4.2.3 二项分布与超几何分布课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第四章　概率与统计 4.2.3　二项分布与超几何分布 人教B版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.理解n次独立重复试验的模型,掌握二项分布,并能利用它们解决一些简单的实际问题. 2.理解超几何分布的意义,能够利用超几何分布的概率公式解决实际问题. 3.通过本节的学习,体会模型化思想在解决问题中的作用,感受概率在生活中的作用,提高数学应用能力. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　n次独立重复试验与二项分布 1.n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. 2.二项分布 一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)=　　　　　,k=0,1,…,n.  因此X的分布列如下表所示. 上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式 中对应项的值,因此称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~　　　　　.  B(n,p) 名师点睛 1.二项分布是n次独立重复试验在k取遍0,1,2,…,n各种情况下的一个分布列. 2.在X~B(n,p)中,X可以取0,1,2,…,n中的任意值,而在n次独立重复试验中,X却是一个具体结果;注意掌握表示符号n,p的具体含义,并习惯用符号表示具体的分布列. 3.两点分布是二项分布在参数n=1时的特殊情况. 过关自诊 1.设随机变量X~B(6, ),则P(X=3)等于(　　) A 2.某电子管的正品率为 ,次品率为 ,现对该批电子管进行测试,那么在三次测试中恰有一次测到正品的概率是(　　) C 知识点二　超几何分布 1.定义 一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M<N),从所有物品中随机取出n件(n≤N),则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较小者,t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0,否则t取n减乙类物品件数之差(即 t=n-(N-M)),而且P(X=k)=　　　　　　,k=t,t+1,…,s,这里的X称为服从参 数N,n,M的超几何分布,记作X~　　　　　　.  H(N,n,M) 2.超几何分布列 如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布列如下表所示. 名师点睛 判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点: (1)总体是否可分为两类明确的对象. (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 过关自诊 1.[2023福建漳州高二期中]盒中有4个白球,5个红球,从中任取3个球,则恰好取出2个红球的概率是(　　) C 解析 设取出红球的个数为X,则X~H(9,3,5), 2.有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则P(X≤1)等于(　　) B 重难探究·能力素养全提升 探究点一　n次独立重复试验概率的求法 【例1】 [人教A版教材例题]将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求: (1)恰好出现5次正面朝上的概率; (2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率. 解 设A=“正面朝上”,则P(A)=0.5.用X表示事件A发生的次数,则X~B(10,0.5). (1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5,于是 (2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于4≤X≤6,于是 规律方法　n次独立重复试验概率求法的三个步骤 (1)判断:依据n次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验; (2)分拆:判断所求事件是否需要拆分; (3)计算:就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算. 变式训练1某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了8次球,求下列事件的概率:(1)恰有4次投中的概率为　　　　　;(2)至少有4次投中的概率为 　　　　　;(3)至多有4次投中的概率为　　　　　.(结果保留三位小数)  0.136 0.942 0.194 解析 (1)某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了8次球,恰有4次投中的概率为 (2)至少有4次投中的概率为 (3)至多有4次投中的概率为 探究点二　二项分布 【例2】 某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则视作通过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为 ,复审能通过的概率为 ,各专家评审的结果相互独立. (1)求某应聘人员被录用的概率; (2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列. 解 设“两位专家都同意通过”为事件A,“只有一位专家同意通过”为事件B,“通过复审”为事件C. (1)设“某应聘人员被录用”为事件D,则D=A∪(BC), 所以X的分布列为 规律方法　1.当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功概率p. 2.解决二项分布问题的关键 对于公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用,否则不能应用该公式. 变式训练2为增强学生体质,某学校组织体育社团,某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团,每人只能从两个社团中选择其中一个社团,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团,掷出点数为5或6的人参加篮球社团,掷出点数小于5的人参加足球社团. (1)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率; (2)用ξ,η分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数,记随机变量X为ξ和η之差的绝对值,求随机变量X的分布列. 探究点三　超几何分布 【例3】 老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇,求: (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列; (2)他能及格的概率. 规律方法　求超几何分布列的步骤 (1)验证随机变量是否服从超几何分布,并确定参数N,M,n; (2)确定X的所有可能取值; (3)利用超几何分布公式计算P(X=k); (4)写出分布列(用表格或式子表示). 变式训练3在箱子中有10个小球,其中有3个红球,3个白球,4个黑球.从这10个球中任取3个.求: (1)取出的3个球中红球的个数X的分布列; (2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率.  解 (1)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,且X服从参数为N=10,M=3,n=3的超几何分布, 故X的分布列为 (2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A,“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1,“恰好取出2个红球”为事件A2,“恰好取出3个红球”为事件A3, 由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1+A2+A3, 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为 探究点四　概率的综合应用 【例4】 甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中3人答对的概率分别为 ,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分. (1)求随机变量ξ的分布列; (2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB). 所以ξ的分布列为 (2)用C表示“甲队得2分,乙队得1分”这一事件,用D表示“甲队得3分,乙队得0分”这一事件,所以AB=C∪D,且C,D互斥, 变式探究 在本例条件下,试求事件“甲、乙两队总得分之和大于4”的概率. 解 用E表示“甲、乙两队总得分之和大于4”这一事件,包括“总得分之和等于5”与“总得分之和等于6”. 变式训练4某学校为了解学生课后进行体育运动的情况,对该校学生进行简单随机抽样,获得20名学生一周进行体育运动的时间数据如表,其中运动时间在(7,11]的学生称为运动达人. 分组区间(单位:小时) (1,3] (3,5] (5,7] (7,9] (9,11] 人数 1 3 4 7 5 (1)从上述抽取的学生中任取2人,设X为运动达人的人数,求X的分布列; (2)以频率估计概率,从该校学生中任取2人,设Y为运动达人的人数,求Y的分布列. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 级 必备知识基础练 1.[探究点二·2023吉林长春校级月考]下列例子中随机变量ξ服从二项分布的个数为(　　) ①某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数ξ; ②某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ; ③从装有5个红球,5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,摸到白球时的摸球次数ξ; ④有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数. A.0 B.1 C.2 D.3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.[探究点一]某学校成立了A,B,C三个课外学习小组,每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的,则该校的任意4位学生中,恰有2人申请A学习小组的概率是(　　) D 解析 设每位学生申请课外学习小组为一次试验,这是4次独立重复试验,记“申请A学习小组”为事件A,则P(A)= ,由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式可知,恰有2人申请A学习小组的概率是 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.[探究点四](多选题)某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击 4次,且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则下列四个选项中,正确的是(　　) A.他第3次击中目标的概率是0.9 B.他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1 C.他至少击中目标1次的概率是1-0.14 D.他恰好有连续2次击中目标的概率为3×0.93×0.1 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.[探究点三·2023四川绵阳高二期中]在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品数,则P(X=2)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.[探究点二·人教A版教材习题]鸡接种一种疫苗后,有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗,求: (1)没有鸡感染病毒的概率; (2)恰好有1只鸡感染病毒的概率. 解 设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为X,则X~B(5,0.2). (1)P(X=0)= ×0.85=0.327 68. (2)P(X=1)= ×0.2×0.84=0.409 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 6.已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次,至少击中3次的概率为(　　) A.0.85 B.0.819 2 C.0.8 D.0.75 B 解析 因为某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次看作4次独立重复试验,则至少击中3次的概率 (0.8)3(1-0.8)+0.84=0.819 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(多选题)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是(　　) BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(多选题)某城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从该城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是(　　) ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(多选题)若随机变量ξ~B(5, ),则P(ξ=k)最大时,k的值可以为(　　) A.1 B.2 C.4 D.5 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(多选题)一袋中有6个大小相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列结论中正确的是 (　　) A.取出的最大号码X服从超几何分布 B.取出的黑球个数Y服从超几何分布 C.取出2个白球的概率为 D.若取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,则总得分最大的概率为 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测,规定至少要解答正确2道 题才能及格.某同学只能求解其中的4道题,则他能及格的概率是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.两名学生一起去一家单位应聘,面试前单位负责人对他们说:“我们要从面试的人中招聘3人,你们俩同时被招聘进来的概率是 .”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同,则根据这位负责人的话,可以推断出参加面试的人数为　　　　.  21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.箱中装有4个白球和m(m∈N+)个黑球.规定取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,现从箱中任取3个球,假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X为取出的3个球所得分数之和. (1)若P(X=6)= ,求m的值; (2)当m=3时,求X的分布列.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.[人教A版教材例题改编]一个袋子中有100个大小相同的球,其中有40个黄球、60个白球,从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.分别就有放回摸球和不放回摸球,求X的分布列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 ①对于有放回摸球,每次摸到黄球的概率为0.4,且各次试验之间的结果是相互独立的,因此X~B(20,0.4),X的分布列为P(X=k)= ×0.4k×0.620-k, k=0,1,2,…,20. ②对于不放回摸球,各次试验的结果不独立,X服从超几何分布,X的分布列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.某同学通过英语听力测试的概率为 ,他连续测试n次,要保证他至少有一次通过的概率大于0.9,那么n的最小值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 学科素养创新练 16.甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 解 采用3局2胜制,甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1,前者是前两局甲连胜,后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是相互独立的,所以甲最终获胜的概率为p1=0.62+ ×0.62×0.4=0.648. 类似地,采用5局3胜制,甲最终获胜有3种比分3∶0,3∶1或3∶2. 因为每局比赛的结果是相互独立的,所以甲最终获胜的概率为 因为p2>p1,所以5局3胜制对甲有利.实际上,比赛局数越多,对实力较强者越有利. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (q+p)n=p0qn+p1qn-1+…+pkqn-k+…+pnq0 pkqn-k A. B. C. D. 解析 由题意,随机变量X~B(6,),所以P(X=3)=)3(1-)3=,故选A. A. B. C. D. 解析 由题意可知,三次测试中恰有一次测到正品,则有两次测到次品,故所求事件的概率为·()2=.故选C. A. B. C. D. ∴P(X=2)=.故选C. A. B. C. D. 解析 根据题意,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.故选B. P(X=5)=×0.510=. P(4≤X≤6)=×0.510+×0.510+×0.510=. ×0.74×0.34≈0.136. ×0.74×0.34+×0.75×0.33+×0.76×0.32+×0.77×0.3+×0.78≈0.942. ×0.38+×0.7×0.37+×0.72×0.36+×0.73×0.35+×0.74×0.34≈0.194. 因为P(A)=, P(B)=2××(1-)=, P(C)=, 所以P(D)=P(A∪(BC))=P(A)+P(B)P(C)=. (2)根据题意,X可能的取值为0,1,2,3,4,且X~B(4,), 设Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i=0,1,2,3,4), 因为P(A0)=×()4=, P(A1)=×()3=, P(A2)=×()2×()2=, P(A3)=×()3×, P(A4)=×()4×()0=. X 0 1 2 3 4 P 解 依题意,这4个人中,每个人参加篮球社团的概率为,参加足球社团的概率为, 设“这4个人中恰有i个人参加篮球社团”为事件Ai(i=0,1,2,3,4), 则P(Ai)=)i()4-i(i=0,1,2,3,4), (1)这4个人中恰有1个人参加篮球社团的概率为P(A1)=)1()3=. (2)由已知得X的所有可能取值为0,2,4, P(X=0)=)2()2=, P(X=2)=)1()3+)3()1=, P(X=4)=)4+)4=, 所以X的分布列为 X 0 2 4 P 解 (1)设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X,则X是离散型随机变量,它可能的取值为0,1,2,3,X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3. 用表格表示为 X 0 1 2 3 P (2)该同学能及格表示他能背出2篇或3篇,故他能及格的概率P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=. 因此P(X=k)=(k=0,1,2,3). 所以P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=. X 0 1 2 3 P 而P(A1)=,P(A2)=P(X=2)=, P(A3)=P(X=3)=, P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=. 解 (1)根据题设可知,ξ~B,故ξ的分布列为 P(ξ=k)=,k=0,1,2,3. P(ξ=0)=, P(ξ=1)=, P(ξ=2)=, P(ξ=3)=. ξ 0 1 2 3 P 又P(C)=, P(D)=×()=, 故P(AB)=P(C)+P(D)=. 用F表示“甲、乙两队总得分之和等于5”这一事件,包括“甲队3分、乙队2分”和“甲队2分、乙队3分”,P(F)=×() +. 用G表示“甲、乙两队总得分之和等于6”这一事件,包括“甲队得3分,乙队得3分”,则P(G)=. 又因为E=F∪G,且F,G互斥, 所以P(E)=P(F)+P(G)=. 解 (1)X的可能取值为0,1,2, ∵P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, ∴X的分布列为 X 0 1 2 P (2)由表中数据可得,抽到运动达人的频率为, 将频率视为概率,则随机变量Y~B(2,), ∵P(Y=0)=)2=,P(Y=1)=, P(Y=2)=)2=, ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 P A. B. C. D. ·()2()2=, 解析 X满足超几何分布,所以P(X=2)=. A.两件都是一等品的概率是 B.两件中有一件是次品的概率是 C.两件都是正品的概率是 D.两件中至少有1件是一等品的概率是 A.这5个家庭均有小汽车的概率为 B.这5个家庭中,恰有3个家庭拥有小汽车的概率为 C.这5个家庭均未有小汽车的概率为 D.这5个家庭中,4个家庭以上(含4个家庭)拥有小汽车的概率为 解析 依题意P(ξ=k)=×()k×()5-k,k=0,1,2,3,4,5. 可以求得P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,P(ξ=5)=. 故当k=2或1时,P(ξ=k)最大.故选AB. 解析 由超几何分布的概率计算公式可得,他能及格的概率是P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=. 解析 设参加面试的人数为n,依题意有,即n2-n-420=(n+20)(n-21)=0,解得n=21或n=-20(舍去). 解 (1)由题意得,取出的3个球都是白球时,随机变量X=6, 所以P(X=6)=,即=10,解得m=1. (2)由题意得,X所有可能的取值为3,4,5,6, 则P(X=3)=;P(X=4)=;P(X=5)=;P(X=6)=. 所以X的分布列为 X 3 4 5 6 P 为P(X=k)=,k=0,1,2,…,20. 解析 由题意可得,1-(1-)n>0.9, 即()n<0.1,所以n≥4.故选B. p2=0.63+×0.63×0.4+×0.63×0.42=0.682 56. $$