2025年高考一轮复习第一次月考卷03（测试范围：集合+不等式+函数+三角函数）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

2025年高考一轮复习第一次月考卷03 （测试范围：集合+不等式+函数+三角函数） （满分150分，考试用时120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合 则 . 2．不等式的解集为 ． 3．已知命题p：任意正数x，恒有，则命题p的否定为 ． 4．已知，，则 ． 5．函数是幂函数，且上为减函数，则实数的值是 ． 6．已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是 7．函数在一个周期内的部分取值如下表： 1 则 . 8．某服装店对原价分别为175元和200元的甲乙两种服装搞促销活动，规定甲服装每天降价5%，直到其售完为止；乙服装每天降价7%，直到其售完为止.假设两种服装在10天内均没有售完， 天后甲服装的售价将高于乙服装的售价. 9．已知，则的最小值是 ． 10．设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 11．关于x的方程有三个不同的实数解，则实数m的值为 ． 12．在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．直线是的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．将的图象右移个单位后得到的图象关于原点对称 15．若函数在上有最小值（a、b为常数）则函数在上（     ） A．有最大值3 B．有最大值7 C．有最大值9 D．有最小值5 16．设，集合，集合，对于集合B有下列两个结论：①存在a和b，使得集合B中恰有5个元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4个元素．则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分.) 17．设. (1)判断函数的奇偶性，并写出最小正周期； (2)求函数在上的最大值. 18．设且，，已知函数. （1）当时，求不等式的解； （2）若函数在区间上有零点，求的取值范围. 19．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 20．已知函数，其中. （1）当时，求函数的零点； （2）若，，当时，关于的方程有3个不同的实数解，求实数的值及该方程的解； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值. 21．定义：集合存在实数，满足对任意的，都有恒成立；集合在上是严格递增函数）. (1)若函数，求实数的取值范围； (2)已知函数，假设，且，试判断的符号，并证明：； (3)若对任意函数，满足恒成立，求实数的取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考一轮复习第一次月考卷03 （测试范围：集合+不等式+函数+三角函数） （满分150分，考试用时120分钟） 一、填空题 1．已知集合 则 . 【答案】 【分析】化简集合A，B，根据交集求解. 【解析】， ， 故答案为：. 2．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解. 【解析】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 3．已知命题p：任意正数x，恒有，则命题p的否定为 ． 【答案】存在正数，使 【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可. 【解析】由全称命题的否定为特称命题知： 存在正数，使. 故答案为：存在正数，使 4．已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式计算即得. 【解析】由，得， 由，得，则， 所以. 故答案为： 5．函数是幂函数，且上为减函数，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义与单调性求得的值. 【解析】由于函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，在上递减，符合题意. 当时，，在上递增，不符合题意. 所以的值为. 故答案为： 6．已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是 【答案】 【分析】由函数奇偶性可得函数在上的解析式，做出图像即可求得值域. 【解析】因为是定义域为的奇函数， 当时，，则时，， 所以， 作出函数图像如下图所示： 由图像可知：函数值域为. 故答案为： 7．函数在一个周期内的部分取值如下表： 1 则 . 【答案】/ 【分析】先利用图表求出最小正周期，进而求出，得到，再将代入即可求出结果. 【解析】设函数的最小正周期为， 由题意可得：函数的最大值为，最小值为， 则，可得，且，解得， 可得， 因为，则，解得， 又因为，则， 可得， 所以. 故答案为：. 8．某服装店对原价分别为175元和200元的甲乙两种服装搞促销活动，规定甲服装每天降价5%，直到其售完为止；乙服装每天降价7%，直到其售完为止.假设两种服装在10天内均没有售完， 天后甲服装的售价将高于乙服装的售价. 【答案】7 【分析】根据题意列出对数不等式，根据对数函数的单调行进行求解即可. 【解析】设天后甲服装的售价将高于乙服装的售价， 则有， 所以7天后甲服装的售价将高于乙服装的售价， 故答案为：7 9．已知，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】变形条件等式得，然后展开，利用基本不等式求最小值. 【解析】， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值是. 故答案为：. 10．设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数的定义域可求得实数的值，可得出函数的解析式，求出的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式，即可得其解集. 【解析】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意， 所以，，由可得， 因为函数的定义域为，所以，，解得， 所以，，则， 由可得，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 11．关于x的方程有三个不同的实数解，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】方程有三个不同的实数解等价于的图象恰好有三个公共点，结合图象可得m的值. 【解析】在同一坐标系中作出的图象， 方程有三个不同的实数解等价于与的图象恰好有三个公共点， 需要满足与的图象在相切， 当时，， 令即， 由得， 当时，方程有两个相等的解，满足题意， 当时，方程有两个相等的解，不满足题意， 故. 故答案为： 12．在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意整理可得：对，则，分类讨论的取值范围，分析运算. 【解析】∵，即 对，则 ， 故对，则， ∵，则有： 1.当时，则， 可得，不成立； 2.当时，则， 可得，则， 若，解得，符合题意； 特别的：例如，取，则，解得； 例如，取，则，解得； 故； 3.当时，则， 可得，不成立； 4.当时，则， 可得，则， 若，解得，符合题意； 特别的：例如，取，则； 例如，取，则； 故； 5.当时，则， 可得，不成立； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： （1）对，结合累加法求得； （2）对于分段函数，一般根据题意分类讨论，本题重点讨论与的大小关系； （3）对特殊函数的处理，本题可取和. 二、单选题 13．已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【解析】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 14．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．直线是的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．将的图象右移个单位后得到的图象关于原点对称 【答案】B 【分析】根据二倍角的余弦公式和辅助角公式可得，结合正弦函数的对称轴、最小正周期和图象的平移变换，以及三角函数的奇偶性依次判断选项即可. 【解析】A： . 故A错误； B：由选项A知， ， 所以是函数的一条对称轴，故B正确； C：函数的最小正周期为，故C错误； D：函数的图象向右平移个单位，得， 函数图象关于y轴对称，故D错误. 故选：B. 15．若函数在上有最小值（a、b为常数）则函数在上（     ） A．有最大值3 B．有最大值7 C．有最大值9 D．有最小值5 【答案】C 【分析】构造新函数，确定它是奇函数，然后利用奇函数性质求解． 【解析】设， ∵，∴，∴的定义域是， ，是奇函数， 在上最小值是，则在上最小值是， 从而在上最大值是7，∴在上最大值是9， 故选：C． 16．设，集合，集合，对于集合B有下列两个结论：①存在a和b，使得集合B中恰有5个元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4个元素．则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误 【答案】A 【分析】由题意可知，对于①举例分析判断即可，对于②，若，则，然后构造函数，利用导数结合零点存性定理可确定出，从而可进行判断. 【解析】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以， 当时，， ，， 所以，有5个元素，所以①正确， 若，则，得， 令，则， 令，则， 所以在上递增，即在上递增， 所以当时，， 所以在上递增， 因为， 所以存在，使，即存在，成立， 此时， 所以存在a和b，使得集合B中恰有4个元素，所以②正确， 故选：A 【点睛】关键点点睛：判断结论②的关键是构造函数，利用导数和零点存在性定理分析判断. 三、解答题 17．设. (1)判断函数的奇偶性，并写出最小正周期； (2)求函数在上的最大值. 【答案】(1)非奇非偶函数， (2) 【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简，结合函数奇偶性的定义以及正弦函数的周期，即可求得答案； （2）化简，结合，求得，结合正弦函数的性质，即可求得答案. 【解析】（1）由题意得， 故 ，令，, 由于不恒等于，也不等于， 故为非奇非偶函数， 其最小正周期为； （2）由题意可得 ， 因为，所以，故， 故的最大值为， 即函数在上的最大值为. 18．设且，，已知函数. （1）当时，求不等式的解； （2）若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）或. 【分析】（1）根据题意得，进而分和两种情况求解即可； （2）由题知，进而根据已知条件得，再结合对勾函数性质即可得或，进而求得答案. 【解析】解：（1），不等式可化为 若，则，解得， 所以不等式的解集为. 若，则，解得， 所以不等式的解集为. 综上所述：，的解集为；，的解集为. （2）. 令，即， ∵，∴，∴； ∴ . 设，则， ∴或， 解得或. 【点睛】本题考查对数函数的性质，对数运算，函数的零点求参数，考查分类讨论思想，运算求解能力，化归转化能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于将问题转化为，有解，进而求解. 19．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)符合， (2)当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh 【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可； （2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可 【解析】（1）因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数 与不可能是符合表格中所列数据的函数模型， 故是可能符合表格中所列数据的函数模型. 由，得：，所以 （2）由题意，高速路上的耗电量 任取，当时， 所以函数在区间上是增函数，所以Wh     国道上的耗电量 所以Wh                          所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh 20．已知函数，其中. （1）当时，求函数的零点； （2）若，，当时，关于的方程有3个不同的实数解，求实数的值及该方程的解； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）1；（2），，，；（3）1. 【分析】（1）当时，代入让得绝对值均为0求得函数的零点； （2）若，时，换元令，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布分情况讨论求得的值及该方程的解； （3）先证．结合恒成立思想，考虑、（1），结合绝对值不等式的性质；再证当时，对一切，时恒成立，由二次函数的性质和绝对值不等式的性质，可得证明． 【解析】（1）当时，，则，得，所以函数的零点为1； （2）， 所以可化为, 令，因为，所以，则方程可化为， 要使原方程有3个实数根，则必须满足： 一根为，另两根在上；或者一根为，另两根在上. 1）若一根为0，另两根在上，则 时，则可化为，则， 此时，原方程有3个解，，； 2）若一根为1，另两根在上，则 时，则可化为，则，舍去 综上可知，，，，. （3）因为对任意，都有恒成立， 即对任意，都有恒成立 所以，且都有恒成立. ①当，时，恒成立. ②当，时，恒成立. ③当，时，由恒成立，则， 举例：当时，对一切时，恒成立. 当时，，因为，所以 所以 综上所述，的最小值为1. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将绝对值去掉，先利用特殊值，，然后分情况讨论将绝对值去掉. 21．定义：集合存在实数，满足对任意的，都有恒成立；集合在上是严格递增函数）. (1)若函数，求实数的取值范围； (2)已知函数，假设，且，试判断的符号，并证明：； (3)若对任意函数，满足恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）将代入，令即可； （2）由的单调性得出化简得出，再由结合不等式的性质证明即可； （3）证明，恒成立，即可求得的取值范围. 【解析】（1）由题意可得在严格单调递增， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∴，， 设，易知当时，， ∴，， ∴若函数，则实数的取值范围是. （2）由题意可得，在上是严格递增函数， ∵，∴，即， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，， ∴. 证明如下： ∵，∴， 又∵在上是严格递增函数， ∴，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴， ∴，即得证. （3）依题意，任意的，恒成立并且在严格单调递增； 当时，此时，由于，当时，， 故，不符合严格单调增题意； 故存在使得； 先说明函数没有零点：若恒成立，则，不符合严格单调增题意； 故假设存在零点， 此时，，∴，不符合严格单调增题意； 若函数仅有一个零点，则必存在，使得，不符合严格单调增题意； ∴函数没有零点，故存在使得； 一方面，若存在满足且，不符合严格单调增题意； 另一方面，若存在满足且， 则由严格单调增，，都有，故当时，， 故，不符合严格单调增题意； 综上所述，对任意的恒成立， （如：不妨令，符合已有条件，进行验证） 结合题干，可得的取值范围是. 【点睛】本题属函数新定义问题，可以先通过举例方式，将抽象定义转化为具体函数，加深对题目信息的理解，然后再综合函数、导数等相关知识，使用分类讨论等方式对问题进行分析解决. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$