精品解析：陕西省商洛市2024届高三下学期尖子生学情诊断考试（第三次）数学（理科）试卷

商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试（第三次） 数学试卷（理科） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，结合复数的定义得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为， 又的实部与虚部相等，则，所以． 故选：A． 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再进行逐项判断看到答案. 【详解】因为，故， 又， 所以没有包含关系，，. 所以ABC错误，D正确. 故选：D. 3. 已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间（分钟）与一个月内减轻的体重（斤）的一组数据如表所示： 30 40 50 60 70 一个月内减轻的体重与每天投入的体育锻炼时间之间具有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时，该月内减轻的体重约为（ ） A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤 【答案】A 【解析】 【分析】先求出样本点中心，代入回归方程求出，再将代入计算即可. 【详解】由表中数据可得 ， ， 将代入得，解得， 即， 则当时，. 故选：A. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式的性质分充分性、必要性两方面进行说明即可求解. 【详解】若 ，则，所以，充分性成立； 若，则，但不一定成立，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 5. 甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是（ ） A. 112 B. 80 C. 64 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件及分类分步计数原理即可求解. 【详解】分两类情况，第一类情况，去C企业仅有一人，有种情况； 第二类情况，没有一个去C企业，有种情况， 所以根据分类加法计数原理共有种. 故选：A. 6. 对于两条不同直线，和两个不同平面，，下列选项错误的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则或 C. 若，，则或 D. 若，，则或 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中的线面关系逐一判断即可. 【详解】若，，，则，故A正确； 由，，推不出或，故B错误； 若，，则或，故C正确； 若，，则或，故D正确； 故选：B 7. 在不等式组表示的平面区域内任取一点，则满足的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别画出不等式组和不等式满足的区域，再利用几何概型的概率求解. 【详解】解：如图， 不等式组表示的平面区域为及其内部，其中， 所以， 设直线与直线分别交于点， 所以满足的平面区域为四边形及其内部， ， 所以满足的概率为． 故选：C． 8. 已知是圆上任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 圆化为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为是圆上任意一点， 所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径， 所以，解得， 即的最大值为. 故选:D. 9. 为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业､人才､文化､生态､组织振兴”的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的Logistic模型：.已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（参考数据：）（ ） A. 30% B. 40% C. 60% D. 70% 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得，令，即可求解. 【详解】由题意知，当时，，则，解得， 所以，可得，所以， 当时，. 故选：B. 10. 在中，，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，设，则，显然，即，所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为． 故选：C． 11. 已知是自然对数的底数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构建，利用导数判断单调性可得，构建，利用导数判断单调性可证，进而可得，即可得结果. 【详解】构建，则在内恒成立， 可知在内单调递增， 因为， 可知，即； 构建，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则，即， 可得，且，则，即； 综上所述：. 故选：B. 12. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记，的面积分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线的方程为，，，联立抛物线方程结合韦达定理有，同理，从而，同理，结合三角形面积公式即可得解. 【详解】根据已知条件作出图形，如图所示 由题意知，又，所以. 显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 由，得，显然，所以. 显然直线BD的斜率不为0，设，直线BD的方程为， 由，得，显然，所以， 又，所以，设，同理可得， . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于同理思想的运用，通过韦达定理得出，，再结合三角形的面积公式即可. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设，向量，，若，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线可列方程，解方程即可. 【详解】由题意得，解得， 故答案为：. 14. 已知函数（），对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据正弦型函数的性质和题目给出的条件，运用最小正周期与的关系，对称轴及单调性的特点求解. 【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称， 所以，即，， 解得，， ， ，， 因为在区间上单调， 所以，解得． 经检验，当时，，当时，均满足题意． 故答案为：或. 15. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先利用平面向量加法的法则和双曲线的性质求出和的边长，再分别利用余弦定理联立可得，最后根据斜率公式求解即可. 【详解】依题意，设双曲线的半焦距为，则， 因为是的中点，所以，故由得， 又因为，所以， 在中，， 在中，， 所以，解得，所以， 所以双曲线方程为，则， 设，，， 所以， 故答案为：2 16. 已知圆锥的体积为，若球在圆锥内部，则球体积的最大值为_______.此时圆锥的底面圆的半径为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，可得球是圆锥的内切球，作出圆锥的轴截面并设轴截面等腰三角形底角为，把球半径表示为的函数，再换元求出最大值即可求解作答. 【详解】设圆锥底面半径为，高为，当球为圆锥的内切球时，球的体积最大， 作出圆锥的轴截面，内切圆圆心为，中点为，如图， 设内切球的半径为，则，，球的体积， 设，则，其中， 于是，即有，， 因此圆锥的体积 ， 则，令，即， 于是，， 令， 令，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，， 因此当时，，， 所以球体积的最大值为，此时， 则有，， 所以圆锥的底面圆的半径为. 故答案为：； 【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 在数列中，，，数列是公比不为1的等比数列，且，，成等差数列． （1）求数列与的通项公式， （2）若，求数列的前项和 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求的通项，然后可得的通项，根据等差中项列方程求出q，然后可得的通项； （2）利用等比数列求和公式和裂项相消法可得. 【小问1详解】 因为，， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，，即. 由题知，， 记的公比为q，则，解得或（舍去）， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 . 18. 我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值． 参考数据：若，则． （1）求的值； （2）估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？ （3）若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？ 【答案】（1） （2）160 （3） 【解析】 【分析】（1）由均值定义计算； （2）由已知得，根据正态分布的概率性质计算概率； （3）由题意，则，记其为，然后用作商法求得最大值时的值． 【小问1详解】 ， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，， ． 该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为 ． 【小问3详解】 每个零部件的质量分数在内的概率为， 由题意可知， 则， 设（）， 则， 令，得， 所以当时，， 令，得， 所以当时，， 所以时，最大，故使最大的n的值为14． 19. 如图，在几何体中，平面. （1）求证：平面平面； （2）若，在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为平面，且， 所以平面， 取的中点，连接，则平面，所以， 又，所以， 取的中点，连接，则，且， 又，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，取的中点，连接，通过证明平面可得平面平面； （2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法求出与平面所成角的正弦值，然后解方程可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量， 则即取，可得. 设，所以， 记与平面所成的角为， 所以， 解得，故为的中点，即. 所以在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且. 20. 如图，已知椭圆的左顶点为，离心率为是直线上的两点，且，其中为坐标原点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点． （1）记直线的斜率分别为，求的值； （2）求点到直线的距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式及两直线垂直的条件即可求解； （2）根据已知条件及椭圆的离心率公式求出椭圆的方程，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理，结合（1）的结论，进而得出直线过定点，当直线的斜率不存在时，求出直线，与椭圆的方程联立，得出得坐标，得出直线过定点即可求解. 【小问1详解】 设，所以, 又，所以， 又， 所以 【小问2详解】 由题意可知，解得 所以椭圆的方程为 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，消去，得， 则， 所以， 由（1）知，所以, 整理得， 所以，整理得， 即，解得，或 当时，直线的方程为，过定点，不符合题意，舍去； 当，直线的方程为，过定点 当直线的斜率不存在时，易得， 所以直线的方程为， 由，消去，得，解得，或， 所以，同理得， 此时直线的方程是，过定点 综上，直线过定点 又， 所以点到直线的距离的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第二问根据已知条件求出椭圆的方程，讨论直线的斜率的存在，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程的联立，利用韦达定理及（1）的结论，进而求出直线过定点和定直线即可. 21. 已知，. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证：对任意的，. 【答案】（1） 当时在上单调递增； 当时在上单调递减，在上单调递增. （2） 当时， 则， ， 要证， 即证， 即证， 由于（当且仅当时取等号）， 所以，即， 又 ， 故只需证明， 设，，则，所以在上单调递减， 当时，则，所以， 所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 所以， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 综上所述对任意的恒成立， 即对任意的，. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）首先表示出、，利用分析法得到只需证明，设，，利用导数说明函数的单调性，即可得到对任意的恒成立，从而得证. 【小问1详解】 函数定义域为， 且， 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，令，解得，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上可得，当时在上单调递增； 当时在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：本题第二问关键是利用分析法将目标不等式转化为证明，从而构造函数，，结合导数说明函数的单调性，将复杂问题简单化. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求直线的参数方程及曲线的极坐标方程； （2）设交于两点，求的最小值． 【答案】（1）（为参数）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接由直线的参数方程、曲线的极坐标方程的定义进行转换即可； （2）联立直线参数方程与原的直角坐标方程，结合韦达定理、参数的几何意义可得，进一步结合三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 由已知得直线的参数方程为（为参数）， 由，得， 又， 所以，即， 所以曲线的极坐标方程为． 【小问2详解】 将代入，得， 即， 设是上述方程的两实根，则， 又直线过，则两点对应的参数分别为， 所以 ，当且仅当时，取等号． 所以的最小值为． 选修4-5：不等式选讲 23. 已知均为正数，函数的最小值为3． （1）求的最小值； （2）求证：． 【答案】（1）9； （2） 因为， 同理， 所以 ． 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的三角不等式求得，再利用柯西不等式求出最小值. （2）由（1）有，利用柯西不等式证得，，再相加即可推理得证. 【小问1详解】 ，当且仅当时取等号， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试（第三次） 数学试卷（理科） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间（分钟）与一个月内减轻的体重（斤）的一组数据如表所示： 30 40 50 60 70 一个月内减轻的体重与每天投入的体育锻炼时间之间具有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时，该月内减轻的体重约为（ ） A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是（ ） A. 112 B. 80 C. 64 D. 32 6. 对于两条不同直线，和两个不同平面，，下列选项错误的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则或 C. 若，，则或 D. 若，，则或 7. 在不等式组表示的平面区域内任取一点，则满足的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是圆上任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业､人才､文化､生态､组织振兴”的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的Logistic模型：.已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（参考数据：）（ ） A. 30% B. 40% C. 60% D. 70% 10. 在中，，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 16 11. 已知是自然对数的底数，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记，的面积分别为，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设，向量，，若，则______________． 14. 已知函数（），对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为____________． 15. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积__________. 16. 已知圆锥的体积为，若球在圆锥内部，则球体积的最大值为_______.此时圆锥的底面圆的半径为__________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 在数列中，，，数列是公比不为1的等比数列，且，，成等差数列． （1）求数列与的通项公式， （2）若，求数列的前项和 18. 我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值． 参考数据：若，则． （1）求的值； （2）估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？ （3）若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？ 19. 如图，在几何体中，平面. （1）求证：平面平面； （2）若，在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 20. 如图，已知椭圆的左顶点为，离心率为是直线上的两点，且，其中为坐标原点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点． （1）记直线的斜率分别为，求的值； （2）求点到直线的距离的最大值． 21. 已知，. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证：对任意的，. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求直线的参数方程及曲线的极坐标方程； （2）设交于两点，求的最小值． 选修4-5：不等式选讲 23. 已知均为正数，函数的最小值为3． （1）求的最小值； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $