高一训练题 2-“枫叶新希望杯”高中数学竞赛训练题

NEWHOPECUP ４　 高一数学训练题(二) 一、选择题 １．已知 M＝{x|x＝a２＋４a＋５,a∈N∗ },P＝{y|y＝b２－６b＋１０,b∈N∗ },则集合 M 与P 之间的关系为(　　)． A．M⊇P B．M⫋P C．M＝P D．M⫌P ２．在等比数列{an}中,a１＋a２＋a３＝m＞０,公比q＜０,则a１a２a３ 的取值范围是 (　　)． A．[－m３,０) B．[－m３,＋∞) C．(０,m３] D．(－∞,m３] ３．对任意x∈[a,b],不等式a≤ ３ ４x ２－３x＋４≤b恒成立,则a＋b的值为(　　)． A．５ B．４ C． ８ ３ D． １６ ３ ４．已知方程x２＋(１＋a)x＋１＋a＋b＝０的两根为x１,x２,且０＜x１＜１＜x２,则 b a 的取值范围是(　　)． A．－１,－ １ ２ æ è ç ù û ú ú B．－１,－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ C．－２,－ １ ２ æ è ç ù û ú ú D．－２,－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ５．已知圆C:x２＋y２＝１,点P(x０,y０)在直线x－y－２＝０上,点O 为坐标原点,若 圆C 上存在点Q,使∠OPQ＝３０°,则x０ 的取值范围是(　　)． A．[－１,１] B．[０,１] C．[－２,２] D．[０,２] ６．若f(０)＝２０１０,且对任意的x∈R,f(x＋２)－f(x)≤３􀅰２x,f(x＋６)－f(x) ≥６３􀅰２x,则f(２０１０)等于(　　)． A．２２００８＋２００７ B．２２００９＋２００８ C．２２０１０＋２００９ D．２２０１１＋２０１０ (第７题图) ７．将４５°的直角三角板ADC 和３０°的直角三角板ABC 拼在一 起组成平面四边形ABCD,其中４５°的直角三角板的斜边AC 与３０°的直角三角板的３０°角所对的直角边重合,若DB→＝xDA→ ＋yDC →,则x,y分别等于(　　)． A．３,１ B．３,３＋１ C．２,３ D．３＋１,３ ８．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位是辆/分,上班高峰期 某十字路口的车流量由函数F(t)＝５０＋４sin t ２ (其中０≤t≤２０)给出,F(t)的单 !"#$%! ５　 位是辆/分,t的单位是分,则车流量增加的时间段是(　　)． A．[０,５] B．[５,１０] C．[１０,１５] D．[１５,２０] 二、填空题 ９．若四个平面最多可以把空间分成m 个部分,三棱锥的面无限延伸,可分空间为n 个部分,则m、n的大小关系是m n． １０．已知函数f(x)＝ －cosπx,x＞０, f(x＋１)＋１,x≤０．{ 则f ４ ３ æ è ç ö ø ÷ ＋f － ４ ３ æ è ç ö ø ÷ 的值为 ． １１．已知集合A＝{x|log２x≤２},B＝(－∞,a),A⊆B,实数a 的取值范围是(c, ＋∞),则c＝ ． １２．若方程lnx－６＋２x＝０的解为x０,则不等式x≤x０ 的最大整数解是 ． １３．已知函数f(x)＝asinx＋cosx＋１,且f π ４－x æ è ç ö ø ÷ ＝f π ４＋x æ è ç ö ø ÷ ,则a 的值为 ． １４．设{an}是一个公差为d(d＞０)的等差数列．若 １ a１a２ ＋ １ a２a３ ＋ １ a３a４ ＝ ３ ４ ,且其前 ６项的和S６＝２１,则an＝ ． (第１５题图) １５．如图所示,圆锥的底面半径为１,母线PB＝２,一只蚂蚁 在A 点处,它从点A 到PB 的中点C 所爬行的最短路程 为 ． １６．已知函数y＝f(x)的定义域为(０,＋∞),且y＝ f(x) x 在 (０,＋∞)上为增函数,给出下列结论: ①y＝f(x)在(０,＋∞)上为增函数; ② 若x１,x２∈(０,＋∞),则f(x１)＋f(x２)＞f(x１＋x２); ③ 若x１,x２∈(０,＋∞),则f(x１)＋f(x２)＜f(x１＋x２)． 其中正确的结论是 (填序号)． 三、解答题 １７．设函数f(x)＝－４x＋b,且不等式 f(x)＜c的解集为 x －１＜x＜２{ }． (１)求b、c的值;(２)解关于x 的不等式(４x＋m)f(x)＞０(m∈R)． NEWHOPECUP ６　 １８．在△ABC 中,a,b,c分别为内角A、B、C 的对边,且２asinA＝(２b＋c)sinB＋ (２c＋b)sinC． (１)求A 的大小; (２)求sinB＋sinC 的最大值． １９．已知a＝(１,x),b＝(x２＋x,－x),m 为常数且m≤－２,求使不等式a􀅰b＋２ ＞m ２ a􀅰b ＋１ æ è ç ö ø ÷ 成立的x 的取值范围． ２０．设同时满足条件:① bn＋bn＋２ ２ ≤bn＋１ (n∈N∗ );②bn≤M(n∈N∗ ,M 是与n 无 关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列． (１)若数列{an}为等差数列,Sn 是其前n项和,a３＝４,S３＝１８．求Sn; (２)判断(１)中的数列{Sn}是否为“特界”数列,并说明理由． #A母参考案一 a= (a+b+1>0. 7+1 n(n+1' (2a+b+3<0.” 与原点连线的斜率,应用线性规划知识不难 得到答案D. 1 用叠加法可得:b.-2- 5.D 提示:由题知0QP90{。..1OP 2: 2.又P(r.x。-2).则xi+(x-2) 4 得x。[0.2],故选D. 6.C 提示:由f(x+2)-f(x)<3·2 得 +12-2n-1+ 2m-n +$ f(2010)-f(2008)3·22-.f(2008)- ?.c) f(2006)3·2m...f(4)-f(2)<3· ? 2 内的最小正整数为n+2. 2.f(2)-/(0)<3·2,1005个不等式相加 得:/(2010)-(0)<3·(2+2+2+. 2 .-3</<-1. .f(2010)<2u+2009.由f(r+6)- 高一数学训练题(二 f(x)63·2,同理可得:f(2010)2 一、选择题 #断框到怎表们耳。。 +2009.故选C. 1.B 7.B 提示:以D点为原点,DA为x轴,DC为 2.A 提示:设等比数列(a。)的公比为o,由a y轴,建立直角坐标系,作BE DC,交DC +a+a=m,且m0, 得 延长线于点E,设 AD =1,则 AB = n,而 )=n..:=_ 2 AC =2V.BC =3AC|=$ 2 r. 1BC -3,y.=3+1,故选B ()# -.又<0.则 a“2q=a__m 8.C 提示:选项A.D车流量是先增后减,选项 B车流量是先减后增:由正弦函数的单调性 <-2..+1+1<-1.-1< 可判断C符合. 7 二、填空题 n o 9.= 提示:a个平面最多可分空间为 -<0..a:a:a:[-m,0).故选 a*十5+6 6 个部分,则n=n-15. 。 10.3 提示: # #()---co0+) 3.A 提示:令/(x)一 /(6)-b. #( )-/(1-)+1/()+1 解得a 3.不符合a2;若6<2.则 =4. -/(1-+2-/()+2 (f(a)=b”解得a-b= ,不符合a<b; . ff(b)-a. 3 若a<2<b,则/(x)-f(2)-1.'a 故/()+/(-)-3. 1.又f(b)=b.解得b-4...a+b-5.故选 A. 11.4 提示:.A-(0,4],依题意知a4..C 4.D 提示:令函数/(x)=r*+(1十a)r+1 -4. (o)0即 十a十5,根据实根分布知识得 12.2 提示:设f(x)-ln.x-6+2x,则f(2) /(1)<0. -ln2-2<0.f(3)-ln30.r。(2 45 #卷 NEW HOPE CUP 3)..'x<x。的最大整数解为2 13.1 提示:由已知((x)图象关于直线x= 4 4 .-1. 1 14.n 提示:由 #) a: a:a .- _ m=一2时,解集为;当m一2时,解集 -2 1得2a +5d-7.解得a =d-1.所 18.解;(1)由已知,根据正弦定理得 以a。-n. $a=(2b+c)b+(2c+b). 15.5 提示:把圆锥侧面沿PA展开得扇形 即a-b^{}十c{}+bc.由余弦定理得 PAA'.其圆心角θ三元.如图,则AC为所求 a-b+c-2bc cosA, 最短路程,AC=、5. 所以cosA=- ,A 又·0*<A<180{,故A-120^{} (2)由(1)得sinB十sinC-sinB+sin(60*- C ③ B) 2 当B=30{*}时,sinB+sinC取得最大值1. f() 19.解:由已知a·b=x. 16.③ .6(_1) 提示:由y= 在(0.十)上为 增,如/(r)=-1(x0),即得①不一定 ##2>(#1) 成立;对③,设x>x:0,由y= f(x) ()f(x。)(x) 1 递增知: (x+2)-m-2m。 r 1十r r。 r f().f(x+x:)> f()(x。十x:) _ r r (r十2)(x-m) f(r) f(x:) >0 =f(x)十 →r:>f(r) 2 ##: 一/(r)+/(x)③成立. -x(x+2)(x-m)0(m<-2). 三、解答题 ①n=-2时,原不等式-x(x+2) 17.解;(1)由l-4r+b|<c得&<x< 0-.x>0; ②n -2时,原不等式-m<x<-2或 &+.(/(c)|<c-trl-1<<2; >0. 4 综上;n三-2时,x范围为(0,+). -C_-1. m-2时,:范围为(m,-2)U(0.). #则#62. 4 20.解;(1)设等差数列(a。)的公差为d,则 1c6. a+2-4,3a +3d-18. 解得a-8,d=-2. (2)f(x)=-4x+b,则(4x+m)(2-4x) .S-n十 >0.即(4x+m)(4x-2)<0. 2 s.+S:-S.= (2)由一 4 2 n a.:-a。二 一(S-s.)]= d 2 =-1 2 46 #参考答案一 $.+Ss. <0得 故数列(S。)适合条件①. 6.C 提示:依题意得a>0且△=16-4ac= 而$.=-n{+9n= n EN*),则当n三4或”一5时,S.有最大值 1 9 #) 20.即S.<20. ta十9 #。 故数列S。)适合条件②. a+18a+36 综上,数列S。是“特界”数列 a*+13a+36 高一数学训练题(三) 5 =1+- 一、选择题 a+13a+36 1.B 提示:由已知SCA且SOB去,则集 5 -1+- 合S至少含有(4,5,6)中一个元素,由干满 a十 36 舌 -+13 足SCA的集合S有2*个,其中不含有 。 (4.5,6)中元素的集合S有2个,所以满足 <1- 36 SCA且S0B¥父的集合S有2-2= +13 . #断框到怎表们耳。。 56个.故选B. 当且仅当a-6,即。- 2 2.D 提示:f(2)=-f(-2)--f-2+4) 时取等号,因此 --f(2)..f(2)-0,f(2010)=f(2)= 0; r十1十9 f(2011)=f(3)f(2)-0..f(3)0.因 为2< 2r+4r+5 3, 所以 r+2x+2 cosoux(o0)周期的正整数倍,所以--k (2r+4r+5) (*+2+2) /(2)=0:易知/(x) .2=(kN),-6h6-故的最小值 <201 在(1.2)上也递增,1< 2010 <3,所以 等于6,故选C. #(201)<#() 8.B 提示:由题意可知5AP-3A,从而有 .故选D. 3.D 提示:方程m[/(x)]十nf(x)+=0 的根关于函数f(x)=ar+b+c(a去0) 的对称轴x=- 对称分布,D项中的4个 二、填空题 元素不对称,故不可能是方程的解集。 #3# 9.3015 提示:f(x)+f(1一x)= 4.C 提示:由已知a.=2...原式= 3(1-x)-2 log:(aa:..a-))-log(2.2.2.... 2-3. 2“-1)-log。2-n. 2(1-x)-1 #(2)+(2#-/()+ 5.B 提示:第n组中的数共有n个,并且每个 数的分子与分母之和均等于”十1,分母由1 ##1)1)(0) 开始依次增大到n为止,注意到1953= -3. 62×(62+1) 63×(63+1) <2011 /(2o)+/(2)++/(20)- 2016.因此数列中的第2011项应是第63组中 1005×3-3015. 第58个数,第63组中各数的分子与分母之和 均等于64,并且该组中的各数的分母由1依 提示:两式平方相加得,sinA一 次增加到63,因此数列中的第2011项应为 2sinAsinB+sinB+cos*A-2cosAcosB+ 47