第三讲《因数和倍数》（单元讲义）-2024-2025学年五年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版）学生版+教师版）

2024-2025学年五年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版） 第三讲 因数和倍数 （导图+知识精讲+高频易错点+十四大考点讲练+难度分层练） 教学目标： 1.通过复习,使学生进一步巩固自然数、奇数、偶数、倍数、因数、质数、合数等概念及其相互间的关系，掌握2、3、5倍数的特征，能灵活运用有关知识解决相关的问题。 2.通过合作学习，让学生感受合作交流的必要性，经历有关概念整理的过程，建立知识结构，从而培养学生复习整理的能力。 3.通过亲身参与和实践活动，让学生获得成功的体验，培养学生严谨的学习态度。 教学重点：会找一个数的因数和倍数，并应用于实际问题中，理解并区分质数和合数。 教学难点：理解有关概念之间的联系和区别。 考点1：奇数与偶数的初步认识 5 考点2：因数和倍数的意义 5 考点3：找一个数的因数的方法 6 考点4：找一个数的倍数的方法 6 考点5：公倍数和最小公倍数 7 考点6：因数、公因数和最大公因数 8 考点7：求几个数的最大公因数的方法 8 考点8：求几个数的最小公倍数的方法 9 考点9：合数与质数的初步认识 9 考点10：合数分解质因数 10 考点11：2的倍数特征 10 考点12：5的倍数特征 11 考点13：3的倍数特征 12 考点14：2、3、5的倍数特征 12 基础夯实优选题专练 13 培优优选题专练 14 知识点01：基础概念 整数与自然数 整数：包括正整数、0和负整数，如-3、-2、-1、0、1、2、3等。 自然数：从0开始的正整数，即0、1、2、3、...。在研究因数和倍数时，我们主要在自然数（零除外）的范围内进行。 倍数与因数的定义 如果a×b=c（a、b、c都是不为0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。倍数与因数是相互依存的，不能单独说一个数是倍数或因数，必须说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。 知识点02：倍数与因数的特征 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的。 一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。 1是任何非零自然数的因数。 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的。 一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 知识点03：特殊数的倍数特征 2的倍数 特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 这类数也被称为偶数。 5的倍数 特征：个位上是0或5的数。 3的倍数 特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数。 同时是2和5的倍数 特征：个位上是0的数。这类数既是偶数也是5的倍数。 同时是2和3的倍数 特征：个位上是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字之和是3的倍数的数。 同时是3和5的倍数 特征：个位上是0或5，且各个数位上的数字之和是3的倍数的数。 6的倍数 特征：既是2的倍数又是3的倍数的数，即个位上是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字之和是3的倍数的数。 9的倍数 特征：一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，则这个数就是9的倍数。 知识点04：质数与合数 质数 定义：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 特征：质数除了2以外都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1、3、7、9。 举例：2、3、5、7、11、13等。 合数 定义：一个数除了1和它本身以外还有别的因数的数叫作合数。 特征：合数至少有三个因数。 举例：4、6、8、9、10等。 1和0的特殊性 1既不是质数也不是合数。 0在研究因数和倍数时通常被排除在外，因为它乘任何数都得0，且任何非0自然数都是0的因数，这使得问题复杂化。 知识点05：数的奇偶性 奇数：不是2的倍数的数叫作奇数，个位上的数字是1、3、5、7、9的数。 偶数：是2的倍数的数叫作偶数，个位上的数字是0、2、4、6、8的数（0也是偶数）。 易错一：概念理解错误 倍数与因数的孤立理解 错误理解：单独说某数是倍数或因数，没有明确指出谁是谁的倍数或因数。 正确理解：倍数与因数是相互依存的，必须明确谁是谁的倍数或因数，如“4是8的因数，8是4的倍数”。 倍数与约数的混淆： 在一些旧版教材中，可能使用“约数”一词，但现代数学中更常用“因数”。 应注意区分，避免混淆。 易错二：特征判断错误 2、5、3的倍数特征判断： 对于2的倍数，易错点在于忽略了个位为0的情况，错误地认为只有个位为2、4、6、8的数才是2的倍数。 对于5的倍数，易错点在于忽略了0也是5的倍数。 对于3的倍数，易错点在于仅通过看个位数字来判断，而实际上应看各位数字之和是否为3的倍数。 质数与合数的判断： 错误地认为1是质数或合数，实际上1既不是质数也不是合数。 在判断一个数是否为质数时，易忽略检查其是否只有1和它本身两个因数。 易错三：实际应用错误 找因数与倍数的方法错误： 找因数时，易遗漏某些因数，特别是较大的因数。 找倍数时，易错误地认为倍数有上限，而实际上一个数的倍数是无限的。 奇偶性判断错误： 在进行奇偶性运算时，易混淆运算规则，导致判断错误。例如，错误地认为奇数+奇数=奇数，而实际上奇数+奇数=偶数。 易错四：易混淆的题目类型 倍数与因数的综合判断： 题目中同时出现倍数与因数的判断，要求学生准确理解并应用相关概念。 易错点在于学生可能无法准确区分题目中的条件与结论，导致判断错误。 质数与合数的应用： 题目中要求判断或找出质数、合数及其相关性质。 易错点在于学生可能无法准确理解质数与合数的定义及其性质，导致判断或应用错误。 考点1：奇数与偶数的初步认识 【精讲题】（2024春•白云区期末）30名学生要分成甲、乙两组，如果甲组人数为奇数，乙组人数为　　 A．奇数 B．偶数 C．可以奇数，也可以是偶数 D．无法确定 【精练题01】（2023秋•泉州期末）五环是奥运的标志，象征着五大洲的团结。在数学上也有类似的相互交叉的圆，它表示身份的重叠。下面四种组合中，组合的重叠部分表示的数最少的是　　 A．奇数与质数 B．奇数与合数 C．偶数与质数 D．偶数与合数 【精练题02】（2024春•永吉县期末）暑假期间，小阳一家参观故宫。他们入住的酒店房间号由三个数字组成，第一个数字代表楼层，它既是质数又是偶数；后面两个数字代表房间顺序，它们是既是奇数又是质数的最大两位数。”小阳一家的房间号是 。 【精练题03】（2023秋•罗湖区月考）把下面各数填进对应的横线上。 77，87，17，72，37，68，180，57。 奇数： 　 偶数：　　 质数：　　 合数：　　 考点2：因数和倍数的意义 【精讲题】（2024春•天河区期末）下面的说法中，正确的是　　 A．8的因数只有2、4。 B．4.8是2的倍数。 C．一个数的倍数的个数是有限的。 D．一个数的因数的个数是有限的。 【精练题01】（2024春•荣昌区期末）古希腊数学家认为：如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如：10有四个因数1、2、5、10，除本身10以外，还有1、2、5三个因数，，所以10就是“亏数”。下列数中是“亏数”的是　　 A．12 B．14 C．18 D．36 【精练题02】（2023秋•惠东县期末）因为，所以1.5是0.5的倍数，0.5是1.5的因数。 　　（判断对错） 【精练题03】（2023春•伊川县期末），1.2是倍数，0.3和4是因数．　　．（判断对错） 考点3：找一个数的因数的方法 【精讲题】（2024春•洪江市期末），，是不同的自然数，且，那么至少有　　个不同的因数。 A．4 B．3 C．2 D．1 【精练题01】（2024春•汶上县期末）两个数相乘的积是90，其中一个数最大因数是15，另一个数是 　 　，这两个数都是 　　倍数。 【精练题02】（2023秋•宿州月考）按要求写数。 （1）40的全部因数：　 。 （2）40以内7的全部倍数：　　 。 【精练题03】（2023秋•宝安区期末）一款饮料有以下四种包装（如图）。班级运动会需要准备90瓶饮料。 （1）哪几种包装能正好把90瓶饮料装完？写出你判断的结论和理由。 （2）如果要把90瓶饮料正好装完，还有其他的包装方式吗？如果有，请至少画出或写出一种包装方式。 （3）如果你是班级的采购员。你会采购哪种包装的饮料？为什么？ 考点4：找一个数的倍数的方法 【精讲题】（2024春•白云区期末）一个数的最大因数和最小倍数都是12，这个数是　　 A．3 B．4 C．6 D．12 【精练题01】（2023秋•武江区期中）因为，，，，所以8的倍数有 　 　个，由此可见，一个数的倍数的个数是 　　的，其中最小的倍数是 　　。 【精练题02】（2024春•肥城市期中）只要是6的倍数，就一定是3的倍数． 　　．（判断对错） 【精练题03】（2018春•获嘉县校级月考）一个数的最小的倍数是几？有最大的倍数吗？ 考点5：公倍数和最小公倍数 【精讲题】（2023秋•揭东区期末）18和24在100以内　　公倍数。 A．没有 B．有一个 C．有2个 D．无法确定 【精练题01】（2023春•定州市校级期末）两个数的公倍数一定比这两个数都大．　（判断对错） 【精练题02】（2023秋•临泉县期中）秦朝末年、楚汉相争。一次，韩信带领1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便点兵迎敌。他命令士兵30人一排，结果多出2名；接着命令士兵50人一排，结果多出2名；他又命令士兵70人一排，结果又多出2名。请你算一算韩信此时有多少名士兵？ 【精练题03】（2022春•岳池县期末）星星小学五（1）班的同学做广播操，班长在前面领操，其它学生排成每行8人或10人都正好是整行．已知这个班的人数不超过50人，五（1）班共有学生多少人？ 考点6：因数、公因数和最大公因数 【精讲题】．（2023秋•甘井子区期末）下面说法中，正确的是　　 A．90和75的公因数有3个。 B．23可以写成三个质数的和。 C．两个质数的和一定是偶数。 D．通分和约分不是依据分数基本性质。 【精练题01】（2020秋•会宁县期中）下列各组数中，只有公因数1的一组数是　　 A．3和54 B．6和15 C．17和51 D．23和19 【精练题02】（2022秋•永春县期末）填一填： 【精练题03】（2020秋•榆林期中）掷沙包。 28的因数 32的因数 既是28的因数又是32的因数 考点7：求几个数的最大公因数的方法 【精讲题】（2023秋•西安期末）甲、乙两数都是不为0的自然数，若甲数是乙数的3倍，则甲、乙两数的最大公因数是　　 A．乙数 B．甲数 C．3 D．无法确定 【精练题01】．（2024春•汶上县期末）、是不为0的自然数，，和的最大公因数是 　 　，如果，那么和的最大公因数是 　　。 【精练题02】（2023秋•太和县期末）在4、12、2、3、24中，2和 　 都是6的因数，12和 　　是6的倍数。12和24的最大公因数是 　　，3和4的最小公倍数是 　　。 【精练题03】（2023秋•南安市期末）已知、都是非零的自然数），那么和的最大公因数是 　 　，最小公倍数是 　　。 考点8：求几个数的最小公倍数的方法 【精讲题】（2024•内乡县）自然数与，且，。与的最大公因数是 　　，最小公倍数是 　　。 【精练题01】．（2024•万州区），是自然数且，如果和的最大公因数是12，则是 　，和的最小公倍数是 　　。 【精练题02】（2023秋•双流区期末）妈妈买了个苹果，刚好可以平均分给全家3个人，每人个。那么和的最大公因数是 　　，最小公倍数是 　　。 【精练题03】（2023秋•肇源县期末）求出下面各组数的最小公倍数。 24和18 32和16 考点9：合数与质数的初步认识 【精讲题】（2024春•永定区期末）若是质数，是合数，那么一定是合数的是　　 A． B． C． 【精练题01】（2023秋•双流区期末）哥德巴赫猜想一直被看作数学皇冠上的明珠，对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上两个质数的乘积的形式，通常称“”。下列情形中符合这一结果的是　　 A． B． C． D． 【精练题02】（2023秋•太和县期中）猜幸运号码。 （1）我们俩的幸运号码之和是20，我的比较小。我是 　 　。 我们俩的幸运号码都是质数，积是91。我是 　　。 （2）我的幸运号码是50以内最大的质数。我是 　　。 【精练题03】（2024春•石门县期末）用你喜欢的方法解答． （1）10以内所有质数的和是多少？ （2）48与54的最大公约数乘以20以内的最大质数，积是多少？ 考点10：合数分解质因数 【精讲题】（2023秋•沾化区期末）一箱桔子，三个三个的拿、四个四个的拿或五个五个的拿都正好拿完，没有剩余，这箱桔子最少有 　 　个，把它分解质因数是 　　。 【精练题01】（2022秋•博兴县期末）一个数最大的因数是60，这个数最小的倍数是 　60　，把这个数分解质因数是 　　。 【精练题02】（2021秋•无棣县期末）小林爸爸年龄数的十位上是最小的合数，个位上是最小的质数，小林爸爸今年 　 岁，把这个数分解质因数是 　　。 【精练题03】（2023秋•临漳县月考）马超、刘涛和王阳三位小朋友购买兔年邮票的枚数的积是540，其中马超比刘涛多1枚，王阳比刘涛少3枚，他们三人分别购买了多少枚兔年邮票？ 考点11：2的倍数特征 【精讲题】（2022春•麦积区期末）既是2的倍数，又是5的倍数的最大两位数是　　 A．98 B．90 C．60 【精练题01】（2023秋•寿县期中）56□是2的倍数，□中可以填数字有 　 。 【精练题02】（2022春•沁阳市期末）既是2的倍数又是5的倍数的数中，最小的数是　 ，最大的两位数是　　。 【精练题03】（2023春•伊犁州期末）4的倍数一定是2的倍数．　　．（判断对错） 考点12：5的倍数特征 【精讲题】（2023秋•莘县期末）用标有0、2、5、8的四张卡片，组成既是2的倍数又是5的倍数的四位数，可以组成　　个。 A．6 B．8 C．12 【精练题01】（2023秋•寿县期中）一个两位数是5的倍数，各个数位上数字的和是8，这个两位数是 　 　或 　　。 【精练题02】（2021秋•晋城期中）妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。给了售货员100元，找回13元，你能帮妈妈判断一下找回的钱对不对吗？ 【精练题03】（2021秋•神木市期末）明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元瓶，可乐：10元瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 考点13：3的倍数特征 【精讲题】（2023秋•无棣县期末）要使4□6是3的倍数，□里可以填　　 A．1、2、3 B．2、3、6 C．3、6、9 D．2、5、8 【精练题01】（2023秋•华州区期末）28至少加上3就是3的倍数。 　　（判断对错） 【精练题02】（2023秋•光明区期末）淘气行李箱上的密码是一个四位数□，且这个数是3的倍数。那么□可能是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【精练题03】（2020秋•济南期末）使下面算式能整除：□　　　□□是一位数） 考点14：2、3、5的倍数特征 【精讲题】（2024春•天河区期末）小强要从下面这四张数字卡片中任意取出三张，组成三位数。如果要使组成的三位数既是2和5的倍数，又是3的倍数，那么这个数最大是　　 A．732 B．730 C．720 D．270 【精练题01】（2024春•吉州区期末）在献爱心活动中，五（1）班共向贫困山区捐款9□□。这个三位数既是3的倍数，又是5的倍数，五（1）班最多捐款 　 　元。 【精练题02】（2024春•三门县期中）王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对．你能解释这是为什么吗？ 【精练题03】（2023春•蒙城县期中）小明到面包店买面包：甜甜圈每个2元，三明治每个10元，巧克力面包每个3元，如果小明买一些甜甜圈和三明治，他付给售货员50元，找回11元，她找对了吗？为什么？ 基础夯实优选题专练 1．（2024五上·龙岗期末）下面的数中，不是3的倍数的是（　　）。 A．75 B．51 C．143 D．84 2．（2024五上·福田期末）下列说法正确的是（　　）。 A．所有奇数都是质数 B．3的所有倍数都是合数 C．奇数都不是2的倍数 D．自然数中除了质数就是合数 3．（2024五上·惠来期末）下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是（　　）。 A．25，26，27 B．5，6，7 C．16，17，18 4．（2024五上·南山期末）要使三位数□4□能同时被2、3、5整除，这个三位数最小是 　 　。 5．（2024五上·薛城期末）一个五位数，最高位上的数是最小的合数，百位上的数是最小的质数，个位上的数是最小的奇数，其他数位上的数是0，这个数是　 　。 6．（2024五上·福田期末）藏羚羊是国家一级保护动物，善于奔跑，它的最长寿命（单位：年）约是最小质数与最小合数的积，藏羚羊的最长寿命约　 　年。 7．（2023五上·福田）鹏鹏妈妈的手机锁屏密码是六位数字。她第一次输错了， 她想起了设置密码时的相关信息。请你根据这些信息，帮她解密。 第一位数字是最小奇合数；第二位数字既是8的因数，又是8的倍数；第三位数字是最小奇数的5倍；第四位数字既是质数，又是偶数；第五位数字既不是质数，也不是合数，更不是0；第六位数字是所有自然数的因数， 鹏鹏妈妈的手机锁屏密码是　 　。 8． （2023五上·宝安期中）小明用12个边长为1分米的小正方形拼长方形，他拼成的长方形周长是多少分米？(先画出拼成长方形的示意图，再算一算) 9．（2024五下·汉川期中）数学课上，张老师想在计数器上拨7颗珠子表示一个三位数。三位同学有不同的想法： A同学：不可能是2的倍数； B同学：不可能是3的倍数； C同学：不可能是5的倍数。 你认为谁的想法是正确的？用你喜欢的方式说明理由。 10．（2024五上·惠来期末）六年级（2）班有45名同学参加广播操比赛，要使每行人数都相等，可以排几行？共有几种排法？（每行或每列不少于2人） 11．（2023五上·期末）下面四种说法中，正确的共有（　　）句。 ①奇数与偶数的积是偶数。 ②大于2的偶数都是合数。 ③奇数与奇数的和是奇数。 ④质数与质数的积是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 培优优选题专练 12．（2024五上·光明期末）淘气行李箱上的密码是一个四位数（1□42），且这个数是3的倍数。那么□可能是（　　）。 A．3 B．4 C．5 D．6 13．（2024五下·渝中期末）一个数既是48的因数，又是6的倍数，这个数最大是　 　。 14．要使8□既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填　 　；要使43□既是3的倍数又是5的倍数，□里可以填　 　。 15．（2024五上·福田期末）在0、1、5、8中选3个数字组成三位数，使这个三位数是2的倍数，最大是　 　是5的倍数，最小是　 　。 16．（2020五上·罗湖期末）同时是2、3和5倍数的最小三位数是　 　，最大三位数是　 　。 17．李老师带领五（1）班同学去植树，一共植树148棵。 已知李老师和每个同学植的树都一样多，五（1）班同学正好能站成三路纵队。你知道每人植了几棵树吗？五（1）班有多少名同学？ 18． 一个小数的十分位是最小的质数，百分位上的数字是十分位上数字的2倍，千分位上的数字是十分位与百分位的数字之和，且这个小数小于1。求这个小数是多少？ 19． 有60本笔记本以及分别能装3本、4本、8本、12本的包装袋若干个。选哪种包装袋能正好把这些笔记本装完？ 20． （2023五上·深圳）五(1)班有48名同学报名参加义务劳动，老师把他们分成人数相等的若干个小组。要求组数大于2个组，小于16个组，有几种分法？每种分法每组多少人？ 21．（2023五上·罗湖月考）妈妈准备把自己手工制作的36块月饼装在盒子里，每个盒子都装得同样多，有几种不同的装法？每种装法各需要几个盒子？每个盒子里装多少块月饼？ 21． （2022五上·枞阳期中）体育课上，老师让60名同学分组做游戏，要求每组人数相同，且每组不多于15名同学，不少于8名同学，有哪几种分法，每组有多少人？ 23．（2022五上·政和期中）实验小学学校植物园里种植了若干行的月季花，每行的月季花的棵数是相同的。如表是几位一年级同学数出的月季花总棵数，其中只有一位同学数对了，聪明的你知道他是谁吗？说明理由。 陈明 王一 许强 张雪 41棵 43棵 45棵 47棵 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版） 第三讲 因数和倍数 （导图+知识精讲+高频易错点+十四大考点讲练+难度分层练） 教学目标： 1.通过复习,使学生进一步巩固自然数、奇数、偶数、倍数、因数、质数、合数等概念及其相互间的关系，掌握2、3、5倍数的特征，能灵活运用有关知识解决相关的问题。 2.通过合作学习，让学生感受合作交流的必要性，经历有关概念整理的过程，建立知识结构，从而培养学生复习整理的能力。 3.通过亲身参与和实践活动，让学生获得成功的体验，培养学生严谨的学习态度。 教学重点：会找一个数的因数和倍数，并应用于实际问题中，理解并区分质数和合数。 教学难点：理解有关概念之间的联系和区别。 考点1：奇数与偶数的初步认识 5 考点2：因数和倍数的意义 6 考点3：找一个数的因数的方法 8 考点4：找一个数的倍数的方法 10 考点5：公倍数和最小公倍数 11 考点6：因数、公因数和最大公因数 13 考点7：求几个数的最大公因数的方法 15 考点8：求几个数的最小公倍数的方法 16 考点9：合数与质数的初步认识 17 考点10：合数分解质因数 19 考点11：2的倍数特征 21 考点12：5的倍数特征 22 考点13：3的倍数特征 23 考点14：2、3、5的倍数特征 25 基础夯实优选题专练 27 培优优选题专练 31 知识点01：基础概念 整数与自然数 整数：包括正整数、0和负整数，如-3、-2、-1、0、1、2、3等。 自然数：从0开始的正整数，即0、1、2、3、...。在研究因数和倍数时，我们主要在自然数（零除外）的范围内进行。 倍数与因数的定义 如果a×b=c（a、b、c都是不为0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。倍数与因数是相互依存的，不能单独说一个数是倍数或因数，必须说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。 知识点02：倍数与因数的特征 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的。 一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。 1是任何非零自然数的因数。 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的。 一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 知识点03：特殊数的倍数特征 2的倍数 特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 这类数也被称为偶数。 5的倍数 特征：个位上是0或5的数。 3的倍数 特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数。 同时是2和5的倍数 特征：个位上是0的数。这类数既是偶数也是5的倍数。 同时是2和3的倍数 特征：个位上是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字之和是3的倍数的数。 同时是3和5的倍数 特征：个位上是0或5，且各个数位上的数字之和是3的倍数的数。 6的倍数 特征：既是2的倍数又是3的倍数的数，即个位上是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字之和是3的倍数的数。 9的倍数 特征：一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，则这个数就是9的倍数。 知识点04：质数与合数 质数 定义：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 特征：质数除了2以外都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1、3、7、9。 举例：2、3、5、7、11、13等。 合数 定义：一个数除了1和它本身以外还有别的因数的数叫作合数。 特征：合数至少有三个因数。 举例：4、6、8、9、10等。 1和0的特殊性 1既不是质数也不是合数。 0在研究因数和倍数时通常被排除在外，因为它乘任何数都得0，且任何非0自然数都是0的因数，这使得问题复杂化。 知识点05：数的奇偶性 奇数：不是2的倍数的数叫作奇数，个位上的数字是1、3、5、7、9的数。 偶数：是2的倍数的数叫作偶数，个位上的数字是0、2、4、6、8的数（0也是偶数）。 易错一：概念理解错误 倍数与因数的孤立理解 错误理解：单独说某数是倍数或因数，没有明确指出谁是谁的倍数或因数。 正确理解：倍数与因数是相互依存的，必须明确谁是谁的倍数或因数，如“4是8的因数，8是4的倍数”。 倍数与约数的混淆： 在一些旧版教材中，可能使用“约数”一词，但现代数学中更常用“因数”。 应注意区分，避免混淆。 易错二：特征判断错误 2、5、3的倍数特征判断： 对于2的倍数，易错点在于忽略了个位为0的情况，错误地认为只有个位为2、4、6、8的数才是2的倍数。 对于5的倍数，易错点在于忽略了0也是5的倍数。 对于3的倍数，易错点在于仅通过看个位数字来判断，而实际上应看各位数字之和是否为3的倍数。 质数与合数的判断： 错误地认为1是质数或合数，实际上1既不是质数也不是合数。 在判断一个数是否为质数时，易忽略检查其是否只有1和它本身两个因数。 易错三：实际应用错误 找因数与倍数的方法错误： 找因数时，易遗漏某些因数，特别是较大的因数。 找倍数时，易错误地认为倍数有上限，而实际上一个数的倍数是无限的。 奇偶性判断错误： 在进行奇偶性运算时，易混淆运算规则，导致判断错误。例如，错误地认为奇数+奇数=奇数，而实际上奇数+奇数=偶数。 易错四：易混淆的题目类型 倍数与因数的综合判断： 题目中同时出现倍数与因数的判断，要求学生准确理解并应用相关概念。 易错点在于学生可能无法准确区分题目中的条件与结论，导致判断错误。 质数与合数的应用： 题目中要求判断或找出质数、合数及其相关性质。 易错点在于学生可能无法准确理解质数与合数的定义及其性质，导致判断或应用错误。 考点1：奇数与偶数的初步认识 【精讲题】（2024春•白云区期末）30名学生要分成甲、乙两组，如果甲组人数为奇数，乙组人数为　　 A．奇数 B．偶数 C．可以奇数，也可以是偶数 D．无法确定 【思路点拨】偶数：是2的倍数的数叫作偶数，又叫作双数，如：2、4、6、8等，奇数：不是2的倍数的数叫作奇数，又叫作单数。 【规范解答】解：奇数奇数偶数 30名学生要分成甲、乙两组，如果甲组人数为奇数，乙组人数为奇数。 故选：。 【考点评析】本题考查的主要内容是奇数、偶数的应用问题。 【精练题01】（2023秋•泉州期末）五环是奥运的标志，象征着五大洲的团结。在数学上也有类似的相互交叉的圆，它表示身份的重叠。下面四种组合中，组合的重叠部分表示的数最少的是　　 A．奇数与质数 B．奇数与合数 C．偶数与质数 D．偶数与合数 【思路点拨】根据偶数、奇数、合数、质数的意义，是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：0、2、4、6、8等；不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；一个自然数，如果只有1号它本身两个因数，这样的数叫作质数。“0”、“1”既不是质数也不是合数。据此解答。 【规范解答】解：、除了2以外其它质数都是奇数； 、在奇数中除了1号它本身还有别的因数的数是合数； 、在偶数中只有2是质数； 、在偶数中除了0和2以外其它偶数都是合数。 所以组合的重叠部分表示的数最少的是偶数与质数。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握偶数、奇数、合数、质数的意义及应用。 【精练题02】（2024春•永吉县期末）暑假期间，小阳一家参观故宫。他们入住的酒店房间号由三个数字组成，第一个数字代表楼层，它既是质数又是偶数；后面两个数字代表房间顺序，它们是既是奇数又是质数的最大两位数。”小阳一家的房间号是 　297　。 【思路点拨】根据奇数、偶数、质数的性质即可解答。 【规范解答】解：第一个数字代表楼层，它既是质数又是偶数，数字为2； 后面两个数字代表房间顺序，它们是既是奇数又是质数的最大两位数，数字为97； 房间号是297。 故答案为：297。 【考点评析】此题考查了奇数、偶数、质数的性质。 【精练题03】（2023秋•罗湖区月考）把下面各数填进对应的横线上。 77，87，17，72，37，68，180，57。 奇数：　77，87，17，37，57。　 偶数：　　 质数：　　 合数：　　 【思路点拨】奇数不能被2整除；偶数是能被2整除的数；质数是除了1和它本身没有别的因数的数；合数是除了1和它本身还有别的因数的数，据此解答即可。 【规范解答】解：奇数：77，87，17，37，57。 偶数：72，68，180。 质数：17，37。 合数：77，87，72，68，180，57。 故答案为：77，87，17，37，57；72，68，180；17，37；77，87，72，68，180，57。 【考点评析】本题考查了奇数与偶数、质数与合数的认识，结合题意分析解答即可。 考点2：因数和倍数的意义 【精讲题】（2024春•天河区期末）下面的说法中，正确的是　　 A．8的因数只有2、4。 B．4.8是2的倍数。 C．一个数的倍数的个数是有限的。 D．一个数的因数的个数是有限的。 【思路点拨】若整数能够被整除，叫作的倍数，就叫作的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【规范解答】解：8的因数只有1、2、4、8，原题说法错误； 4.8是小数，不能研究倍数的意义，原题说法错误； 一个数的倍数的个数是无限的，原题说法错误； 一个数的因数的个数是有限的，说法正确。 故选：。 【考点评析】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 【精练题01】（2024春•荣昌区期末）古希腊数学家认为：如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如：10有四个因数1、2、5、10，除本身10以外，还有1、2、5三个因数，，所以10就是“亏数”。下列数中是“亏数”的是　　 A．12 B．14 C．18 D．36 【思路点拨】根据题意，找出选项中各数的所有因数，如果这个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。据此解答即可。 【规范解答】解：．12的因数有1、2、3、4、6、12，除本身12以外，还有1、2、3、4、6五个因数，，所以10就是“盈数”。 ．14的因数有1、2、7、14，除本身14以外，还有1、2、7三个因数，，所以14就是“亏数”。 ．18的因数有1、2、3、6、9、18，除本身18以外，还有1、2、3、6、9五个因数，，所以18就是“盈数”。 ．36 的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，除本身36以外，还有1、2、3、4、6、9、12、18八个因数，，所以36就是“盈数”。 故选：。 【考点评析】本题考查了找一个数的因数的方法，结合题意分析解答即可。 【精练题02】（2023秋•惠东县期末）因为，所以1.5是0.5的倍数，0.5是1.5的因数。 　　（判断对错） 【思路点拨】若整数能够被整除，叫做的倍数，就叫做的因数，因数与倍数是相互依存的；倍数、因数是针对整数来说的；由此判断即可。 【规范解答】解：因为，所以1.5是0.5的倍数，0.5是1.5的因数，说法错误，因为倍数、因数是针对整数来说的，研究的范围是非0自然数。 故答案为：。 【考点评析】本题主要考查因数与倍数的意义，注意倍数、因数是针对整数来说的。 【精练题03】（2023春•伊川县期末），1.2是倍数，0.3和4是因数．　　．（判断对错） 【思路点拨】根据因数和倍数的意义，因数和倍数是在非0自然数范围内进行研究，以此解答． 【规范解答】解：因为，所以，只是1.2能被0.3和4除尽，不是整除； 倍数是相对应整数而言的，所以原题说法错误； 故答案为：． 【考点评析】此题的解答关键是明确因数和倍数的意义，以及因数和倍数的研究范围是在非0自然数范围内． 考点3：找一个数的因数的方法 【精讲题】（2024春•洪江市期末），，是不同的自然数，且，那么至少有　　个不同的因数。 A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】已知能够被整除，商是，那么和都是的因数；而且1和这个数本身都是这个数的因数，据此解答。 【规范解答】解：因为，所以和一定是的因数，再加上1和它本身，则至少有4个不同的因数。 故选：。 【考点评析】本题考查的是因数的知识，要求学生理解因数的意义。 【精练题01】（2024春•汶上县期末）两个数相乘的积是90，其中一个数最大因数是15，另一个数是 　6　，这两个数都是 　　倍数。 【思路点拨】一个数的最大因数是它本身，据此运用除法得出另一个数；通过计算得出另一个数是6，这两个数都是3的倍数。据此可得出答案。 【规范解答】解：两个数相乘的积是90，其中一个数最大因数是15，则这个数是15；另一个数是：。，，则这两个数都是3的倍数。 故答案为：6；3。 【考点评析】本题主要考查求一个数的因数的方法及应用。 【精练题02】（2023秋•宿州月考）按要求写数。 （1）40的全部因数：　1、2、4、5、8、10、20、40　。 （2）40以内7的全部倍数：　　。 【思路点拨】根据找一个因数和倍数的方法的方法，进行列举解答即可。 【规范解答】解：（1）40的全部因数：1、2、4、5、8、10、20、40。 （2）40以内7的全部倍数：7、14、21、28、35。 故答案为：1、2、4、5、8、10、20、40；7、14、21、28、35。 【考点评析】本题难度不大，掌握因数和倍数的含义即可写出正确答案。 【精练题03】（2023秋•宝安区期末）一款饮料有以下四种包装（如图）。班级运动会需要准备90瓶饮料。 （1）哪几种包装能正好把90瓶饮料装完？写出你判断的结论和理由。 （2）如果要把90瓶饮料正好装完，还有其他的包装方式吗？如果有，请至少画出或写出一种包装方式。 （3）如果你是班级的采购员。你会采购哪种包装的饮料？为什么？ 【思路点拨】（1）90的因数的都可以把90瓶饮料装完，因此找出90的因数即可； （2）根据（1）中，没有90的因数的包装均可以； （3）我会选择6瓶盒的包装，因为这种包装不会太重，容易拿取。（答案不唯一，合理即可） 【规范解答】解：（1）90的因数有1，2，3，5，6，9，10，15，18，30，45，90，每箱装的瓶数一定是90的因数。 可以选择6瓶盒的包装，需要（盒 可以选择5瓶盒的包装，需要（盒 可以选择3瓶盒的包装，需要（盒 答：可以选择6瓶盒的包装，需要15盒，也可以选择5瓶盒的包装，需要18盒，还可以选择3瓶盒的包装需要30盒。 （2）还可以每10瓶装1盒，需要（盒 答：还可以有10瓶盒的包装，需要9盒。 （3）我会选择6瓶盒的包装，因为这种包装不会太重，容易拿取。（答案不唯一，合理即可） 【考点评析】本题考查了找一个数因数的应用。 考点4：找一个数的倍数的方法 【精讲题】（2024春•白云区期末）一个数的最大因数和最小倍数都是12，这个数是　　 A．3 B．4 C．6 D．12 【思路点拨】根据“一个数的最大因数和最小最小倍数都是它本身”进行解答即可。 【规范解答】解：一个数的最大因数和最小倍数都是12，这个数是12。 故选：。 【考点评析】此题主要考查因数与倍数的意义，利用一个数的倍数最小是它的本身，一个数的约数最大是它本身，解决问题。 【精练题01】（2023秋•武江区期中）因为，，，，所以8的倍数有 　无数　个，由此可见，一个数的倍数的个数是 　　的，其中最小的倍数是 　　。 【思路点拨】一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一个整数的倍数。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 【规范解答】解：因为，，，，所以8的倍数有无数个，由此可见，一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 故答案为：无数；无限；它本身。 【考点评析】本题考查的是倍数的认识，一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一个整数的倍数。 【精练题02】（2024春•肥城市期中）只要是6的倍数，就一定是3的倍数． 　　．（判断对错） 【思路点拨】因为6和3是倍数关系，6是3的2倍；所以一个数是6的倍数，就一定是3的倍数；进而得出结论． 【规范解答】解：倍 一个数是6的倍数，一定是3的倍数； 故答案为：． 【考点评析】此题应结合题意，根据两个数的特点，进行分析、解答即可． 【精练题03】（2018春•获嘉县校级月考）一个数的最小的倍数是几？有最大的倍数吗？ 【思路点拨】根据倍数的意义：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；据此解答． 【规范解答】解：因为一个数的倍数的个数是无限的，所以其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数． 答：一个数的最小的倍数是它本身，没有最大的倍数． 【考点评析】此题主要考查倍数的意义． 考点5：公倍数和最小公倍数 【精讲题】（2023秋•揭东区期末）18和24在100以内　　公倍数。 A．没有 B．有一个 C．有2个 D．无法确定 【思路点拨】两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，据此解答。 【规范解答】解： 所以18和24的最小公倍数为 所以18和24在100以内有一个公倍数。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解公倍数的意义，掌握求两个数的公倍数的方法。 【精练题01】（2023春•定州市校级期末）两个数的公倍数一定比这两个数都大．　　（判断对错） 【思路点拨】当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数是较大数，即是两个数中的一个，据此举例判断即可． 【规范解答】解：当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数是较大数，即是两个数中的一个， 如4和12的最小公倍数是12，但公倍数12不比12大， 所以两个数的公倍数一定比这两个数都大是错误的； 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查最小公倍数的求法，注意倍数关系的两个数的最小公倍数等于其中的一个数． 【精练题02】（2023秋•临泉县期中）秦朝末年、楚汉相争。一次，韩信带领1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便点兵迎敌。他命令士兵30人一排，结果多出2名；接着命令士兵50人一排，结果多出2名；他又命令士兵70人一排，结果又多出2名。请你算一算韩信此时有多少名士兵？ 【思路点拨】士兵30人、50人或70人一排，结果都多出2名，则此时士兵的数量比30、50和70的公倍数多2。根据题意，韩信带领1500名将士与楚王大将李锋交战，汉军死伤四五百人，则剩下的士兵大约是1000名。先求出30、50和70的公倍数，再从中找出接近1000的数，最后加上2，就是韩信此时有士兵的数量。用质因数分解法求几个数的最小公倍数，全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。再用最小公倍数分别乘2、3、，即可求出其他的公倍数。 【规范解答】解：因为：，， 所以： 韩信带领1500名将士与楚王大将李锋交战，汉军死伤四五百人，则剩下的士兵大约是1000名，又（名 所以：（名 答：韩信此时有1052名士兵。 【考点评析】本题主要考查了最小公倍数的问题。 【精练题03】（2022春•岳池县期末）星星小学五（1）班的同学做广播操，班长在前面领操，其它学生排成每行8人或10人都正好是整行．已知这个班的人数不超过50人，五（1）班共有学生多少人？ 【思路点拨】根据题意，班长在前面领操，其它学生排成每行8人或10人都正好是整行．也就是这个班的学生人数比8和10的最小公倍数多1人，因此，首先求出8和10的最小公倍数，然后再加1即可． 【规范解答】解：8和10的最小公倍数是： ， ， 所以8和10的最小公倍数是：； 五（1）共有学生： （人． 答：五（1）班共有学生41人． 【考点评析】此题属于运用求最小公倍数的方法解决有关的实际问题，解答关键是抓住重点句子“班长在前面领操，其它学生排成每行8人或10人都正好是整行”，意思是不包括班长，其它学生排成每行8人或10人都正好是整行．根据求两个数的最小公倍数的方法解答． 考点6：因数、公因数和最大公因数 【精讲题】．（2023秋•甘井子区期末）下面说法中，正确的是　　 A．90和75的公因数有3个。 B．23可以写成三个质数的和。 C．两个质数的和一定是偶数。 D．通分和约分不是依据分数基本性质。 【思路点拨】对于选项，分别求出90和75的因数，再找出他们的公因数即可判断该选项说法是否正确； 对于选项，，据此可以判断该选项说法是否正确； 对于选项，奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，质数中2是偶数，其他都是奇数，据此可判断该选项说法是否正确； 对于选项，分数的基本性质是：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数除外），分数的大小不变，据此可判断该选项说法是否正确。 【规范解答】解：选项，90的因数有：1，2，3，5，6，9，10，15，18，30，45，90；75的因数有：1，3，5，15，25，75；他们的公因数有：1，3，5，15，共4个，故该选项说法错误； 选项，，故该选项说法正确； 选项，，5是奇数，故该选项说法错误； 选项，通分和约分依据的是分数基本性质，即分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数除外），分数的大小不变，故该选项说法错误。 故选：。 【考点评析】本题是一道综合性的选择题，考查了求两个数的公因数的方法、质数的性质、奇数和偶数的性质、分数的基本性质等多个知识点。 【精练题01】（2020秋•会宁县期中）下列各组数中，只有公因数1的一组数是　　 A．3和54 B．6和15 C．17和51 D．23和19 【思路点拨】根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数。据此解答。 【规范解答】解：，3和54，因为3和54都是3的倍数，所以3和54的公因数有1、3； ，6和15，因为6和15是3的倍数，所以6和15的公因数有1、3； ，17和51，因为17和51都是17的倍数，所以17和51的公因数有1、17； ，23和19只有公因数1，也就是23和19是互质数。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解因数、公因数的意义，掌握求两个数的公因数的方法。 【精练题02】（2022秋•永春县期末）填一填： 【思路点拨】把8和10写成两个数乘积的形式，从而找到它们的因数，再找公因数，据此解答。 【规范解答】解： 所以8的因数有1、2、4、8，10的因数有1、2、5、10；既是8的因数又是10的因数的数有1、2。 解答如下： 【考点评析】本题考查了求一个数的因数以及求两个数的公因数的方法，结合题意分析解答即可。 【精练题03】（2020秋•榆林期中）掷沙包。 28的因数 32的因数 既是28的因数又是32的因数 【思路点拨】定若干个正整数，如果它们有相同的因数，那么这个（些因数就叫做它们的公因数，而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数据此分析。 【规范解答】解： 【考点评析】本题考查的主要内容是因数的应用问题。 考点7：求几个数的最大公因数的方法 【精讲题】（2023秋•西安期末）甲、乙两数都是不为0的自然数，若甲数是乙数的3倍，则甲、乙两数的最大公因数是　　 A．乙数 B．甲数 C．3 D．无法确定 【思路点拨】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数。据此解答。 【规范解答】解：因为甲、乙两数都是不为0的自然数，若甲数是乙数的3倍，则甲、乙两数的最大公因数是乙数。 故选：。 【考点评析】明确为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数是解题的关键。 【精练题01】．（2024春•汶上县期末）、是不为0的自然数，，和的最大公因数是 　1　，如果，那么和的最大公因数是 　　。 【思路点拨】、是不为0的自然数，，那么比大1，所以、是两个相邻的自然数，根据相邻的两个自然数的公因数互质，所以、的最大公因数是1；由可知，是的3倍，根据当两个数是倍数关系，那么这两个数的最大公因数为较小数，所以和的最大公因数是。 【规范解答】解：由分析可知： 、是不为0的自然数，，和的最大公因数是1，如果，那么和的最大公因数是。 故答案为：1；。 【考点评析】本题主要考查求两个数的最大公因数的方法及应用。 【精练题02】（2023秋•太和县期末）在4、12、2、3、24中，2和 　3　都是6的因数，12和 　　是6的倍数。12和24的最大公因数是 　　，3和4的最小公倍数是 　　。 【思路点拨】根据求一个数的因数、倍数的方法填前两个空；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数；两个数互质，则最小公倍数就是这两个数的乘积。 【规范解答】解：在4、12、2、3、24中，2和3都是6的因数，12和24是6的倍数。 因为，所以12和24的最大公因数是12，因为3和4互质，所以3和4的最小公倍数是。 故答案为：3，24，12，12。 【考点评析】熟练掌握求一个数的因数、倍数的方法以及求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法是解题的关键。 【精练题03】（2023秋•南安市期末）已知、都是非零的自然数），那么和的最大公因数是 　1　，最小公倍数是 　　。 【思路点拨】两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。据此解答。 【规范解答】解：因为、都是非零的自然数），所以、互质，那么和的最大公因数是1，最小公倍数是。 故答案为：1，。 【考点评析】明确互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积是解题的关键。 考点8：求几个数的最小公倍数的方法 【精讲题】（2024•内乡县）自然数与，且，。与的最大公因数是 　　，最小公倍数是 　　。 【思路点拨】有倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数；最小公倍数是较大的数。 【规范解答】解：自然数与，且，。与的最大公因数是，最小公倍数是。 故答案为：；。 【考点评析】本题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的应用。 【精练题01】．（2024•万州区），是自然数且，如果和的最大公因数是12，则是 　4　，和的最小公倍数是 　　。 【思路点拨】根据求最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积就是两个数的最大公因数；，，所以和的最大公因数是，和的最大公因数是12，即，解方程，求出的值；再根据求两个数最小公倍数：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数，据此解答。 【规范解答】解： ， 和的最小公倍数是 ，是自然数，且，如果和的最大公因数是12，则是4，和的最小公倍数是120。 故答案为：4，120。 【考点评析】熟练掌握用分解质因数的方法求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 【精练题02】（2023秋•双流区期末）妈妈买了个苹果，刚好可以平均分给全家3个人，每人个。那么和的最大公因数是 　　，最小公倍数是 　　。 【思路点拨】妈妈买了个苹果，刚好可以平均分给全家3个人，每人个，由此可知，即是的3倍，两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。 【规范解答】解：由题意得：，所以和的最大公因数是，最小公倍数是。 故答案为：，。 【考点评析】熟练掌握为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数是解题的关键。 【精练题03】（2023秋•肇源县期末）求出下面各组数的最小公倍数。 24和18 32和16 【思路点拨】先把24和18分别分解质因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数。 【规范解答】解： 所以24和18的最小公倍数是； 32是16的2倍，所以32和16的最小公倍数是32。 【考点评析】熟练掌握求两个数的最小公倍数的方法是解题的关键。 考点9：合数与质数的初步认识 【精讲题】（2024春•永定区期末）若是质数，是合数，那么一定是合数的是　　 A． B． C． 【思路点拨】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数。举例说明，找出结果一定是合数的算式即可。 【规范解答】解：．当，时，，8是合数；当，时，，13是质数；所以，的结果不一定是合数，不符合题意； ．当，时，，16是合数；当，时，，36是合数；当，时，，30是合数；由于是质数，那么一定大于2，所以大于2的数乘一个数，这个积一定含有加2和这两个因数，所以，的结果一定是合数，符合题意； ．当，时，，0既不是质数也不是合数；所以的结果不一定是合数，不符合题意。 若是质数，是合数，那么一定是合数的是。 故选：。 【考点评析】此题主要考查质数与合数的概念，应用其概念解决有关的问题。 【精练题01】（2023秋•双流区期末）哥德巴赫猜想一直被看作数学皇冠上的明珠，对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上两个质数的乘积的形式，通常称“”。下列情形中符合这一结果的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】合数是在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其他数除外）整除的数；质数是一个自然数，只有1和它本身两个因数。据此判断。 【规范解答】解：，3不是偶数，1不是质数，所以该项不符合； ，1不是质数，所以该项不符合； ，符合； ，15不是偶数，所以该项不符合。 故选：。 【考点评析】此题考查了合数与质数的初步认识，要求学生掌握。 【精练题02】（2023秋•太和县期中）猜幸运号码。 （1）我们俩的幸运号码之和是20，我的比较小。我是 　7　。 我们俩的幸运号码都是质数，积是91。我是 　　。 （2）我的幸运号码是50以内最大的质数。我是 　　。 【思路点拨】质数是除了1和它本身没有别的因数的数，据此解答。 【规范解答】（1）两个幸运号码都是质数，和是20，积是91，则这两个数是7和13。 （2）50以内的最大质数是47。 故答案为：（1）7、13；（2）47。 【考点评析】本题考查质数的应用。 【精练题03】（2024春•石门县期末）用你喜欢的方法解答． （1）10以内所有质数的和是多少？ （2）48与54的最大公约数乘以20以内的最大质数，积是多少？ 【思路点拨】（1）写出10以内的所有质数，再相加即可； （2）先求出48与54的最大公约数是6，20以内的最大质数是19，然后求出它们的积即可． 【规范解答】解：（1）10以内所有的质数有：2、3、5、7， 10以内所有的质数的和是：； （2） 48与54的最大公约数是，20以内的最大质数是19， ； 答：积是114． 【考点评析】解答此题用到的知识点：①质数的含义；②求两个数的最大公因数的方法． 考点10：合数分解质因数 【精讲题】（2023秋•沾化区期末）一箱桔子，三个三个的拿、四个四个的拿或五个五个的拿都正好拿完，没有剩余，这箱桔子最少有 　60　个，把它分解质因数是 　　。 【思路点拨】（1）根据题意可知：这箱桔子的个数是3、4、5的公倍数，这箱桔子最少的个数是3、4、5的最小公倍数； （2）把它分解质因数就是把这个最小公倍数写成几个质数相乘的形式。 【规范解答】解：（1）3、4、5两两互质，所以它们的最小公倍数是，所以这箱桔子最少有60个。 （2） 所以把60分解质因数是。 故答案为：60；。 【考点评析】解决这类问题时，找准最小公倍数是关键；当两个数互质时，这两个数的积就是它们的最小公倍数。 【精练题01】（2022秋•博兴县期末）一个数最大的因数是60，这个数最小的倍数是 　60　，把这个数分解质因数是 　　。 【思路点拨】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【规范解答】解：个数最大的因数是60，这个数最小的倍数是60，把这个数分解质因数是。 故答案为：60；。 【考点评析】明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身以及分解质因数的方法是解题的关键。 【精练题02】（2021秋•无棣县期末）小林爸爸年龄数的十位上是最小的合数，个位上是最小的质数，小林爸爸今年 　42　岁，把这个数分解质因数是 　　。 【思路点拨】根据偶数、合数的意义，在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；最小的合数是4，最小的偶数是0，据此解答。 【规范解答】解：小明爸爸的年龄数，十位上是最小的合数，个位上是最小的质数，由于最小的合数是4，最小的质数是2，所以小明爸爸今年42岁。 这个数分解质因数是 故答案为：42；。 【考点评析】此题考查的目的是理解合数分解质因数问题。 【精练题03】（2023秋•临漳县月考）马超、刘涛和王阳三位小朋友购买兔年邮票的枚数的积是540，其中马超比刘涛多1枚，王阳比刘涛少3枚，他们三人分别购买了多少枚兔年邮票？ 【思路点拨】根据分解质因数的意义：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式；把540分解质因数，再根据题意进行组合，即可得出三人分别购买邮票的枚数。 【规范解答】解： 化为： 因为：；， 马超买的邮票枚数刘涛买的邮票枚数（枚 刘涛买的邮票枚数王阳买的邮票枚数（枚 所以马超买了10枚邮票，刘涛买了9枚邮票；王阳买了6枚邮票。 答：马超买了10枚邮票，刘涛买了9枚邮票，王阳买了6枚邮票。 【考点评析】解答本题的关键是利用分解质因数的方法进行解答。 考点11：2的倍数特征 【精讲题】（2022春•麦积区期末）既是2的倍数，又是5的倍数的最大两位数是　　 A．98 B．90 C．60 【思路点拨】根据2、5倍数的特征可知：这个两位数的个位上必须是0，因为个位上是0的数同时是2和5的倍数，然后从最大的个位是0的两位数找起，据此解答． 【规范解答】解：个位上是0的最大两位数是90， 所以一个两位数既是2和5的倍数，这个数最大是90； 故选：． 【考点评析】解答本题要先满足个位上必须是0，因为个位上是0的数满足同时是2和5的倍数，注意从最大的个位是0的两位数找起． 【精练题01】（2023秋•寿县期中）56□是2的倍数，□中可以填数字有 　0，2，4，6，8　。 【思路点拨】个位上是0、2、4、6、8的数字都是2的倍数，据此解答。 【规范解答】解：56□是2的倍数，□中可以填数字有0，2，4，6，8。 故答案为：0，2，4，6，8。 【考点评析】本题侧重考查2的倍数特征。 【精练题02】（2022春•沁阳市期末）既是2的倍数又是5的倍数的数中，最小的数是　10　，最大的两位数是　　。 【思路点拨】既是2的倍数又是5的倍数的数的特征：个位上是0；据此写出符合条件的最小的数和最大的两位数即可。 【规范解答】解：既是2的倍数又是5的倍数的数中，最小的数是10，最大的两位数是90。 故答案为：10，90。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用。 【精练题03】（2023春•伊犁州期末）4的倍数一定是2的倍数．　　．（判断对错） 【思路点拨】因为4和2是倍数关系，4是2的2倍；所以一个数是4的倍数，就一定是2的倍数；进而得出结论． 【规范解答】解：倍； 一个数是4的倍数，一定是2的倍数；所以4的倍数一定是2的倍数说法正确． 故答案为：． 【考点评析】解答此题应结合题意，根据两个数的特点，进行分析、解答即可． 考点12：5的倍数特征 【精讲题】（2023秋•莘县期末）用标有0、2、5、8的四张卡片，组成既是2的倍数又是5的倍数的四位数，可以组成　　个。 A．6 B．8 C．12 【思路点拨】2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数，5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。 【规范解答】解：组成既是2的倍数又是5的倍数的四位数有2580、2850、5820、5280、8250、8520，共6个。 故选：。 【考点评析】本题考查的主要内容是2和5的倍数的应用问题。 【精练题01】（2023秋•寿县期中）一个两位数是5的倍数，各个数位上数字的和是8，这个两位数是 　35　或 　　。 【思路点拨】根据5的倍数的特征，个位上是0或5的数都是5的倍数，和是8的两个数有0和8、1和7、2和6、3和5、4和4，据此解答即可。 【规范解答】解：因为，，所以一个两位数是5的倍数，各个数位上数字的和是8，这个两位数是35和80。 故答案为：35，80。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握5的倍数的特征及应用。 【精练题02】（2021秋•晋城期中）妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。给了售货员100元，找回13元，你能帮妈妈判断一下找回的钱对不对吗？ 【思路点拨】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。据此分析解答。 【规范解答】解：由题意，根据5的倍数的特征可知找回13元不对。 因为马蹄莲和郁金香的单价分别是10元、5元，都是5的倍数，所以不论买几盆，总钱数也应是5的倍数，付了50元，找回的钱数也应是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回13元不对。 【考点评析】此题考查了5的倍数特征的实际运用。 【精练题03】（2021秋•神木市期末）明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元瓶，可乐：10元瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 【思路点拨】根据5的倍数特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数，据此分析解答。 【规范解答】解：因为纯牛奶和可乐的单价分别是5元、10元，都是5的倍数，所以不论买几瓶，总钱数也应是5的倍数，付了100元，找回的钱数应该也是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回18元不对。 答：售货员阿姨找回的钱不对。因为找回的钱应该是5的倍数，18不是5的倍数。 【考点评析】此题考查了5的倍数特征以及实际运用，要熟练掌握。 考点13：3的倍数特征 【精讲题】（2023秋•无棣县期末）要使4□6是3的倍数，□里可以填　　 A．1、2、3 B．2、3、6 C．3、6、9 D．2、5、8 【思路点拨】能被3整除的数的特征：各个数位上的数的和，能被3整除，也可以说各个数位上的数的和是3的倍数，根据此特征计算即可解答。 【规范解答】解：．，不是3的倍数。 ，是3的倍数。 ，不是3的倍数。 所以，4□6中的□里不能填1、3，不符合题意。 ．，是3的倍数。 ，不是3的倍数。 ，不是3的倍数。 所以，4□6中的□里不能填3、6，不符合题意。 ．，不是3的倍数。 ，不是3的倍数。 ，不是3的倍数。 所以，4□6中的□里不能填3、6、9，不符合题意。 ．，是3的倍数。 ，是3的倍数。 ，是3的倍数。 所以，4□6中的□里可以填2、5、8，符合题意。 故答案为：。 【考点评析】此题考查能被3整除的数的特征。 【精练题01】（2023秋•华州区期末）28至少加上3就是3的倍数。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据3的倍数特征解答即可，3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。 【规范解答】解： 28至少加上2就是3的倍数，所以原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】熟练掌握3的倍数特征是解答本题的关键。 【精练题02】（2023秋•光明区期末）淘气行李箱上的密码是一个四位数□，且这个数是3的倍数。那么□可能是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】解：1542是3的倍数。 故选：。 【考点评析】本题考查的主要内容是3的倍数问题。 【精练题03】（2020秋•济南期末）使下面算式能整除：□　　　□□是一位数） 【思路点拨】①一个数各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除，，，，□内可以是1、4、7； ②，，□内的数不许是3的倍数，可以是3、6、9． 【规范解答】解：①， ， ， □内可以是1、4、7； ②， ， □内可以是3、6、9． 故答案为：1、4、7，3、6、9． 【考点评析】此题主要考查找一个数的倍数的方法． 考点14：2、3、5的倍数特征 【精讲题】（2024春•天河区期末）小强要从下面这四张数字卡片中任意取出三张，组成三位数。如果要使组成的三位数既是2和5的倍数，又是3的倍数，那么这个数最大是　　 A．732 B．730 C．720 D．270 【思路点拨】2、3和5的倍数特征：个位数字是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，这样的数既是2和5的倍数，又是3的倍数。 【规范解答】解：这个三位数最大时百位数为7，因为，9是3的倍数，720既是2和5的倍数，又是3的倍数。 这个数最大是720。 故选：。 【考点评析】熟练掌握2、3和5的倍数特征是解答本题的关键。 【精练题01】（2024春•吉州区期末）在献爱心活动中，五（1）班共向贫困山区捐款9□□。这个三位数既是3的倍数，又是5的倍数，五（1）班最多捐款 　990　元。 【思路点拨】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数； 5的倍数特征：个位数字是0或5。 【规范解答】解：9□□，百位上是9，9是3的倍数， 十位上的数加上个位上的数的和是3的倍数，个位数字是0或5，个位数字是0，十位上最大是9，这个数就是990； 个位数字是5，十位上最大是7，这个数975； 答：五（1）班最多捐款990元。 故答案为：990。 【考点评析】熟练掌握3、5的倍数特征是解答本题的关键。 【精练题02】（2024春•三门县期中）王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对．你能解释这是为什么吗？ 【思路点拨】王老师到文具店买了3个足球，总价应是3的倍数，根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，134各位上的数字之和不是3的倍数，因此，王老师认为不对是正确的． 【规范解答】解：根据“总价数量单价”， 单价， ，8不是3的倍数， 因此，王老师认为不对． 【考点评析】此题主要是考查3的倍数特征．属于基础知识，要掌握． 【精练题03】（2023春•蒙城县期中）小明到面包店买面包：甜甜圈每个2元，三明治每个10元，巧克力面包每个3元，如果小明买一些甜甜圈和三明治，他付给售货员50元，找回11元，她找对了吗？为什么？ 【思路点拨】根据偶数的性质：偶数的倍数是偶数，偶数的和是偶数，所以小明买了一些甜甜卷和三明治，花费的钱数仍是偶数，偶数偶数偶数，所以找回的钱数是偶数，不能是11；由此即可判断． 【规范解答】解：偶数的倍数是偶数，偶数偶数偶数，偶数偶数偶数，所以小明买了一些甜甜卷和三明治，花费的钱数仍是偶数，所以找回的钱数是偶数，不能是11； 答：他付给营业员50元，找回11元，找得不对，11是奇数． 【考点评析】此题考查了奇数、偶数的性质，明确数的奇偶性特点，是解答此题的关键 基础夯实优选题专练 1．（2024五上·龙岗期末）下面的数中，不是3的倍数的是（　　）。 A．75 B．51 C．143 D．84 【答案】C 【规范解答】解：A项：7＋5=12，75是3的倍数； B项：5＋1=6，51是3的倍数； C项：1＋4＋3=8，143不是3的倍数； D项：8＋4=12，84是3的倍数。 故答案为：C。 【思路点拨】一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2．（2024五上·福田期末）下列说法正确的是（　　）。 A．所有奇数都是质数 B．3的所有倍数都是合数 C．奇数都不是2的倍数 D．自然数中除了质数就是合数 【答案】C 【规范解答】解：A项：9是奇数，但是不是质数，原题干说法错误； B项：3是3的倍数，但是质数，不是合数，原题干说法错误； C项：奇数都不是2的倍数，原题干说法正确； D项：自然数中除了质数、合数、还有1，原题干说法错误。 故答案为：C。 【思路点拨】个位上是0、2、4、6、8的数是偶数；个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。一个数只有1和它本身两个因数，这个数就是质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数，这个数就是合数。据此判断。 3．（2024五上·惠来期末）下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是（　　）。 A．25，26，27 B．5，6，7 C．16，17，18 【答案】A 【规范解答】解：A项：25，26，27三个数都是合数； B项：5，6，7，5和7是质数，6是合数； C项：16，17，18，16和18是合数，17是质数。 故答案为：A。 【思路点拨】依据100以内的质数表选择。 4．（2024五上·南山期末）要使三位数□4□能同时被2、3、5整除，这个三位数最小是 　 　。 【答案】240 【规范解答】解：这个三位数的个位数字必须是0，并且2＋4=6，则这个三位数最小是240。 故答案为：240。 【思路点拨】个位上是0，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是2、3和5的倍数。 5．（2024五上·薛城期末）一个五位数，最高位上的数是最小的合数，百位上的数是最小的质数，个位上的数是最小的奇数，其他数位上的数是0，这个数是　 　。 【答案】40201 【规范解答】解：最小的合数是4，最小的质数是2，最小的奇数是1，这个数是40201。 故答案为：40201。 【思路点拨】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 6．（2024五上·福田期末）藏羚羊是国家一级保护动物，善于奔跑，它的最长寿命（单位：年）约是最小质数与最小合数的积，藏羚羊的最长寿命约　 　年。 【答案】8 【规范解答】解：2×4=8（年）。 故答案为：8。 【思路点拨】最小质数是2，最小合数是4，求积用乘法计算。 7．（2023五上·福田）鹏鹏妈妈的手机锁屏密码是六位数字。她第一次输错了， 她想起了设置密码时的相关信息。请你根据这些信息，帮她解密。 第一位数字是最小奇合数；第二位数字既是8的因数，又是8的倍数；第三位数字是最小奇数的5倍；第四位数字既是质数，又是偶数；第五位数字既不是质数，也不是合数，更不是0；第六位数字是所有自然数的因数， 鹏鹏妈妈的手机锁屏密码是　 　。 【答案】985211 【规范解答】解：第一位数字是9，第二位数字是8，第三位数字是1×5=5，第四位数字是2，第五位数字是1，第六位数字是1，这个密码是985211。 故答案为：985211。 【思路点拨】第一位数字是最小奇合数是9；第二位数字既是8的因数，又是8的倍数的数是8；第三位数字是最小奇数的5倍，是5；第四位数字既是质数，又是偶数的是2；第五位数字既不是质数，也不是合数，更不是0，是1；第六位数字是所有自然数的因数是1。 8．（2023五上·宝安期中）小明用12个边长为1分米的小正方形拼长方形，他拼成的长方形周长是多少分米？(先画出拼成长方形的示意图，再算一算) 【答案】解： （12＋1）×2 =13×2 =26（分米） （6＋2）×2 =8×2 =16（分米） （4＋3）×2 =7×2 =14（分米） 答：他拼成的长方形周长是26分米、16分米或者14分米。 【思路点拨】12的因数有1、12、2、6、3、4，则小明拼成的长方形有3种，长方形的周长=（长＋宽）×2。 9．（2024五下·汉川期中）数学课上，张老师想在计数器上拨7颗珠子表示一个三位数。三位同学有不同的想法： A同学：不可能是2的倍数； B同学：不可能是3的倍数； C同学：不可能是5的倍数。 你认为谁的想法是正确的？用你喜欢的方式说明理由。 【答案】解：A同学：如430是2的倍数，说法错误； B同学：7不是3的倍数，则不可能是3的倍数，说法正确； C同学：如520是5的倍数，说法错误。 答：B的想法是正确。 【思路点拨】张老师想在计数器上拨7颗珠子表示一个三位数，当个位上是0时，组成的数是2、5的倍数，7颗珠子中的7不是3的倍数，则这个三位数不可能是3的倍数。 10．（2024五上·惠来期末）六年级（2）班有45名同学参加广播操比赛，要使每行人数都相等，可以排几行？共有几种排法？（每行或每列不少于2人） 【答案】解：45=1×45=3×15=5×9 答：可以排3行、15行、5行或者9行，共有4种排法。 【思路点拨】45的因数有1、45、3、15、5、9，除去1和45，其余都是可以排的行数。 11．（2023五上·期末）下面四种说法中，正确的共有（　　）句。 ①奇数与偶数的积是偶数。 ②大于2的偶数都是合数。 ③奇数与奇数的和是奇数。 ④质数与质数的积是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【规范解答】解：①奇数×偶数=偶数，原题干说法正确； ②合数中只有2是质数，其余都是偶数，原题干说法正确； ③奇数＋奇数=偶数，原题干说法错误； ④质数×质数=合数，原题干说法正确。 故答案为：C。 【思路点拨】奇数×偶数=偶数；奇数＋奇数=偶数；质数中只有2是偶数，其余都是奇数；两个质数的积至少有3个因数，一定的合数。 培优优选题专练 12．（2024五上·光明期末）淘气行李箱上的密码是一个四位数（1□42），且这个数是3的倍数。那么□可能是（　　）。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【规范解答】解：1+4+2=7，□最小可填0，最大填9；比7+0=7大比7+9=16小的3的倍数有：9、12、15，因此□可以填：9-7=2、12-7=5、15-7=8。 故答案为：C。 【思路点拨】3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数，据此解答。 13．（2024五下·渝中期末）一个数既是48的因数，又是6的倍数，这个数最大是　 　。 【答案】48 【规范解答】48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48， 6的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48……； 一个数既是48的因数，又是6的倍数，这个数最大是48。 故答案为：48。 【思路点拨】根据题意可知，先求出48的因数和6的一部分倍数，然后找出既是48的因数，又是6的倍数的最大数。 14．要使8□既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填　 　；要使43□既是3的倍数又是5的倍数，□里可以填　 　。 【答案】4；5 【规范解答】 要使8□既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填4；要使43□既是3的倍数又是5的倍数，□里可以填5。 故答案为：4；5。 【思路点拨】既是2的倍数，又是3的倍数：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，个位上是0、2、4、6、8的数； 既是3的倍数，又是5的倍数：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，个位上是0或5的数，据此解答。 15．（2024五上·福田期末）在0、1、5、8中选3个数字组成三位数，使这个三位数是2的倍数，最大是　 　是5的倍数，最小是　 　。 【答案】850；105 【规范解答】解：三位数是2的倍数最大是：850； 是5的倍数，最小是105。 故答案为：850；105。 【思路点拨】2的倍数的特征是这个数个位上的数是0，2，4，6，8；5的倍数的特征是这个数个位上的数是0，5。 16．（2020五上·罗湖期末）同时是2、3和5倍数的最小三位数是　 　，最大三位数是　 　。 【答案】120；990 【规范解答】解：同时是2、3和5倍数的最小三位数是：120； 最大的三位数是：990。 故答案为：120；990。 【思路点拨】个位上是0，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是2、3和5的倍数；最小的三位数，百位上是1，十位上是2，个位上是0；最大的三位数，百位和十位都是9，个位上是0。 17．李老师带领五（1）班同学去植树，一共植树148棵。 已知李老师和每个同学植的树都一样多，五（1）班同学正好能站成三路纵队。你知道每人植了几棵树吗？五（1）班有多少名同学？ 【答案】解：植树总棵树是3＋1=4的倍数， 148=4×37，所以每人植树4棵。 37-1=36(人) 答：每人植了4棵树；五（1）班有36名同学。 【思路点拨】正好能站成三路纵队，说明五年级（1）班总人数是3的倍数。李老师和每个同学植的树都一样多，那么植树的总棵数应是3＋1=4的倍数。人数=148÷4-1=36（人），并且每人植树4棵。 18．一个小数的十分位是最小的质数，百分位上的数字是十分位上数字的2倍，千分位上的数字是十分位与百分位的数字之和，且这个小数小于1。求这个小数是多少？ 【答案】解：最小的质数是2，即十分位上的数字是2； 百分位上的数字是十分位上数字的2倍，百分位上的数字是2×2=4； 千分位上的数字是十分位与百分位的数字之和，千分位上的数字是2+4=6； 这个小数小于1，说明整数部分是0； 答：这个小数是0.246。 【思路点拨】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。 19．有60本笔记本以及分别能装3本、4本、8本、12本的包装袋若干个。选哪种包装袋能正好把这些笔记本装完？ 【答案】解：60的因数有：1、60、2、30、3、20、4、15、5、12、6、10；选3本、4本、12本，这三种包装袋能正好把这些笔记本装完。 答：选3本、4本、12本，这三种包装袋能正好把这些笔记本装完。 【思路点拨】先写出60的因数，是60的因数的包装方法能正好把这些笔记本装完。 20．（2023五上·深圳）五(1)班有48名同学报名参加义务劳动，老师把他们分成人数相等的若干个小组。要求组数大于2个组，小于16个组，有几种分法？每种分法每组多少人？ 【答案】解：48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8， 可以分给3组，每组16人， 可以分给4组，每组12人， 可以分给12组，每组4人， 可以分给6组，每组8人， 可以分给8组，每组6人， 答：有5种分法；分给3组，每组16人；分给4组，每组12人；分给12组，每组4人；分给6组，每组8人；分给8组，每组6人。 【思路点拨】先求出所有积是48的两个自然数因数，其中一个因数是组数，一个因数是每组的人数；再根据 组数大于2小于16来解答。 21．（2023五上·罗湖月考）妈妈准备把自己手工制作的36块月饼装在盒子里，每个盒子都装得同样多，有几种不同的装法？每种装法各需要几个盒子？每个盒子里装多少块月饼？ 【答案】解：36的因数有1、36、2、18、3、12、4、9、6，有9中不同的装法，分别是： ①需要1个盒子，这个盒子里装36块月饼； ②需要2个盒子，平均每个盒子装18块月饼； ③需要3个盒子，平均每个盒子装12块月饼； ④需要4个盒子，平均每个盒子装9块月饼； ⑤需要6个盒子，平均每个盒子装6块月饼； ⑥需要9个盒子，平均每个盒子装4块月饼； ⑦需要12个盒子，平均每个盒子装3块月饼； ⑧需要18个盒子，平均每个盒子装2块月饼； ⑨需要36个盒子，平均每个盒子装1块月饼。 【思路点拨】先写出36的因数，只要是36的因数，每个盒子里都是可以装的个数。 22．（2022五上·枞阳期中）体育课上，老师让60名同学分组做游戏，要求每组人数相同，且每组不多于15名同学，不少于8名同学，有哪几种分法，每组有多少人？ 【答案】解：60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10； 有3种分法： 可以分成4组，每组15人； 可以分成5组，每组12人； 可以分成6组，每组10人。 【思路点拨】每组人数×组数=60人，每组人数不多于15且不少于8，符合这两个条件即可。 23．（2022五上·政和期中）实验小学学校植物园里种植了若干行的月季花，每行的月季花的棵数是相同的。如表是几位一年级同学数出的月季花总棵数，其中只有一位同学数对了，聪明的你知道他是谁吗？说明理由。 陈明 王一 许强 张雪 41棵 43棵 45棵 47棵 【答案】解：经过查找，只有45÷5＝9， 表示共5行，每行植9棵；或共9行，每行植5棵， 故这位同学是许强。 答：这位同学是许强。 【思路点拨】行数×列数=月季花的总数，根据题意41棵、43棵、47棵舍去，是45棵。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$