第三单元《因数和倍数》-2024-2025学年北师大版数学五年级上册单元培优冲关检测卷（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学五年级上册单元培优冲关检测卷 第三单元《因数和倍数》 时间：90分钟 满分：100分 难度系数：0.42（较难） 班级： 姓名： 学号： 一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•滨海县期末）甲、乙是两个非零自然数，它们因数的关系如图所示。下面说法正确的是　　 A．甲是乙的倍数 B．甲是乙的因数 C．乙一定是质数 D．甲一定是合数 2．（2分）（2024春•莘县期末）一个数的最大因数与它的最小倍数的和为36，这个数是　　 A．36 B．9 C．18 3．（2分）（2024春•曾都区期末）某新能源汽车的车牌号是“鄂□□□□”，其中后四位的第一个数字是最小的质数，第二个数字是最大的一位数，第三个数字没有倒数，第四个数字是最小的合数。这个车牌号的后四位是　　 A．2023 B．2913 C．2014 D．2904 4．（2分）（2024•河北区）下面说法中，正确的是　　 A．一个非零自然数，不是质数就是合数。 B．奇数一定是质数，偶数一定是合数。 C．两个偶数的和一定还是偶数。 D．两个质数的和一定是合数。 5．（2分）（2021春•长垣市期末）是一个质数，是一个合数、都是大于20的自然数），下列说法正确的是　　 A．一定是偶数 B．一定是奇数 C．不可能是偶数 D．可能是奇数 二．仔细想，认真填（共8小题，满分25分） 6．（4分）（2024春•汶上县期末）两个质数的差是14，积是51，这两个数是 　　和 　　；两个质数的和是30，差是8，这两个数是 　　和 　　。 7．（2分）（2024春•项城市期末）是小华妈妈的手机密码，、、、、依次是最小的质数、最小的合数、最小的自然数、一位数中最大的合数、非零自然数中既不是质数也不是合数的数。这个手机密码是 　　。 8．（3分）（2024春•黔西南州期末）放马坪高山草原景区位于黔西南州兴仁市北部，素有“高原塞外”之称。如果以“亩”作单位度量景区总面积，所得数据是一个五位数，最高位上的数是最小的质数，百位上的数是最小的合数，千位上的数是百位数字的2倍，十位上的数是最大的一位数，个位上的数是最小的偶数，景区总面积 　　亩。这个数既是 　　数（填奇或偶），又是 　　数（填质或合）。 9．（2分）（2024春•淮滨县期末）一个四位数，千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的合数，十位上是5的最大因数，个位上的数字既是奇数又是合数，这个数是 　　。 10．（5分）（2023春•连云港期末）选择合适的词语填在下面的括号中，使表达准确。（每个词语只能用一次） 质因数 奇数 偶数 质数 合数 这个学期，我们又进一步学习了有关非0自然数的知识。比如：4个连续自然数的和是 　　，任意两个奇数相乘的积一定是 　　；2和3都是18的 　　；最小的 　　与最小的两位数的积是20；几个质数相乘的积一定是 　　。 11．（2分）（2020•长沙）我是一个两位数，十位数字是最小的合数，个位数字是最小的质数，我是　 　． 12．（5分）（2024春•三门县期中）猜猜我是谁． （1）我是6的倍数，又是4的倍数，别忘了我还是12的因数．　 　 （2）我们两个的和是6，积是8，质数是　 　，合数是　 　． （3）我们两个的和是18，积是77，这两个质数分别是　 　和　 　． （4）我们两个的和是20，差是6，这两个质数分别是　 　和　 　． 13．（2分）（2020秋•槐荫区期末）有两个质数，它们的和是合数，差是质数，并且和是差的6倍，这两个质数是　　和　　． 三．判断正误（共6小题，满分6分，每小题1分） 14．（1分）（2024•江阳区）任意给出5个连续的非0自然数，其中一定只有一个数是5的倍数。 　　（判断对错） 15．（1分）（2024•曲江区）一个数除外）的因数一定小于这个数的倍数。 　　（判断对错） 16．（1分）（2024春•沅江市期末）100以内所有质数的和比所有合数的和小。 　　（判断对错） 17．（1分）（2024春•徽县期末）因为，所以1.8是0.9的倍数，0.9是1.2的因数。 　　（判断对错） 18．（1分）（2024•绥德县）36的因数中，既是合数又是偶数的有5个。 　　（判断对错） 19．（1分）（2024春•望都县期中）一个三位数，各数位上的数字和是3，这样的数中是偶数的有4个。 　　（判断对错） 四．计算能手（共2小题，满分8分，每小题4分） 20．（4分）（2024春•望都县期中）在横线上填上合适的质数。 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　　　 21．（4分）（2024春•临平区期中）下面算式的计算结果是“奇数”或“偶数”？请在算式后面的横线上填上“奇数”或“偶数”。 　　 是非零自然数）　　 　　 　　 五．实际应用（共6小题，满分31分） 22．（6分）（2024•九龙坡区）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”。定义：对于自然数，在计算时，各数位都不产生进位，则称这个自然数为“纯数”。 例如：32是“纯数”，因为计算时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算 时，个位产生了进位。 （1）判断2019和2020是否是“纯数”请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数。 23．（5分）（2024春•荣昌区期末）“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。”请你试举四个例子证明这一猜想，并把例子写在下面。 24．（5分）（2024春•青县期中）秦始皇兵马俑是第一批全国重点文物保护单位，位于今陕西省西安市临渣区秦始皇陵以东处的兵马俑坑内。二号俑坑第三单元有264个步兵俑，3个3个地数能正好数完这些步兵俑吗？如果5个5个地数呢？为什么？ 25．（5分）（2024•杭州模拟）王老师的手机号码是一个11位数。最高位上的数既不是质数，也不是合数；第二、五位上的数既是奇数又是质数，且是最小的；第三位上的数是最大的一位数；第四位上的数是最小的偶数；第六位上的数是最小的合数；第七位上的数比最小的合数多1；其余各位上都是最大的一位偶数。你能写出王老师的手机号码吗？ 26．（5分）（2024春•东莞市期中）小丽去玩密室逃脱，要打开一扇门，密码是一个五位数，从左往右依次是：①最小奇数的5倍；②既是8的因数，也是8的倍数；③既不是质数也不是合数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数。请你帮小丽想一想，开这扇门的密码是什么？ 27． （5分）（2019•温州）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其它各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13。已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，问最重的两瓶内有多少千克油？ 六．解决问题（共4小题，满分20分，每小题5分） 28．（5分）（2024春•渑池县期末） “孪生质数猜想”是著名的数学猜想之一。在1849年，数学家阿尔方德波利尼亚克 提出了一般的猜想：对所有自然数，存在无穷多个素数对。的情况就是孪生质数猜想。“孪生质数猜想”中所说的“孪生质数”是指相差为2的两个质数，如3和5都是质数，且，所以3和5就是一对孪生质数；5和7也是一对孪生质数。 （1）在下面的横线上写出50以内除了3和5，5和7以外的所有孪生质数。 （2）如果用和表示任意一对孪生质数，那么的和一定是 　　。（填“奇数”或“偶数” 在下面写出你的想法。 我是这样想的：　　。 29．（5分）（2024•石狮市）从古至今，数学上有一种许多人为之疯狂的数，叫完美数，如6的因数有1、2、3、6，这几个因数有这样的关系：，像6这样的数，称作完美数。请你判断28是不是完美数，写出你的想法。 30．（5分）（2024春•永兴县校级期中）五（1）班6名同学去给小树苗浇水，小树苗不到30棵，他们发现每人浇水棵数相同，这批小树苗可能有多少棵？ 31．（5分）（2022春•京山市期中）有100多且不到200名学生站队，站成5列，仅仅少2人，这群学生最少多少人？最多多少人？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学五年级上册单元培优冲关检测卷 第三单元《因数和倍数》 时间：90分钟 满分：100分 难度系数：0.42（较难） 一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•滨海县期末）甲、乙是两个非零自然数，它们因数的关系如图所示。下面说法正确的是　　 A．甲是乙的倍数 B．甲是乙的因数 C．乙一定是质数 D．甲一定是合数 【思路点拨】通过图形，乙的因数在甲的因数范围之内，如：乙是6，因数为1、2、3、6，则甲是12，因数为1、2、3、4、6、12；可以看出甲数是乙数的倍数和均为非0自然数），根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数，较小的那个数，是这两个数的最大公约数；进行解答即可。 【规范解答】解：甲数乙数（甲、乙均为非0自然数），所以甲是乙的倍数。 故选：。 【考点评析】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数。 2．（2分）（2024春•莘县期末）一个数的最大因数与它的最小倍数的和为36，这个数是　　 A．36 B．9 C．18 【思路点拨】根据：一个数的最大因数和最小倍数是它本身，据此解答即可。 【规范解答】解： 故选：。 【考点评析】此题主要考查一个数的最大因数和最小倍数是它本身。 3．（2分）（2024春•曾都区期末）某新能源汽车的车牌号是“鄂□□□□”，其中后四位的第一个数字是最小的质数，第二个数字是最大的一位数，第三个数字没有倒数，第四个数字是最小的合数。这个车牌号的后四位是　　 A．2023 B．2913 C．2014 D．2904 【思路点拨】第一个数字是最小的质数是2，第二个数字是最大的一位数是9，第三个数字没有倒数是0，第四个数字是最小的合数是4。 【规范解答】解：某新能源汽车的车牌号是“鄂□□□□”，其中后四位的第一个数字是最小的质数，第二个数字是最大的一位数，第三个数字没有倒数，第四个数字是最小的合数。这个车牌号的后四位是2904。 故选：。 【考点评析】本题考查了质数、自然数、合数、倒数的认识，要熟练掌握。 4．（2分）（2024•河北区）下面说法中，正确的是　　 A．一个非零自然数，不是质数就是合数。 B．奇数一定是质数，偶数一定是合数。 C．两个偶数的和一定还是偶数。 D．两个质数的和一定是合数。 【思路点拨】根据质数、合数、奇数、偶数的意义，逐项进行分析判断即可。 【规范解答】解：、1既不是质数，也不是合数；所以原题说法错误； 、2是质数，但是偶数；所以原题说法错误； 、偶数偶数偶数；所以原题说法正确； 、，5是质数；所以原题说法错误。 故选：。 【考点评析】解答本题的关键是熟练掌握质数、合数、奇数、偶数的意义。 5．（2分）（2021春•长垣市期末）是一个质数，是一个合数、都是大于20的自然数），下列说法正确的是　　 A．一定是偶数 B．一定是奇数 C．不可能是偶数 D．可能是奇数 【思路点拨】根据质数、合数、偶数、奇数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别因数，这样的数叫做合数；是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数。再根据偶数、奇数的性质，奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数，奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数。据此解答。 【规范解答】解：由分析得： 、一定是偶数。此说法错误。 、一定是奇数。此说法错误。 、不可能是偶数，此说法正确。 、可能是奇数。此说法错误。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握质数、合数、偶数、奇数的意义及应用，以及偶数、奇数的性质及应用。 二．仔细想，认真填（共8小题，满分25分） 6．（4分）（2024春•汶上县期末）两个质数的差是14，积是51，这两个数是 　3　和 　　；两个质数的和是30，差是8，这两个数是 　　和 　　。 【思路点拨】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【规范解答】解：、 、 两个质数的差是14，积是51，这两个数是3和17；两个质数的和是30，差是8，这两个数是11和19。 故答案为：3，17，11，19。 【考点评析】灵活掌握质数的含义，是解答此题的关键。 7．（2分）（2024春•项城市期末）是小华妈妈的手机密码，、、、、依次是最小的质数、最小的合数、最小的自然数、一位数中最大的合数、非零自然数中既不是质数也不是合数的数。这个手机密码是 　68724091　。 【思路点拨】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数；一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数； 自然数由0开始，一个接一个，有无数个，一个物体也没有，可以用0表示，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的，据此判断答题即可。 【规范解答】解：由分析可得： 最小的质数是2，最小的合数是4，最小的自然数是0，一位数中，合数有：4、6、8、9，所以最大的是9，非零自然数中既不是质数也不是合数的数是1。 综上所述：是小华妈妈的手机密码，、、、、依次是最小的质数、最小的合数、最小的自然数、一位数中最大的合数、非零自然数中既不是质数也不是合数的数。这个手机密码是68724091。 故答案为：68724091。 【考点评析】本题考查的主要内容是质数、合数的应用问题。 8．（3分）（2024春•黔西南州期末）放马坪高山草原景区位于黔西南州兴仁市北部，素有“高原塞外”之称。如果以“亩”作单位度量景区总面积，所得数据是一个五位数，最高位上的数是最小的质数，百位上的数是最小的合数，千位上的数是百位数字的2倍，十位上的数是最大的一位数，个位上的数是最小的偶数，景区总面积 　28490　亩。这个数既是 　　数（填奇或偶），又是 　　数（填质或合）。 【思路点拨】最小的质数是2，最小的合数是4，最大的一位数是9，最小的偶数是0，据此写数；再根据偶数和奇数的意义，看个位数字判断其奇偶性；再根据质数与合数的特征判断它是质数还是合数即可。 【规范解答】解：一个五位数，最高位上的数是最小的质数，百位上的数是最小的合数，千位上的数是百位数字的2倍，十位上的数是最大的一位数，个位上的数是最小的偶数，景区总面积28490亩。这个数既是偶数，又是合数。 故答案为：28490，偶，合。 【考点评析】本题主要考查质数和合数、奇数和偶数的辨别及应用。 9．（2分）（2024春•淮滨县期末）一个四位数，千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的合数，十位上是5的最大因数，个位上的数字既是奇数又是合数，这个数是 　2459　。 【思路点拨】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫合数；一个数的最大因数是它本身；整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此写出这个四位数。 【规范解答】解：最小的质数是2，即千位上的数字是2；最小的合数是4，即百位上的数字是4；5的最大因数是5，即十位上的数字是5；奇数1，3，5，7，9中只有9是合数，即个位上的数字是9。所以这个数是2459。 故答案为：2459。 【考点评析】此题考查了质数和合数的意义、一个数的因数的特征、奇数和偶数的意义。 10．（5分）（2023春•连云港期末）选择合适的词语填在下面的括号中，使表达准确。（每个词语只能用一次） 质因数 奇数 偶数 质数 合数 这个学期，我们又进一步学习了有关非0自然数的知识。比如：4个连续自然数的和是 　偶数　，任意两个奇数相乘的积一定是 　　；2和3都是18的 　　；最小的 　　与最小的两位数的积是20；几个质数相乘的积一定是 　　。 【思路点拨】合数是在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其他数除外）整除的数；质数是一个自然数，只有1和它本身两个因数；偶数是在整数中，能被2整除的数；奇数是在整数中，不能被2整除的数；合数是在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其他数除外）整除的数。 【规范解答】解：4个连续自然数的和中有2个数是奇数，奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，所以4个连续自然数的和是偶数；奇数奇数奇数；如果数能被数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数；最小的两位数是10，，2是最小的质数；几个质数相乘的积一定是合数。 则这个学期，我们又进一步学习了有关非0自然数的知识。比如：4个连续自然数的和是偶数，任意两个奇数相乘的积一定是奇数；2和3都是18的因数；最小的质数与最小的两位数的积是20；几个质数相乘的积一定是合数。 故答案为：偶数，奇数，因数，质数，合数。 【考点评析】此题考查了偶数、奇数、因数、质数和合数的知识，要求学生掌握。 11．（2分）（2020•长沙）我是一个两位数，十位数字是最小的合数，个位数字是最小的质数，我是　42　． 【思路点拨】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外还有别的因数的数为合数．不能被2整除的数为奇数．据以上定义进行选择即可． 【规范解答】解：最小的合数是4，最小的质数是2，所以我是一个两位数，十位数字是最小的合数，个位数字是最小的质数，我是42； 故答案为：42． 【考点评析】此题考查的目的是使学生理解和掌握质数与合数的概念及意义． 12．（5分）（2024春•三门县期中）猜猜我是谁． （1）我是6的倍数，又是4的倍数，别忘了我还是12的因数．　12　 （2）我们两个的和是6，积是8，质数是　 　，合数是　 　． （3）我们两个的和是18，积是77，这两个质数分别是　 　和　 　． （4）我们两个的和是20，差是6，这两个质数分别是　 　和　 　． 【思路点拨】（1）因为既是6的倍数，又是4的倍数，还是12的因数的数只有12； （2）因为，2是质数，4是合数，符合题意； （3）因为，，所以这两个质数分别是7和11； （4）因为，，所以这两个质数分别是13和7；由此解答即可． 【规范解答】解：（1）我是6的倍数，又是4的倍数，别忘了我还是12的因数，所以这个数是12； （2）我们两个的和是6，积是8，质数是2，合数是4． （3）我们两个的和是18，积是77，这两个质数分别是7和11． （4）我们两个的和是20，差是6，这两个质数分别是13和7； 故答案为：12，2，4，7，11，13，7． 【考点评析】此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累． 13．（2分）（2020秋•槐荫区期末）有两个质数，它们的和是合数，差是质数，并且和是差的6倍，这两个质数是　5　和　　． 【思路点拨】设出这两个数分别为、，再根据和与差的关系计算出，再依次代数解答即可． 【规范解答】解：设其中一个数为，另一个数为，则 ， ， ， 因为这两个数为自然数，所以只能是5的整倍数，又因为两个数都是质数，然后代数验证即可， 当时，，则，12是合数，，2是质数，而且，符合题意， 所以这两个质数是5和7． 故答案为：5；7． 【考点评析】解决本题的关键是计算出，再代数解答． 三．判断正误（共6小题，满分6分，每小题1分） 14．（1分）（2024•江阳区）任意给出5个连续的非0自然数，其中一定只有一个数是5的倍数。 　　（判断对错） 【思路点拨】5的倍数，即能被5整除的数是个位是0或是5的数字，五个连续的自然数，如1、2、3、4、5或16、17、18、19、20或22、23、24、25、26等等，其中一定有一个数的个位是0或5；据此判断。 【规范解答】解：五个连续的自然数其中一定只有一个数是5的倍数，所以原题干说法正确。 故答案为：。 【考点评析】考察的是5的倍数特征。 15．（1分）（2024•曲江区）一个数除外）的因数一定小于这个数的倍数。 　　（判断对错） 【思路点拨】一个数除外）的因数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身，据此解答。 【规范解答】解：一个数除外）的因数小于或等于这个数的倍数，原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了因数和倍数的意义。 16．（1分）（2024春•沅江市期末）100以内所有质数的和比所有合数的和小。 　　（判断对错） 【思路点拨】因数只有1和本身的数是质数，100以内有25个质数，所有质数的和比所有合数的和小。 【规范解答】解： 所以，100以内所有质数的和比所有合数的和小，原题干说法正确。 故答案为：。 【考点评析】本题主要考查质数和合数的分类及求和的应用。 17．（1分）（2024春•徽县期末）因为，所以1.8是0.9的倍数，0.9是1.2的因数。 　　（判断对错） 【思路点拨】若整数能够被整除，叫作的倍数，就叫作的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【规范解答】解：虽然，但是1.8和0.9是小数，不能研究因数和倍数的关系，原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 18．（1分）（2024•绥德县）36的因数中，既是合数又是偶数的有5个。 　　（判断对错） 【思路点拨】先找出36的因数，根据奇数与偶数、质数与合数的意义，在自然数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。即可作答。 【规范解答】解：36的因数有1、2、3、4、6、9、18、36，既是合数又是偶数是4、6、18、36有4个，故原题错误。 故答案为：。 【考点评析】此题主要考查了奇数、偶数，以及质数、合数的认识，要熟练掌握它们的特征。 19．（1分）（2024春•望都县期中）一个三位数，各数位上的数字和是3，这样的数中是偶数的有4个。 　　（判断对错） 【思路点拨】把3拆分为3个数字的和，再根据排列组合知识和偶数的特征（个位是0、2、4、6、列举解答即可。 【规范解答】解： ① 这样的数中偶数有：300 ② 这样的数中偶数有：210、120、102 ③ 不能组成偶数， 所以共有：（个 所以原题说法正确。 故答案为：。 【考点评析】解答本题关键是明确偶数的特征：个位是0、2、4、6、8。 四．计算能手（共2小题，满分8分，每小题4分） 20．（4分）（2024春•望都县期中）在横线上填上合适的质数。 　3　　　 　　　　 　　　　 　　　　　　 【思路点拨】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数。 【规范解答】解： 故答案为：3、29；5、7；3、17；3、3、5。 【考点评析】此题考查了质数的含义的灵活应用。 21．（4分）（2024春•临平区期中）下面算式的计算结果是“奇数”或“偶数”？请在算式后面的横线上填上“奇数”或“偶数”。 　奇数　 是非零自然数）　　 　　 　　 【思路点拨】奇数偶数奇数；奇数偶数偶数；偶数个奇数相加的和是偶数；多个偶数相加的和还是偶数；据此进行填空。 【规范解答】解：奇数； 是非零自然数）偶数； 偶数； 奇数。 故答案为：奇数；偶数；偶数；奇数。 【考点评析】本题考查的是奇数与偶数的相关知识，要熟练掌握。 五．实际应用（共6小题，满分31分） 22．（6分）（2024•九龙坡区）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”。定义：对于自然数，在计算时，各数位都不产生进位，则称这个自然数为“纯数”。 例如：32是“纯数”，因为计算时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算 时，个位产生了进位。 （1）判断2019和2020是否是“纯数”请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数。 【思路点拨】（1）根据“纯数”的定义进行判断。 （2）根据题意推出不大于100的“纯数”的个数。 【规范解答】解：（1），， ，个位，需要进位，所以2019不是“纯数”。 ，， ，个位相加是不需要进位；十位相加是，不需要进位；百位相加，不需要进位。所以2020是“纯数”。 （2）连续的3个自然数相加，个位上的数字是0、1、2，其他位上数字是0、1、2、3时，不会产生进位。 当这个数是一位自然数时，这个数是0、1、2共3个，当这个数是两位自然数时，十位上的数字是1、2、3，个位上的数是0、1、2，共9个；当这个数是三位自然数时，这个数是100。 不大于100的“纯数”的个数是：（个 答：不大于100的“纯数”的个数有13个。 【考点评析】本题考查了“纯数”的知识。 23．（5分）（2024春•荣昌区期末）“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。”请你试举四个例子证明这一猜想，并把例子写在下面。 【思路点拨】根据题意“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，举例子解答即可。 【规范解答】解：示例：，12是大于2的偶数，5和7都是质数，符合“哥德巴赫猜想”。 ，14是大于2的偶数，3和11都是质数，符合“哥德巴赫猜想”。 ，16是大于2的偶数，5和11都是质数，符合“哥德巴赫猜想”。 ，18是大于2的偶数，7和11都是质数，符合“哥德巴赫猜想”。（答案不唯一） 【考点评析】此题考查了质数的意义以及拓展应用，要熟练掌握。在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数。 24．（5分）（2024春•青县期中）秦始皇兵马俑是第一批全国重点文物保护单位，位于今陕西省西安市临渣区秦始皇陵以东处的兵马俑坑内。二号俑坑第三单元有264个步兵俑，3个3个地数能正好数完这些步兵俑吗？如果5个5个地数呢？为什么？ 【思路点拨】若整数能够被整除，叫作的倍数，就叫作的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【规范解答】解：，所以3个3个地数能正好数完这些步兵俑。 因为，264不能被5整除，所以不能5个5个数。 【考点评析】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 25．（5分）（2024•杭州模拟）王老师的手机号码是一个11位数。最高位上的数既不是质数，也不是合数；第二、五位上的数既是奇数又是质数，且是最小的；第三位上的数是最大的一位数；第四位上的数是最小的偶数；第六位上的数是最小的合数；第七位上的数比最小的合数多1；其余各位上都是最大的一位偶数。你能写出王老师的手机号码吗？ 【思路点拨】能被2整除的数叫作偶数；不能被2整除的数叫作奇数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；据此分析解答。 【规范解答】解：因为1既不是质数，也不是合数，所以最高位上的数既不是质数，也不是合数，则最高位上是1； 因为3既是奇数又是质数，且是最小的，所以第二、五位上的数是3； 因为最大的一位数是9，所以第三位上是9； 因为最小的偶数是0，所以第四位上是0； 因为最小的合数是4，所以第六位上是4，第七位上是； 因为8是最大的一位偶数，所以其余各位上都是8， 王老师的手机号码是13903458888。 答：王老师的手机号码是13903458888。 【考点评析】本题考查的主要内容是质数、合数、奇数、偶数的认识问题。 26．（5分）（2024春•东莞市期中）小丽去玩密室逃脱，要打开一扇门，密码是一个五位数，从左往右依次是：①最小奇数的5倍；②既是8的因数，也是8的倍数；③既不是质数也不是合数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数。请你帮小丽想一想，开这扇门的密码是什么？ 【思路点拨】自然数中，是2的倍数的数是奇数；一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数；1既不是质数也不是合数；10以内最大的质数是7；最小的合数是4；据此解答即可。 【规范解答】解：①最小的奇数是1，所以最小的奇数的5倍是5；②8既是8的因数，也是8的倍数；③1既不是质数也不是合数；④10以内最大的质数是7；⑤最小的合数是4。 答：这扇门的密码是58174。 【考点评析】本题考查了奇数和偶数，质数和合数的知识，要熟练掌握。 27．（5分）（2019•温州）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其它各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13。已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，问最重的两瓶内有多少千克油？ 【思路点拨】由于每只瓶都称了三次，因此记录数之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（加瓶）共重（千克），而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，而质数中是偶数的质数只有2，当油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重（千克），最重的两瓶内的油为（千克）；当油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。 【规范解答】解：每个瓶称三次，故四个瓶子总重量为 （千克），21是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和必为一奇一偶。 而质数中是偶数的质数只有2，分两种情况求解： （1）当空瓶重量和为2，油重量和为19；每个空瓶（千克），故最重两瓶（即重13的两瓶）有（千克）； （2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。 答：最重的两瓶内有12千克油。 【考点评析】本题主要考查了有关偶数、质数以及奇数的知识，解题的关键是求出4瓶油（加瓶）的质量。 六．解决问题（共4小题，满分20分，每小题5分） 28．（5分）（2024春•渑池县期末） “孪生质数猜想”是著名的数学猜想之一。在1849年，数学家阿尔方德波利尼亚克 提出了一般的猜想：对所有自然数，存在无穷多个素数对。的情况就是孪生质数猜想。“孪生质数猜想”中所说的“孪生质数”是指相差为2的两个质数，如3和5都是质数，且，所以3和5就是一对孪生质数；5和7也是一对孪生质数。 （1）在下面的横线上写出50以内除了3和5，5和7以外的所有孪生质数。 （2）如果用和表示任意一对孪生质数，那么的和一定是 　奇数　。（填“奇数”或“偶数” 在下面写出你的想法。 我是这样想的：　　。 【思路点拨】（1）根据“孪生质数”的意义，“孪生质数”是指相差为2的两个质数，50以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，23、29、31、37、41、43、47，由此可知50以内除了3和5，5和7以外的所有孪生质数是11和13；17和19；29和31；41和43。 （2）根据偶数、奇数的性质，偶数偶数偶数，偶数奇数奇数，奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，偶数奇数偶数、奇数奇数奇数。据此解答即可。 【规范解答】解：（1）50以内除了3和5，5和7以外的所有孪生质数是11和13；17和19；29和31；41和43。 （2）如果用和表示任意一对孪生质数，那么的和一定是奇数。我是这样想的：和是一对孪生质数，那么它们就都是奇数，就是偶数，偶数奇数奇数，所以一定是奇数。 故答案为：奇数；和是一对孪生质数，那么它们就都是奇数，就是偶数，偶数奇数奇数，所以一定是奇数。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握“孪生质数”的意义，偶数、奇数的性质及应用。 29．（5分）（2024•石狮市）从古至今，数学上有一种许多人为之疯狂的数，叫完美数，如6的因数有1、2、3、6，这几个因数有这样的关系：，像6这样的数，称作完美数。请你判断28是不是完美数，写出你的想法。 【思路点拨】先找出28的所有因数，然后再看28的因数是否有这样的关系，即可判断。 【规范解答】解：28的因数有1、2、4、7、14、28， 答：28是完美数。 【考点评析】熟练掌握找一个数的因数的方法是解答本题的关键。 30．（5分）（2024春•永兴县校级期中）五（1）班6名同学去给小树苗浇水，小树苗不到30棵，他们发现每人浇水棵数相同，这批小树苗可能有多少棵？ 【思路点拨】根据题意，树苗棵数肯定是6的倍数，且小于30，小于30的，且是6的倍数的有：6、12、18、24，所以这批小树苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵． 【规范解答】解：小于30的且是6的倍数的有：6、12、18、24棵； 答：这批小树苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵． 【考点评析】此题考查了学生运用求一个数的倍数的方法解决实际问题的能力． 31．（5分）（2022春•京山市期中）有100多且不到200名学生站队，站成5列，仅仅少2人，这群学生最少多少人？最多多少人？ 【思路点拨】根据题干可得，这列学生总人数是一个大于100小于200的三位数，且是5的倍数少2的数，由此先求出大于100小于等于200的5的倍数最小是105，大于100小于等于200的5的倍数最大是200，再减去2即可得出这批学生最少和最多的人数． 【规范解答】解：大于100小于等于200的5的倍数最小是105，（人， 大于100小于等于200的5的倍数最大是200，（人． 答：这群学生最少103人，最多198人． 【考点评析】此题主要考查了求5的倍数的方法的灵活应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$