第16课 正多边形-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第16课 正多边形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解正多边形的概念. 2.了解正多边形与圆的关系:任何一个正多边形都有一个外接圆. 3.了解正多边形的-般画法. 4.会用尺规作正六边形. ( 知识精讲 ) 知识点01 正多边形的相关概念 1.正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形； 2.正多边形的对称性：任何正n边形都是轴对称图形，且对称轴有n条对称轴.当n为偶数时，正n边形是中心对称图形. 知识点01 正多边形与圆 2.经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆的内接正多边形； 3.任何正多边形都有一个外接圆； ( 能力拓展 )考点01 正多边形的计算 【典例1】如图，正六边形ABCDEF中，AM＝BN，连接MF、AN交于点P． （1）求证：△AMF≌△BNA． （2）求∠FPN的度数． 【即学即练1】如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC、BD，相交于点P，若⊙O的半径为1． （1）求AC的长； （2）求∠APD的度数． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如果一个正多边形每一个外角都等于60°，那么这个正多边形的边数是（　　） A．四 B．五 C．六 D．七 2．如果一个正多边形的每一个内角是150°，那么这个正多边形的边数为（　　） A．16 B．12 C．8 D．6 3．正六边形是旋转对称图形，它绕其旋转中心旋转一定的角度，能和自身重合，则这个角度至少为（　　） A．30° B．60° C．120° D．180° 4．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 5．在2023年糖酒会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，小华量得展台中一边与对角线的夹角∠ACB＝12°，则这个正多边形的边数是（　　） A．10 B．12 C．15 D．18 6．如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形纸片的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知正六边形ABCDEF的半径为6，则这个正六边形的面积为（　　） A．54 B．54 C．36 D．36 9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，若P为上的一点，则∠APD的度数为（　　） A．36° B．60° C．72° D．108° 10．在一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的一个外角的度数是 　 　°． 11．若一个正多边形的一个内角比一个外角大108°，则这个正多边形的边数是 　 　． 12．一个多边形的所有内角与它的所有外角之和是1260°． （1）求该多边形的边数． （2）若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 13．在一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形的每一个外角的度数． 14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O． （1）若P是上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数； （2）已知△ADF的面积为． ①求∠DAF的度数； ②求⊙O的半径． 题组B 能力提升练 15．如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 16．如图，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝（　　） A．75° B．54° C．72° D．60° 17．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，若⊙O的半径为6，则四边形ACDF的周长是（　　） A． B． C． D．6+12 18．如图，在正五边形ABCDE中，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM＝BN，连接AN，EM交于点O，则∠EOA＝　 　． 19．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题． （1）将表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 … 18 ∠α的度数 　 　 　 　 　 　 　 　 … 　 　 （2）根据规律，计算正八边形中∠α的度数． （3）根据发现的规律，是否存在一个正a边形，使其中的∠α＝21°若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 20．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨： 甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形． 乙同学：我知道，边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形… 丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形． （1）如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC＝　 　，请简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由． （2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等． （3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n（n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）． 题组C 培优拔尖练 21．如图，已知正六边形ABCDEF中，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP+BP的值最小时，BP与HG的夹角（锐角）度数为（　　）度． A．45 B．60 C．75 D．30 22．如图，在正六边形ABCDEF内部以ED为边作正方形EDHG，连接HC．已知，则点H到BC的距离为 　 　． 23．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形． （1）若⊙O的半径为1，则六边形ABCDEF的周长为 　 　； （2）设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝　 　． 24．已知，正六边形ABCDEF 的边长为2，点P在它的边上，当△ABP为等腰三角形时，AP的长为 　 　． 25．已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点，连接BP交AC于点E． （1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD； （2）如图2，若图中PE＝OE，求的值． 26．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC； （2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB． ( 21 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16课 正多边形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解正多边形的概念. 2.了解正多边形与圆的关系:任何一个正多边形都有一个外接圆. 3.了解正多边形的-般画法. 4.会用尺规作正六边形. ( 知识精讲 ) 知识点01 正多边形的相关概念 1.正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形； 2.正多边形的对称性：任何正n边形都是轴对称图形，且对称轴有n条对称轴.当n为偶数时，正n边形是中心对称图形. 知识点01 正多边形与圆 2.经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆的内接正多边形； 3.任何正多边形都有一个外接圆； ( 能力拓展 )考点01 正多边形的计算 【典例1】如图，正六边形ABCDEF中，AM＝BN，连接MF、AN交于点P． （1）求证：△AMF≌△BNA． （2）求∠FPN的度数． 【思路点拨】（1）由正五边形的性质得出AB＝AF，∠FAM＝∠ABN＝120°，由SAS证明△AFM≌△BAN，看得出结论； （2）由△AFM≌△BAN得出∠AFM＝∠BAN，由三角形的外角性质和三角形内角和定理求出∠APF的度数，即可得出结果． 【解析】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝AF，∠FAM＝∠ABN＝120°， 在△AFM和△BAN中， ， ∴△AFM≌△BAN（SAS）， （2）解：∵△AFM≌△BAN（SAS） ∴∠AFM＝∠BAN， ∵∠APF＝∠AMF+∠BAN＝∠AFM+∠AMF＝180°﹣120°＝60°， ∴∠FPN＝180°﹣60°＝120°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正六边形的性质，熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键． 【即学即练1】如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC、BD，相交于点P，若⊙O的半径为1． （1）求AC的长； （2）求∠APD的度数． 【思路点拨】（1）连接OA，OB，OB与AC交于点Q，先根据正八边形和圆的性质求出∠AOB，再根据特殊角三角函数值求出AC的长； （2）根据圆周角定理和三角形的外角定理即可求出∠APD． 【解析】解：（1）如图，连接OA，OB，设OB与AC交于点Q， 由题意可知，QA＝QC，OB⊥AC， ∵ABCDEFGH是正八边形， ∴∠AOB＝＝45°， ∴QA＝OQ＝， ∴AC＝2QA＝； （2）∵所对的圆心角为5∠AOB＝225°， ∴所对的圆周角为∠ABD＝×225°＝112.5°， ∵∠BAC＝×45°＝22.5°， ∴∠APD＝∠ABD+∠BAC＝135°． 【点睛】本题考查了正八边形与圆的综合，熟练运用正八边形的性质，圆周角定理是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如果一个正多边形每一个外角都等于60°，那么这个正多边形的边数是（　　） A．四 B．五 C．六 D．七 【思路点拨】根据正多边形的每一个外角都相等，且外角和是360°进行计算即可． 【解析】解：如果一个正多边形每一个外角都等于60°，那么这个正多边形的边数是＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握“正多边形的每一个外角都相等，且外角和是360°”是正确解答的关键． 2．如果一个正多边形的每一个内角是150°，那么这个正多边形的边数为（　　） A．16 B．12 C．8 D．6 【思路点拨】根据正多边形的一个内角是150°，则知该正多边形的一个外角为30°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数． 【解析】解：∵正多边形的一个内角是150°， ∴该正多边形的一个外角为30°， ∵多边形的外角之和为360°， ∴边数n＝360÷30＝12， ∴该正多边形的边数是12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大． 3．正六边形是旋转对称图形，它绕其旋转中心旋转一定的角度，能和自身重合，则这个角度至少为（　　） A．30° B．60° C．120° D．180° 【思路点拨】求出正六边形的中心角的度数即可． 【解析】解：如图，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOA＝＝60°， ∴绕着点O顺时针或逆时针至少旋转60°才能与原正六边形重合， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，求出正六边形中心角的度数是正确解答的关键． 4．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【思路点拨】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解． 【解析】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°， ∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°， 如图，延长正五边形的两边相交于点O， 则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°， 360°÷36°＝10， ∵已经有3个五边形， ∴10﹣3＝7， 即完成这一圆环还需7个五边形． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形． 5．在2023年糖酒会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，小华量得展台中一边与对角线的夹角∠ACB＝12°，则这个正多边形的边数是（　　） A．10 B．12 C．15 D．18 【思路点拨】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠ABC 度数，进而利用正多边形内角和的计算方法列方程求解即可． 【解析】解：由题意可知，AB＝BC，∠ACB＝12°， ∴∠ABC＝180°﹣12°﹣12°＝156°， 设这个正多边形为正n边形，由多边形的内角和的计算方法可得， （n﹣2）×180°＝n×156°， 解得n＝15， 即这个正多边形是正十五边形， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的关键． 6．如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形纸片的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】先根据正多边形的定义把图形补充完整，再求解． 【解析】解：根据正多边形的定义把多边形补充完整如图； 有图形得：这个正多边形纸片是六边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的定义是解题的关键． 7．已知正六边形ABCDEF的半径为6，则这个正六边形的面积为（　　） A．54 B．54 C．36 D．36 【思路点拨】根据正六边形的性质，正三角形的性质以及直角三角形的边角关系，三角形面积的计算方法进行计算即可． 【解析】解：如图，由正六边形的性质可知，OA＝OB＝AB＝6，△AOB是正三角形， ∴OG＝OA＝3， ∴S正六边形＝6S△AOB ＝×6×3×6 ＝54． 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，正三角形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键． 9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，若P为上的一点，则∠APD的度数为（　　） A．36° B．60° C．72° D．108° 【思路点拨】根据正五边形的性质求出中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可． 【解析】解：如图，连接OA，OD，OE， ∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， ∴∠AOE＝∠DOE＝＝72°， ∴∠AOD＝2∠AOE＝144°， ∴∠APD＝∠AOD＝72°． 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 10．在一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的一个外角的度数是 　 　°． 【思路点拨】根据正多边形的中心角＝计算即可，根据平角的定义即可得到结论． 【解析】解：设正多边形的边数为n． 由题意可得：＝72°， ∴n＝5， ∴正多边形的一个内角的度数为＝108°， ∴该正多边形的一个外角的度数是180°﹣108°＝72°， 故答案为：72． 【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角＝． 11．若一个正多边形的一个内角比一个外角大108°，则这个正多边形的边数是 　 　． 【思路点拨】设这个正多边形的每个外角的度数为x，则每个内角为x+108°，利用多边形的外角与相邻的内角互补得到x+x+108°＝180°，解方程得x＝36°，然后根据n边的外角和为360°，即可得到这个多边形的边数． 【解析】解：设这个正多边形的每个外角的度数为x，则每个内角为x+108°， ∴x+x+108°＝180°， ∴x＝36°， ∴这个多边形的边数＝＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，多边形的外角和定理：熟记n边形的内角和为（n﹣2）×180°，n边形的外角和为360°是解题关键． 12．一个多边形的所有内角与它的所有外角之和是1260°． （1）求该多边形的边数． （2）若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 【思路点拨】（1）根据多边形的内角和定理列方程求解即可； （2）根据正多边形每个外角都相等，且外角和是360°，进行计算即可． 【解析】解：（1）设这个多边形的边数是n． 根据题意，得（n﹣2）×180°+360°＝1260°， 解得n＝7， ∴这个多边形的边数为7； （2）由（1）可得该多边形是正七边形， ∴每一个外角的度数＝， ∴每一个外角的度数为 ． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和与外角和定理是正确解答的前提． 13．在一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形的每一个外角的度数． 【思路点拨】（1）设这个多边形的边数为n，一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，则正多边形的内角和是外角和的3倍，据此列方程即可求解； （2）根据正多边形的外角都相等进行求解即可． 【解析】解：（1）设这个多边形的边数为n， ∵一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍， ∴正多边形的内角和是外角和的3倍， ∴（n﹣2）•180°＝360°×3， 解得n＝8， 答：这个多边形的边数是8； （2）360°÷8＝45°， 答：这个多边形的每一个外角的度数为45°． 【点睛】此题考查了正多边形的外角与内角问题，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O． （1）若P是上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数； （2）已知△ADF的面积为． ①求∠DAF的度数； ②求⊙O的半径． 【思路点拨】（1）在弧CD取一点P，连接BP、AP、FP、FO，利用弦和圆周角的关系即可求出∠BPF的值； （2）①证明△AOF是等边三角形即可求出；②利用三角函数求出，AD＝2AF，再根据△ADF的面积为即可求出． 【解析】解：（1）如图所示，在弧CD取一点P，连接BP、AP、FP、FO， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AF＝AB，， ∴， ∵AF＝AB， ∴∠APB＝∠APF＝30°， ∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝60°； （2）①∵∠A0F＝60°，AO＝FO， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠DAF＝60°； ②∵∠DAF＝60°， ∴，AD＝2AF， ∴， ∴AF＝2， 即⊙O的半径为2． 【点睛】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系． 题组B 能力提升练 15．如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】由完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正n边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可． 【解析】解：∵正五边形的每个内角为180°×（5﹣2）÷5＝108°， ∴组成的正多边形的每个内角为360°﹣2×108°﹣24°＝120°， ∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴形成的正多边形为正n边形，则， 解得：n＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形、多边形的内角与外角等知识，解答本题的关键是掌握正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 16．如图，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝（　　） A．75° B．54° C．72° D．60° 【思路点拨】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP＝∠COQ，结合图形计算即可． 【解析】解：连接OA、OB、OC， ∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴∠AOB＝∠BOC＝72°， ∵OA＝OB，OB＝OC， ∴∠OBA＝∠OCB＝54°， 在△OBP和△OCQ中，， ∴△OBP≌△OCQ，（SAS）， ∴∠BOP＝∠COQ， ∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC， ∴∠BOP＝∠QOC， ∵∠POQ＝∠BOP+∠BOQ，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC， ∴∠POQ＝∠BOC＝72°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键． 17．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，若⊙O的半径为6，则四边形ACDF的周长是（　　） A． B． C． D．6+12 【思路点拨】根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出AF，DF即可． 【解析】解：如图，连接OA，OF，OD，过点O作OM⊥DF于点M，则FM＝DM＝DF， ∵点O是正六边形ABCDEF的中心， ∴∠AOF＝＝60°， ∵OA＝OF， ∴△AOF是正三角形， ∴AF＝OA＝6， 在Rt△FOM中，∠OFM＝90°﹣60°＝30°，OF＝6， ∴FM＝OF＝3， ∴DF＝2FM＝6， ∴四边形ACDF的周长是2AF+2DF＝12+12， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 18．如图，在正五边形ABCDE中，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM＝BN，连接AN，EM交于点O，则∠EOA＝　 　． 【思路点拨】根据正五边形的性质得到∠B＝∠EAM＝108°，AB＝AE，根据全等三角形的性质得到∠BAN＝∠AEM，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【解析】解：在正五边形ABCDE中，∠B＝∠EAM＝108°，AB＝AE， 在△ABN与△EAM中， ， ∴△ABN≌△EAM（SAS）， ∴∠BAN＝∠AEM， ∵∠AEM+∠EAO＝∠BAN+∠AEM＝∠BAE＝108°， ∴∠AOE＝180°﹣（∠AEO+∠OAE）＝72°， 故答案为：72°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正多边形与圆，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 19．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题． （1）将表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 … 18 ∠α的度数 　 　 　 　 　 　 　 　 … 　 　 （2）根据规律，计算正八边形中∠α的度数． （3）根据发现的规律，是否存在一个正a边形，使其中的∠α＝21°若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据正多边形内角和的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据正八边形内角和的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可； （3）由（1）（2）的计算方法列方程求解，根据n的值进行判断即可． 【解析】解：（1）如图1，∵三角形ABC是正三角形， ∴∠α＝∠B＝＝60°， 如图2，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝＝90°，AB＝BC， 在△ABC中， ∠α＝＝45°， 如图3，∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠B＝＝108°，AB＝BC， 在△ABC中， ∠α＝＝36°， 如图4，∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠B＝＝120°，AB＝BC， 在△ABC中， ∠α＝＝30°， …… ∵正十八边形， ∴正十八边形的一个内角为＝160°， 由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得， ∠α＝＝10°， 故答案为：60°，45°，36°，30°，10°； （2）正八边形的一个内角的度数为＝135°， 由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得， ∠α＝＝22.5°； （3）由题意得， 正n边形的一个内角的度数为， 根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得， 2∠α+＝180°， 即42°+＝180°， 解得n＝， 由于n表示整数， 所以不存在一个正a边形，使其中的∠α＝21°． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的内角和定理，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的关键． 20．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨： 甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形． 乙同学：我知道，边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形… 丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形． （1）如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC＝　 　，请简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由． （2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等． （3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n（n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）． 【思路点拨】（1）先根据多边形内角和定理求出正五边形的内角和，再求出各角的度数；根据同弧所对的圆周角相等，得出＝，利用等式的性质，两边同时减去 即可得到＝根据同弧所对的弦相等，得出DC＝AE； （2）由图知∠AFC对，由＝，而∠DAF对的＝+＝+＝，故可得出∠AFC＝∠DAF．，同理可证，其余各角都等于∠AFC，由此即可得出结论； （3）根据（1）、（2）的证明即可得出结论． 【解析】解：（1）∵五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠ABC＝＝108°， 理由：∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，∠A对着，∠B对着， ∴＝， ∴﹣＝﹣，即＝， ∴BC＝AE． 同理可证其余各边都相等， ∴五边形ABCDE是正五边形； （2）由图知∠AFC对， ∵＝，而∠DAF对的＝+＝+＝， ∴∠AFC＝∠DAF． 同理可证，其余各角都等于∠AFC， 故图2中六边形各角相等； （3）由（1）、（2）可知，当n（n≥3，n为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形； 当n（n≥3，n为整数）时偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形． 【点睛】本题考查的是正多边形形和圆，熟知弧、圆心角、弦的关系是解答此题的关键． 题组C 培优拔尖练 21．如图，已知正六边形ABCDEF中，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP+BP的值最小时，BP与HG的夹角（锐角）度数为（　　）度． A．45 B．60 C．75 D．30 【思路点拨】如图，连接PF，BF，BF交GH于点P′，连接AP'．首先证明当点P与点P′重合时，PA+PB的值最小，利用等腰三角形的性质求出∠AFB＝30°即可解决问题． 【解析】解：如图，连接PF，BF，BF交GH于点P′，连接AP′． ∵正六边形ABCDEF中，G，H分别是AF和CD的中点， ∴GH是正六边形的对称轴， ∴PA＝PF， ∴PA+PB＝PB+PF， ∵PB+PF≥BF， ∴当点P与点P′重合时，PA+PB的值最小， ∵∠BAF＝120°，AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB＝30°， ∵∠FGP′＝90°， ∴∠FP′G＝60°， 故答案为：B． 【点睛】本题考查正多边形与圆，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最短问题，属于中考常考题型． 22．如图，在正六边形ABCDEF内部以ED为边作正方形EDHG，连接HC．已知，则点H到BC的距离为 　 　． 【思路点拨】根据正六边形和正方形的性质得出∠HDC＝30°，过点H作HQ⊥BC于Q，利用等腰直角三角形的性质计算即可． 【解析】解：（1）∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴CD＝FE＝DE，∠BCD＝∠CDE＝∠FED＝＝120°， ∵四边形GEDH是正方形， ∴GE＝ED＝DH，∠GED＝∠EDH＝90°， ∴∠HDC＝120°﹣90°＝30°， 如图，过点H作HQ⊥BC于Q， ∵∠HDC＝30°，DH＝CD， ∴∠DHC＝∠HCD＝75°， 在Rt△HQC中，∠HCQ＝∠DCB﹣∠DCH＝120°﹣75°＝45°，HC＝3， ∴HQ＝CQ＝3， 即点H到DE的距离是3， ∴点H到BC的距离为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形，正方形的性质，等腰直角三角形的性质是正确解答的关键． 23．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形． （1）若⊙O的半径为1，则六边形ABCDEF的周长为 　 　； （2）设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝　 　． 【思路点拨】（1）连接OA、OB，则OA＝OB＝1，由圆内接正六边形的性质得∠AOB＝60°，则△AOB是等边三角形，所以AB＝OA＝1，则六边形ABCDEF的周长为6，于是得到问题的答案； （2）连接OC、OE，则OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠COB＝60°，所以△AOB和△COB都是等边三角形，由AB＝AO，CB＝CO，AC＝AC，根据“SSS”证明△ABC≌△AOC，同理△CDE≌△COE，△EFA≌△EOA，则S1＝2（S△AOC+S△COE+S△EOA）＝2S2，所以＝2，于是得到问题的答案． 【解析】解：（1）连接OA、OB，则OA＝OB＝1， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠AOB＝×360°＝60°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝1， ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA＝6AB＝6， ∴六边形ABCDEF的周长为6， 故答案为：6． （2）连接OC、OE，则OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠COB＝×360°＝60°， ∴△AOB和△COB都是等边三角形， ∴AB＝AO，CB＝CO， ∵AC＝AC， ∴△ABC≌△AOC（SSS）， 同理△CDE≌△COE（SSS），△EFA≌△EOA（SSS）， ∴S△ABC＝S△AOC，S△CDE＝S△COE，S△EFA＝S△EOA， ∴S1＝S正六边形ABCDEF＝2（S△AOC+S△COE+S△EOA）＝2S△ACE＝2S2， ∴＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题重点考查正多边形与圆、正多边形的中心角的定义、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．已知，正六边形ABCDEF 的边长为2，点P在它的边上，当△ABP为等腰三角形时，AP的长为 　 　． 【思路点拨】根据圆内接正六边形的性质，垂径定理，等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系分三种情况分别进行计算即可． 【解析】解：如图1，当点P与点C重合时，AB＝BP，此时△ABP为等腰三角形， 连接AC，OB，OB与AC相交于点M，则OB⊥AC，垂足为M， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠ABC＝＝120°，AB＝BC， ∴∠BAM＝30°， 在Rt△ABM中，AB＝2，∠BAM＝30°， ∴AM＝AB＝， ∴AP＝AC＝2AM＝2； 如图2，当点P与点F重合时，AB＝AP，此时△ABP为等腰三角形， ∴AP＝AF＝AB＝2； 如图3，当点P在边DE的中点时，PA＝PB，此时△ABP为等腰三角形， 连接PO并延长交AB于点Q，则PQ是正六边形的对称轴， ∴PQ⊥AB， 连接OA，OB， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠AOB＝＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是正三角形， ∵OQ⊥AB， ∴AQ＝AB＝1， 在Rt△AOM中，AQ＝1，∠OAM＝60°， ∴OQ＝AQ＝， ∴PQ＝2OQ＝2， 在Rt△APQ中，AQ＝1，PQ＝2， ∴AP＝＝， 综上所述，AP＝2或AP＝2或AP＝， 故答案为：2或或． 【点睛】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握圆内接正六边形的性质，垂径定理，等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 25．已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点，连接BP交AC于点E． （1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD； （2）如图2，若图中PE＝OE，求的值． 【思路点拨】（1）连接DE，由是正方形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD＝OC，由等腰直角三角形的性质得到EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，∠EBD＝∠EDB， 由圆周角的性质得到∠POD＝∠ABD＝22.5°，进而得到∠EDC＝67.5°，∠CED＝67.5°，根据等腰三角形的判定即可得到CE＝CD； （2）根据正方形的性质和圆周角定理及角平分线的性质证得∠1＝∠2＝∠PDE，由三角形内角和定理求出∠2＝30°，根据含30°直角三角形的性质和勾股定理得到DE＝2OE，OD＝OE，进而得到OD＝OA＝OE，AE＝（﹣1）OE，EC＝（+1）OE，代入即可得到结果． 【解析】（1）证明：如图1，连接DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OB＝OD＝OC， ∴EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°， ∴∠EBD＝∠EDB， ∵点P是弧AD的中点， ∴∠PBD＝∠ABD＝×∠AOD＝22.5°， ∴∠EDC＝∠CDO+∠ODE＝45°+22.5°＝67.5°， ∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠CED＝∠EDC， ∴CE＝CD； （2）解：如图2，连接DE，DP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠EOD＝90°，OA＝OD， ∴∠P＝∠BAD＝90°， ∵PE＝OE，DE＝DE， ∴Rt△PDE≌Rt△ODE（HL）， ∴∠PDE＝∠2，由（1）知∠1＝∠2， ∴∠1＝∠2＝∠PDE， ∴∠1+∠2+∠PDE＝90°， ∴∠2＝30°， ∴OE＝DE， ∴DE＝2OE， ∴OD＝＝OE， ∴＝， ∴OD＝OA＝OE， ∴AE＝OA﹣OE＝（﹣1）OE，EC＝OE+OC＝（+1）OE， ∴＝＝2﹣． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正方形和圆，圆周角定理，角平分线的判定，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线，证得EA＝ED，是解决问题的关键． 26．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC； （2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB． 【思路点拨】（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE＝PC，∠E＝∠3＝60°，∠EBC＝∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA＝BE＝PB+PC； （2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC＝AE，可得PA＝PC+PB； 【解析】证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1， ∵A、B、P、C四点共圆， ∴∠BAC+∠BPC＝180°， ∵∠BPC+∠EPC＝180°， ∴∠BAC＝∠CPE＝60°， ∵PE＝PC， ∴△PCE是等边三角形， ∴CE＝PC，∠E＝60°； 又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP， ∴∠BCE＝∠ACP， ∵△ABC、△ECP为等边三角形， ∴CE＝PC，AC＝BC， 在△BEC和△APC中， ， ∴△BEC≌△APC（SAS）， ∴PA＝BE＝PB+PC； （2）过点B作BE⊥PB交PA于E，连接OA，OB．如图2， ∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90° ∴∠1＝∠3， ∵∠APB＝∠AOB＝45°， ∴BP＝BE， ∴PE＝PB， 在△ABE和△CBP中， ， ∴△ABE≌△CBP（SAS）， ∴PC＝AE， ∴PA＝AE+PE＝PC+PB； 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质和全等三角形的判定方法才能灵活运用解决综合性的习题． ( 21 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$