第一次月考压轴题专练（勾股定理、实数）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

第一次月考压轴题专练 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 2．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断： ①，②，③，④， 其中所有正确推断的序号是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①② 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在多项式中，对相邻的两个字母间任意添加小括号，添加小括号后仍只有减法运算，然后将所得式子化简，称此为“有效操作”．例如：，，…，给出下列说法： ①存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“有效操作”共有8种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 二、填空题 6．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．    7．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，点是线段上一点，连接，将沿直线翻折，点的对应点是，当点恰好落在的边上时，的长是 ． 8．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点F在上，与交于点P，与交于点Q，若，则的值是 ． 9．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，两点分别是边上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为 ． 10．（23-24九年级上·重庆北碚·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，点O为线段的中点，沿着直线翻折后得到，线段与线段交于点N，若线段的长为2，则线段的长度为 ．      11．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）在中，，，，点D在线段上从点C向点B移动，同时，点E在线段上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ． 12．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ． 13．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如果一个三位数的十位数字等于它的个位与百位数字的差(百位数字小于个位数字)，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数，，是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为．如：，把的百位数字与个位数字之差的倍记为．如：，则的值为 ；若三位数是“三决数”，且是完全平方数，请求出所有符合条件的的最大值为 ． 14．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于一个四位自然数，满足千位数字与十位数字的差为，百位数字与个位数字的和不超过千位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么称该四位数为“和气数”．例如：，因为， ， 且各个数位上的数字互不相等，所以为“和气数”；若是最大的“和气数”，则 ；若“和气数”、、、均为整数)， 记 当为的倍数时，满足条件的的最大值与最小值的差为 ． 15．（19-20七年级下·北京·阶段练习）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，试确定 是 位数； （2）由 19683 个位数是 3，试确定 个位数是 ； （3）如果划去 19683 后面的三位数 683 得到数 19 ，而 ，由此你能确定十位 的数字是 ； （4） 用上述方法确定 110592 的立方根是 ． 三、解答题 16．（19-20七年级·浙江杭州·阶段练习）确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题： （1）确定的整数部分和小数部分； （2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 17．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ， ，． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：， 小明给出了如下的证明： 设，则，即 所以，即， 所以． 试解决下列问题：   ①计算 ②请尝试运用这种方法证明． 18．（20-21七年级下·北京朝阳·阶段练习）阅读材料，并解答问题： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如图①，在直角三角形中，，，，，斜边，为了比较与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究． (1)小伍同学利用计算器得到了，．故____．（填“”“ ”或“” (2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出如图②所示的图形，其中，，点在上，且．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学比较和的大小． 19．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒． (1)当时，__________； (2)若的面积是面积的，求t的值； (3)若将周长分为两部分，求t的值． 20．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）问题背景：比较和的大小．小松同学在解答这道题时，先建立一个直角三角形，使得，，，延长CB到点D，使得，连接，如图所示，这样借助几何构图，就能解决这道代数问题，我们把这种方法称为构图法． （1）请将和比较大小的结果直接写在横线上______； 方法迁移： （2）若（其中），请利用构图法求出x的值； 拓展应用： （3）若（ ，，且），请直接写出______（用含m的代数式表示）． 21．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）（1）【问题发现】①如图1，中，，为边上的中点，连接．设的面积和周长分别为和，的面积和周长分别为和，则 ， ．（填“>”，“<”或“”） ②如图2，中，、是边上的两点，若，则与的数量关系是 ． （2）【问题延伸】如图3，四边形中，，，若的长度为6，求出四边形的面积． （3）【问题解决】国际港务区计划将一块四边形空地开发为小型公园，空地的示意图如图4所示．其中，，，．现计划将点处设置为公园的入口，在边上设置一个出口，并修建一条贯穿整个公园的小路．根据规划，要求小路将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域（即与四边形的周长和面积都相同），施工队能否按照规划修建出这条小路？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计） 22．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）【问题出示】 （1）如图①，等腰中，，，点是直线上的动点，线段的最小值是______． 【问题探究】 （2）如图②，线段最短时，在（1）的条件下，线段是的角平分线，点、分别在边、上运动，连接、，的最小值是 【问题拓展】 （3）如图③，线段最短时，在（1）的条件下，点在边上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接，求线段的最小值． 【问题解决】 按照住建部制定的楼间距国家标准，南北朝向的小区，各栋楼之间的距离不小于前排楼高的0.7倍，例如：前排房屋的楼高是20米，那么后排房屋与前排房屋的距㐫至少要14米才符合要求． （4）如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形各边长都为90米，且两组对边分别平行，，长30米，边上任意一点，计划在线段、、上修建三条小路，点处修建业主活动楼，其中，且．小区最南边一排（即线段处）楼高70米，当线段取小时，点处的业主活动楼到线段处楼房的距离是否符合楼间距标准？请说明理由． 23．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）【初步发现】 （1）直线和线段如图1所示，连接，若，则___________线段的垂直平分线；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 （2）如图2，与都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展研究】（3）如图3，某小区有一块形状为等边三角形的草地，，现要将这块草地扩展成四边形的形状，用来种植不同的花卉，连接，根据规划要求，需要满足，点在上，．为了防止有人踩踏花卉，沿四边形的四周搭建围栏，求围栏的总长度（即求四边形的周长）． （1）根据线段垂直平分线的判定方法可得答案； （2）根据证明即可证明结论成立； 本题考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定雨性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键 ． 24．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 25．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列各题： (1)如图1，已知在中，，，，连接，请判断线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由： (2)如图2，已知在中，，，，连接DE，请直接写出的值为______； (3)①如图3，已知，，，，请直接写出的长为______； ②如图4，中，，，D是平面内一点，，，请直接写出线段的最大值为______． 26．（23-24八年级上·湖北·周测）如图1，在中，，，，点为的中点，连接    (1)求的长； (2)如图2，点为线段延长线上的一个动点，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，连接． ①当时，求的长； ②在动点运动的过程中，的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知：在中，，．    (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，． ①线段和线段存在何种数量关系？请说明理由． ②请直接写出线段、、之间满足的数量关系_________． (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则线段、、之间满足的数量关系是_________． (3)如图3，若点D在直线上，连接，在的左侧作，当，时，的面积为_________． 28．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）【模型呈现】    （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．已知，，则______． 【模型应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，，，，．若点D在第一象限且满足，，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长． （3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足．请直接写出、、之间的数量关系． 29．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）2＋3______；6＋6______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当x＝______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？    （3）令，，根据“当且仅当时，” ，即可求解， 30．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    试卷第58页，共58页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考压轴题专练 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先将根号内整理为和，再化简，并计算即可． 【详解】原式． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，理解是解题的关键． 2．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断： ①，②，③，④， 其中所有正确推断的序号是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①② 【答案】C 【分析】各式利用题中的新定义判断即可． 【详解】解：根据题中的新定义得： ①∵，， ∴，故正确； ②∵，， ∴，故错误； ③∵，， ∴，故正确； ④∵，， ∴，故错误． 综上，正确的是①③． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的运算，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在多项式中，对相邻的两个字母间任意添加小括号，添加小括号后仍只有减法运算，然后将所得式子化简，称此为“有效操作”．例如：，，…，给出下列说法： ①存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“有效操作”共有8种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，理解新概念的意思，逐一分析判断即可解答． 【详解】解：根据题意，有，故存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式相等，故①正确； 根据题意，无法通过有效操作得到和与原式中的和抵消，故②正确； 第一种：结果与原式相同； 第二种：； 第三种：； 第四种：； 第五种：； 第六种：； 第七种：； 第八种：； 第九种：； 第十种：； 第十一种：； 第十二种：； 第十三种：； 第十四种：； 第十五种：； 第十六种：， 有16种，故③错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是读懂题意，理解新概念的定义． 5．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理即可得出④． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故③正确； ，， ， 故④不正确， 故选：A． 二、填空题 6．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质等知识，将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作出关于的对称点，过作交的延长线于D，    根据题意可得：四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为18，底面周长为12， ∴，，，即， 在中，（）, 故答案为：． 7．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，点是线段上一点，连接，将沿直线翻折，点的对应点是，当点恰好落在的边上时，的长是 ． 【答案】1或 【分析】 本题考查勾股定理，翻折等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．分点在，讨论即可． 【详解】解：当点在上时， 此时， 设， ∵， ∴， 解得，即； 当点在上时，过B作于H，过点D作于点G，做于点N， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵翻折，且点在上， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 设，， ∵， ∴， 化简得， ∴， 解得，，即或（不合题意，舍去）． 综上，的值为1或． 8．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点F在上，与交于点P，与交于点Q，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质得出A、C、M三点在一条直线上，B、C、G三点在一条直线上，再说明，根据，可得，，然后根据证明，可得，接着证明，得，再设，则，可表示出，，再根据勾股定理表示出，进而得出，，即可表示，， ，可求出答案. 【详解】解：∵四边形、四边形、四边形都是正方形， ∴. ∵， ∴，， ∴A、C、M三点在一条直线上，B、C、G三点在一条直线上. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵，，， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴. 设，则， ∴，. ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，灵活选择判定定理是解题的关键. 9．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，两点分别是边上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接，作点B关于的对称点，连接，，先证明，得到，，根据当、F、三点共线时，的值最小，最小值为，再证明为等腰直角三角形，利用勾股定理求出长，即可求出长度的最小值． 【详解】解：在上截取，连接，作点B关于的对称点，连接，， ，， ， ， ， ，， ∵ ∴， ∵ ∴ ， ， ， ， ， ， 点在射线上运动， ∵点B与点的关于对称， ，， ， 当B、F、三点共线时，的值最小，最小值为， ，， ， ， 由对称性可知，， ， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴线段长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，最短距离问题，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质，用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．作恰当辅助线是解题的难点． 10．（23-24九年级上·重庆北碚·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，点O为线段的中点，沿着直线翻折后得到，线段与线段交于点N，若线段的长为2，则线段的长度为 ．      【答案】 【分析】作， 根据勾股定理求出，再根据折叠得，，根据勾股定理求，，进而求出，然后设，，表示，，再证明，根据相似三角形对应边成比例得出比例式求出答案即可． 【详解】过点O作，交于点E． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得． ∵点O是的中点， ∴． 根据折叠，得，，． 根据勾股定理，得． 在中，， ∴，   根据勾股定理，得， 解得， ∴． 设，，则，． ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，构造直角三角形是解题的关键． 11．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）在中，，，，点D在线段上从点C向点B移动，同时，点E在线段上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，为直角三角形，则，作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，利用互余可证得，，进而证明，得，，利用，可得，由勾股定理可得，可知，即可求得，由题意可知，进而可证，得，由，当点在上时，取等号，即可求解． 【详解】解：∵，，，则， ∴为直角三角形，则， 作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，则，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 则，， ∴， ∵点，点运动速度相同， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，当点在上时，取等号， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，添加辅助线构造，得，将转化为是解决问题的关键． 12．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ． 【答案】 3 75 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．先进行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时， ， ， 故的小数部分为 故答案为：3；75； 13．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如果一个三位数的十位数字等于它的个位与百位数字的差(百位数字小于个位数字)，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数，，是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为．如：，把的百位数字与个位数字之差的倍记为．如：，则的值为 ；若三位数是“三决数”，且是完全平方数，请求出所有符合条件的的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据题意求出和，然后相加即可得到的值；设的百位数字是，十位数字是，个位数字是，表示出和，求出 ，根据是完全平方数，得出，求出可能的取值，即可确定所有符合条件的值，进而得到的最大值；理解“三决数”的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴； 设的百位数字是，十位数字是，个位数字是， 题意可得，， ， ∴， ∵'，，为正整数， ∴， ∵是完全平方数， ∴， ∴或或或或， ∵， ∴， ∴（不合）或或或或， ∴为或或或， ∴的最大值， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于一个四位自然数，满足千位数字与十位数字的差为，百位数字与个位数字的和不超过千位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么称该四位数为“和气数”．例如：，因为， ， 且各个数位上的数字互不相等，所以为“和气数”；若是最大的“和气数”，则 ；若“和气数”、、、均为整数)， 记 当为的倍数时，满足条件的的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、数的整除、实数的运算等知识，掌握分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设 ∵是最大的“和气数”， ∴千位为，十位数为 ∵百位数字与个位数字的和不超过千位数字， ∴ 又∵各个数位上的数字互不相等，则 ∴； ∵，且， ∴ ∵为的倍数 设 ∴ ∵、、、均为整数， ∴ 又∵ ∴ 当最大时，最大， 又∵ 当时，不是的倍数 当时， 当时，， ∴， 又， ∴的最大值为 当取最小值时，，则 ∴不是的倍数， 当时，，， 则时，，则最小为 ∴的最小值为 ∴满足条件的的最大值与最小值的差为 故答案为：． 15．（19-20七年级下·北京·阶段练习）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，试确定 是 位数； （2）由 19683 个位数是 3，试确定 个位数是 ； （3）如果划去 19683 后面的三位数 683 得到数 19 ，而 ，由此你能确定十位 的数字是 ； （4） 用上述方法确定 110592 的立方根是 ． 【答案】 两 7 2 48 【分析】（1）由19683大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是2位数； （2）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定；，即可确定答案； （3）运用数立方的计算方法计算即可； （4）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然再确定十位数即可解答． 【详解】解：（1）∵1000<19683<1000000， ∴10<<100， ∴是两位数； 故答案为：两； （2）∵一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数 ∴的个位数为7； 故答案为7； （3）∵8<19<27， ∴2<<3， ∴的十位上的数是2， 故答案为2； （4）∵观察发现：只有8的立方的个位数为2 ∴的个位数为8 又∵64＜110＜125 ∴的十位为4 ∴=48 故答案为48． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解答本题的关键． 三、解答题 16．（19-20七年级·浙江杭州·阶段练习）确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题： （1）确定的整数部分和小数部分； （2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】（1）整数部分是3，小数部分是；（2）12 【分析】（1）仿照题例，可直接求出的整数部分和小数部分； （2）根据题例，先确定a、b，再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即． 故的整数部分是3，小数部分是； （2）∵， ∴，即， 同理：， ∴的小数部分为a=， 的小数部分为b=， ∴=4×（+）+8=12． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各无理数的小数部分是解题关键． 17．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ， ，． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：， 小明给出了如下的证明： 设，则，即 所以，即， 所以． 试解决下列问题：   ①计算 ②请尝试运用这种方法证明． 【答案】(1)4，0，3 (2)①0；②证明见解析 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，新定义运算，熟练掌握幂的乘方运算是解题的关键． （1）根据新定义运算法则即可； （2）①根据新定义运算法则，得即可；②设 ，再根据新定义运算法则即可． 【详解】（1）解：，即； ，即； ，即； 故答案为：4，0，3； （2）①解： ； ②证明：设 ， ， ， ． 18．（20-21七年级下·北京朝阳·阶段练习）阅读材料，并解答问题： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如图①，在直角三角形中，，，，，斜边，为了比较与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究． (1)小伍同学利用计算器得到了，．故____．（填“”“ ”或“” (2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出如图②所示的图形，其中，，点在上，且．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学比较和的大小． 【答案】(1)> (2) 【分析】（1）根据实数大小的比较法则可得答案； （2）根据直角三角形的性质、勾股定理及两点之间，线段最短可得答案． 【详解】（1），， ； 故答案为：． （2），，， ，，， ，， ， 两点之间，线段最短， ， ． 【点睛】此题考查的是实数的估数及勾股定理，掌握两点之间线段最短是解决此题的关键． 19．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒． (1)当时，__________； (2)若的面积是面积的，求t的值； (3)若将周长分为两部分，求t的值． 【答案】(1) (2)0.5或3.5 (3)2或 【分析】（1）当时，可求出，，再利用三角形面积公式求解即可； （2）根据勾股定理可求出．再分类讨论：当时，此时点Q在上和当时，此时点Q在上，分别求解即可； （3）分类讨论：当时，此时点Q在上，和当时，此时点Q在上，再用含t的代数式分别表示，，，，，最后结合将周长分为两部分，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴． 点P到达B点的时间为：秒，点Q到达C点的时间为秒， ∴点Q到达A点的时间为秒． 分类讨论：当时，此时点Q在上， ∴， ∴． ∵，且， ∴， 解得：； 当时，此时点Q在上，如图，过点Q作，． ∵， 即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 综上可知若的面积是面积的，t的值为0.5或3.5； （3）解：分类讨论：当时，此时点Q在上， ∴，， ∴，， ∴，． ∵将周长分为两部分， ∴或， ∴或， 解得：或（舍）； 当时，此时点Q在上， ∴，， ∴，， ∴，． ∵将周长分为两部分， ∴或， ∴或 解得：（舍）或． 综上可知，若将周长分为两部分，t的值为2或． 【点睛】此题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程．解题的关键是运用分类讨论思想和数形结合思想． 20．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）问题背景：比较和的大小．小松同学在解答这道题时，先建立一个直角三角形，使得，，，延长CB到点D，使得，连接，如图所示，这样借助几何构图，就能解决这道代数问题，我们把这种方法称为构图法． （1）请将和比较大小的结果直接写在横线上______； 方法迁移： （2）若（其中），请利用构图法求出x的值； 拓展应用： （3）若（ ，，且），请直接写出______（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练灵活运用勾股定理进行构造是解决本题的关键． （1）运用两次勾股定理分别求出，最后利用三角形的三边关系证明； （2）构造，使得，，于点D．设，则，，这样就构造出， 再由等面积法即可求出x值； （3）构造解法同（2）． 【详解】（1）在中，，而， ∴在中， ∴在中由，∴， 故答案为：． （2）解：如图，构造，使得，，于点D． 设，则 在中，， 在，， 在中，， ∵， ∴构造出方程：， ∵，， ∴，即． （3）解：构造，使得，，于点D． 设，则 在中，， 在，， 在中，， ∵， ∴构造出方程：， ∵，， ∴，即． 故答案为：． 21．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）（1）【问题发现】①如图1，中，，为边上的中点，连接．设的面积和周长分别为和，的面积和周长分别为和，则 ， ．（填“>”，“<”或“”） ②如图2，中，、是边上的两点，若，则与的数量关系是 ． （2）【问题延伸】如图3，四边形中，，，若的长度为6，求出四边形的面积． （3）【问题解决】国际港务区计划将一块四边形空地开发为小型公园，空地的示意图如图4所示．其中，，，．现计划将点处设置为公园的入口，在边上设置一个出口，并修建一条贯穿整个公园的小路．根据规划，要求小路将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域（即与四边形的周长和面积都相同），施工队能否按照规划修建出这条小路？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）能， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质， （1）①根据等腰三角形的性质，即可求解；②根据三角形的面积公式，即可求解； （2）延长至，使得，连接，证明，进而得出，，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （3）延长至，使得，过点作交的延长线于点，同（2）可得，设，则，，根据得出，根据勾股定理求得，根据（2）的方法求得面积，根据题意在上取点，使得，根据将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域，得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：①∵中，，为边上的中点， ∴， 设的面积和周长分别为和，的面积和周长分别为和， ∴， ∴， 故答案为：，． ②设边上的高为， ∵ ∴ ∴ 即 （2）如图所示，延长至，使得，连接， ∵， ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴， ∴ ∴ （3）能， 如图所示，延长至，使得，过点作交的延长线于点， 同（2）可得 ∴， ∴ ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴ ∴，则， 设，则，， ∴ 又∵ ∴ 解得： ∴ 在上取点，使得， ∵， ∴将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域，则即为所求， 由（2）可得 即 解得： ∴ 22．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）【问题出示】 （1）如图①，等腰中，，，点是直线上的动点，线段的最小值是______． 【问题探究】 （2）如图②，线段最短时，在（1）的条件下，线段是的角平分线，点、分别在边、上运动，连接、，的最小值是 【问题拓展】 （3）如图③，线段最短时，在（1）的条件下，点在边上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接，求线段的最小值． 【问题解决】 按照住建部制定的楼间距国家标准，南北朝向的小区，各栋楼之间的距离不小于前排楼高的0.7倍，例如：前排房屋的楼高是20米，那么后排房屋与前排房屋的距㐫至少要14米才符合要求． （4）如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形各边长都为90米，且两组对边分别平行，，长30米，边上任意一点，计划在线段、、上修建三条小路，点处修建业主活动楼，其中，且．小区最南边一排（即线段处）楼高70米，当线段取小时，点处的业主活动楼到线段处楼房的距离是否符合楼间距标准？请说明理由． 【答案】（1）  （2）  （3）  （4）符合楼间距标准，理由 【分析】（1）根据垂线段最短得到点M的位置，然后根据的直角三角形的性质解题即可； （2）在边上截取，连接，则有，即可得到，当P、D、M三点共线，过点M作于点D时，最小，最小值为长，然后利用勾股定理解题即可； （3）在上截取，连接，则有，即，当时，长最小，即长最小，根据的直角三角形的性质解题即可； （4）在上截取，在上截取，连接，连接并延长交于点N，证明，可得当时，长最小，通过计算判断即可解题． 【详解】解：（1）当点运动到时，线段值最小， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：在边上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即当P、D、M三点共线，过点M作于点D时，最小，最小值为长， ∵， 又∵， ∴， 故最小值为； （3）在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴， 即当时，长最小，即长最小， 这时， ∴； （4）解：符合楼间距标准，理由为： 在上截取，在上截取，连接，连接并延长交于点N， 则， 又∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴当时，长最小， 这时， 米， ∴， ∴符合楼间距标准． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，的直角三角形的性质，最短路径问题，勾股定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）【初步发现】 （1）直线和线段如图1所示，连接，若，则___________线段的垂直平分线；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 （2）如图2，与都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展研究】（3）如图3，某小区有一块形状为等边三角形的草地，，现要将这块草地扩展成四边形的形状，用来种植不同的花卉，连接，根据规划要求，需要满足，点在上，．为了防止有人踩踏花卉，沿四边形的四周搭建围栏，求围栏的总长度（即求四边形的周长）． 【答案】（1）是；（2）见解析；（3） 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的判定方法可得答案； （2）根据证明即可证明结论成立； （3）连接．根据证明得，进而可证点B，D，M在的垂直平分线上，然后根据勾股定理求出，．根据证明得，然后根据勾股定理求出即可求解． 【详解】解：（1）， ∴点C、D分别在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 故答案为：是； （2）∵与都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）连接． ∵是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴， ∴，∴ 点D、B在的垂直平分线上． ∵， ∴点M在的垂直平分线上， ∴点B，D，M共线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长 ， 即四边形的四周搭建围栏长为． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定雨性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键 ． 24．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)24 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形． （）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、． ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 在和中 ∵ ， ∴ ∴，， ∴． 故答案为：24． 25．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列各题： (1)如图1，已知在中，，，，连接，请判断线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由： (2)如图2，已知在中，，，，连接DE，请直接写出的值为______； (3)①如图3，已知，，，，请直接写出的长为______； ②如图4，中，，，D是平面内一点，，，请直接写出线段的最大值为______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)113 (3)①；② 【分析】（1）连接，设交于点O，证明即可解决； （2）连接，设交于点O，证明，可得，由勾股定理即可求解； （3）①过A点在上方作，且，分别连接，则，从而可得，可求得的长；再证明，则，即求得结果； ②过A点在上方作，且，分别连接，则；再证明，则，由即求得最大值． 【详解】（1）解：， 理由如下： 连接，设交于点O， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：连接，设交于点O，如图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ∵， 又，，， ∴， ∴； 故答案为：113； （3）解：①过A点在上方作，且，分别连接，如图， 则，， ∴， 即， ∴； 与（1）同理，，则； 故答案为：； ②过A点在上方作，且，分别连接，如图， 则由勾股定理得； ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题是全等三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，构造适当的辅助线证明三角形全等是关键． 26．（23-24八年级上·湖北·周测）如图1，在中，，，，点为的中点，连接    (1)求的长； (2)如图2，点为线段延长线上的一个动点，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，连接． ①当时，求的长； ②在动点运动的过程中，的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）延长至点，使得，证明勾股定理求得，即可求解； （2）①过点作于点，勾股定理求得，，设，则，在中，，建立方程，解方程，即可求解． ②以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，过点分别作轴的垂线段，垂足分别为，则，证明，设点的坐标为， 则，，则，，，勾股定理表示出，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，延长至点，使得，    ∵点为的中点，则， 又∵， ∴ ∴， ∴ 在中， ∴， （2）解：①如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， 在中，， ∵，设，则， 在中， ∴ 解得： 即； ② 如图所示，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    过点分别作轴的垂线段，垂足分别为，则 ∵等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴， 设点的坐标为， 由（2）可得，，则，， ∴， ∵，则， ∵，则 ∴ 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知：在中，，．    (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，． ①线段和线段存在何种数量关系？请说明理由． ②请直接写出线段、、之间满足的数量关系_________． (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则线段、、之间满足的数量关系是_________． (3)如图3，若点D在直线上，连接，在的左侧作，当，时，的面积为_________． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①连接，证明即可得到； ②由全等可得，，从而得出，再由勾股定理即可得到答案； （2）连接，，证明即可得到，，从而得出，再由勾股定理和等腰直角三角形的性质即可得出答案； （3）分两种情况：当点在点的左侧时，连接；当点在之间时，连接，类比（2）证明，分别利用三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，   ∴， 故答案为：； （3）解：如图，当点在点的左侧时，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在之间时，连接，    同理可证得：， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 28．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）【模型呈现】    （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．已知，，则______． 【模型应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，，，，．若点D在第一象限且满足，，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长． （3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足．请直接写出、、之间的数量关系． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（1）易证，进而有，由勾股定理，问题随之得解； （2）根据已知可得是等腰三角形，可求出，进而得出，得出，可得，即有，在等腰直角三角形即可求出； （3）由（2）可知：，可得，进而有，延长至F，使，连接，过A点作于M点，根据，即有，进一步有，即可证明，接着证明，问题随之得解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； （3），理由如下： 由（2）可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 延长至F，使，连接，过A点作于M点，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴， 即． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 29．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）2＋3______；6＋6______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当x＝______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？    【答案】（1），；（2）2；（3）；（4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米 【分析】（1）根据当时，，当时，，即可求解， （2）令，，根据“当，时，”，即可求解， （3）令，，根据“当且仅当时，” ，即可求解， （4）设一边长为米，则另一边为米，根据“面积为32平方米”得，求出得最小值，及此时的得值，即可求解， 本题考查了，知识的迁移创新，完全平方公式的变形，不等式，二次根式，解题的关键是：灵活应用用材料所提供的结论． 【详解】解：（1）∵当，时，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， （2）当，式子，当且仅当时，即：时，有最小值，最小值为2， （3）∵， ∴， ∴，当且仅当时，即：时有最小值，最小值为24， （4）设这个长方形垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边为米， 则：，即：， ∴所用篱笆的长为米， （米）， 当且仅当时，即时，取得最小值16， 此时，（米），（米）， 故答案为：（1），；（2）2；（3）；（4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米． 30．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 (4)数轴见解析， 【分析】（1）由，可作出单位长度以3和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，即可解答； （2）设1个小正方形的面积为1，则5个小正方形的面积为5，即所拼成的大正方形的边长为，进而即可画出裁剪线和所拼得的大正方形； （3）由题意可求出正方形纸片的边长为．设长方形纸片的宽为，则长为，则可列出关于x的方程，再利用平方根解方程，即得出长方形纸片的长为，最后比较即可； （4）由，可作出单位长度以2和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以表示的点为圆心，以为半径画弧，与数轴右侧的交点即为．再画出表示的点，根据数轴的性质比较即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所作；    （2）解：如图所示；    （3）解：不能． 理由：由题意可知这个面积为的正方形纸片的边长为， 设面积为的长方形纸片的宽为，则长为， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴长方形纸片的长为． ∵， ∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （4）解：在数轴上表示数和的点如图，    有数轴可知：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，数轴和利用平方根解方程．利用数形结合的思想是解题关键． 试卷第58页，共58页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$