吉林省长春市净月高新区2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年吉林省长春市净月高新区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.要使分式有意义，则x的取值范围为(    ) A. B. C. D. 2.随着人类基因组测序计划的逐步实施以及分子生物学相关学科的迅猛发展，越来越多的动植物、微生物基因组序列得以测定，已知某种基因芯片每个探针单元的面积为，将用科学记数法表示应为(    ) A. B. C. D. 3.若把分式中的x、y都扩大2倍，则分式的值(    ) A. 缩小2倍 B. 不变 C. 扩大2倍 D. 扩大4倍 4.为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织一分钟跳绳比赛活动.体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成如下统计表： 一分钟跳绳个数个 141 144 145 146 学生人数名 5 2 1 2 这组数据的中位数和众数分别是(    ) A. 144，141 B. ，5 C. ，141 D. ，141 5.点P在第二象限内，且到x轴轴的距离分别为3和5，则点P的坐标是(    ) A. B. C. D. 6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20cm，则的周长是(    ) A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 40cm 7.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是(    ) A. AB平分 B. CD平分 C. D. 8.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.若分式的值为0，则x的取值为______. 10.若点在第四象限，则m的取值范围是______. 11.写出一个过点且y随x增大而减小的一次函数解析式______. 12.甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是环，方差分别是，，，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是______填“甲”或“乙”或“丙” 13.在▱ABCD中，若，则______. 14.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点是反比例函数的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是______. 三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题6分 计算： 16.本小题6分 化简分式，并求当时分式的值. 17.本小题6分 为促进学生加强体育锻炼，某学校准备购买一些篮球和足球.已知篮球单价比足球的单价多20元，用7000元购买篮球的数量是用2500元购买足球数量的2倍.求篮球和足球的单价分别是多少元？ 18.本小题7分 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，OE与AB交于点 求证：四边形AEBO的为矩形； 若，，求菱形ABCD的面积． 19.本小题7分 同一品种的花12株分相等的两组，分别在甲、乙两种不同的环境下，对其花期单位：整数天进行观察统计记录，并制成如图所示的尚不完整的统计表和折线统计图． 编号 1 2 3 4 5 6 甲组 24 25 27 28 25 21 乙组 23 27 25 25 24 a 若甲、乙两组花的花期平均数相同， ①请求出a的值； ②补充完整折线统计图，并从折线统计图上判断在那种环境下，花期比较稳定； 若甲、乙两组花的花期的中位数相等，则a的最小值是多少？ 20.本小题7分 图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、点B、点P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹. 在图①中，作▱ABCD使点P在边CD上，点C、点D均在格点上且点P不与点C、点D重合； 在图②中，作▱ABEF使点P为对称中心，此时▱ABEF是______；填“矩形”或“菱形”或“正方形” 在图③中，过点P作直线PQ，直线PQ将▱ABGH的面积分成相等的两部分. 21.本小题9分 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点和点在一次函数的图象上，与过点且平行于x轴的直线交于点 求该一次函数的解析式及点P的坐标； 当时，直接写出x的取值范围______； 当时，对于x的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值且小于4，则n的值为______. 22.本小题10分 综合与实践课上，老师让同学们以“两个全等的三角形纸片”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用. 【操作发现】将两个全等的三角形纸片一边重合，可以得到两种不同的特殊四边形现阶段研究的四边形均为凸四边形，即平行四边形和“筝形”.查阅相关资料得知其中一种特殊的四边形的定义为：有两组邻边分别相等的四边形叫“筝形”. 【类比探究】借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，同学们对“筝形”的性质和判定方法进行研究，根据示例图形，对比表格内容解答问题： 名称 示例图形 对称性 边 角 对角线 平行四边形 是中心对称图形 两组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 筝形 ① 两组邻边分别相等 一组对角相等 ② 表格中①、②处应分别填写的内容是： ①______； ②______； 证明“筝形”有关对角线的性质补全结论，并写出完整的证明过程 已知：如图1，在“筝形”ABCD中，，，对角线AC和BD交于点 求证：______； 证明： 下列条件能够作为四边形ABCD是“筝形”的判定方法有______将所有正确的序号填在横线上 ①且；②；③且；④ 【迁移应用】如图2在“筝形”ABCD中，，，，点P为AB上一动点，对角线BD上存在一点Q，使取最小值时，直接写出的最小值. 23.本小题10分 物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示.桌面AB长为160cm，小球P与木块大小厚度忽略不计同时从A出发向B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回忽略转向时间，沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板如此反复，直到木块Q到达l，同时停止.设小球的运动时间为，木块Q与小球之间的距离为，图②是y与x的部分函数关系图象，结合图象回答下列问题. 小球P第一次到达挡板l的时间是______ s，小球P的速度为______； 求图②中a的值及木块Q的运动速度； 小球P第一次返回时，求y与x的函数关系式； 当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为20cm时，直接写出x的值. 24.本小题10分 如图，在正方形ABCD中，，E是对角线AC上一动点，连接DE，作交边BC或边BC的延长线于点F，以DE和EF为邻边构造矩形DEFG，连接 若点E到边BC的距离为3，则它到边DC的距离为______； 求证：矩形DEFG是正方形； 线段AE和线段CG的数量关系是______，位置关系是______. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：当分母即时，分式有意义． 故选： 分式有意义，分母不等于零． 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： 分式无意义分母为零； 分式有意义分母不为零； 分式值为零分子为零且分母不为零． 2.【答案】C  【解析】解：； 故选： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3.【答案】B  【解析】解： 故选： 根据分式的基本性质即可求出答案． 本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键． 4.【答案】D  【解析】解：众数：出现次数最多的是141， 中位数： 故选： 根据众数，中位数的性质分别计算出结果，然后判断即可． 本题考查的是众数，中位数的性质和计算，熟悉相关概念是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：设， 根据题意得：，， 点P在第二象限内， ，， ，， ， 故选： 先得到P的横纵坐标可能的值，进而根据点在第二象限的符号特点可得具体坐标． 本题考查的是点的坐标，熟知点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ，，， 矩形ABCD的周长为20cm， ， ， ， 的周长 故选： 由矩形ABCD的对角线相交于点O，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由矩形ABCD的周长为10，可得的长，继而可得的周长等于 此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 7.【答案】D  【解析】解：由作图知， 四边形ACBD是菱形， 平分、CD平分、， 不能判断， 故选： 根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案． 本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质． 8.【答案】A  【解析】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数， 描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 乙、丁两学校的优秀人数相同， 点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面， 丙学校的xy的值最大，即优秀人数最多，甲学校的xy的值最小，即优秀人数最少， 故选： 根据题意可知xy的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定丙学校的优秀人数最多，甲学校的优秀人数最少，乙、丁两学校的优秀人数相同． 本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 9.【答案】0  【解析】解：由题意，得 且， 解得， 故答案为： 直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案． 此题考查分式的值为零的问题，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为这两个条件缺一不可． 10.【答案】  【解析】解：点在第四象限， ， 解得， 故答案为： 根据平面直角坐标系中，第四象限内的点的纵坐标小于0建立不等式，解不等式即可得． 本题考查了点所在的象限、一元一次不等式的应用，熟练掌握平面直角坐标系中，第四象限内的点的横坐标大于0，纵坐标小于0是解题关键． 11.【答案】答案不唯一  【解析】解：设该一次函数的解析式为 随着x的增大而减小， ， 取 点在一次函数图象上， 故答案为：答案不唯一 由y随着x的增大而减小可得出，取，再根据一次函数图象上点的坐标特征可得出，此题得解． 本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 12.【答案】乙  【解析】解：，，， ， 这三名运动员中5次射击训练成绩最稳定的是乙， 故答案为：乙． 直接根据方差的定义作答即可． 本题考查了方差，熟练掌握方差的定义：方差反映一组数据的大小，方差越大，波动性越大，反之也成立”解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：， ， 故答案为： 由平行四边形的内角和等于可得的度数，再根据平行四边形的对角相等可得答案． 此题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的对角相等． 14.【答案】16  【解析】解：点在反比例函数图象上， ， 解得：，或舍， ， 正方形ABCD的中心为原点O， ， ， 反比例函数图象具有中心对称性， 故答案为： 由反比例函数比例系数k的几何意义求出点P，再利用反比例函数图象的中心对称性求出阴影部分的面积． 本题考查了反比例函数图象和正方形的中心对称性、反比例函数比例系数k的几何意义和正方形的面积．解题的关键是通过比例系数k的几何意义求出点P的坐标从而求出点B的坐标． 15.【答案】解：   【解析】根据实数的运算法则进行计算即可． 本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． 16.【答案】解：原式 ， 当时，原式  【解析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把代入计算即可． 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值 17.【答案】解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ， 答：篮球的单价为70元，足球的单价为50元．  【解析】设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，由题意：花费7000元购买篮球的数量是花费2500元购买足球数量的2倍．列出分式方程，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18.【答案】证明：，， 四边形AEBO是平行四边形， 又菱形ABCD对角线交于点O， ， ， 四边形AEBO为矩形； 解：四边形ABCD是菱形，， ，，， 四边形AEBO是矩形， ， ， ， 菱形ABCD的面积  【解析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论； 由勾股定理和菱形的面积公式解答即可． 19.【答案】解：①由题意得， ， 解得，， 答：a的值为 ②补全折线统计图如图所示：从折线统计图上可以看出在乙种环境下，花期比较稳定， 甲种环境下的6株花的花期从小到大排列为：21，24，25，25，27，28，中位数为25天， 乙种环境下的6株花的花期为：23，24，25，25，27，a，要使中位数也是25天，因此a最小为25， 答：a的最小值为  【解析】①根据平均数相同，即这6株花的花期的总天数相等，列方程解答即可，②求出a的值，即可补全折线统计图，由折线统计图的两种环境下的花期的离散程度可以直观判断出在乙的环境下，花期比较稳定， 先求出甲中环境下花期的中位数，在将已知的在乙种环境下的5株的花期排序，要使中位数与甲环境下的相同，确定a 的最小值即可． 考查折线统计图的制作方法，中位数、平均数的意义和计算方法，理解中位数、平均数的意义是解决问题的前提，绘制折线统计图可以直观看出数据的离散程度，从而做出判断和预测． 20.【答案】菱形  【解析】解：如图，四边形ABCD即为所求答案不唯一； 如图四边形ABEF即为所求，平行四边形ABEF是菱形． 故答案为：菱形； 如图，直线OP即为所求． 根据平行四边形的判定作出图形； 作线段AE，使得点P是AE的中点，作线段BF，使点P是BF的中点，连接AF，EF，BE，四边形ABEF即为所求； 连接AG，BH交于点O，作直线OP即可． 本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21.【答案】  【解析】解：将点B坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以点B坐标为 将A，B两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为 将代入得， ， 所以点P的坐标为 由题知， 反比例函数与一次函数在第一象限内的交点坐标为， 如图所示， 当时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 所以当时，x的取值范围是： 因为当时，对于x的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值， 所以当时，函数的函数值大于等于函数的函数值， 则， 解得 又因为时，对于x的每一个值，一次函数的值都小于4， 所以， 解得 所以 故答案为： 将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入一次函数解析式即可解决问题，将代入一次函数解析式即可求出点P的坐标． 利用数形结合的数学思想即可解决问题． 根据题意，得出关于n的不等式组，据此可解决问题． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 22.【答案】轴对称图形  一条对角线垂直且平分另一条对角线  ，且BD平分AC ①③  【解析】解：菱形是轴对称图形， 故①处为既是轴对称图形； 菱形的一条对角线垂直且平分另一条对角线， 故②处填一条对角线垂直且平分另一条对角线； 故答案为：轴对称图形，一条对角线垂直且平分另一条对角线； 求证：，且AD平分EC； 证明：在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ，， 又， ， 故答案为：，且BD平分AC； ①且； 根据筝形的定义则①正确； ③且； 在于中， ， ≌， ， 同理可证， 四边形ABCD是“筝形”， 故③正确； 故答案为：①③； “筝形”ABCD， ，， 连接AQ，CQ， 在与中， ， ≌， ， 则， 当点C，Q，P三点共线且过点C作AB的垂线，此时线段CP最短，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 的最小值为 根据菱形的性质进行解答即可； 结合题中给出的筝形定义，先给出一个结论，再利用筝形的定义证明结论即可； 根据筝形的判定进行判定即可； 根据筝形的性质，，则，过点C作于点P，此时最小，进而计算即可． 本题考查了实践应用，新定义四边形问题，菱形的性质，垂直平分线的性质与证明，全等三角形的性质与判定，读懂题意，灵活运用新定义是解题的关键． 23.【答案】16 10  【解析】解：由题意，观察函数图象，可得， 小球P第一次到达挡板l的时间是16s， 小球P的速度为 故答案为：16； 由题意，， 又， 答：a的值为64，木块Q的运动速度 由题意，设小球P第一次返回时，， 将，代入得， 由题意，设小球P运动16s前的函数关系式为， 函数过， 此时函数为 又令， 又当小球运动到16s后，结合函数关系式为， 令 综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为20cm时，或 依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是16s，进而可得小球P的速度为，故可判断得解； 依据题意，，又，则，进而可得 ，计算即可得解； 依据题意，设小球P第一次返回时，，将，代入得，，进而计算可以得解； 依据题意，设小球P运动16s前的函数关系式为，结合函数过，进而可得关系式，再令，即可得解；结合函数关系式为，可令，进而可以得解． 本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 24.【答案】  【解析】解：作交边BC或边BC的延长线于点F，以ED和EF为邻边构造矩形EFGD， 连接CG，作于点Q，于点P， ЕЕ，，，AC平分， 四边形EQCP为正方形， Е，QЕЕ， 矩形EFGD中，， ЕЕ， 则ЕЕЕЕЕ， 即， 在和中， ， Е≌Е， ， 故答案为：3； 证明：作于M，于N， 在正方形ABCD中，AC为对角线， ， ， ， 四边形EMCN是矩形， ， ， ， ， ， ≌， ， 矩形EFGD是正方形； 如图，在正方形ABCD中，，E是对角线AC上一动点不与点A、C重合， 连接DE，作交边BC或边BC的延长线于点F，以ED和EF为邻边构造矩形EFGD， 连接CG，作于点Q，于点P， ЕЕ，，，AC平分， 四边形EQCP为正方形， Е，QЕЕ， 矩形EFGD中，， ЕЕ， 则ЕЕЕЕЕ， 即， 在和中， ， Е≌Е， ， 矩形EFGD是正方形， ，， ， 则， 即， ， ≌， ，， 等腰直角中有， ， 即，， 故答案为：， 作于点Q，于点P，根据正方形的性质与判定可得四边形EQCP为正方形，结合矩形的性质可得，减去一个公共角可得，即可证明≌，则； 作于M，于N，推出，进而推出四边形EMCN是矩形，根据角的变换推出≌，则，最后推出矩形EFGD是正方形； 作于点Q，于点P，根据正方形的性质与判定可得四边形EQCP为正方形，结合矩形的性质可得，减去一个公共角可得，即可证明≌，即可推得矩形EFGD是正方形，则有，减去公共角可得，可证≌，根据全等三角形对应角相等及等腰直角三角形性质即可证明 本题是四边形综合题，考查的知识点是正方形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性，勾股定理，函数关系式，解题关键是综合运用正方形、矩形、等腰三角形的性质及全等三角形的判定进行推理论证． 第1页，共1页 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