 【答案】（1）（i）（ii）；（2）32 【分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii）， 【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为64； （ii），，， ，当且仅当且， 即，时等号成立，即 取得最小值18； （2）由可得 当且仅当，即时等号成立 故的最小值为32. 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知正数，满足，求的最小值．判断下面的解法是否正确，若不正确，请给出正确的解法；若正确，则说明理由． ∵，，，∴， ∴的最小值为． 【答案】错误，答案见解析 【分析】根据题中解法两次使用基本不等式，却忽略了取等号的条件，导致出错。将式子先去掉括号后，再使用基本不等式即可得解. 【详解】错误，在使用基本不等式时忽略了取等号的条件． 正确解法如下： ． ∵，，∴， ∴． 当且仅当即， 即，时，取最小值． 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，且，求的最小值. 【答案】9 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为. 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，且，求的最小值. 【答案】16 【分析】用“1的代换”方法求解即可. 【详解】∵，， ∴， 当且仅当，即时等号成立，解得，. 故当，时，取最小值为16. 11．（24-25高一上·上海·单元测试）已知正数、满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)1 (2)． 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）利用乘“1”法即可由不等式求解. 【详解】（1）∵，，∴． 又，∴． 当且仅当时等号成立，∴的最大值为1． （2）， 当且仅当，即时，的最小值为． 12．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知函数，． (1)若不等式的解集为空集，求实数的取值范围； (2)若，且的解集为，求的最大值，并写出此时和的取值． 【答案】(1) (2)的最大值为，， 【分析】（1）依题意可得恒成立，则，即可求出参数的取值范围； （2）依题意可得，是的两个不等的实根，利用韦达定理得到，，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）由题意不等式的解集为空集， 所以恒成立，即，解得， 故的取值范围． （2）因为，的解集为，所以有两个不同实根，， 即，是的两个不等的实根，故，， 故，同为负值，所以，，， 所以， 当且仅当时，即，时等号成立，故的最大值为． 题型08 三角不等式 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·期末）代数式的最小值是 ． 【答案】60 【分析】利用绝对值三角不等式求出最小值. 【详解】. 故答案为：60 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的最小值为5，则a的值为 ． 【答案】4或－6 【分析】运用绝对值的三角不等式可解. 【详解】运用绝对值的三角不等式可得，，所以． 则或. 故答案为：4或－6. 3．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用绝对值不等式求得的最小值，从而利用能成立问题得到，解之即可得解. 【详解】因为， 当且仅当时，等号成立， 因为有解，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海虹口·期末）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的三角不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 由题意可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海·期末）已知实数满足且，则的最小值是 【答案】 【分析】根据绝对值的性质分析可知，解不等式即可得结果. 【详解】因为， 则， 且，则，可得，解得， 所以的最小值是. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海·期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意首先由三角不等式得到的最小值为，然后将问题转换为恒成立问题来做，进一步分类讨论解绝对值不等式即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以，等号成立当且仅当在和1两个数之间，规定时的取等条件为， 综上所述的最小值为， 因为关于的不等式的解集是， 所以恒成立， 所以当且仅当， 当时，不可能成立，当时，，解得. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 二、解答题 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用绝对值不等式证明； 【详解】证明： ， 又因为， 所以，，所以 所以成立． 8．（24-25高一上·上海·单元测试）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】若对恒成立，分离参数，利用绝对值不等式的性质可得，当且仅当取等号，继而可求得的取值范围． 【详解】解：∵对恒成立， ∴对恒成立． ∵，当且仅当取等号， ∴当时，．又， ∴，即的取值范围为． 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据绝对值三角不等式进行证明． 【详解】证明：∵， 又且， ∴， ∴该不等式得证． 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，求证：无论取何值，总有，并求出当时，的取值范围． 【答案】证明见解析，． 【分析】应用绝对值三角不等式证明不等式，再求出取等条件. 【详解】 ． 等号当且仅当 即时成立．所以当时，． 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）对任意的实数、，求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】证明见解析，等号成立的条件是 【分析】方法1，对分|或|或三种情况讨论证明即可； 方法2，运用绝对值的三角不等式即可. 【详解】（方法1）分|或|或三种情况． 当时，显然成立； 当时，待证不等式两边平方，得， 即，即，当时，成立，当时， ∴待证不等式成立，等号成立的条件是． （方法2）绝对值三角不等式得到，，将取成，取成， 代入三角不等式，即，即. 等号成立的条件是． 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）对于实数、、，求证：成立； （2）对于实数、，若，，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】由绝对值不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 当且仅当同号时，等式成立. （2）由题意， 因为， 又． 当且仅当同号时，等式成立. 所以的最大值为. 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•宝山区校级期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数的值为 　2　． 【分析】根据题意利用基本不等式与“1的代换”，算出的最小值，从而建立关于的等式，算出的值． 【解答】解：， 当且仅当时，等号成立． 所以的最小值为，结合题意得，解得． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，属于基础题． 2．（2023秋•奉贤区期末）设、为正数，且与的算术平均值为1，则与的几何平均值最大值为 　1　． 【分析】利用基本不等式，结合几何平均值和算术平均值的定义，即可得答案． 【解答】解：是与的算术平均值，则有，即， ， 即，，当且仅当，且，即，时取等号． 故答案为：1． 【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，属于基础题． 3．（2023秋•长宁区期末）已知，方程的解集为 　，　． 【分析】分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可． 【解答】解：当时，则； 当时，则； 当时，则． 综上所述，原方程的解集为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题． 4．（2024•闵行区二模）已知正数、满足，则的最大值是 　　． 【分析】直接利用均值不等式计算得到答案． 【解答】解：正数、，则，故， 当且仅当，即，时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 5．（2024春•黄浦区校级期末）已知非零实数，满足，则的取值范围是 　，　． 【分析】直接利用换元法不等式的性质，基本不等式的应用求出结果． 【解答】解：设， 由于， 由于， 所以， 所以，， 故， ， 所以， 整理得：． 故的取值范围为的取值范围，． 故答案为：，． 【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，换元法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 6．（2023秋•浦东新区校级期末）设、为正数，且，则 　　（填“，，，” ． 【分析】由已知结合基本不等式即可比较大小． 【解答】解：因为、为正数，且， 所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了利用基本不等式比较大小，属于基础题． 7．（2023秋•普陀区校级期末）设，，且，若的最小值为4，则实数的值为 　　． 【分析】利用“1”的代换思想，求的最小值，并验证等号成立的条件，即可求． 【解答】解：，，且，，， ， 当且仅当，又，即，取等号， 此时的最小值为，则． 故答案为：． 【点评】本题考查基本不等式“1”的代换思想，属于基础题． 8．（2023秋•青浦区期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 　　． 【分析】结合基本不等式的等号成立的条件即可求解． 【解答】解：，，当且仅当，即时取等号． 故答案为： 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用条件的应用，属于基础试题． 9．（2023秋•浦东新区校级期末）关于的方程的解集为 　　． 【分析】先求出每个绝对值对应的零点，然后利用零点分区间法求解． 【解答】解：易知方程中三个绝对值对应的零点分别为：1，，2，则： ①时，原方程可化为，解得，不符合题意，舍去； ②时，原方程可化为，解得，符合题意； ③时，原方程可化为，即恒成立，故符合题意； ④时，原方程可化为，解得，此时不符合题意， 综上可知，原方程的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查零点分区间法解含绝对值的方程，考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题． 10．（2023秋•浦东新区校级期中）若关于的不等式对所有实数均成立，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】根据绝对值三角不等式可得，即可得出答案． 【解答】解：由绝对值三角不等式得：， 因为不等式对所有实数恒成立， 所以， 当时，不等式恒成立； 当时，两边同时平方可得：，解得，即， 综上可得，实数的取值范围是为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 11．（2024春•浦东新区校级期末）已知，若实数，且，则的最小值是 　　． 【分析】利用奇函数得到等量关系，用基本不等式‘1’的代换处理即可． 【解答】解：易知，且，，故是奇函数， 因为在上单调递增， 若， 则，化简得， 则， 当且仅当，即时取等，则的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题． 12．（2023秋•杨浦区校级期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 　　． 【分析】由题意首先由三角不等式得到的最小值为，然后将问题转换为恒成立问题来做，进一步分类讨论解绝对值不等式即可． 【解答】解：因为，，， 所以， 即， 所以，等号成立当且仅当在和1两个数之间，规定时的取等条件为， 综上所述的最小值为， 因为关于的不等式的解集是， 所以，恒成立， 所以当且仅当， 当时，不可能成立，当时，，解得． 综上所述：实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的转化，是中档题． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•黄浦区校级期末）已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据不等式的性质与基本不等式，对各个不等式逐一加以验证，即可得到其中正确的不等式的个数，从而得出答案． 【解答】解：因为，所以，当且仅当时等号成立，故①正确； 因为，，且，所以，可得，，即成立，故②正确； 因为，所以，即，故③不正确； 因为，所以，当且仅当时等号成立，故④正确． 综上所述，①②③④中成立的不等式有3个，项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的性质、基本不等式及其应用、运用函数单调性比较两个实数的大小等知识，属于基础题． 14．（2023秋•浦东新区校级期末）若实数，满足，则　　成立． A． B． C． D．． 【分析】由题意可知，由基本不等式可得，当且仅当时，取等号，代入可得，进而可判断，再结合可判断． 【解答】解：，， 又，当且仅当时，取等号， ，即，故错误， ，故正确， ， ，故错误， 故选：． 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题． 15．（2023秋•浦东新区校级期末）对于实数、，下面哪个不等式不恒成立　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合基本不等式及绝对值不等式的性质分别检验各选项即可判断． 【解答】解：由恒成立得，恒成立，不正确； 由绝对值不等式性质得，当且仅当时取等号，恒成立， 由于，恒成立， 当，时，显然不成立，不恒成立． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式的性质及基本不等式应用条件的应用，属于知识的综合应用． 16．（2023秋•青浦区期末）已知，．且，则下列结论正确的是　　 ①； ②的最小值为16； ③的最小值为8； ④的最小值为2． A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【分析】由可得，所以①正确，利用基本不等式可求出，当且仅当，时，等号成立，所以②正确，利用“乘1法”结合基本不等式可求出，当且仅当，时，等号成立，所以③错误，由可得，代入化简得，再利用基本不等式即可求出的最小值为2，所以④正确． 【解答】解：对于①：，，，，故①正确， 对于②：，，，当且仅当，即，时，等号成立， 故②正确， 对于③：，当且仅当，即，时，等号成立， 故③错误， 对于④：，， ，当且仅当，即时，等号成立， 故④正确， 所以结论正确的是①②④． 故选：． 【点评】本题主要考查了“乘1法”与基本不等式的应用，属于中档题． 三．解答题（共5小题） 17．（2023秋•闵行区期中）已知函数． （1）求不等式的解集； （2）在（1）的条件下，设中的最小的数为，正数，满足，求的最小值． 【分析】（1）去掉绝对值符号，结合不等式，转化求解即可． （2）求出的值，化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可． 【解答】解：（1）， 不等式可化为或或， 解得，或，或， 综上所述，不等式的解集为； （2）由（1）可知，所以， 所以． 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数的最值的求法，基本不等式的应用，是中档题． 18．（2023秋•浦东新区校级期中）设、、为互不相同的实数，对于． （1）令，用、表示 （2）求的最小值． 【分析】（1）根据，消去即可得结果； （2）令，由（1）整理可得，结合常用的基本不等式加以计算，即可得到本题的答案． 【解答】解：（1）因为，可得，整理得； （2）令，由（1）可得：，即， 因为，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，等号成立， 即，可得，所以，即， 综上所述，的最小值为． 【点评】本题主要考查等式的恒等变形、运用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 19．（2023秋•普陀区校级期末）某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元． （1）设半圆的半径（米，试建立塑胶跑道面积与的函数关系； （2）由于条件限制，，问当取何值时，运动场造价最低？（精确到元） 【分析】（1）跑道的面积等于一个大圆减去一个小圆加上一个大矩形减去一个小矩形， （2）将实际问题的最值转化成数学问题的最值，用函数单调性求最值 【解答】解：（1）塑胶跑道面积 （2）设运动场造价为则 ，，函数是的减函数 当，运动场造价最低为636510元 答：塑胶跑道面积与的函数关系 当，运动场造价最低为636510元 【点评】本题考查建立数学模型的能力；用单调性求最值的方法． 20．（2023秋•上海期中）已知，，． （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）若不等式对于任意及条件中的任意、恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）根据基本不等式中“1”的整体代换计算即可； （3）由绝对值的三角不等式可得，再结合（2）将问题转化为即可． 【解答】解：（1）因为，，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1； （2）， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为2； （3）由（2）得，即为， 又因为， 所以，解得，即实数的取值范围为，． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题． 21．（2023秋•闵行区校级期中）已知代数式和． （1）若，，求不等式的解集； （2）若，，证明，中至少有一个数不小于； （3）若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数，满足的条件． 【分析】（1）分，，去掉绝对值符号解不等式即可； （2）利用即可； （3）分情况去掉绝对值符号，利用一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1） 或或 或， 不等式的解集． （2）证明：， 当且仅当即时，等号成立， ，中至少有一个数不小于． （3）若，不等式对任意实数恒成立， ①当，时， 对任意实数恒成立， 则． ②当，时， 对任意实数恒成立， 则与矛盾． ③当，时， 对任意实数恒成立， 则， 将代入中，得，要使与有交集，则， 与矛盾． ④当，时， 对任意实数恒成立， 则与矛盾． 综上，要使不等式在上恒成立，实数，满足的条件为． 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，不等式恒成立问题，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$