第4课 全等三角形-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第4课 全等三角形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解全等三角形及其对应边、对应角的概念;能准确辨认全等三角形的对应元素. 2.掌握全等三角形的性质;会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 全等图形 全等图形：能够完全重合能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 知识点02 全等三角形相关概念 1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2.对应项点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释: 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角 如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌ADEF,其中点A和点D，点B和点E,点C和点F是 对应顶点; AB和DE, BC和EF, AC和DF是对应边;∠A和∠D,∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3.找对应边、对应角的方法 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边， (2)全簧三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的，公共边是对应边; (4)有公共角的，公共角是对应角; (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角; (6)两个金等三角彩中一对量长的边(或最大的角)是对应边(或角),一对最短的边(或最小的角) 是对应边(或角),等等， 知识点03 全等三角形的性质 全等三角形的性质：全等三角形的对应边，对应角相等 ( 能力拓展 ) 考点01 全等图形 【典例1】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练1】下列图形中，和所给图全等的图形是（　　） A． B． C． D． 考点02 全等三角形的相关概念 【典例2】如图，已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角． 【即学即练2】如图，已知△ABD≌△ACE． （1）分别写出对应角和对应边． （2）∠1与∠2相等吗？请说明理由． 考点03 全等三角形的性质 【典例3】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°． （1）求AE的长度； （2）求∠AED的度数． 【即学即练3】如图，△ABC≌△A′B′C，且点B'在AB边上，点A'恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是（　　） A．CB＝CB′ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′ ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列叙述中错误的是（　　） A．能够完全重合的图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形 3．如图所示的两个三角形全等，则∠E的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 4．若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（　　） A．30 B．27 C．35 D．40 5．如图，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2，则BD＝（　　） A．2 B．8 C．6 D．5 6．如图，△AOC≌△BOD，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边．若AD＝10cm，OC＝2cm，则OB的长为（　　） A．2cm B．4cm C．8cm D．10cm 7．如图，如果△ABC≌△FED，那么下列结论错误的是（　　） A．EC＝BD B．EF∥AB C．DF＝BD D．AC∥FD 8．如图所示，△ACB≌△DEF，其中A与D，C与E是对应顶点，则CB的对应边是 　　，∠ABC的对应角是∠　　． 9．若△ABC≌△DEF，则BC＝　　，∠ACB＝　　． 10．如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB＝9，BE＝8，则AC的长是　13　． 11．如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝2，则AE的长是 　1　． 12．找一找：请指出下列全等三角形的对应边和对应角 （1）△ABE≌△ACF 对应角是：　 　；对应边是：　 　． （2）△BCE≌△CBF 对应角是：　 　； 对应边是：　 　． （3）△BOF≌△COE 对应角是：　 　；对应边是：　 　． 13．如图，△ABC≌△DEF，其中点A、E、B、D在一条直线上． （1）若FE⊥AD，∠F＝58°，求∠A的大小； （2）若AD＝9cm，BE＝5cm，求AE的长． 题组B 能力提升练 14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 15．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（　　） A．70° B．68° C．65° D．60° 16．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．65° 17．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　　． 18．如果两个三角形全等，那么它们的周长 　　相等．（填“一定”或“不一定”） 19．如图所示，△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点． （1）写出它们的对应边和对应角； （2）若∠A＝50°，∠ABD＝39°，且∠1＝∠2，求∠1的度数． 20．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE． （1）求证：BD＝DE+CE； （2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE． 21．如图，已知△ACD≌△BCE，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，点E在AC上，连结BE并延长交AD于点F． （1）求证：BF⊥AD． （2）若点F为线段AD的中点，△ABF的面积为10，△ACD的面积为6，则四边形CEFD的面积为 　　． 22．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4． （1）求∠CBE的度数． （2）求△CDP与△BEP的周长和． 题组C 培优拔尖练 23．如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm． （1）求DE的长； （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． （3）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由． 【 24．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s． （1）如图（1），当t＝　或　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课 全等三角形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解全等三角形及其对应边、对应角的概念;能准确辨认全等三角形的对应元素. 2.掌握全等三角形的性质;会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 全等图形 全等图形：能够完全重合能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 知识点02 全等三角形相关概念 1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2.对应项点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释: 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角 如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌ADEF,其中点A和点D，点B和点E,点C和点F是 对应顶点; AB和DE, BC和EF, AC和DF是对应边;∠A和∠D,∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3.找对应边、对应角的方法 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边， (2)全簧三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的，公共边是对应边; (4)有公共角的，公共角是对应角; (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角; (6)两个金等三角彩中一对量长的边(或最大的角)是对应边(或角),一对最短的边(或最小的角) 是对应边(或角),等等， 知识点03 全等三角形的性质 全等三角形的性质：全等三角形的对应边，对应角相等 ( 能力拓展 ) 考点01 全等图形 【典例1】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】利用全等图形的概念可得答案． 【解析】解：A、两个图形不能完全重合，故本选项错误； B、两个图形能够完全重合，故本选项正确； C、两个图形不能完全重合，故本选项错误； D、两个图形不能完全重合，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题． 【即学即练1】下列图形中，和所给图全等的图形是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据能够完全重合的两个图形是全等形即可判断出答案． 【解析】解；如图所示：和题干图全等的图形是选项D． 故选：D． 【点睛】本题考查全等形的定义，属于基础题，注意掌握全等形的定义． 考点02 全等三角形的相关概念 【典例2】如图，已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角． 【思路点拨】根据题目中的图形和全等三角形的性质，可以写出这两个三角形的对应边和对应角． 【解析】解：∵△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点， ∴这两个三角形的对应边是：BC和EF，AB和DE，AC和DF； 对应角是：∠ABC和∠DEF，∠ACB和∠DFE，∠BAC和∠EDF． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，写出这两个三角形的对应边和对应角． 【即学即练2】如图，已知△ABD≌△ACE． （1）分别写出对应角和对应边． （2）∠1与∠2相等吗？请说明理由． 【思路点拨】（1）利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）要证∠1＝∠2，需证出∠ADB＝∠AEC． 【解析】解：（1）∵△ABE≌△ACD， ∴∠A＝∠A，∠B＝∠C，∠ADB＝∠AEC；AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE， 故对应角为：∠A与∠A，∠B与∠C，∠ADB与∠AEC；对应边为：AB与AC，AD与AE，BD与CE． （2）结论：∠1＝∠2．理由如下： ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC， 又∵∠ADB+∠2＝180°，∠AEC+∠1＝180°， ∴∠1＝∠2． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是要找准对应边和对应角． 考点03 全等三角形的性质 【典例3】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°． （1）求AE的长度； （2）求∠AED的度数． 【思路点拨】（1）根据全等三角形的性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【解析】解：（1）∵△ABC≌△DEB， ∴BE＝BC＝3， ∴AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3； （2）∵△ABC≌△DEB， ∴∠A＝∠D＝25°，∠DBE＝∠C＝55°， ∴∠AED＝∠DBE+∠D＝25°+55°＝80°． 【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析． 【即学即练3】如图，△ABC≌△A′B′C，且点B'在AB边上，点A'恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是（　　） A．CB＝CB′ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′ 【思路点拨】根据全等三角形的性质得出BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C，再逐个判断即可． 【解析】解：∵△ABC≌△A′B′C， ∴BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C， A．∵△ABC≌△A′B′C， ∴BC＝B′C，故本选项不符合题意； B．∵BC＝B′C， ∴∠B＝∠CB′B， ∴∠A′CB′＝∠B+∠BB′C＝2∠B， ∵∠ACB＝∠A′CB′， ∴∠ACB＝2∠B，故本选项不符合题意； C．不能推出∠B′CA＝∠B′AC，故本选项符合题意； D．∵∠B＝∠BB′C，∠B＝∠A′B′C， ∴∠A′B′C＝∠BB′C， 即B′C平分∠BB′A′，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等，对应边相等）是解此题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 【解析】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项不符合题意； B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项不符合题意； C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项不符合题意； D、两个图形能够完全重合，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题． 2．下列叙述中错误的是（　　） A．能够完全重合的图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形 【思路点拨】能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合各选项进行判断即可． 【解析】解：A、能够重合的图形称为全等图形，说法正确，故本选项错误； B、全等图形的形状和大小都相同，说法正确，故本选项错误； C、所有正方形不一定都是全等图形，说法错误，故本选项正确； D、形状和大小都相同的两个图形是全等图形，说法正确，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等图形的知识，要求同学们掌握全等图形的定义及性质． 3．如图所示的两个三角形全等，则∠E的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 【思路点拨】根据题意和图形，可知∠E是边DF＝n的对角，由第一个三角形可以得到∠E＝∠B的度数，本题得以解决． 【解析】解：∵图中的两个三角形全等， ∴∠E＝∠B＝180°﹣45°﹣65°＝70°， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答是解题的关键． 4．若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（　　） A．30 B．27 C．35 D．40 【思路点拨】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案． 【解析】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF＝30， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键． 5．如图，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2，则BD＝（　　） A．2 B．8 C．6 D．5 【思路点拨】根据全等三角形的对应边相等可得AC＝DB，再求出AB＝CD＝（AD﹣BC）＝3，那么BD＝CD+BC，代入数值计算即可得解． 【解析】解：∵△ACE≌△DBF， ∴AC＝DB， ∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝CD， ∵AD＝8，BC＝2， ∴AB＝CD＝（AD﹣BC）＝×（8﹣2）＝3， ∴BD＝BC+CD＝3+2＝5． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并求出AB＝CD是解题的关键． 6．如图，△AOC≌△BOD，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边．若AD＝10cm，OC＝2cm，则OB的长为（　　） A．2cm B．4cm C．8cm D．10cm 【思路点拨】根据全等三角形的对应边相等，可得OC＝OD＝2cm，AO＝OB，求出AO，由此得解． 【解析】解：∵△AOC≌△BOD， ∴OC＝OD＝2cm，AO＝OB， ∴AO＝AD﹣OD＝10cm﹣2cm＝8cm； ∴OB＝8cm； 故选：C． 【点睛】此题主要考查全等三角形的性质；解题的关键是正确的找出全等三角形的对应边． 7．如图，如果△ABC≌△FED，那么下列结论错误的是（　　） A．EC＝BD B．EF∥AB C．DF＝BD D．AC∥FD 【思路点拨】根据全等三角形的性质得出DF＝AC，∠E＝∠B，∠EDF＝∠ACB，FD＝AC，推出EF∥AB，AC∥DF，EC＝BD，即可得出答案． 【解析】解：∵△ABC≌△EFD， ∴DF＝AC，∠E＝∠B，∠EDF＝∠ACB，ED＝BC； ∴EF∥AB，AC∥DF，FD﹣CD＝BC﹣DC， ∴EC＝BD，故选项A、B、D正确，选项C错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 8．如图所示，△ACB≌△DEF，其中A与D，C与E是对应顶点，则CB的对应边是 　EF　，∠ABC的对应角是∠　DFE　． 【思路点拨】牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可，做题时要找对对应边，对应角． 【解析】解：∵△ACB≌△DEF ∴CB＝EF ∠ABC＝∠DFE ∴CB的对应边是EF，∠ABC的对应角是∠DFE． 【点睛】本题考查的知识点为：全等三角形的对应关系的找法；全等三角形书写时各对应顶点应在相应位置，可由此准确地找到对应关系． 9．若△ABC≌△DEF，则BC＝　EF　，∠ACB＝　∠DFE　． 【思路点拨】根据全等三角形的性质求解即可． 【解析】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE， 故答案为：EF，∠DFE． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质定理是解题的关键． 10．如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB＝9，BE＝8，则AC的长是　13　． 【思路点拨】根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解析】解：∵△ABC≌△DBE，BE＝8， ∴BC＝BE＝8， ∵△ABC的周长为30， ∴AB+AC+BC＝30， ∴AC＝30﹣AB﹣BC＝13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 11．如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝2，则AE的长是 　1　． 【思路点拨】根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可． 【解析】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝1，CD＝2， ∴BC＝CE＝1，AC＝CD＝2， ∴CE＝CA﹣CE＝2﹣1＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答． 12．找一找：请指出下列全等三角形的对应边和对应角 （1）△ABE≌△ACF 对应角是：　∠ABE＝∠ACF、∠AEB＝∠AFC　；对应边是：　AE＝AF　　BE＝CF　． （2）△BCE≌△CBF 对应角是：　∠BCE＝∠CBF、∠BEC＝∠CFB、∠CBE＝∠BCF　； 对应边是：　BF＝CE　　BE＝CF　． （3）△BOF≌△COE 对应角是：　∠BOF＝∠COE、∠FBO＝∠ECO　　∠BFO＝∠CEO　；对应边是：　BF＝CE、FO＝EO、BO＝CO　． 【思路点拨】根据三角形全等的性质，判断各全等三角形的对应边、角即可． 【解析】解：（1）对应角是：∠ABE＝∠ACF、∠AEB＝∠AFC；对应边是：AE＝AF、BE＝CF； 故答案为：∠ABE＝∠ACF、∠AEB＝∠AFC；AE＝AF、BE＝CF； （2）对应角是：∠BCE＝∠CBF、∠BEC＝∠CFB、∠CBE＝∠BCF；对应边是：BF＝CE、BE＝CF； 故答案为：∠BCE＝∠CBF、∠BEC＝∠CFB、∠CBE＝∠BCF；BF＝CE、BE＝CF； （3）对应角是：∠BOF＝∠COE、∠FBO＝∠ECO、∠BFO＝∠CEO；对应边是：BF＝CE、FO＝EO、BO＝CO． 故答案为：∠BOF＝∠COE、∠FBO＝∠ECO、∠BFO＝∠CEO；BF＝CE、FO＝EO、BO＝CO． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握两全等三角形对应的对应角、对应边． 13．如图，△ABC≌△DEF，其中点A、E、B、D在一条直线上． （1）若FE⊥AD，∠F＝58°，求∠A的大小； （2）若AD＝9cm，BE＝5cm，求AE的长． 【思路点拨】（1）由直角三角形的性质求出∠D＝90°﹣∠F＝32°，由全等三角形的性质推出∠A＝∠D＝32°； （2）由△ABC≌△DEF，推出AB＝DE，得到AE＝BD，因此2AE+BE＝9cm，即可求出AE＝2cm． 【解析】解：（1）∵FE⊥AD， ∴∠DEF＝90°， ∴∠D＝90°﹣∠F＝90°﹣58°＝32°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠D＝32°； （2）∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE， ∴AE＝BD， ∴AE+BE+BD＝2AE+BE＝AD＝9cm， ∵BE＝5cm， ∴AE＝2cm． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等． 题组B 能力提升练 14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 【思路点拨】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等判断即可． 【解析】解：∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∴BE＝CD，B成立，不符合题意； ∠ADB＝∠AEC， ∴∠ADE＝∠AED，C成立，不符合题意； ∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAD，D成立，不符合题意； AC不一定等于CD，A不成立，符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 15．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（　　） A．70° B．68° C．65° D．60° 【思路点拨】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数． 【解析】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD， ∴∠1＝∠BAE＝40°， ∴△ABE中，∠B＝＝70°， ∴∠AED＝70°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 16．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．65° 【思路点拨】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由直角三角形的性质可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数． 【解析】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∵∠BCE＝65°， ∴∠ACD＝∠BCE＝65°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF+∠ACD＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键． 17．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　11　． 【思路点拨】根据全等三角形对应边相等求出x、y，然后相加计算即可得解． 【解析】解：∵两个三角形全等， ∴x＝6，y＝5， ∴x+y＝6+5＝11． 故答案为：11． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等是解题的关键． 18．如果两个三角形全等，那么它们的周长 　一定　相等．（填“一定”或“不一定”） 【思路点拨】由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【解析】解：∵两个三角形全等， ∴两个全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长一定相等． 故答案为：一定． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 19．如图所示，△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点． （1）写出它们的对应边和对应角； （2）若∠A＝50°，∠ABD＝39°，且∠1＝∠2，求∠1的度数． 【思路点拨】（1）根据△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点，写出它们的对应边和对应角； （2）先根据AC＝CD，∠A＝50°，求得∠ABC，再根据∠ABD＝39°，求得∠1的度数． 【解析】解：（1）∵△AEC≌△ADB， ∴∠AEC＝∠ADB，∠ACE＝∠ABD，∠A＝∠A，AE＝AD，EC＝DB，AC＝AB； （2）∵△AEC≌△ADB， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，又∠A＝50°， ∴∠ABC＝65°， ∴∠1＝∠ABC﹣∠ABD＝26°． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 20．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE． （1）求证：BD＝DE+CE； （2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE． 【思路点拨】（1）利用全等三角形的性质可得AD＝CE，BD＝AE，然后再等量代换即可； （2）利用平行线的判定方法和全等三角形的性质进行推理即可． 【解析】（1）证明：∵△BAD≌△ACE， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∵A，D，E三点在同一直线上， ∴AE＝AD+DE， ∴BD＝CE+DE； （2）解：当∠ADB＝90°时，BD∥CE， ∵△BAD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠E＝90°， ∴BD∥CE． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等、对应角相等． 21．如图，已知△ACD≌△BCE，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，点E在AC上，连结BE并延长交AD于点F． （1）求证：BF⊥AD． （2）若点F为线段AD的中点，△ABF的面积为10，△ACD的面积为6，则四边形CEFD的面积为 　4　． 【思路点拨】（1）由全等三角形的性质图形∠DAC＝∠CBE，由对顶角的性质得到∠AFE＝∠BEC，由三角形内角和定理推出∠AFE＝∠ACB＝90°，即可证明BF⊥AD； （2）由F为线段AD的中点，得到△BFD的面积＝△ABF的面积＝10，由△ACD≌△BCE，得到△BCE的面积＝△ACD的面积＝6，即可求出四边形CEFD的面积． 【解析】（1）证明：∵△ACD≌△BCE， ∴∠DAC＝∠CBE， ∵∠AFE＝∠BEC， ∴∠AFE＝∠ACB＝90°， ∴BF⊥AD； （2）解：∵F为线段AD的中点， ∴△BFD的面积＝△ABF的面积＝10， ∵△ACD≌△BCE， ∴△BCE的面积＝△ACD的面积＝6， ∴四边形CEFD的面积＝△BDF的面积﹣△BCE的面积＝10﹣6＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得到∠DAC＝∠CBE，由三角形内角和定理推出∠AFE＝∠ACB＝90°． 22．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4． （1）求∠CBE的度数． （2）求△CDP与△BEP的周长和． 【思路点拨】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可． 【解析】解：（1）∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°， ∴∠ABD+∠CBE＝132°， ∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°， 即∠CBE的度数为66°； （2）∵△ABC≌△DBE， ∴DE＝AC＝AD+DC＝5，BE＝BC＝4， ∴△CDP与△BEP的周长和＝DC+DP+PC+BP+PE+BE＝DC+DE+BC+BE＝2.5+5+4+4＝15.5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、角的和与差的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 23．如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm． （1）求DE的长； （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． （3）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据全等三角形的对应边相等得到BD＝BC＝3cm，BE＝AB＝2cm，计算即可； （2）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答； （3）根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行解答． 【解析】解：（1）∵△ABD≌△EBC， ∴BD＝BC＝3cm，BE＝AB＝2cm， ∴DE＝BD﹣BE＝1cm； （2）DB与AC垂直， 理由：∵△ABD≌△EBC， ∴∠ABD＝∠EBC， 又A、B、C在一条直线上， ∴∠EBC＝90°， ∴DB与AC垂直． （3）直线AD与直线CE垂直． 理由：如图，延长CE交AD于F， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠D＝∠C， ∵Rt△ABD中，∠A+∠D＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴∠AFC＝90°，即CE⊥AD． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 24．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s． （1）如图（1），当t＝　或　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 【思路点拨】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可； （2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度． 【解析】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1， 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝BC＝cm， 此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+＝， 移动的时间为：÷3＝秒， ②当点P在BA上时，如图①﹣2 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝AB，即点P为BA中点， 此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+＝cm， 移动的时间为：÷3＝秒， 故答案为：或； （2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F； ①当点P在AC上，如图②﹣1所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， ∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝cm/s， ②当点P在AB上，如图②﹣2所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， 即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm， ∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝cm/s， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF， 点Q的运动速度为cm/s或cm/s． 【点睛】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$