第5课 三角形全等的判定-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第5课 三角形全等的判定 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握判定两个三角形全等的方法:“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，会判定两个三角形全等. 2.了解三角形的稳定性及其应用. 3.掌握线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 4.掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. ( 知识精讲 ) 知识点01 三角形全等的判定 三角形全等的判定方法： 1.三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”） 2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”） 3.两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”） 4.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”） 知识点02 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 知识点03 角平分线的性质 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 ( 能力拓展 )考点01 三角形全等的判定 【典例1】在下列条件中，不能说明△ABC≌△A′B′C′的是（　　） A．∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，AC＝A′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′ C．∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，AB＝A′B′ D．AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′ 【即学即练1】如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．DE＝AB B．EC＝FB C．∠E＝∠B D．∠A＝∠D 考点02 线段垂直平分线的性质 【典例2】如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 　 　． 【即学即练2】如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O．已知△ADE的周长为8cm． （1）求BC的长； （2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为20cm，求OA的长． 考点03 角平分线的性质 【典例3】如图，已知△ABC的周长是18，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积是 　 　． 【即学即练3】如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　） A．∠A＝∠D B．AC＝BD C．∠ACB＝∠DBC D．AB＝DC 2．已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 4．如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．5cm 5．如图，射线OE是∠AOB的平分线，C是射线OE上一点，CF⊥OA于点F．若D是射线OB上一点，且OD＝CF＝4，则△ODC的面积是 　 　． 6．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、点E，连接AD．若AE＝5cm，△ACD的周长为16cm，则△ABC的周长为 　 　cm． 7. 如图AE＝AD，要证明△ABD≌△ACE， （1）若以“ASA”为依据，需添加的条件是　 　； （2）若以“SAS”为依据，需添加的条件是　 　； （3）若以“AAS”为依据，需添加的条件是　 　． 8．下列说法正确的有　 　． ①三个角对应相等的两个三角形全等； ②三条边对应相等的两个三角形全等； ③两边和一个角相等两个三角形全等； ④有一条边和两个角相等两个三角形全等． 9．如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE． 求证：AC＝DF． 10.如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC． （1）求证：AB＝DE； （2）若∠A＝25°，∠E＝35°，求∠ECD的度数． 题组B 能力提升练 11．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 12．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 13如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ACB＝∠DFE，⑤∠A＝∠D．选其中3个作为条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④ 14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE于E，DE＝4cm，AD＝6cm，则BE的长是（　　） A．2cm B．1.5cm C．1cm D．3cm 15. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 　 　． 16.如图，△ABC的周长为20cm，DE垂直且平分AB，交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为16cm，则AB的长为 　 　cm． 17.如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB＝4，BC＝6，S四边形ABCD＝16，则在△BCD中，BC边上的高线长为 　 　． 18.下列4个判断： ①有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ②两个三角形的6个边角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等； ③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； 其中正确判断的编号是　 　． 19.一次考试中，有一题是这样的：如图所示，已知∠C＝∠D，请你补充一个条件使得△ABC≌△ABD．（添加一个条件即可）．老师总结了学生的答案有：①AC＝BD ②AD＝BC ③CE＝ED ④∠DAB＝∠CBA ⑤∠CAE＝∠DBE．那么你认为这些答案中正确的是　 　． 20.如图所示，已知∠B＝∠D＝90°，∠C＝∠E，AB＝AD．有下列结论：①BM＝DN；②EM＝CF； ③∠BAM＝∠DA N；④△ACM≌△AEN．其中正确的有　 　（填序号） 21.如图：在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB于E，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为　 　． 22.已知：如图，点D在AB边上（不与点A，点B重合），E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C． 有以下四个结论：①BE＝CD；②BO＝CO；③DO＝EO；④BO＝BD． （1）以上四个结论中正确的是 　 　.（只需填写序号） （2）请从（1）中任选一个结论进行证明． 23.如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）证明：∠1＝∠3． 24.已知：如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC上的点，AD＝AE，BE与CD相交于G． （1）问图中有多少对全等三角形？并将它们写出来． （2）请你选出一对三角形，说明它们全等的理由（根据所选三角形说理难易不同给分，即难的说对给分高，易的说对给分低） 题组C 培优拔尖练 25．如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CF，BE＝CD，∠EDF＝a，则下列结论正确的是（　　） A．2a+∠A＝180° B．a+∠A＝90° C．2a+∠A＝90° D．a+∠A＝180° 26．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+∠A，②∠EBO＝∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为（　　） A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm 28．在如图所示的4×4正方形网格中．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　 　度． 29．如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF． 应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和． 30．在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC上的任一点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图（1），当∠BAC＝90°时，求∠BCE的度数． （2）如图（2），设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课 三角形全等的判定 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握判定两个三角形全等的方法:“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，会判定两个三角形全等. 2.了解三角形的稳定性及其应用. 3.掌握线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 4.掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. ( 知识精讲 ) 知识点01 三角形全等的判定 三角形全等的判定方法： 1.三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”） 2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”） 3.两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”） 4.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”） 知识点02 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 知识点03 角平分线的性质 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 ( 能力拓展 )考点01 三角形全等的判定 【典例1】在下列条件中，不能说明△ABC≌△A′B′C′的是（　　） A．∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，AC＝A′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′ C．∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，AB＝A′B′ D．AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′ 【思路点拨】根据题意，对选项一一分析，选择正确答案． 【解析】解：A、∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，AC＝A′C′，可用ASA判定△ABC≌△A′B′C，故选项正确； B、∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，SSA不能判定两个三角形全等，故选项错误； C、∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，AB＝A′B′，可用AAS判定△ABC≌△A′B′C，故选项正确； D、AB＝A′B′，BC＝B′C，AC＝A′C′，可用SSS判定△ABC≌△A′B′C，故选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【即学即练1】如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．DE＝AB B．EC＝FB C．∠E＝∠B D．∠A＝∠D 【思路点拨】由平行线的判定，即可判断． 【解析】解：∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， A、添加DE＝AB，∠ACB，∠DFE，分别是AB、DE的对角，不能判定△ABC≌△DEF，故A符合题意； B、由EC＝FB，得到EF＝BC，由SAS能判定△ABC≌△DEF，故B不符合题意； C、添加∠E＝∠B，由AAS判定△ABC≌△DEF，故C不符合题意； D、添加∠A＝∠D，由ASA判定△ABC≌△DEF，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法． 考点02 线段垂直平分线的性质 【典例2】如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＝90°．AB的垂直平分线交平BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解析】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F， ∴EA＝EB，FA＝FC， ∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝EB+EF+FC＝BC， ∵BC＝2， ∴△AEF的周长为2， 故选：A． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【即学即练2】如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O．已知△ADE的周长为8cm． （1）求BC的长； （2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为20cm，求OA的长． 【思路点拨】（1）由线段垂直平分线的性质推出DA＝DB，EA＝EC，由△ADE的周长为8cm，得到DA+DE+EA＝8cm，即可求出BC＝BD+DE+EC＝8cm； （2）由线段垂直平分的性质得到OA＝OB＝OC，由△OBC的周长＝OB+OC+BC＝20cm，BC＝8cm，即可求出OB＝6cm，得到OA＝6cm． 【解析】解：（1）∵l1垂直平分AB， ∴DA＝DB， 同理，得EA＝EC， ∵△ADE的周长为8cm， ∴DA+DE+EA＝8cm， ∴BC＝BD+DE+EC＝8cm； （2）连接OA，OB，OC． ∵l1垂直平分AB， ∴OA＝OB． 同理，得OA＝OC， ∵△OBC的周长＝OB+OC+BC＝20cm，BC＝8cm， ∴OB＝6cm， ∴OA＝6cm． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，OA＝OB＝OC． 考点03 角平分线的性质 【典例3】如图，已知△ABC的周长是18，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积是 　 　． 【思路点拨】过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OA，根据角平分线的性质可得OE＝OD＝OF，进一步求△ABC的面积即可． 【解析】解：过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OA，如图所示： ∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC， ∴OE＝OD＝OF， ∵OD＝3，△ABC的周长为18， ∴△ABC的面积＝S△AOB+S△AOC+S△BOC ＝ ＝ ＝×18×3 ＝27， 故答案为：27． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并灵活运用是解题的关键． 【即学即练3】如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 【思路点拨】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4． 【解析】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是内心， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点是非常重要的． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　） A．∠A＝∠D B．AC＝BD C．∠ACB＝∠DBC D．AB＝DC 【思路点拨】利用SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可． 【解析】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项错误； B、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项正确； C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项错误； D、添加AB＝CD可利用SAS判定△ABC≌△DCB，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【思路点拨】根据三角形全等的判定定理：SAS，ASA，AAS，SSS，看看是否符合以上条件，进行判断即可． 【解析】解：甲，不符合两边对应相等，且夹角相等，∴甲和已知三角形不全等； 乙，符合两边对应相等，且夹角相等，乙和已知三角形全等； 丙，符合AAS，即三角形和已知图的三角形全等； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理的应用，主要看看是否符合ASA，SAS，AAS，SSS，注意：对应相等，如：甲a＝a，c＝c，但夹角不相等，题型较好，但是一道比较容易出错的题目． 3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质得到BE＝AE＝4，结合图形计算即可． 【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE＝4， ∴BC＝BE+EC＝4+2＝6， 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 4．如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．5cm 【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列式求解即可． 【解析】解：∵AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴， ∴， 解得DE＝4cm， 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形面积公式，掌握角平分线的性质是关键． 5．如图，射线OE是∠AOB的平分线，C是射线OE上一点，CF⊥OA于点F．若D是射线OB上一点，且OD＝CF＝4，则△ODC的面积是 　 　． 【思路点拨】过点C作PC⊥OB于点P，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【解析】解：如图，过点C作PC⊥OB于点P， ∵射线OE是∠AOB的平分线，CF⊥OA，OD＝CF＝4， ∴PC＝FC＝4， ∴△ODC的面积是． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、点E，连接AD．若AE＝5cm，△ACD的周长为16cm，则△ABC的周长为 　 　cm． 【思路点拨】根据线段垂直平分线性质求出BD＝DA，求出△ABC的周长即可． 【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴BD＝DA，AB＝2AE＝10（cm） ∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝AB+（AD+AC+CD）＝10+16＝26（cm）， 故答案为：26． 【点睛】此题考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等解答． 7. 如图AE＝AD，要证明△ABD≌△ACE， （1）若以“ASA”为依据，需添加的条件是　 　； （2）若以“SAS”为依据，需添加的条件是　 　； （3）若以“AAS”为依据，需添加的条件是　 　． 【思路点拨】（1）利用“ASA”判定三角形全等的方法得出一组对应角相等即可； （2）利用“SAS”判定三角形全等的方法得出一组对应边相等即可； （3）利用“AAS”判定三角形全等的方法得出一组对应角相等即可． 【解析】解：（1）∵AE＝AD，要证明△ABD≌△ACE， ∴若以“ASA”为依据，需添加的条件是：∠AEC＝∠ADB； 故答案为：∠AEC＝∠ADB； （2）∵AE＝AD，要证明△ABD≌△ACE， ∴若以“SAS”为依据，需添加的条件是：AB＝AC， 故答案为：AB＝AC； （3）∵AE＝AD，要证明△ABD≌△ACE， ∴若以“AAS”为依据，需添加的条件是：∠B＝∠C． 故答案为：∠B＝∠C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 8．下列说法正确的有　 　． ①三个角对应相等的两个三角形全等； ②三条边对应相等的两个三角形全等； ③两边和一个角相等两个三角形全等； ④有一条边和两个角相等两个三角形全等． 【思路点拨】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据判定定理判断即可． 【解析】解：∵老师用的三角板和学生用的三角板符合三角对应相等，但是两三角形不全等，∴①错误； ∵根据全等三角形的判定定理SSS可以推出两三角形全等，∴②正确； ∵当是两边和其中一边的对角时，两三角形就不全等，∴③错误； ∵当一个三角形的边是两角的夹边，而另一个三角形边是其中一角的对边时，两三角形就不全等，∴④错误； 故答案为：②． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 9．如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE． 求证：AC＝DF． 【思路点拨】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得AC＝DF． 【解析】证明：∵BF＝CE， ∴BF+CF＝CE+CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC＝DF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 10.如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC． （1）求证：AB＝DE； （2）若∠A＝25°，∠E＝35°，求∠ECD的度数． 【思路点拨】（1）由∠BCE＝∠ACD，得∠ACB＝∠DCE，而CA＝CD，BC＝EC，即可根据“SAS”证明△ACB≌△DCE，则AB＝DE； （2）由全等三角形的性质得∠A＝∠D＝25°，而∠E＝35°，则∠ECD＝180°﹣∠D﹣∠E＝120°． 【解析】（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE， ∴∠ACB＝∠DCE， 在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB＝DE． （2）解：由（1）得△ACB≌△DCE， ∴∠A＝∠D＝25°， ∵∠E＝35°， ∴∠ECD＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣25°﹣35°＝120°， ∴∠ECD的度数是120°． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠ACB＝∠DCE，进而证明△ACB≌△DCE是解题的关键． 题组B 能力提升练 11．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【思路点拨】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可． 【解析】解：如图，∠A、AB、∠B都可以测量， 即他的依据是ASA． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图，并熟记全等三角形的判定方法是解题的关键． 12．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【思路点拨】已知两三角形三边分别相等，可考虑SSS证明三角形全等，从而证明角相等． 【解析】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是SSS 证明如下： 由题意得，PN＝PM， 在△ONP和△OMP中， ， ∴△ONP≌△OMP（SSS） 所以∠NOP＝∠MOP 故OP为∠AOB的平分线． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形在实际生活中的应用．对于难以确定角平分线的情况，利用全等三角形中对应角相等，从而轻松确定角平分线． 13.如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ACB＝∠DFE，⑤∠A＝∠D．选其中3个作为条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④ 【思路点拨】根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL依次对各选项分析即可判断． 【解析】解：③∵BE＝CF， ∴BC＝EF． A、①②③根据“SSS”可判断△ABC≌△DEF； B、②③④根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF； C、③④⑤根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF； D、①②④为两边与一边的对角对应相等，故不能判断△ABC≌△DEF； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE于E，DE＝4cm，AD＝6cm，则BE的长是（　　） A．2cm B．1.5cm C．1cm D．3cm 【思路点拨】由题中AC＝BC可得△ACD≌△CBE，得出对应线段CE＝AD，CD＝BE，进而可得出结论； 【解析】解：∵∠DCA+∠BCE＝90°，∠DCA+∠DAC＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE，∵AD⊥CE，BE⊥CE ∴∠ADC＝∠BEC 在△ACD和△CBE中， ∵， ∴△ACD≌△CBE（AAS） ∴CE＝AD＝6cm，CD＝BE， BE＝CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2（cm）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 15. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 　 　． 【思路点拨】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值． 【解析】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3． ∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2 故选答案为2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型． 16.如图，△ABC的周长为20cm，DE垂直且平分AB，交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为16cm，则AB的长为 　 　cm． 【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解析】解：∵DE垂直平分AB， ∴DA＝DB，AE＝EB， ∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝20（cm）， ∴AB+BD+CD+AC＝AB+DC+AD+AC＝20（cm）， ∵△ADC的周长为16cm， ∴AD+DC+AC＝16（cm）， ∴AB＝20﹣16＝4（cm）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 17.如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB＝4，BC＝6，S四边形ABCD＝16，则在△BCD中，BC边上的高线长为 　 　． 【思路点拨】过D作DE⊥AB交BA延长线于E，DF⊥BC于F，利用角平分线的性质得出DE＝DF，进而利用面积公式解答即可． 【解析】解：过D作DE⊥AB交BA延长线于E，DF⊥BC于F， ∵对角线BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∵S四边形ABCD＝， ∴， 解得：DF＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是利用角平分线的性质得出DE＝DF解答． 18.下列4个判断： ①有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ②两个三角形的6个边角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等； ③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； 其中正确判断的编号是　 　． 【思路点拨】根据三角形全等的判定方法，对选项一一分析，确定正确答案． 【解析】解：①如图，△ABC与△ABC′中，AB＝AB，AC＝AC′，高AD相同，但是，△ABC与△ABC′不全等，故选项错误； ②有5个元素分别相等的两个三角形全等，可以利用AAS或ASA或SAS证明三角形全等；故该选项正确； ③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等， 如图：△ABC和△ACD，的边AC＝AC，BC＝CD，高AE＝AE， 但△ABC和△ACD不全等，故选项错误； ④倍长中线AD到T，连接BT，CT，倍长中线A′D′到T′，连接B′T′，C′T′． 可根据SSS证明△ABT≌△A′BT′以及利用SSS证明△ATC≌△A′T′C′，可得∠BAC＝∠B′A′C′，再根据SAS证明△ABC≌△A′B′C′，故选项正确． 故答案为：②④． 【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 19．一次考试中，有一题是这样的：如图所示，已知∠C＝∠D，请你补充一个条件使得△ABC≌△ABD．（添加一个条件即可）．老师总结了学生的答案有：①AC＝BD ②AD＝BC ③CE＝ED ④∠DAB＝∠CBA ⑤∠CAE＝∠DBE．那么你认为这些答案中正确的是　 　． 【思路点拨】图形条件AB＝BA，已知∠C＝∠D，只需要添加一组对应角，或者夹已知角的边相等即可证明△ABC≌△ABD． 【解析】解：①AC＝BD，已知AB＝BA，∠C＝∠D，符合“SSA”的条件，不能判断△ABC≌△ABD； ②AD＝BC，已知AB＝BA，∠C＝∠D，符合“SSA”的条件，不能判断△ABC≌△ABD； ③CE＝ED，已知∠AEC＝∠BED，∠C＝∠D，符合“ASA”的条件，可证△ACE≌△BDE，则AC＝BD，AE＝BE，再利用“SSS”证明△ABC≌△ABD； ④∠DAB＝∠CBA，已知AB＝BA，∠C＝∠D，符合“AAS”的条件，能判断△ABC≌△ABD； ⑤∠CAE＝∠DBE，已知∠C＝∠D，不能证明△ACE≌△BDE，也不能判断△ABC≌△ABD； 故能判断三角形全等的条件是③④． 故填③④． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 20．如图所示，已知∠B＝∠D＝90°，∠C＝∠E，AB＝AD．有下列结论：①BM＝DN；②EM＝CF； ③∠BAM＝∠DA N；④△ACM≌△AEN．其中正确的有　 　（填序号） 【思路点拨】根据AAS证△ABC≌△ADE，推出AE＝AC，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAM＝∠DAN，根据ASA证△BAM≌△DAN，推出BM＝DN，即可得出EM＝CN，不能推出EM＝CF，根据ASA推出△ACM≌△AEN，根据以上结论即可得出答案． 【解析】解：∵在△ABC和△ADE中 ∴△ABC≌△ADE（AAS）， ∴AE＝AC，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠DAE﹣∠EAC， ∴∠BAM＝∠DAN，∴③正确； 在△BAM和△DAN中 ∴△BAM≌△DAN（ASA）， ∴BM＝DN，∴①正确； ∵AE＝AC， ∴EM＝CN，不能推出EM＝CF，∴②错误； 在△ACM和△AEN中 ∴△ACM≌△AEN（ASA），∴④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，全等三角形的全等定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 21．如图：在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB于E，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为　 　． 【思路点拨】可过点C作CF⊥DE，得出Rt△ADE≌Rt△DCF，得出线段之间的关系，进而将四边形的面积转化为矩形BCFE的面积与2个△CDF的面积，通过线段之间的转化，即可得出结论． 【解析】解：过点C作CF⊥DE交DE于F， ∵AD＝CD，∠ADE＝90°﹣∠CDF＝∠DCF，∠AED＝∠DFC＝90°， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝CF＝BE， 又四边形ABCD的面积为16，即S矩形BCFE+2S△CDF＝16， 即BE•EF+2×CF•DF＝16， BE•DE＝BE•BE＝16，解得DE＝4． 故此题答案为4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、矩形面积的计算，能够熟练掌握． 22．已知：如图，点D在AB边上（不与点A，点B重合），E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C． 有以下四个结论：①BE＝CD；②BO＝CO；③DO＝EO；④BO＝BD． （1）以上四个结论中正确的是 　 　.（只需填写序号） （2）请从（1）中任选一个结论进行证明． 【思路点拨】（1）①证△ABE和△ACD全等可对结论①进行判断； ②由△ABE和△ACD全等得AD＝AE，进而得BD＝CE，由此可依据“AAS”判定△BOD和△COD全等，进而可对结论②进行判断； ③由△ABE和△ACD全等得BE＝CD，再根据△BOD和△COD全等得BO＝CO，由此可对结论③进行判断； ④根据已知条件无法判定BO＝BD，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案； （2）选择①进行证明时，可依据“ASA”判定△ABE和△ACD全等； 选择②证明时，先证△ABE和△ACD得AD＝AE，进而得BD＝CE，再依据“AAS”判定△BOD和△COD全等即可； 选择③证明时，先证△ABE和△ACD全等得BE＝CD，再证△BOD和△COD全等得BO＝CO，由此即可得出结论． 【解析】解：（1）正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． （2）选择①证明如下： 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）， ∴BE＝CD； 选择②证明如下： 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）， ∴AD＝AE， ∵AB＝AC， ∴AB﹣AD＝AC﹣AE， 即BD＝CE， 在△BOD和△COD中， ， ∴△BOD≌△COD（AAS）， ∴BO＝CO； 选择③证明如下： 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）， ∴BE＝CD， ∵AB＝AC， ∴BD＝CE， 在△BOD和△COD中， ， ∴△BOD≌△COD（AAS）， ∴BO＝CO， ∴BE﹣BO＝CD﹣CO， ∴EO＝DO， ④根据已知条件无法判定BO＝BD， 故结论④不正确． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 23.如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）证明：∠1＝∠3． 【思路点拨】（1）根据等式的性质得∠ABE＝∠CBD，再利用SAS即可证明结论成立； （2）根据全等三角形的对应角相等得∠A＝∠C，对顶角相等得∠AFB＝∠CFE，利用三角形内角和定理可得结论． 【解析】证明：（1）∵∠1＝∠2． ∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）由第一小问得△ABE≌△CBD， ∴∠A＝∠C， ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠1＝∠3． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．已知：如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC上的点，AD＝AE，BE与CD相交于G． （1）问图中有多少对全等三角形？并将它们写出来． （2）请你选出一对三角形，说明它们全等的理由（根据所选三角形说理难易不同给分，即难的说对给分高，易的说对给分低） 【思路点拨】（1）首先根据目测将图中全等的三角形全部写出即可，共有四对． （2）根据全等三角形的判定方法分别进行证明即可． 【解析】解：（1）图中全等的三角形有四对，分别为：①△DBG≌△EGC，②△ADG≌△AEG，③△ABG≌△ACG，④△ABE≌△ACD；（4分） （2）∵AB＝AC，AD＝AE，∠A是公共角， ∴△ABE≌△ACD（SAS）④； ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE； 由④得∠B＝∠C， 又∵∠DGB＝∠EGC（对顶角相等），BD＝CE（已证）， ∴△DBG≌△EGC（AAS）①； 由①得BG＝CG，由④得∠B＝∠C， 又∵AB＝AC， ∴△ABG≌△ACG（SAS）③； 由①得BG＝CG，且AD＝AE，AG为公共边， ∴△ADG≌△AEG（SSS）②； 三次全等（11分），二次全等（7分），一次全等（3分）． 【点睛】本题考查了全等三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 题组C 培优拔尖练 25．如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CF，BE＝CD，∠EDF＝a，则下列结论正确的是（　　） A．2a+∠A＝180° B．a+∠A＝90° C．2a+∠A＝90° D．a+∠A＝180° 【思路点拨】根据已知条件可证明△BDE≌△CFD，则∠BED＝∠CDF，由∠A+∠B+∠C＝180°，得∠B＝，因为∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，所以得出a与∠A的关系． 【解析】解：在△BDE和△CFD中，， ∴△BDE≌△CFD， ∴∠BED＝∠CDF， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝， ∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°， ∴180°﹣∠B﹣∠BED+a+∠CDF＝180°， ∴∠B＝a， 即＝a， 整理得2a+∠A＝180°． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握． 26．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+∠A，②∠EBO＝∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】利用角平分线的定义得到∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，则∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），再根据三角形内角和定理得到180°﹣∠BOC＝（180°﹣∠A），则可对①进行判断；根据平行线的性质得到∠AEF＝∠EBC，然后利用OB平分∠EBC得到∠EBO＝∠EBC，则可对②进行判断；利用互余和∠OCB＝∠OCD可对③进行判断；根据角平分线的性质得到O点到AE的距离等于m，然后利用三角形面积公式可对④进行判断． 【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）， ∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴180°﹣∠BOC＝（180°﹣∠A）， ∴∠BOC＝90°+∠A，所以①正确； ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠EBC， 而OB平分∠EBC， ∴∠EBO＝∠EBC， ∴∠EBO＝∠AEF，所以②正确； ∵OD⊥AC于D， ∴∠ODC＝90°， ∴∠DOC+∠OCD＝90°， ∵OC平分∠BCD， ∴∠OCB＝∠OCD， ∴∠DOC+∠OCB＝90°，所以③正确； ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴O点到BA和BC的距离相等，O点到BC和AC的距离相等， ∴O点到AB的距离等于OD的长，即O点到AE的距离等于m， ∴S△AEF＝AE•m+AF•m＝m（AE+AF）＝mn，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的判定与性质． 27．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为（　　） A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm 【思路点拨】在PA⊥AB于A，QB⊥AB条件下，使△ACM与△BMN全等，需要分类讨论． 【解析】解：设：BM＝3x cm，则BN＝4x cm， ∵∠A＝∠B＝90°， （1）当△ACM≌△BNM时，有BM＝AM＝3x，BN＝AC， 又AM+BM＝42cm， ∴3x+3x＝42， ∴x＝7． ∴AC＝BN＝4x＝28cm； （2）当△ACM≌△BMN时，有AM＝BN，BM＝AC， 当△ACM≌△BNM时，有BM＝AM，BN＝AC， 又AM+BM＝42cm， ∴3x+3x＝42， ∴x＝7． ∴AC＝BN＝4x＝28cm； 当△ACM≌△BMN时，有AM＝BN＝4x，BM＝AC＝3x， 又AM+BM＝42cm， ∴4x+3x＝42， ∴x＝6， ∴AC＝BM＝18cm； 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形及分类讨论思想，正确分类才不会漏解． 28．在如图所示的4×4正方形网格中．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　 　度． 【思路点拨】根据正方形的轴对称性得∠1+∠7＝90°，∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°，∠4＝45°． 【解析】解：由图可知，∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等， 所以∠1+∠7＝90°． 同理得∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°． 又因为∠4＝45°， 所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝315°． 故答案为：315． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．发现并利用全等三角形是解决本题的关键． 29．如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF． 应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和． 【思路点拨】（1）由“ASA”可证△ABE≌△CAF； （2）由“ASA”可证△ABE≌△CAF，由全等三角形的性质可得S△ABE＝S△CAF，由三角形的面积关系可求解． 【解析】证明：（1）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC， ∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（ASA） （2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC， ∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（ASA） ∴S△ABE＝S△CAF， ∵CD＝2BD，△ABC的面积为15， ∴S△ACD＝10＝S△ABE+S△CDF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△CAF是本题的关键． 30．在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC上的任一点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图（1），当∠BAC＝90°时，求∠BCE的度数． （2）如图（2），设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【思路点拨】（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论； （2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和． 【解析】解：（1）90°． 理由：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE． ∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB， ∴∠BCE＝∠B+∠ACB， 又∵∠BAC＝90° ∴∠BCE＝90°； （2）α+β＝180°， 理由：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC． 即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE． ∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB． ∴∠B+∠ACB＝β， ∵α+∠B+∠ACB＝180°， ∴α+β＝180°． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，涉及到三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$