第15课 圆内接四边形-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第15课 圆内接四边形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念. 2.理解圆的内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补. 3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算. ( 知识精讲 ) 知识点01 圆内接四边形 圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． 知识点02 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补． ( 能力拓展 )考点01 圆内接四边形的性质的应用 【典例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，过点C作CE，使得CD＝CE，交AD的延长线于点E． （1）求证：AB＝AE． （2）若AD＝DE＝2，求CD的长． 【即学即练1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且DA平分∠BDF． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O半径． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝25°，则∠D的度数是（　　） A．25° B．65° C．115° D．155° 2．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（　　） A．45° B．60° C．90° D．135° 3．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．1：4：2：3 D．1：2：4：3 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝150°，AC＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．2 B．6 C．4 D．8 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OC、OD，若∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠OCD的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O．若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为（　　） A．45° B．60° C．90° D．120° 7．已知四边形ABCD内接于圆，且∠A＝3∠C，则∠C＝　 　． 8．在圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝30°，∠B与∠C的度数之比是1：3，则∠B＝　 　°，∠C＝　 　°，∠D＝　 　°． 9．如图，∠BCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，连接OB、OD，若∠BOD＝144°，则∠BCE的度数为 　 　°． 10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，连接BD，若∠DBC＝30°，则∠BAD的度数是 　 　°． 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD的度数为 　 　． 12．如图，点D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接DB，DC，DB＝DC，求证：AD平分∠MAC． 13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若AB＝5，AD＝6，求CD的长度． 14．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°． （1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长； （2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长． 题组B 能力提升练 15．四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝3：m：4：n，则m，n满足条件（　　） A．3m＝4n B．4m＝3n C．m+n＝7 D．m+n＝180° 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，OD，若OD⊥AC，∠B＝64°，则∠DAC的度数是（　　） A．36° B．32° C．34° D．26° 17．如图，点A、B、C、D、E均在⊙O上，连接AB、BC、CD、AE，且∠A+∠C＝155°，则弧DE所对圆心角的度数为（　　） A．25° B．30° C．50° D．55° 18．如图，四边形ABCD内接于圆，点E在上，若，，∠BCD＝105°，则∠CDE为 　 　度． 19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AM⊥CB交CB延长线于点M，BA平分∠MBD，连接BD，若AM＝4，，则MC的长为 　 　． 20．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． 如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E． 求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． 21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论． （2）证明：PA+PB＝PC． 题组C 培优拔尖练 22．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（　　） A．42° B．41°20' C．41° D．40°20' 23．如图，圆内接四边形ABCD的对角线BD平分∠ABC，且∠BAC＝∠ADB，过点C作CE∥AD，若AC＝AD，BE＝，则圆的半径的长为（　　） A． B． C．1 D．2 24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC＝CD，将△ABC绕点C旋转至△EDC，则下列结论：①AC平分∠BAD；②点A，D，E在同一条直线上；③若∠BAD＝60°，则；④若AD﹣AB＝CD，则∠ABC＝120°；其中一定正确的是 　 　（填序号）． 25．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是　 　（填序号）． ①∠MAC＝∠PBC， ②△ABC是等边三角形， ③PC＝PA+PB， ④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝． 26．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 27．如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC； ②EF＝BD． ( 21 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15课 圆内接四边形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念. 2.理解圆的内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补. 3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算. ( 知识精讲 ) 知识点01 圆内接四边形 圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． 知识点02 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补． ( 能力拓展 )考点01 圆内接四边形的性质的应用 【典例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，过点C作CE，使得CD＝CE，交AD的延长线于点E． （1）求证：AB＝AE． （2）若AD＝DE＝2，求CD的长． 【思路点拨】（1）根据圆的性质求出∠BAC＝∠EAC，根据等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质及邻补角定义求出∠B＝∠E，利用AAS证明△ABC≌△AEC，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据圆周角定理求出BD是⊙O的直径，则∠BCD＝90°，再根据勾股定理求解即可． 【解析】（1）证明：如图，连接AC． ∵BC＝CD， ∴， ∴∠BAC＝∠EAC， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE，BC＝CE， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDE+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠CDE， ∴∠B＝∠E， 在△ABC与△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（AAS）， ∴AB＝AE； （2）解：如图，连接BD． ∵∠BAD＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， 由（1）可得AB＝AE． ∵AD＝DE＝2， ∴AE＝AB＝4． 在 Rt△ABD 中，， 在Rt△BCD中，． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【即学即练1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且DA平分∠BDF． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O半径． 【思路点拨】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答； （2）过点A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质以及垂径定理可得AG过圆心，利用勾股定理即可求解． 【解析】（1）证明：∵AD平分∠BDF， ∴∠ADF＝∠ADB， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ADF＝∠ABC， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC； （2）解：过点A作AG⊥BC于G，连接OC， ∵AB＝AC， ∴BG＝CG＝BC＝5， ∴AG＝＝＝12，AG垂直平分BC， ∵OB＝OC， ∴圆心O在BC的垂直平分线AG上， ∴OG⊥BC， 设⊙O的半径为r， 在Rt△OBG中，OB2＝OG2+BG2， ∴r2＝（12﹣r）2+52， ∴r＝， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝25°，则∠D的度数是（　　） A．25° B．65° C．115° D．155° 【思路点拨】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝25°， ∴∠D＝180°﹣25°＝155°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 2．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（　　） A．45° B．60° C．90° D．135° 【思路点拨】利用圆内接四边形的对角互补得到∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：2，然后计算∠D的度数． 【解析】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：2， 而∠B+∠D＝180°， ∴∠D＝×180°＝90°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 3．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．1：4：2：3 D．1：2：4：3 【思路点拨】利用圆内接四边形的对角互补判断即可． 【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据内接四边形的对角互补的性质解答． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝150°，AC＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．2 B．6 C．4 D．8 【思路点拨】根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可． 【解析】解：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC∠ABC＝180°， ∵∠ADC＝150°， ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝2AC＝2×4＝8， ∴⊙O的半径长为4， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OC、OD，若∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠OCD的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【思路点拨】根据三角形的内角和定理和圆周角定理解答即可． 【解析】解：∵∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，OB＝OC＝OD， ∴∠BOD＝360°﹣2∠BCD＝150°， ∵∠BOD＝∠BOC+∠COD，∠BOC＝2∠COD， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，多边形内角和，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的判定及性质是关键． 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O．若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为（　　） A．45° B．60° C．90° D．120° 【思路点拨】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题． 【解析】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β； ∵四边形ABCO是菱形， ∴∠ABC＝∠AOC； ∵∠ADC＝β，∠AOC＝α；而α+β＝180°， ∴， 解得：β＝120°，α＝60°，∠D＝60°， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用． 7．已知四边形ABCD内接于圆，且∠A＝3∠C，则∠C＝　 　． 【思路点拨】圆内接四边形的对角互补，由此即可求解． 【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠A＝3∠C， ∴∠C＝45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 8．在圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝30°，∠B与∠C的度数之比是1：3，则∠B＝　 　°，∠C＝　 　°，∠D＝　 　°． 【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可知，圆内接四边形的对角互补，已知∠A＝30°，可求出∠C＝150°，已知∠B与∠C的度数之比是1：3，求出∠B＝50°，进而求出∠D＝130°． 【解析】解：∵∠A＝30°，∠A+∠C＝180°， ∴∠C＝150°， ∵∠B与∠C的度数之比是1：3， ∴∠B＝50°， ∵∠B+∠D＝180°， ∴∠D＝130°． 故答案为：50，150，130． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握性质并灵活运用，圆内接四边形的对角互补． 9．如图，∠BCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，连接OB、OD，若∠BOD＝144°，则∠BCE的度数为 　 　°． 【思路点拨】根据圆周角定理计算∠A，再根据圆内接四边形的性质求出∠BCD． 【解析】解：由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝144°， ∴∠A＝72°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝108°， ∴∠BCE＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°， 故答案为：72． 【点睛】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，连接BD，若∠DBC＝30°，则∠BAD的度数是 　 　°． 【思路点拨】根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠BCD，再根据圆内接四边形的性质求出∠BAD． 【解析】解：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∵∠DBC＝30°， ∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°， 故答案为：120． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，事件圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD的度数为 　 　． 【思路点拨】根据圆内接四边形的性质，构建方程解决问题即可． 【解析】解：设∠BAD＝x°，则∠BOD＝2x°， ∵∠BOD＝∠BCD， ∴∠BCD＝∠BOD＝2x°， ∵∠BAD+∠BCD＝180°， ∴3x°＝180°， ∴x＝60， ∴∠BAD＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 12．如图，点D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接DB，DC，DB＝DC，求证：AD平分∠MAC． 【思路点拨】首先根据等腰三角形的等角对等边的性质得到∠DBC＝∠DCB，然后根据圆内接四边形的外角等于内对角和同弧所对的圆周角相等得到∠MAD＝∠DCB、∠DAC＝∠DBC，从而证得结论． 【解析】证明：∵DB＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB， 又∵∠MAD＝∠DCB（圆内接四边形的外角等于内对角），∠DAC＝∠DBC， ∴∠MAD＝∠DAC， 即AD平分∠MAC． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解圆内接四边形的外角等于内对角，难度不大． 13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若AB＝5，AD＝6，求CD的长度． 【思路点拨】（1）根据圆周角定理可得∠ABC＝90°，由∠ADB＝∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB＝∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【解析】解：（1）△ABC是等腰直角三角形， 证明过程如下： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴AB＝BC， ∴AB＝BC， 又∵∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝AB＝， ∴AC＝， Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝6，则CD＝， ∴CD＝8． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 14．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°． （1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长； （2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长． 【思路点拨】（1）如图1，先利用圆周角定理得到BD为直径，即BD＝12，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形求出AB； （2）如图2，作BH⊥AC于H，先利用圆周角定理得到BD为直径，利用勾股定理计算出BD＝，再证明△CDB为等腰直角三角形得到BC＝BD＝，接着在Rt△ABH中计算出AH＝BH＝，然后在Rt△BCH中计算出CH＝，从而得到AC的长． 【解析】解：（1）∵∠DAB＝90° ∴BD是直径， ∴BD＝12， ∴2AB2＝144， ∴AB＝； （2）如图2，连接BD， ∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3， ∴BD＝， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∴＝， ∴DC＝CB， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DCB＝90°， ∴BC＝， 作BH⊥AC， ∵∠CAB＝45°， ∴AH＝BH＝，CH＝， ∴AC＝． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质． 题组B 能力提升练 15．四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝3：m：4：n，则m，n满足条件（　　） A．3m＝4n B．4m＝3n C．m+n＝7 D．m+n＝180° 【思路点拨】根据圆内接四边形的对角互补，可得∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，所以∠A+∠C所占的份数一定和∠B+∠D所占的份数相等，则m+n＝7． 【解析】解：∵圆内接四边形ABCD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°， ∵∠A：∠B：∠C：∠D＝3：m：4：n， ∴m+n＝7． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，OD，若OD⊥AC，∠B＝64°，则∠DAC的度数是（　　） A．36° B．32° C．34° D．26° 【思路点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据垂径定理得到＝，得到AD＝CD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∵∠B＝64°， ∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°， ∵OD⊥AC， ∴＝， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝（180°﹣116°）＝32°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理、等腰三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 17．如图，点A、B、C、D、E均在⊙O上，连接AB、BC、CD、AE，且∠A+∠C＝155°，则弧DE所对圆心角的度数为（　　） A．25° B．30° C．50° D．55° 【思路点拨】连接OE、OD，AD，根据圆内接四边形的性质得到∠C+∠BAD＝180°，由∠BAE+∠C＝155°求出∠EAD＝25°，再根据圆周角定理解答即可． 【解析】解：如图，连接OE、OD，AD， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠BAD＝180°， ∵∠BAE+∠C＝155°， ∴∠EAD＝180°﹣155°＝25°， ∴∠EOD＝50°，即弧DE所对的圆心角的度数为50°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 18．如图，四边形ABCD内接于圆，点E在上，若，，∠BCD＝105°，则∠CDE为 　 　度． 【思路点拨】连接AC，AE，先根据圆内接四边形的性质求出∠BAD，然后根据求出∠CAE即可解答． 【解析】解：连接AC，AE， ∵∠BCD＝105°， ∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣105＝75°， ∵， ∴∠BAC＝∠CAE＝∠DAE＝25°， ∴∠CDE＝∠CAE＝25°． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用． 19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AM⊥CB交CB延长线于点M，BA平分∠MBD，连接BD，若AM＝4，，则MC的长为 　 　． 【思路点拨】连接AC，如图，先根据圆内接四边形的性质得到∠ABM＝∠ADC，再证明∠ACD＝∠ADC得到AC＝AD＝4，然后利用勾股定理计算MC的长． 【解析】解：连接AC，如图， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ABM+∠ABC＝180°， ∴∠ABM＝∠ADC， ∵BA平分∠MBD ∴∠ABD＝∠ABM， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴AC＝AD＝4， ∵AM⊥BC， ∴∠AMC＝90°， 在Rt△AMC中，MC＝＝＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理． 20．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． 如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E． 求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． 【思路点拨】延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论． 【解析】证明：如图2，延长BC到点T， ∵四边形FBCD内接于⊙O， ∴∠FDC+∠FBC＝180°， ∵∠FDE+∠FDC＝180°， ∴∠FDE＝∠FBC， ∵DF平分∠ADE， ∴∠ADF＝∠FDE， ∵∠ADF＝∠ABF， ∴∠ABF＝∠FBC， ∴BE是∠ABC的平分线， ∵＝， ∴∠ACD＝∠BFD， ∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°， ∴∠DCT＝∠BFD， ∴∠ACD＝∠DCT， ∴CE是△ABC的外角平分线， ∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理、三角形外角性质、熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论． （2）证明：PA+PB＝PC． 【思路点拨】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明； （2）在PC上截取PH＝PA，得到△APH为等边三角形，证明△APB≌△AHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可． 【解析】（1）解：△ABC是等边三角形， 理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）证明：在PC上截取PH＝PA， ∵∠APC＝60°， ∴△APH为等边三角形， ∴AP＝AH，∠AHP＝60°， 在△APB和△AHC中， ， ∴△APB≌△AHC（AAS） ∴PB＝HC， ∴PC＝PH+HC＝PA+PB． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 22．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（　　） A．42° B．41°20' C．41° D．40°20' 【思路点拨】根据圆内接四边形对角互补得出∠A+∠BCD＝180°，再根据三角形外角的性质得出∠CDF＝∠A+∠E，∠BCD＝∠F+∠CDF，由此得到2∠A+∠F+∠E＝180°，即可求解． 【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠CDF是△ADE的外角， ∴∠CDF＝∠A+∠E， ∵∠BCD是△CDF的外角， ∴∠BCD＝∠F+∠CDF， ∴∠BCD＝∠F+∠A+∠E， ∴∠A+∠F+∠A+∠E＝180°， ∴2∠A+∠F+∠E＝180°， ∵∠E＝54°41'，∠F＝43°19'， ∴2∠A+54°41'+43°19'＝180°， ∴∠A＝41°， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及三角形外角的性质，度分秒的换算，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 23．如图，圆内接四边形ABCD的对角线BD平分∠ABC，且∠BAC＝∠ADB，过点C作CE∥AD，若AC＝AD，BE＝，则圆的半径的长为（　　） A． B． C．1 D．2 【思路点拨】先根据圆周角定理得出∠BAC＝∠BDC，进而得出∠ADB＝∠CDB，则可得出BD是圆的直径及BD垂直平分AC，再得出△ACD是等边三角形，得出∠ADC＝60°，进一步得出∠EBC＝60°，在直角△BEC中，求出BC长，再利用∠BDC的正弦求出BD的长即可解决问题． 【解析】解：∵， ∴∠BAC＝∠BDC． ∵∠BAC＝∠ADB， ∴∠BDC＝∠CDB． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABD+∠ADB＝， ∴∠BAD＝90°， ∴BD是圆的直径， ∴BD垂直平分AC， ∴DA＝DC， 又∵AC＝AD， ∴AC＝AD＝DC， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60°， ∴∠ABC＝120°， ∴∠EBC＝60°． ∵CE∥AD， ∴∠E+∠BAD＝180°， ∴∠E＝90°． 在Rt△EBC中， ∴BC＝． 在Rt△BCD中， ∴BD＝， 即圆的直径为， ∴圆的半径为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键． 24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC＝CD，将△ABC绕点C旋转至△EDC，则下列结论：①AC平分∠BAD；②点A，D，E在同一条直线上；③若∠BAD＝60°，则；④若AD﹣AB＝CD，则∠ABC＝120°；其中一定正确的是 　 　（填序号）． 【思路点拨】由BC＝CD得，则∠BAC＝∠DAC，据此可对①进行判断；由旋转的性质得∠B＝∠CDE，再根据圆内接四边形的性质得∠B+∠ADC＝180°，进而得∠CDE+∠ADC＝180°，据此可对②进行判断；过点C作CH⊥AD于点H，易知∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝30°，由旋转的性质得∠CAD＝∠E＝30°，DE＝AB，则为AE＝AD+DE＝AB+AD，AC＝CE，进而得AE＝2HE，在Rt△ACH中由勾股定理可求得AH＝AC，则AE＝2AH＝AC，据此可对③进行判断；在AD上截取AM＝AB，连接CM，则MD＝CD，再证△AMC和△ABC全等得CM＝BC＝CD，由此可得△CMD为等边三角形，则∠MDC＝60°，然后根据圆内接四边形的性质可求出∠ABC的度数，据此可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解析】解：∵BC＝CD， ∴， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴AC平分∠BAD，故①正确； 由旋转的性质可知：∠B＝∠CDE， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∴∠CDE+∠ADC＝180°， ∴点A，D，E在同一条直线上，故②正确； 对于选项C， 过点C作CH⊥AD于点H，如图所示： ∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝30°， 由旋转的性质可知：∠CAD＝∠E＝30°，DE＝AB， ∴AE＝AD+DE＝AB+AD，AC＝CE， ∵CH⊥AD， ∴AH＝HE，则AE＝2HE， 在Rt△ACH中，∠CAD＝30°， ∴CH＝AC， 由勾股定理得：AH＝， ∴AE＝2AH＝AC， ∴AB+AD＝AC，故③不正确； 在AD上截取AM＝AB，连接CM，如图所示： ∴AD﹣AM＝AD﹣AB＝MD， 又∵AD﹣AB＝CD， ∴MD＝CD， ∵AC平分∠BAD， ∴∠MAC＝∠BAC， 在△AMC和△ABC中， ， ∴△AMC≌△ABC（SAS）， ∴CM＝BC， ∵BC＝CD， ∴CM＝CD， ∴CM＝CD＝MD， ∴△CMD为等边三角形， ∴∠MDC＝60°， 即∠ADC＝60°， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝120°． 故④正确． 综上所述：正确的结论为①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、图形的旋转及性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关定理，正确地添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解答此题的关键． 25．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是　 　（填序号）． ①∠MAC＝∠PBC， ②△ABC是等边三角形， ③PC＝PA+PB， ④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝． 【思路点拨】根据圆内接四边形的性质和平角的定义即可得到∠MAC＝∠PBC；故①正确；根据圆周角定理得到∠ABC＝∠BAC＝60°，推出△ABC是等边三角形，故②正确；根据圆内接四边形的性质得到∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；根据平行线的性质得到∠M+∠APB＝180°，求得∠M＝∠ACB；根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，求得∠M＝∠BPC；根据全等三角形的性质得到PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；根据等边三角形的性质得到PC＝PA+PB，故③正确；根据全等三角形的性质得到AM＝PB＝2，求得PM＝PA+AM＝1+2＝3，由三角形的面积公式得到△PCM的面积＝CM2＝，故④正确． 【解析】解：∵A、P、B、C是⊙O上的四点， ∴∠PBC+∠PAC＝180°， ∵∠PAC+∠MAC＝180°， ∴∠MAC＝∠PBC；故①正确； ∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形，故②正确； ∵四边形APBC是⊙O的内接四边形， ∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°； ∵CM∥BP， ∴∠M+∠APB＝180°， ∴∠M＝∠ACB； 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°， ∴∠M＝∠BPC； 在△ACM与△BCP中， ， ∴△ACM≌△BCP（AAS）． ∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM； ∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°， ∴△MPC为等边三角形， ∴PC＝PM， ∴PC＝PA+PB，故③正确； ∵△ACM≌△BCP， ∴AM＝PB＝2， ∴PM＝PA+AM＝1+2＝3， ∵△PCM是等边三角形， ∴△PCM的面积＝CM2＝，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 26．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 【思路点拨】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°； （2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC＝∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BC＝BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4． 【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴BD平分∠ADC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°， ∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°； （2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE， ∴∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠AED＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴BD是圆的直径， ∴BD垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∵AC＝AD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60° ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠ADC＝30°， ∵CF∥AD， ∴∠F+∠BAD＝180°， ∴∠F＝90°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠FBC+∠ABC＝180°， ∴∠FBC＝∠ADC＝60°， ∴BC＝2BF＝4， ∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°， ∴BC＝BD， ∵BD是圆的直径， ∴圆的半径长是4． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形． 27．如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC； ②EF＝BD． 【思路点拨】（1）根据圆周角定理进行计算即可； （2）①利用圆内接四边形的外角等于它的内对角以及平行线的判定方法即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，圆周角定理进行解答即可． 【解析】（1）解：∵CD为直径， ∴∠CAD＝90°， ∵∠AFE＝∠ADC＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝∠ACD＝30°； （2）证明：①如图，延长AB， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠CBM＝∠ADC， 又∵∠AFE＝∠ADC， ∴∠AFE＝∠CBM， ∴EF∥BC； ②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG， ∵DG∥BC， ∴＝， ∴BD＝CG， ∵四边形ACGD是圆内接四边形， ∴∠GDE＝∠ACG， ∵EF∥DG ∴∠DEF＝∠GDE， ∴∠DEF＝∠ACG， ∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC， ∴∠AFE＝∠AGC， ∵AE＝AC， ∴△AEF≌△ACG（AAS）， ∴EF＝CG， ∴EF＝BD． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质以及平行四边形的性质是正确解答的关键． ( 21 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$