湖南省永州市道县第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

道县二中高一第一次月考数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题 （共8题，满分40分，每小题5分） 1．若复数z满足zi＝1＋i，则z的共轭复数是（ ） A．－1－i B．1＋i C．－1＋i D．1－i 2．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 4.欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”若复数 ，则(    ) A. B C. D. 5．在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 6．桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（    ） A．米 B．米 C．50米 D．米 7.已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题 （共3题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（   ） A．复数z的模为 B．复数z的共轭复数为 C．复数z的虚部为 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 10．已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，则下列说法正确的有(　　) A．－＝ B．·＝||2 C．在上的投影向量为 D．＋＝ 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则　　． 13． 在中内角所对边分别是若，则的形状 一定是 ． 14．已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 15（13分）.已知，，三点的坐标分别为，，，且，． 求点，的坐标 判断与是否共线． 16（15分）.已知，，． 求向量与所成角的余弦值； 若，求实数的值． 17（15分）.如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且． 求；（若，求的值． 18．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足. (1)求A的大小； (2)若，，求的周长. 19（17分）．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 道县二中高一第一次月考数学试卷解析 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题 （共8题，满分40分，每小题5分） 1．若复数z满足zi＝1＋i，则z的共轭复数是（ ） A．－1－i B．1＋i C．－1＋i D．1－i 【答案】B 【解析】【解答】复数 满足 ， 所以 ， 所以 的共轭复数是 ， 2．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，即，代入即可求解． 【详解】已知向量，， 若，则，即， 则的值为． 3．已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由线段的中点公式可得，，故点的坐标是， 4.欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”若复数，则(    ) A. B C. D. 答案为 5．在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 答案：C 【分析】建系求出各点的坐标，进而应用数量积的坐标运算即可. 【详解】如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系， 则，，， 因为是的中点，所以， 因为是线段的中点，所以， 所以，，， 所以， 所以. . 6．桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（    ） A．米 B．米 C．50米 D．米 答案：B 7.已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：因为，所以， ∴，又，所以，∴或（舍去）， 所以， 所以在方向上的投影向量为.故选A. 8.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】  【解析】解：在中，， ，设， 则， ， 由， ，即，， 二、多选题 （共3题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（   ） A．复数z的模为 B．复数z的共轭复数为 C．复数z的虚部为 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】C,D 【解析】【解答】因为 ， 则 ， ∴ ， A不符合题意， 复数z的共轭复数为 ， B不符合题意； 复数z的虚部为 ， C符合题意； 复数z在复平面内对应的点为 ， 在第一象限，D符合题意. 10．已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 答案：ACD 【分析】根据三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，选项A正确； B选项，，选项B错误； 在中，由正弦定理得，故C和D正确. 12．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，则下列说法正确的有(　　) A．－＝ B．·＝||2 C．在上的投影向量为 D．＋＝ 【答案】BCD 【解析】对于A，－＝＝，A错误；对于B，∠FAD＝60°，则·＝||×||×cos 60°＝||2，B正确；对于C，在上的投影向量为||·cos 60°＝，C正确；对于D，＋＝＋＋＋＝，D正确 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则　　． 【答案】 【解析】． 因为为纯虚数，所以，得． 故答案为：． 13． 在中内角所对边分别是若，则的形状一定是 ． 答案：直角三角形 【分析】利用余弦定理翻译条件，勾股定理判断直角即可. 【详解】∵， ∴整理可得：， ∴的形状一定是直角三角形． 14．已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 答案： 【分析】根据条件得到，再利用模长的定义及数量积的运算，即可求出结果. 【详解】由题知，又，表示两个夹角为的单位向量， 所以 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 15（13分）.已知，，三点的坐标分别为，，，且，． 求点，的坐标 判断与是否共线． 解：依题意得，． 设， 由，可知， 即解得 点的坐标为 由，可知， 即解得 点的坐标为． 由可知， 又， ， 故与共线． 16（15分）.已知，，． 求向量与所成角的余弦值； 若，求实数的值． 解：，， ，， ，． 设向量与所成角为， 则， 向量与所成角的余弦值为． 由知，又，且， ， 解得．  17（15分）.如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且． 求；（若，求的值． 解：以点为坐标原点，和分别为轴，轴建立平面直角坐标系 则，，， 又为中点和 ， ， 且题中已知 ， 又因为， ，解得 ．  【解析】本题考查了向量坐标的线性运算，向量数量积的坐标运算考查了基本运算求解能力，属于基础题． 分别以边，所在的直线为轴，轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量坐标的线性运算以及数量积的坐标运算即可求解，求出，即可计算． 用，表示，列方程即可求解． 18．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足. (1)求A的大小； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得，再结合三角形角的范围求解即可； （2）根据已知利用余弦定理求得，利用完全平方和求得，即可得解. 【详解】（1）因为向量，且满足， 所以，所以， 又，所以； （2）在中，由余弦定理及，得， ，所以，所以，所以， 所以的周长为. 19（17分）．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 答案：(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答. （2）由（1）的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答. 【详解】（1）在中，由已知及正弦定理得：， 即有，即，而，，则， 所以． （2）在中，由余弦定理得：， 因此，即，当且仅当时取等号， 又， 所以面积的取值范围是 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$