二次函数的图像和性质讲义2024-2025学年人教版 九年级数学上册

课 题 二次函数的图像和性质 模块一 二次函数的图像和性质 知识点一 二次函数的概念及一般形式 1．概念:一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意1：二次函数满足的条件：(1)函数解析式是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于0. 2. 一般形式：任何一个二次函数的解析式都可以化成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,因此,把y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)叫做二次函数的一般式. 注意2：二次项系数、一次项系数、常数项均包括前面的符号。 知识点二 二次函数y=ax²的图象和性质 二次函数 y=(a≠0) a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下》归纳总结 顶点坐标 (0,0) 对称轴 y轴 增减性 在对称轴的左侧(即x<0)， y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧(即x>0)， y随x的增大而增大 在对称轴的左侧(即x<0)， y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧(即x>0)， y随x的增大而减小 最值 当x=0时,y最小=0 当x=0时,y最大=0 归纳总结： 知识点三 二次函数y=ax²+k的图象和性质 函数 y=ax²+k(a≠0) a>00 a<0 k>0 k<0 k>0 k<0 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 (0,k) 增减性 当 x<0 时, y 随 x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大 当 x<0 时, y 随 x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小 最值 当x=0时,y最小=k 当x=0时,y最大=k 解读：a，k的值对于函数图象的影响： (1)a的正负决定抛物线的开口方向； (2)|a|的大小决定抛物线的开口大小； (3)k的正负决定抛物线与y 轴的交点位置. 1. 二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象间的关系 (1)当k>0时,抛物线 y=ax²+k可由抛物线y=ax²向上平移k 个单位长度得到； (2)当k<0时，抛物线y=ax²+k可由抛物线y =ax²向下平移|k|个单位长度得到.(简记为“上加下减”) 知识点四 二次函数y=a(x-h)² 的图象和性质 1.y=a(x-h)²的图象和性质 二次函数 y=a(x-h)²(a≠0) a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h,0) 对称轴 直线x=h 增减性 当x<h时，y随x的增大而减小; 当x>h时,y随x的增大而增大 当x<h时，y随x的增大而增大;当x>h时,y随x的增大而减小 最值 当x=h时,y最小=0 当x=h时,y最大=0 2. 二次函数y=a(x-h)²与y=ax²的图象间的关系 (1)当h>0时,抛物线y=a(x-h)²可由抛物线y=ax²向右平移h个单位长度得到； (2)当h<0时,抛物线y=a(x-h)²可由抛物线y=ax²向左平移1h1个单位长度得到.(简记为“左加右减”) 知识点五 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1.y=a(x-h)²+k的图象和性质 二次函数 y=a(x-h)²+k(a,h,k是常数,a≠0) a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h,k) 对称轴 直线x=h 增减性 当x<h时，y随x的增大而减减小 当x>h时,y随x的增大而增大 当x<h时，y随x的增大而增大; 当x>h时,y随x的增大而减小 最值 当x=h时,y最小=k 当x=h时,y最大=k 拓展：（1）当 h=0时,二次函数y=ax²+k. （2）当k=0时,二次函数y=a(x-h)². 2. 二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的图象间的关系 抛物线 y=a(x-h)²+h可由抛物线y=ax²先向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度,再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度.(简记为“上加下减。左加右减”) 注意：因为抛物线的顶点与抛物线平移的距离和方向是相同的，所以抛物线的平移规律可以理解为顶点的平移规律. · 利用二次函数的概念求字母系数的值 【例1】已知是y关于x的二次函数，则m 的值为（ ） A. 3 B. -1 C. 0 D. 3或-1 【答案】B 【变1】已知 3mx-l 是二次函数,则m 的值为( ) A. 0 B. -1 C. 1 D. 1或-1 【答案】C · 二次函数y=ax²的性质 【例2】(教材P32 练习改编)已知二次函数 y=3x². (1)已知点(x₁,y₁),(x₂,y₂)都在二次函数的图象上,若x₂>x₁>0,则y₁和y₂的大小关系为 ; (2)若y=ax²与该函数开口方向相反，且开口比它小，则a的取值范围是 . 【答案】（1）y₁ （2）-3 【变1】(陕西中考改编)若点(-3,y₁),(1,y₂),(3,y₃)都在二次函数 的图象上,则y₁,y₂, y₃的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【变2】如图，矩形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3,1),(3,4),(1,4).若抛物线 y=ax² 的图象与矩形有公共点，则实数a 的取值范围是( ) 【答案】A 【变3】(教材 P32练习改编)如图，正方形的边长为 ，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=3x²与 y=-3x²的图象，则图中阴影部分的面积是 . 【答案】3 【变4】(教材P31思考改编)如图,A,B 两点在y= 的图象上.已知A，B两点的横坐标分别为-3，2，直线AB与y轴交于点C，连接OA,OB. (1)求直线AB的解析式; (2)求△AOB的面积; (3)若函数的图象上存在点 P，使△PAB的面积等于△AOB 的面积的一半，则这样的点P共有 个. 【答案】（1）y=-x+2 (2)5 (3)4 · 一次函数与二次函数图象共存问题 【例3】二次函数y=ax²+b的图象与一次函数y=-2ax+b的图象在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) 【答案】A 【变1】(赤峰中考改编)函数y=k(x+k)(k≠0)与 y=kx²-k 在同一坐标系上的图象正确的是 ( ) 【答案】D · y=ax²+k 的图象和性质综合 【例4】已知点(x₁,y₁),(x₂,y₂)均在抛物线-2上，下列说法中正确的是（ ） A. 若 y₁=y₂,则 x₁=x₂ B. 若x₁=-x₂,则 y₁=-y₂ B. 若0<x₁<x₂, 则 y₁>y₂ D. 若x₁<x₂<0 , 则 y₁>y₂ 【答案】D 【变1】若二次函数y=ax²-3的图象经过P(3,0),Q(m,n)两点,则代数式n²-4m²+12n+30的最小值为 ( ) A.1 B. 2 C. -4 D. -6 【答案】D · 与二次函数对称性有关的计算 【例5】已知抛物线 y=-2(x+m)²经过A(-2,n),B(3,n)两点,则n的值为 . 【答案】- 【变1】(长春中考改编)在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(0,4),点 B 的坐标为(6,4).若抛物线y=a(x-h)²(a为常数,a≠0)与线段 AB 交于 C,D两点，且 则 a的值为 . 【答案】4 · 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质综合 【例6】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-3x²+b与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线 于B,C两点,若线段 BC的长为6，求b的值. 【答案】 【变1】(教材P41第7题改编)已知二次函数y= 当自变量x的值满足3≤x≤5时，与其对应的函数值y的最小值为3，求常数h的值. 【答案】0或8 · 二次函数图象的平移 解题通法： 二次函数图象的平移： 平移前 平移方式(m>0) 平移后 规律 顶点式y=a(x-h)²+k (a≠0) 向左平移m个单位 y=a(x-h+m)²+k 左加 向右平移m个单位 y=a(x-h-m)²+k 右减 向上平移m个单位 y=a(x-h)²+k+m 上加 向下平移m个单位 y=a(x-h)²+k-m 下减 【例7】在平面直角坐标系中，如果抛物线y=5x²不动，而把x轴向上平移3个单位长度，y轴向右平移2个单位长度，那么在新坐标系中，该抛物线的顶点坐标为( ) A. (-3,2) B.(-3,-2) C.(-2,-3) D.(2,-3) 【答案】C 【变1】(玉林中考改编)小嘉说：将二次函数y=(x-1)²-4 的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法: ①向左平移1个单位长度；②向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度；③向上平移4个单位长度；④沿 x 轴翻折，再向右平移3个单位长度.你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【变2】将二次函数y=2x 的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到新的函数图象，请完成下列问题. y=2x² y=2(x-1)²+2 (0,0) (1,2) (1,2) (2,m) (2,8) (3,10) (-1,2) (0,4) (-2,8) (-1,10) (1)m的值为 ; (2)在平面直角坐标系中画出平移前后的函数图象，并写出二次函数y=2x²与 y=2(x-1)²+2图象的交点坐标； (3)点P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)在新的函数图象上，且P，Q两点均在该函数图象对称轴同一侧,若 y₁>y₂,试判断x₁和x₂的大小. 【答案】（1）4 （2）略 交点坐标（1，2） （3）当P，Q两点同在对称轴左侧时，若 y₁>y₂,则x₁<x₂;当P，Q两点同在对称轴右侧时，若 y₁>y₂,则 x₁>x₂. · 二次函数的最值问题 【例8】已知二次函数 y=-(x-2)²+4. (1)当-2≤x<3时，求函数y的最大值和最小值； (2)当t≤x≤4时，若y的最大值与最小值之和为2，求t的值. 【答案】（1）当x=2时，y最大=4；当x=-2时，y最小=-12 （2）t的值为或2- 【变1】(襄阳中考改编)若函数 y=a(x-1)²+1-a 在4≤x≤5时有最小值为 a+2,求a的值. 【答案】a= 【变2】已知二次函数. y=a(x+1)²-2a(a≠0),当-3≤x≤2时,y的最小值为-6,求a的值. 【答案】3或- 模块二 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 知识点一 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 1. 二次函数y=ax²+bx+c 与y=a(x-h)²+h的关系 把二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)通过配方化成 ，抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标为）我们把它叫做顶点坐标公式。 2. 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 二次函数 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 ） 对称轴 直线 x=- 增减性 当x<时，y随x的增大而减小；当x> 时,y随x的增大而增大 当x< 时，y随x的增大而增大；当x>时,y随x的增大而减小 最值 当x = 时, y最小= 当x= 时, y最大= 拓展： 1.抛物线上两点若关于直线对称，则这两点的纵坐标相同，横坐标之和为 的2倍. 2. 若抛物线与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线 对称. 3. 确定抛物线对称轴的方法: ①直接运用对称轴为直线 求解； ②将一般式配方转化为顶点式 y=a(x-h)²+k, 则对称轴为直线x=h； ③利用 (其中x₁，x₂为抛物线上纵坐标相等的两个点对应的横坐标)求解. · 二次函数 y=ax²+bx+c与 y=a(x-h)²+k 的关系 【例1】(BS 教材九下P41改编)用配方法将二次函数y=2x²-12x+3化为y=a(x-h)²+k的形式为 ( ) A. y=2(x+3)²+15 B. y=2(x+3)²-15 C. y=2(x-3)²-15 D. y=2(x-3)²+15 【答案】C 【变1】(中考新考法·过程纠错)小红同学用配方法推导抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标，她是这样做的： 由于a≠0,解析式y=ax²+bx+c 变形为： ……………………………………第一步 ……………………………第二步 ……………………………第三步 …………………………第四步 (1)小红的解法从第 步开始出现错误；请写出正确的步骤，并写出抛物线y=ax²+bx+c(a≠0) 的顶点坐标； (2)用配方法求抛物线y=2x²+16x+9的顶点坐标和对称轴. 【答案】（1）二 ；略 （2） y=2（x+4）²-23 顶点坐标为（-4，-23），对称轴为直线x=-4 · 二次函数的对称性 【例2】已知二次函数的图象上部分点坐标的对应值列表如下： x ... -3 -2 -1 0 1 y ... 3 -3 -5 -3 3 则该函数图象的对称轴是直线 ( ). . . . . . A. x=-2 B. x=-1 C. x=0 D. x=1 【答案】B 【变1】已知二次函数y=ax2+bx+c中x与y的部分对应值如表，则m的值为_______． x -3 -2 0 1 2 3 5 y -10 -3 5 6 m 2 -10 【答案】5 · 二次函数y=ax2+bx+c的性质 【例3】关于二次函数y=4x²-8x+5,下列说法正确的是( ) A. 函数图象与y轴的交点坐标为(5，0) B. 对称轴在y轴左侧 C. y的最小值为 -1 D. 当x>1时,y随x的增大而增大 【答案】D 【变1】已知二次函数. y=-2x²-6x-1. (1)已知点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)在函数图象上,若x₁>x₂>0,判断y₁与y₂的大小关系; (2)当-2时，求y的取值范围。 【答案】(1) 92）-57 · 利用增减性比较大小 【例4】若函数y＝x2-4x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜2，则（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．y1，y2的大小不确定 【答案】A 【变1】已知（-1，y1），（-2，y2），（-4，y3）是抛物线y=2x2+8x+m上的点，则（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【答案】D · 利用增减性求最值 【例5】二次函数的最大值是_______，最小值是______ 【答案】5，1 【变1】已知抛物线，当时，y的最小值为-2，则当时，y的最大值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A · 二次函数的平移 【例6】将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是 _______． 【答案】+8 【变1】抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的表达式为，则原抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【变2】将二次函数y=ax2-8ax+2的图象向左平移m个单位后过点，则m的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 1. (教材P4第2题改编)如图,某小区计划修建一个圆形的花坛,记花坛的半径为 ,花坛的周长为 ,花坛的面积为 .当 在一定范围内变化时, 和 都随 的变化而变化,则 与 , 与 满足的函数关系是( @7@ ） A. 一次函数,正比例函数 B. 正比例函数,二次函数 C. 二次函数,正比例函数 D. 正比例函数,一次函数 【答案】B 2. 在平面直角坐标系中,二次函数 y=a(x+h)2(a≠0) 的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 3. 已知二次函数 y=−(x−2)2+4 ,当t<x<8 时, y 随 x 的增大而减小,则实数 t 的取值范围是( ) A. t≤2 B. t>2 C. 2≤t<8 D. t≥2 【答案】C 4. (教材P31探究改编)在同一个平面直角坐标系中,二次函数 y1=ax2 , y2=bx2 , y3=cx2 的图象如图所示,则 a , b , c 的大小关系为____________.(用“＞”连接) 【答案】a>b>c 5. 如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝　 ． 【答案】17 6. 如图, ⊙O 的半径为3, 是函数 y= 的图象, 是函数 y=−的图象,则阴影部分的面积是_ ____. 【答案】 7. 已知二次函数，当，函数的最小值是___________，最大值是___________． 【答案】2， 8. 已知二次函数 当自变量 <m>x</m> 的值满足 3≤x≤5 时,与其对应的函数值 y的最小值为3,求常数h的值. 【答案】h的值为0或8. 1. 已知函数 y=−5x2+mx(x−2) 是关于x的二次函数,则 m 的取值范围是( ) A. m=−5 B. m≠±5 C. m≠−5 D. m≠5 【答案】D 2. 将抛物线向上平移1个单位,再向左平移3个单位,得到的新抛物线的解析式为 y= x2 ,则平移前的抛物线解析式为( ) A. y= (x−3)2−1 B. y= (x−3)2+1 C. y= (x+3)2−1 D. y= (x+3)2+1 【答案】A 3. 当a＜0时，抛物线y=x2+2ax+1+2a2的顶点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 4. 已知二次函数 y=−(x+1)2+3 ,若 −3≤x≤2 ,则函数 y 的最小值和最大值分别是( ) A. 最小值是 −1 ,最大值是3 B. 最小值是0,最大值是3 C. 最小值是 −6 ,最大值是3 D. 最小值是 −6 ,最大值是 −1 【答案】C 5. 若抛物线 y=(x+m)2+2m−6 的顶点在第三象限,则 m 的取值范围为____________. 【答案】0<m<3 6. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象； （3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）（2，-1）（2）略（3）-1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课 题 二次函数的图像和性质 模块一 二次函数的图像和性质 知识点一 二次函数的概念及一般形式 1．概念:一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意1：二次函数满足的条件：(1)函数解析式是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于0. 2. 一般形式：任何一个二次函数的解析式都可以化成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,因此,把y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)叫做二次函数的一般式. 注意2：二次项系数、一次项系数、常数项均包括前面的符号。 知识点二 二次函数y=ax²的图象和性质 二次函数 y=(a≠0) a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下》归纳总结 顶点坐标 (0,0) 对称轴 y轴 增减性 在对称轴的左侧(即x<0)， y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧(即x>0)， y随x的增大而增大 在对称轴的左侧(即x<0)， y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧(即x>0)， y随x的增大而减小 最值 当x=0时,y最小=0 当x=0时,y最大=0 归纳总结： 知识点三 二次函数y=ax²+k的图象和性质 函数 y=ax²+k(a≠0) a>00 a<0 k>0 k<0 k>0 k<0 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 (0,k) 增减性 当 x<0 时, y 随 x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大 当 x<0 时, y 随 x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小 最值 当x=0时,y最小=k 当x=0时,y最大=k 解读：a，k的值对于函数图象的影响： (1)a的正负决定抛物线的开口方向； (2)|a|的大小决定抛物线的开口大小； (3)k的正负决定抛物线与y 轴的交点位置. 1. 二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象间的关系 (1)当k>0时,抛物线 y=ax²+k可由抛物线y=ax²向上平移k 个单位长度得到； (2)当k<0时，抛物线y=ax²+k可由抛物线y =ax²向下平移|k|个单位长度得到.(简记为“上加下减”) 知识点四 二次函数y=a(x-h)² 的图象和性质 1.y=a(x-h)²的图象和性质 二次函数 y=a(x-h)²(a≠0) a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h,0) 对称轴 直线x=h 增减性 当x<h时，y随x的增大而减小; 当x>h时,y随x的增大而增大 当x<h时，y随x的增大而增大;当x>h时,y随x的增大而减小 最值 当x=h时,y最小=0 当x=h时,y最大=0 2. 二次函数y=a(x-h)²与y=ax²的图象间的关系 (1)当h>0时,抛物线y=a(x-h)²可由抛物线y=ax²向右平移h个单位长度得到； (2)当h<0时,抛物线y=a(x-h)²可由抛物线y=ax²向左平移1h1个单位长度得到.(简记为“左加右减”) 知识点五 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1.y=a(x-h)²+k的图象和性质 二次函数 y=a(x-h)²+k(a,h,k是常数,a≠0) a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h,k) 对称轴 直线x=h 增减性 当x<h时，y随x的增大而减减小 当x>h时,y随x的增大而增大 当x<h时，y随x的增大而增大; 当x>h时,y随x的增大而减小 最值 当x=h时,y最小=k 当x=h时,y最大=k 拓展：（1）当 h=0时,二次函数y=ax²+k. （2）当k=0时,二次函数y=a(x-h)². 2. 二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的图象间的关系 抛物线 y=a(x-h)²+h可由抛物线y=ax²先向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度,再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度.(简记为“上加下减。左加右减”) 注意：因为抛物线的顶点与抛物线平移的距离和方向是相同的，所以抛物线的平移规律可以理解为顶点的平移规律. · 利用二次函数的概念求字母系数的值 【例1】已知是y关于x的二次函数，则m 的值为（ ） A. 3 B. -1 C. 0 D. 3或-1 【变1】已知 3mx-l 是二次函数,则m 的值为( ) A. 0 B. -1 C. 1 D. 1或-1 · 二次函数y=ax²的性质 【例2】(教材P32 练习改编)已知二次函数 y=3x². (1)已知点(x₁,y₁),(x₂,y₂)都在二次函数的图象上,若x₂>x₁>0,则y₁和y₂的大小关系为 ; (2)若y=ax²与该函数开口方向相反，且开口比它小，则a的取值范围是 . 【变1】(陕西中考改编)若点(-3,y₁),(1,y₂),(3,y₃)都在二次函数 的图象上,则y₁,y₂, y₃的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 【变2】如图，矩形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3,1),(3,4),(1,4).若抛物线 y=ax² 的图象与矩形有公共点，则实数a 的取值范围是( ) 【变3】(教材 P32练习改编)如图，正方形的边长为 ，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=3x²与 y=-3x²的图象，则图中阴影部分的面积是 . 【变4】(教材P31思考改编)如图,A,B 两点在y= 的图象上.已知A，B两点的横坐标分别为-3，2，直线AB与y轴交于点C，连接OA,OB. (1)求直线AB的解析式; (2)求△AOB的面积; (3)若函数的图象上存在点 P，使△PAB的面积等于△AOB 的面积的一半，则这样的点P共有 个. · 一次函数与二次函数图象共存问题 【例3】二次函数y=ax²+b的图象与一次函数y=-2ax+b的图象在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) 【变1】(赤峰中考改编)函数y=k(x+k)(k≠0)与 y=kx²-k 在同一坐标系上的图象正确的是 ( ) · y=ax²+k 的图象和性质综合 【例4】已知点(x₁,y₁),(x₂,y₂)均在抛物线-2上，下列说法中正确的是（ ） A. 若 y₁=y₂,则 x₁=x₂ B. 若x₁=-x₂,则 y₁=-y₂ B. 若0<x₁<x₂, 则 y₁>y₂ D. 若x₁<x₂<0 , 则 y₁>y₂ 【变1】若二次函数y=ax²-3的图象经过P(3,0),Q(m,n)两点,则代数式n²-4m²+12n+30的最小值为 ( ) A.1 B. 2 C. -4 D. -6 · 与二次函数对称性有关的计算 【例5】已知抛物线 y=-2(x+m)²经过A(-2,n),B(3,n)两点,则n的值为 . 【变1】(长春中考改编)在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(0,4),点 B 的坐标为(6,4).若抛物线y=a(x-h)²(a为常数,a≠0)与线段 AB 交于 C,D两点，且 则 a的值为 . · 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质综合 【例6】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-3x²+b与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线 于B,C两点,若线段 BC的长为6，求b的值. 【变1】(教材P41第7题改编)已知二次函数y= 当自变量x的值满足3≤x≤5时，与其对应的函数值y的最小值为3，求常数h的值. · 二次函数图象的平移 解题通法： 二次函数图象的平移： 平移前 平移方式(m>0) 平移后 规律 顶点式y=a(x-h)²+k (a≠0) 向左平移m个单位 y=a(x-h+m)²+k 左加 向右平移m个单位 y=a(x-h-m)²+k 右减 向上平移m个单位 y=a(x-h)²+k+m 上加 向下平移m个单位 y=a(x-h)²+k-m 下减 【例7】在平面直角坐标系中，如果抛物线y=5x²不动，而把x轴向上平移3个单位长度，y轴向右平移2个单位长度，那么在新坐标系中，该抛物线的顶点坐标为( ) A. (-3,2) B.(-3,-2) C.(-2,-3) D.(2,-3) 【变1】(玉林中考改编)小嘉说：将二次函数y=(x-1)²-4 的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法: ①向左平移1个单位长度；②向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度；③向上平移4个单位长度；④沿 x 轴翻折，再向右平移3个单位长度.你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【变2】将二次函数y=2x 的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到新的函数图象，请完成下列问题. y=2x² y=2(x-1)²+2 (0,0) (1,2) (1,2) (2,m) (2,8) (3,10) (-1,2) (0,4) (-2,8) (-1,10) (1)m的值为 ; (2)在平面直角坐标系中画出平移前后的函数图象，并写出二次函数y=2x²与 y=2(x-1)²+2图象的交点坐标； (3)点P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)在新的函数图象上，且P，Q两点均在该函数图象对称轴同一侧,若 y₁>y₂,试判断x₁和x₂的大小. · 二次函数的最值问题 【例8】已知二次函数 y=-(x-2)²+4. (1)当-2≤x<3时，求函数y的最大值和最小值； (2)当t≤x≤4时，若y的最大值与最小值之和为2，求t的值. 【变1】(襄阳中考改编)若函数 y=a(x-1)²+1-a 在4≤x≤5时有最小值为 a+2,求a的值. 【变2】已知二次函数. y=a(x+1)²-2a(a≠0),当-3≤x≤2时,y的最小值为-6,求a的值 模块二 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 知识点一 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 1. 二次函数y=ax²+bx+c 与y=a(x-h)²+h的关系 把二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)通过配方化成 ，抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标为）我们把它叫做顶点坐标公式。 2. 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 二次函数 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 ） 对称轴 直线 x=- 增减性 当x<时，y随x的增大而减小；当x> 时,y随x的增大而增大 当x< 时，y随x的增大而增大；当x>时,y随x的增大而减小 最值 当x = 时, y最小= 当x= 时, y最大= 拓展： 1.抛物线上两点若关于直线对称，则这两点的纵坐标相同，横坐标之和为 的2倍. 2. 若抛物线与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线 对称. 3. 确定抛物线对称轴的方法: ①直接运用对称轴为直线 求解； ②将一般式配方转化为顶点式 y=a(x-h)²+k, 则对称轴为直线x=h； ③利用 (其中x₁，x₂为抛物线上纵坐标相等的两个点对应的横坐标)求解. · 二次函数 y=ax²+bx+c与 y=a(x-h)²+k 的关系 【例1】(BS 教材九下P41改编)用配方法将二次函数y=2x²-12x+3化为y=a(x-h)²+k的形式为 ( ) A. y=2(x+3)²+15 B. y=2(x+3)²-15 C. y=2(x-3)²-15 D. y=2(x-3)²+15 【变1】(中考新考法·过程纠错)小红同学用配方法推导抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标，她是这样做的： 由于a≠0,解析式y=ax²+bx+c 变形为： ……………………………………第一步 ……………………………第二步 ……………………………第三步 …………………………第四步 (1)小红的解法从第 步开始出现错误；请写出正确的步骤，并写出抛物线y=ax²+bx+c(a≠0) 的顶点坐标； (2)用配方法求抛物线y=2x²+16x+9的顶点坐标和对称轴. · 二次函数的对称性 【例2】已知二次函数的图象上部分点坐标的对应值列表如下： x ... -3 -2 -1 0 1 y ... 3 -3 -5 -3 3 则该函数图象的对称轴是直线 ( ). . . . . . A. x=-2 B. x=-1 C. x=0 D. x=1 【变1】已知二次函数y=ax2+bx+c中x与y的部分对应值如表，则m的值为_______． x -3 -2 0 1 2 3 5 y -10 -3 5 6 m 2 -10 · 二次函数y=ax2+bx+c的性质 【例3】关于二次函数y=4x²-8x+5,下列说法正确的是( ) A. 函数图象与y轴的交点坐标为(5，0) B. 对称轴在y轴左侧 C. y的最小值为 -1 D. 当x>1时,y随x的增大而增大 【变1】已知二次函数y=-2x²-6x-1. (1)已知点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)在函数图象上,若x₁>x₂>0,判断y₁与y₂的大小关系; (2)当-2时，求y的取值范围。 · 利用增减性比较大小 【例4】若函数y＝x2-4x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜2，则（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．y1，y2的大小不确定 【变1】已知（-1，y1），（-2，y2），（-4，y3）是抛物线y=2x2+8x+m上的点，则（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 · 利用增减性求最值 【例5】二次函数的最大值是_______，最小值是______ 【变1】已知抛物线，当时，y的最小值为-2，则当时，y的最大值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 · 二次函数的平移 【例6】将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是 _______． 【变1】抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的表达式为，则原抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 【变2】将二次函数y=ax2-8ax+2的图象向左平移m个单位后过点，则m的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 1. (教材P4第2题改编)如图,某小区计划修建一个圆形的花坛,记花坛的半径为 ,花坛的周长为 ,花坛的面积为 .当 在一定范围内变化时, 和 都随 的变化而变化,则 与 , 与 满足的函数关系是( @7@ ） A. 一次函数,正比例函数 B. 正比例函数,二次函数 C. 二次函数,正比例函数 D. 正比例函数,一次函数 2. 在平面直角坐标系中,二次函数 y=a(x+h)2(a≠0) 的图象可能是( ) A. B. C. D. 3. 已知二次函数 y=−(x−2)2+4 ,当t<x<8 时, y 随 x 的增大而减小,则实数 t 的取值范围是( ) A. t≤2 B. t>2 C. 2≤t<8 D. t≥2 4. (教材P31探究改编)在同一个平面直角坐标系中,二次函数 y1=ax2 , y2=bx2 , y3=cx2 的图象如图所示,则 a , b , c 的大小关系为____________.(用“＞”连接) 5. 如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝　 ． 6. 如图, ⊙O 的半径为3, 是函数 y= 的图象, 是函数 y=−的图象,则阴影部分的面积是_ ____. 7. 已知二次函数，当，函数的最小值是___________，最大值是___________． 8. 已知二次函数 当自变量 <m>x</m> 的值满足 3≤x≤5 时,与其对应的函数值 y的最小值为3,求常数h的值. 1. 已知函数 y=−5x2+mx(x−2) 是关于x的二次函数,则 m 的取值范围是( ) A. m=−5 B. m≠±5 C. m≠−5 D. m≠5 2. 将抛物线向上平移1个单位,再向左平移3个单位,得到的新抛物线的解析式为 y= x2 ,则平移前的抛物线解析式为( ) A. y= (x−3)2−1 B. y= (x−3)2+1 C. y= (x+3)2−1 D. y= (x+3)2+1 3. 当a＜0时，抛物线y=x2+2ax+1+2a2的顶点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4. 已知二次函数 y=−(x+1)2+3 ,若 −3≤x≤2 ,则函数 y 的最小值和最大值分别是( ) A. 最小值是 −1 ,最大值是3 B. 最小值是0,最大值是3 C. 最小值是 −6 ,最大值是3 D. 最小值是 −6 ,最大值是 −1 5. 若抛物线 y=(x+m)2+2m−6 的顶点在第三象限,则 m 的取值范围为____________. 6. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象； （3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$