4.2.4 随机变量的数字特征（第2课时 离散型随机变量的方差）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第四章　概率与统计 4.2.4　随机变量的数字特征 第2课时　离散型随机变量的方差 人教B版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义. 2.会求离散型随机变量的方差、标准差. 3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点　离散型随机变量的方差 a2D(X) p(1-p) np(1-p) 名师点睛 离散型随机变量ξ的期望与方差 过关自诊 1.[人教A版教材习题改编]将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,X表示“正面朝上”出现的次数.则E(X)=　　　　　,D(X)=　　　　　.  2.已知随机变量X,D(X)= ,则X的标准差为　　　　　.  2　 1 解析 ∵X~B(4,0.5),∴E(X)=4×0.5=2,D(X)=4×0.5×0.5=1. 3.已知X的分布列为 X -1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 求D(X). 解 E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3, D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求随机变量的方差与标准差 【例1】 已知X的分布列如下: (1)求X2的分布列; (2)计算X的方差; (3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差. (3)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11. 规律方法　方差的计算方法 方差的计算需要一定的运算能力,注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0). 变式训练1[人教A版教材习题]已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 求D(X)和σ(2X+7). (注:σ(X)是指随机变量X的标准差) 解 由题意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4, ∴D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84, ∴D(2X+7)=4D(X)=4×0.84=3.36, 探究点二　两点分布与二项分布的方差 【例2】 设X的分布列为 (k=0,1,2,3,4,5),则D(3X)=(　　) A.10 B.30 C.15 D.5 A 变式探究 本例题条件不变,求D(5X+2). 规律方法　求离散型随机变量的均值与方差的关注点 (1)写出离散型随机变量的分布列. (2)正确应用均值与方差的公式进行计算. (3)对于二项分布,关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布,然后直接应用公式计算. 变式训练2(多选题)[2023浙江杭州高二期中]某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为 ,出现1的概率为 ,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时 (　　) A.X服从二项分布 ABC 探究点三　均值、方差的实际应用 【例3】 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求ξ,η的分布列; (2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击水平. 解 (1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1. 因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为 1-(0.3+0.3+0.2)=0.2. 所以ξ,η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)得 E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2; E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7; D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96; D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21. 由于E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η),说明甲射击的环数的均值比乙高,且成绩比较 稳定, 所以甲比乙的射击水平高. 规律方法　利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高. (2)在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定. (3)下结论.依据均值和方差得出结论. 变式训练3甲、乙两种零件某次性能测评的分值ξ,η的分布如下,则性能更稳定的零件是　　　　.  ξ 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 η 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 乙 解析 由题意知E(ξ)=8×0.3+9×0.2+10×0.5=9.2, E(η)=8×0.2+9×0.4+10×0.4=9.2, 所以D(ξ)=0.3×(8-9.2)2+0.2×(9-9.2)2+0.5×(10-9.2)2=0.76, D(η)=0.2×(8-9.2)2+0.4×(9-9.2)2+0.4×(10-9.2)2=0.56. 因为D(η)<D(ξ),所以乙更稳定. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 级 必备知识基础练 1.[探究点二]设随机变量X服从二项分布,且期望E(X)=3,p= ,则方差D(X)等于(　　) C 解析 由于二项分布的数学期望E(X)=np=3,所以二项分布的方差D(X)=np(1-p)= ,故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.[探究点一]已知随机变量X的分布列为 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.[探究点二]设随机变量X,Y满足Y=4X+1,X~B(2,p),若P(X≥1)= ,则D(Y)=(　　) A. B.3 C.6 D.8 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.[探究点一·2023吉林长春高二阶段练习](多选题)设0<p<1,已知随机变量ξ的分布列如下表,则下列结论正确的是(　　) ξ 0 1 2 P p-p2 p2 1-p A.P(ξ=0)<P(ξ=2) B.P(ξ=2)的值最大 C.E(ξ)随着p的增大而增大 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.[探究点一]已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,则P(X=2)=　　　.(结果用数字表示)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.[探究点二]若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量X表示事件A在1次试验中发生的次数,则方差D(X)的最大值 为　　　　　; 的最大值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 8.(多选题)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则(　　) ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.将3个完全相同的小球放入3个盒子中,盒子的容量不限,且每个小球落入盒子的概率相等.记X为分配后所剩空盒的个数,Y为分配后不空盒子的个数,则(　　) A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y) B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y) C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y) D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.某人共有三发子弹,他射击一次命中目标的概率是 ,击中目标后射击停止,射击次数X为随机变量,则方差D(X)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知袋中装有大小相同质地均匀的5个球,其中3个黑球和2个白球,从袋中无放回地随机取出3个球,记取出黑球的个数为X,则 E(X)=　　　　　,D(X)=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.某财经杂志发起一项调查,旨在预测某地经济前景,随机访问了100位业内人士,根据被访问者的问卷得分(满分10分)将经济前景预期划分为三个等级(悲观、尚可、乐观).分级标准及这100位被访问者得分频数分布情况如下: 经济前景等级 悲观 尚可 乐观 问卷得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 5 10 19 24 17 9 7 4 假设被访问的每个人独立完成问卷(互不影响),根据经验,这100位人士的意见即可代表业内人士意见,且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士,试估计至少有一人预测该地经济前景为“乐观”的概率; (2)某人有一笔资金,现有两个备选的投资意向:物联网项目或人工智能项目,两种投资项目的年回报率都与该地经济前景等级有关,根据经验,大致关系如下(正数表示赢利,负数表示亏损): 经济前景等级 乐观 尚可 悲观 物联网项目年回报率/% 12 4 -4 人工智能项目年回报率/% 7 5 -2 根据以上信息,请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差,并用统计学知识给出投资建议. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 (1)由题意可知100名被访问者中,预测某地经济前景为“乐观”的人数为9+7+4=20人,概率为0.2, 若又随机访问了两名业内人士,至少有一个预测该地经济前景为“乐观”的概率为P=0.22+·0.2·(1-0.2)=0.36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设投资物联网和人工智能项目年回报率的期望分别为E(X1),E(X2),方差分别为D(X1),D(X2), 则E(X1)=0.2×12%+0.7×4%+0.1×(-4%)=4.8%, E(X2)=0.2×7%+0.7×5%+0.1×(-2%)=4.7%, D(X1)=0.2×(12%-4.8%)2+0.7×(4%-4.8%)2+0.1×(-4%-4.8%)2=0.001 856, D(X2)=0.2×(7%-4.7%)2+0.7×(5%-4.7%)2+0.1×(-2%-4.7%)2=0.000 561. ∵E(X1)>E(X2), ∴投资物联网项目比投资人工智能项目平均年回报率要高,但二者相差不大. ∵D(X1)>D(X2), ∴投资人工智能项目比投资物联网项目年回报率稳定性更高,风险要小, ∴建议投资人工智能项目. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 14.已知m,n均为正数,随机变量X的分布列如下表: X 0 1 2 P m n m 则下列结论一定成立的是(　　) A.P(X=1)<P(X≠1) B.E(X)=1 C.mn≤ D.D(X+1)<1 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销,定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应,每天的销售数据按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分组,得到如下频率分布直方图,以不同销量的频率估计概率.试销结束后,这款酸奶正式上市,厂家只提供整箱批发:大箱每箱50瓶,批发成本85元; 小箱每箱30瓶,批发成本65元.由于酸奶保质期短,当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考,决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表,比如销量为(45,55]时看作销量为50瓶). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)设早餐店批发一大箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量X,批发一小箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量Y,求X和Y的分布列; (2)从早餐店的收益角度和利用所学的知识作为决策依据,该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱?(必须作出一种合理的选择) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 (1)若早餐店批发一大箱,批发成本为85元,依题意,销量有20,30,40,50四种情况. 当销量为20瓶时,利润为5×20-85=15元, 当销量为30瓶时,利润为5×30-85=65元, 当销量为40瓶时,利润为5×40-85=115元, 当销量为50瓶时,利润为5×50-85=165元. 随机变量X的分布列为 X 15 65 115 165 P 0.3 0.4 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若早餐店批发一小箱,批发成本为65元,依题意,销量有20,30两种情况. 当销量为20瓶时,利润为5×20-65=35元, 当销量为30瓶时,利润为5×30-65=85元. 随机变量Y的分布列为 Y 35 85 P 0.3 0.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)根据(1)中的计算结果,所以E(X)=15×0.3+65×0.4+115×0.2+165×0.1=70, E(Y)=35×0.3+85×0.7=70,E(X)=E(Y). D(X)=(15-70)2×0.3+(65-70)2×0.4+(115-70)2×0.2+(165-70)2×0.1=2 225, D(Y)=(35-70)2×0.3+(85-70)2×0.7=525, 所以D(X)>D(Y). 所以早餐店每天应该批发一小箱. 　 解析 X的标准差. X -1 0 1 P a 解 (1)由分布列的性质,知+a=1,故a=,从而X2的分布列为 X2 0 1 P (2)(方法一)由(1)知a=,所以X的均值E(X)=(-1)×+0×+1×=-. 故X的方差D(X)=(-1+)2×+(0+)2×+(1+)2×. (方法二)由(1)知a=,所以X的均值E(X)=(-1)×+0×+1×=-,X2的均值E(X2)=0×+1×, 所以X的方差D(X)=E(X2)-[E(X)]2=. ∴σ(2X+7)=≈1.833. P(X=k)=)k()5-k 解析 由P(X=k)=)k()5-k(k=0,1,2,3,4,5)可知,随机变量服从二项分布X~B(5,),所以D(X)=5××(1-)=,D(3X)=9D(X)=10. 解 由例题可知X~B(5,),D(X)=. 故D(5X+2)=. B.P(X=1)= C.X的均值E(X)= D.X的方差D(X)= 解析 由二进制数A的特点知,每一个数位上的数字只能填0,1且每个数位上的数字互不影响,故X的可能取值有0,1,2,3,4,且X的取值表示1出现的次数,由二项分布的定义可得X~B(4,),故A正确;故P(X=1)=)1()3=,故B正确;因为X~B(4,),所以E(X)=4×,D(X)=4×,故C正确,D错误.故选ABC. A. B. C. D.2 3×(1-)= X 0 1 2 P 设Y=2X+3,则D(Y)等于(　　) A. B. C. D. 解析 由X的分布列得E(X)=0×+1×+2×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+ (2-1)2×,因为Y=2X+3,则D(Y)=4D(X)=.故选A. 3.[探究点一]已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X≥1)=,P(X=3)=,若X的数学期望E(X)=,则D(4X-3)=(　　) A.19 B.16 C. D. 解析 由题意得,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=, ∴D(X)=2×p×(1-p)=, ∴D(Y)=42D(X)=16×=6.故选C. D.当p=时,D(ξ)= 解析 ∵D(Y)=4D(X)=3.2,∴D(X)=0.8. 又X~B(n,p),∴ 解得p=0.8,n=5. 故P(X=2)=p2(1-p)3=. 2-2 A.X~B(4,) B.P(X=2)= C.X的期望E(X)= D.X的方差D(X)= 10.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,又已知E(X)=,D(X)=,则|x1-x2|的值为(　　) A. B. C.3 D.1 (2)由题意可知,预测该地经济前景为“乐观”的概率为=0.2, 预测该地经济前景为“尚可”的概率为=0.7, 预测该地经济前景为“悲观”的概率为=0.1. 解析 由分布列的性质得m+n+m=2m+n=1,P(X=1)=n,P(X≠1)=2m,当m=,n=时,P(X=1)=P(X≠1),故选项A错误;因为E(X)=n+2m=1,故选项B正确;因为m,n均为正数,所以1=n+2m≥2,即mn≤,当且仅当n=2m=时,等号成立,故选项C正确;由n=1-2m>0,得0<m<.又E(X)=1,所以D(X+1)=D(X)=m+m=2m<1,故选项D正确.故选BCD. $$