第14课 圆周角-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第14课 圆周角 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解圆周角的概念. 2.经历探索圆周角定理的过程. 3.掌握圆周角定理和它的推论. 4.会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 圆周角的概念 圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 知识点02 圆周角性质定理 1.圆周角性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2.推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等． 3.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． ( 能力拓展 )考点01 圆周角的概念 【典例1】下面图形中的角，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练1】下列四个图中，∠x是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 考点02 圆周角性质的应用 【典例2】如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC． （1）求证：GE＝BE； （2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长． 【即学即练2】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作圆O，分别交BC，AC于点D，E． （1）求证：BD＝DC． （2）若∠BAC＝50°，求，，的度数． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，若△BOC是等边三角形，则∠BAC的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 3．如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点P，连接BC，AD．若∠D＝35°，则∠C的大小为（　　） A．25° B．30° C．20° D．35° 4．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．90° 5．如图，已知C是⊙O上任一点，且∠C＝120°，则∠AOB＝（　　） A．110° B．120° C．130° D．100° 6．如图，⊙O中，点A是的中点，若∠BOA＝α，则∠ADC＝（　　） A．α B．2α C． D．90°﹣α 7．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若∠ADC＝60°，，则⊙O的半径为（　　） A． B．4 C． D．5 9．如图，在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若∠BPD＝45°，为40°，则为 　　°． 10．如图，矩形ABCD内接于⊙O，若，，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径．若∠ACD＝∠DBC，，AB＝3，则BC的长为（　　） A．3 B． C．5 D．4 12．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：＝． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 13．如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF． （2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长． 题组B 能力提升练 14．如图，AE是⊙O直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则CE的长为（　　） A．8 B．2 C．3 D．2 15．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AC，AD，若AB＝10，BC＝6，则BD的长为（　　） A． B． C． D．8 16．已知点A，B，C在⊙O上，若∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为 　　． 17．点A，B，C在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ACB的度数是 　 　． 18．如图，在半径为6的⊙O中，AB是直径，AC是弦，弦AD平分∠BAC，交BC于点E．若E是AD的中点，则AC的长是 　　． 19．如图，MN是⊙O的直径，MN＝6，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是 　　． 20．如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，，CE分别交AD、AB于点F、G． （1）求证：FA＝FG； （2）如图2，若点E与点A在直径的两侧，AB、CE的延长线交于点G，AD的延长线交CG于点F．问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 21．圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作∠AOB＝（如图①）； 圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等于它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”， 记作∠AOB＝（弧AB的度数+弧CD的度数）（如图①） 请回答下列问题： （1）如图②，猜测∠APB与、有怎样的等量关系，并说明理由； （2）如图③，猜测∠APB与、有怎样的等量关系，并说明理由． （提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用） 题组C 培优拔尖练 22．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝26，AC＝12，BD＝5，则PA+PB的最小值为（　　） A． B． C． D．15 23．（1）如图1，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若OE＝4，CD＝6，则圆的半径为 　　； （2）如图2，在⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，BD．若AC2+BD2＝8，则圆的半径为 　　． 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 　 　． 25．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD． （1）求证：BD＝DE． （2）若AB＝10，AC＝6，求BE的长． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14课 圆周角 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解圆周角的概念. 2.经历探索圆周角定理的过程. 3.掌握圆周角定理和它的推论. 4.会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 圆周角的概念 圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 知识点02 圆周角性质定理 1.圆周角性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2.推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等． 3.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． ( 能力拓展 )考点01 圆周角的概念 【典例1】下面图形中的角，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：∵圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． ∴是圆周角的是B． 故选：B． 【点评】此题考查了圆周角定义．注意圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． 【即学即练1】下列四个图中，∠x是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案． 【解答】解：根据圆周角定义： 即可得∠x是圆周角的有：C，不是圆周角的有：A，B，D． 故选：C． 【点评】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 考点02 圆周角性质的应用 【典例2】如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC． （1）求证：GE＝BE； （2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长． 【思路点拨】（1）由圆周角定理得到∠ECG＝∠ECB，由三角形内角和定理推出∠CGE＝∠CBE，得到CG＝CB，由等腰三角形的性质推出EG＝EB； （2）求出AB＝6+4＝10，得到OC＝OB＝AB＝5，求出OE＝OG+GE＝1+2＝3，由勾股定理求出CE＝＝4，由垂径定理即可得到CD＝2CE＝2×4＝8． 【解答】（1）证明：∵D是的中点， ∴∠ECG＝∠ECB， ∵CD⊥AB， ∴∠CEG＝∠CEB＝90°， ∴∠CGE＝∠CBE， ∴CG＝CB， ∵CE⊥BG， ∴EG＝EB； （2）解：∵AG＝6，BG＝4， ∴AB＝6+4＝10， ∴OC＝OB＝AB＝5， ∴OG＝OB﹣BG＝5﹣4＝1， 由（1）知GE＝BE＝BG＝2， ∴OE＝OG+GE＝1+2＝3， ∴CE＝＝4， ∵直径AB⊥CD， ∴CD＝2CE＝2×4＝8． 【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理得到∠ECG＝∠ECB，推出△CGB是等腰三角形；由垂径定理，勾股定理求出CE的长． 【即学即练2】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作圆O，分别交BC，AC于点D，E． （1）求证：BD＝DC． （2）若∠BAC＝50°，求，，的度数． 【思路点拨】（1）连接D，由圆周角定理得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，再由等腰三角形的性质即可得到结论； （2）由等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°，再由圆周角定理得∠BOD＝2∠BAD＝50°，∠DOE＝2∠CAD＝50°，然后求出∠AOE＝80°，即可求解． 【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示： ∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD； （2）解：连接OD、OE，如图2所示： ∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB＝∠AEB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC，∠BAC＝50°， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝50°，∠DOE＝2∠CAD＝50°， 即的度数为50°，的度数为50°， ∵∠AOE＝180°﹣∠BOD﹣∠DOE＝80°， ∴的度数为80°． 【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据圆周角的定义判断即可． 【解答】解：根据圆周角的定义可知，选项B的角是圆周角， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 2．如图，若△BOC是等边三角形，则∠BAC的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【思路点拨】根据圆周角的定理解答即可． 【解答】解：∵△BOC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∵∠BAC＝＝30°， 故选：C． 【点评】本题考查圆周角的定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键． 3．如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点P，连接BC，AD．若∠D＝35°，则∠C的大小为（　　） A．25° B．30° C．20° D．35° 【思路点拨】根据同弧所对的圆周角相等可得∠D＝∠C＝35°，即可解答． 【解答】解：∵∠D和∠C都是所对的圆周角， ∴∠D＝∠C＝35°， 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 4．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．90° 【思路点拨】由圆周角定理得到∠ABC＝90°，由∠BAC＝40°，求出∠C＝90°﹣40°＝50°，即可得到∠D＝∠C＝50°． 【解答】解：∵AC是圆的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵∠BAC＝40°， ∴∠C＝90°﹣40°＝50°， ∴∠D＝∠C＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是圆周角定理得到∠ABC＝90°，∠D＝∠C＝50°． 5．如图，已知C是⊙O上任一点，且∠C＝120°，则∠AOB＝（　　） A．110° B．120° C．130° D．100° 【思路点拨】先利用圆周角定理可得∠1＝2∠C＝240°，然后利用周角定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图： ∵∠C＝120°， ∴∠1＝2∠C＝240°， ∴∠AOB＝360°﹣∠1＝120°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 6．如图，⊙O中，点A是的中点，若∠BOA＝α，则∠ADC＝（　　） A．α B．2α C． D．90°﹣α 【思路点拨】由圆周角定理得到∠BOA＝2∠ADC，即可求出∠ADC的度数． 【解答】解：∵点A为的中点， ∴＝， ∴∠BOA＝2∠ADC， ∵∠BOA＝α， ∴∠ADC＝α， 故选：C． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠BOA＝2∠ADC． 7．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【思路点拨】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数． 【解答】解：连接OC、OD， ∵BC＝CD＝DA， ∴， ∴弦BC、CD、DA三等分半圆， ∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°， ∴∠BCD＝（180°+60°）＝120°． 故选：C． 【点评】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°． 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若∠ADC＝60°，，则⊙O的半径为（　　） A． B．4 C． D．5 【思路点拨】根据垂径定理求出CE＝DE＝CD＝2，＝，根据直角三角形的性质求出∠A＝30°，根据圆周角定理求出∠BOC＝60°，解直角三角形求解即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE＝DE＝CD＝2，＝，∠AED＝∠AEC＝90°， ∴∠A+∠ADC＝90°， ∵∠ADC＝60°， ∴∠A＝30°， ∴∠BOC＝2∠A＝60°， ∴＝， ∴OC＝＝＝4， 即⊙O的半径为4， 故选：B． 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，熟练运用圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 9．如图，在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若∠BPD＝45°，为40°，则为 　50　°． 【思路点拨】连接BC，由圆周角定理得到∠C＝×40°＝20°，由三角形外角的性质得到∠B＝∠BPD﹣∠C＝45°﹣20°＝25°，于是得到的度数＝2×25°＝50°． 【解答】解：连接BC， ∵的度数＝40°， ∴∠C＝×40°＝20°， ∵∠BPD＝45°， ∴∠B＝∠BPD﹣∠C＝45°﹣20°＝25°， ∴的度数＝2×25°＝50°． 故答案为：50． 【点评】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，关键是掌握圆周角定理：圆周角等于它所对弧度数的一半． 10．如图，矩形ABCD内接于⊙O，若，，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 【思路点拨】连接AC，由矩形的性质得到∠B＝90°，由圆周角定理推出AC是圆的直径，由勾股定理求出AC＝＝2，即可得到⊙O的半径长． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴AC是圆的直径， ∵，， ∴AC＝＝2， ∴⊙O的半径为． 故选：D． 【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，关键是由圆周角定理判定AC是圆的直径，由勾股定理求出AC的长． 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径．若∠ACD＝∠DBC，，AB＝3，则BC的长为（　　） A．3 B． C．5 D．4 【思路点拨】根据圆周角定理求出∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ACD，等量代换求出∠ABD＝∠DBC，进而求出AD＝CD＝，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵∠ABD＝∠ACD，∠ACD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴＝， ∴AD＝CD＝， ∴AC＝＝5， ∵AB＝3， ∴BC＝＝＝4， 故选：D． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 12．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：＝． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 【思路点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD＝BD，根据弦、弧、圆心角的关系定理证明结论； （2）连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，根据勾股定理求出AD，根据三角形中位线定理求出OF，根据三角形的面积公式求出BH，根据垂径定理解答． 【解答】（1）：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠EAD＝∠BAD， ∴＝； （2）解：连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F， BD＝BC＝3，AB＝5， 又勾股定理得，AD＝＝4， ∵AD⊥BC，OF⊥BD， ∴OF∥AD，又OA＝OB， ∴OF＝AD＝2， 则××BH＝×3×2， 解得，BH＝， ∵＝， ∴BE＝2BH＝． 【点评】本题考查的是圆周角定理、弦、弧、圆心角的关系、垂径定理的应用，掌握相关定理、并灵活运用是解题的关键． 13．如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF． （2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长． 【思路点拨】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC； （2）连接OC，交BD于点G，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出OG的长，进而求得BG的长和BD的长． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB＝90°﹣∠ABC， ∴∠ECB＝∠A． 又∵CD＝CB，， ∴＝， ∴∠DBC＝∠A， ∴∠ECB＝∠DBC， ∴CF＝BF； （2）解：连接OC，交BD于点G， ∵BC＝CD， ∴OC⊥BD，BD＝2BG， ∵∠ACB＝90°，BC＝CD＝，AC＝， ∴AB＝＝＝20， ∴⊙O的半径为10， 设OG＝x，则CG＝10﹣x， 由勾股定理，得BG2＝OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2， 即102﹣x2＝（）2﹣（10﹣x）2， 解得x＝6， ∴BG＝＝8， ∴BD＝16． 【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用． 题组B 能力提升练 14．如图，AE是⊙O直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则CE的长为（　　） A．8 B．2 C．3 D．2 【思路点拨】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值，连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE＝2OC＝6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE． 【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8， ∴AC＝AB＝×8＝4， 设⊙O的半径OA＝r， ∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2， 在Rt△OAC中， r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5， 连接BE，如图， ∵OD＝5，CD＝2， ∴OC＝3， ∵AE是直径， ∴∠ABE＝90°， ∵OC是△ABE的中位线， ∴BE＝2OC＝6， 在Rt△CBE中，CE＝＝＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 15．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AC，AD，若AB＝10，BC＝6，则BD的长为（　　） A． B． C． D．8 【思路点拨】连接OD，交AC于点M，根据垂径定理求出OD⊥AC，AM＝CM，根据圆周角定理求出∠ACB＝∠ADB＝90°，再结合勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，连接OD，交AC于点M， ∵∠ABC的平分线交⊙O于点D， ∴＝， ∴OD⊥AC，AM＝CM， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AB＝10，BC＝6， ∴AC＝＝8， ∴AM＝CM＝AC＝4， ∴OM＝＝3， ∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2， ∴AD＝＝＝2， ∴BD＝＝＝4， 故选：A． 【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理等知识，熟练运用圆周角定理、勾股定理、垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 16．已知点A，B，C在⊙O上，若∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为 　50°或130°　． 【思路点拨】分两种情况，由圆周角定理即可求得∠AB′C的度数，然后由圆的内接四边形的性质求得∠ABC的度数． 【解答】解：如图， 当点B在B′位置时， ∵∠AOC＝100°， ∴∠AB′C＝∠AOC＝50°， ∵∠AB′C+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°． 综上，∠ABC的度数为50°或130°． 故答案为：50°或130°． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 17．点A，B，C在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ACB的度数是 　45°或135°　． 【思路点拨】根据题意画出图形，先判断出∠AOB＝90°，再分两种情况用同弧所对的圆心角和圆周角的关系确定和圆的内接四边形的性质即可． 【解答】解：如图， ∵弦AB的长度等于圆半径的倍， 即AB＝OA＝OB， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， 当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝45°， 点C在劣弧上时，∠AC'B+∠ACB＝180°， ∴∠AC'B＝180°﹣45°＝135°， ∴∠ACB＝45°或135°， 故答案为：45°或135°． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 18．如图，在半径为6的⊙O中，AB是直径，AC是弦，弦AD平分∠BAC，交BC于点E．若E是AD的中点，则AC的长是 　4　． 【思路点拨】连接OD，由角平分线的定义可得出∠CAD＝∠DAB，进而可得出CD＝BD，由垂径定理可得出OD⊥BC，CF＝BF，进一步证明OF为△ABC的中位线，可得出由直径所对的圆周角等于90°可得出∠ACD＝90°，用AAS证明△AEC≌△DEF，进而得出AC＝DF，由直径等于6即可求出AC． 【解答】解：连接OD， ∵弦AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠DAB， ∴＝， ∴CD＝BD， ∴OD⊥BC，CF＝BF， ∵AO＝OB， ∴ ∵E是AD的中点， ∴AE＝ED， ∵AB是直径， ∴∠ACD＝90°， 在△AEC和△DEF中， ， ∴△AEC≌△DEF（AAS）， ∴AC＝DF， ∵OD＝OF+FD＝6， ∴， 解得：AC＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了圆的综合问题，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90°，全等三角形的判定以及性质，中位线的判定以及性质，垂径定理等知识点，综合性较强，掌握这些定理是解题的关键． 19．如图，MN是⊙O的直径，MN＝6，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是 　3　． 【思路点拨】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算． 【解答】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OB，则P点就是所求作的点． 此时PA+PB最小，且等于AC的长． 连接OA，OC， ∵∠AMN＝30°， ∴∠AON＝60°， ∵＝ ∴∠AOB＝∠BON＝30°， ∵MN⊥BC， ∴＝， ∴∠CON＝∠NOB＝30°， 则∠AOC＝90°，又OA＝OC＝3， 则AC＝3． 【点评】此题主要考查了确定点P的位置，垂径定理的应用． 20．如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，，CE分别交AD、AB于点F、G． （1）求证：FA＝FG； （2）如图2，若点E与点A在直径的两侧，AB、CE的延长线交于点G，AD的延长线交CG于点F．问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据圆周角定理求出∠BAC＝90°，∠ACE＝∠ABD，结合直角三角形的性质求出∠DAB＝∠AGC，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）同理（1）求解即可． 【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ACE+∠AGC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD+∠DAB＝90°， ∵， ∴∠ACE＝∠ABD， ∴∠DAB＝∠AGC， ∴FA＝FG； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： ∵BC为直径， ∴∠BAC＝90°， 即∠GAC＝90°， ∴∠ACG+∠AGC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD+∠DAB＝90°， ∵， ∴∠ABD＝∠ACG， ∴∠AGC＝∠DAB， ∴FA＝FG． 【点评】此题考查了圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 21．圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作∠AOB＝（如图①）； 圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等于它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”， 记作∠AOB＝（弧AB的度数+弧CD的度数）（如图①） 请回答下列问题： （1）如图②，猜测∠APB与、有怎样的等量关系，并说明理由； （2）如图③，猜测∠APB与、有怎样的等量关系，并说明理由． （提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用） 【思路点拨】（1）过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙0于E、F、M、N，根据“圆心角度数等于它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，以及在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可证得∠APB＝． （2）过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N，根据“圆心角度数等于它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，以及在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可证得）∠APB＝（﹣）． 【解答】解：（1）∠APB＝． 理由如下： 过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N， ∴∠APB＝∠EOM， ∴＝ ∵∠EOM＝ ∴∠APB＝． （2）∠APB＝（﹣）． 理由如下： 过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N， ∴∠APB＝∠EOM， ∴＝， ∵∠EOM＝， ∴∠APB＝（﹣）． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了两条平行弦所夹的弧相等． 题组C 培优拔尖练 22．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝26，AC＝12，BD＝5，则PA+PB的最小值为（　　） A． B． C． D．15 【思路点拨】先由MN＝26求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D＝BD＝5，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值． 【解答】解：如图， ∵MN＝26， ∴⊙O的半径＝13， 连接OA、OB， 在Rt△OBD中，OB＝13，BD＝5， ∴OD＝＝＝12， 同理，在Rt△AOC中，OA＝13，AC＝12， ∴OC＝＝＝5， ∴CD＝12+5＝17， 作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D＝BD＝5，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E， 在Rt△AB′E中， ∵AE＝AC+CE＝12+5＝17，B′E＝CD＝17， ∴AB′＝＝＝17． 故选：B． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 23．（1）如图1，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若OE＝4，CD＝6，则圆的半径为 　5　； （2）如图2，在⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，BD．若AC2+BD2＝8，则圆的半径为 　　． 【思路点拨】（1）连接OC，由垂径定理得到CE＝CD＝×6＝3，由勾股定理求出OC＝＝5，即可得到圆的半径是5． （2）作直径DK，连接AD，由圆周角定理得到∠DBK＝90°，由余角的性质推出∠ADC＝∠BDK，由圆周角定理得到＝，由圆心角、弧、弦的关系得到BK＝AC，而AC2+BD2＝8，由勾股定理得到BK2+BD2＝DK2＝8，即可求出DK＝2，即可得到圆的半径为． 【解答】解：（1）连接OC， ∵直径AB垂直于弦CD， ∴CE＝CD＝×6＝3， ∵OE＝4， ∴OC＝＝5， ∴圆的半径是5． 故答案为：5． （2）作直径DK，连接AD， ∴∠DBK＝90°， ∴∠BDK+∠K＝90°， ∵AB⊥CD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ADC+∠BAD＝90°， ∵∠K＝∠BAD， ∴∠ADC＝∠BDK， ∴＝， ∴BK＝AC， ∵AC2+BD2＝8， ∴BK2+BD2＝8， ∵BK2+BD2＝DK2， ∴DK＝2（舍去负值）， ∴圆的半径为． 故答案为：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆心角、弧、弦的关系得到BK＝AC． 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 　80°或140°　． 【思路点拨】分两种情形：①BE＝BC，②EB＝EC，分别求出∠BOD即可． 【解答】解：如图1中，当BE＝BC时， ∵BE＝BC，∠EBC＝40°， ∴∠BCE＝∠BEC＝×（180°﹣40°）＝70°， ∵弧BD＝弧BD， ∴∠BOD＝2∠BCE＝140°； 如图2中，当EB＝EC时，点E与O重合， ∵BE＝EC， ∴∠EBC＝∠BCD＝40°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝80°； 故答案为：80°或140°． 【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 25．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD． （1）求证：BD＝DE． （2）若AB＝10，AC＝6，求BE的长． 【思路点拨】（1）由角平分线的定义得出∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，根据同弧所对的圆周角相等得出∠CAD＝∠CBD＝∠BAD，再根据三角形外角的性质得出∠DEB＝∠BAD+∠ABE，从而得出∠DBE＝∠DEB，根据等角对等边即可证得BD＝DE； （2）连接OD交BC于点F，由∠BAD＝∠CAD得出，于是有OD⊥BC，BF＝CF，再证OF是△ABC的中位线，即可求出OF的长，即可求出DF的长，由AB为直径得出∠ACB＝∠ADB＝90°，由勾股定理求出BC的长，即可求出BF的长，再根据勾股定理求出BD的长，由（1）中的结论得出DE的长，最后根据勾股定理即可求出BE的长． 【解答】（1）证明：∵AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE， ∵∠CAD和∠CBD是所对的圆周角， ∴∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD， ∴∠DBE＝∠CBD+∠CBE＝∠BAD+∠CBE， ∵∠DEB是△ABE的外角， ∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴BD＝DE； （2）解：连接OD交BC于点F， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴OD⊥BC， 即∠DFB＝90°，BF＝CF， ∵OA＝OB， ∴OF是△ABC的中位线， ∴OF＝， ∵AB＝10， ∴OA＝OB＝OD＝5， ∴DF＝OD﹣OF＝2， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴由勾股定理得，， ∴BF＝CF＝＝4， 在Rt△DFB中，由勾股定理得，， 由（1）知DE＝BD＝， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴由勾股定理得，． 【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是解题的关键． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$