高一训练题 1-“枫叶新希望杯”高中数学竞赛训练题

!"#$%! １　 高一数学训练题(一) 一、选择题 １．已知集合A＝ x|x２＋ ５ ２x＋１＝０{ },B＝{y|y＝x ２＋a,x∈R},若A∩B≠Ø,则 a的取值范围是(　　)． A．－∞,－ １ ２ æ è ç ù û ú ú 　　B．－ １ ２ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ 　　C．－４,－ １ ４ é ë ê ê ù û ú ú 　　D．－∞,－２( ] ２．设函数f(x)＝ (x＋１)２,x＜１, ４－ x－１,x≥１．{ 则使得f(x)≥１的自变量x 的取值范围是 (　　)􀆰 A．(－∞,－２]∪[０,１０] B．(－∞,－２]∪[０,１] C．(－∞,－２]∪[１,１０] D．[－２,０]∪[１,１０] ３．已知函数f(x)＝x＋２x,g(x)＝x＋lnx,h(x)＝x－ x－１的零点分别为x１, x２,x３,则x１,x２,x３ 的大小关系是(　　)． A．x１＜x２＜x３ B．x２＜x１＜x３ C．x１＜x３＜x２ D．x３＜x２＜x１ ４．在△ABC 中,a,b,c分别为角A,B,C 的对边,且cos２B＋cosB＋cos(A－C)＝ １,则(　　)． A．a,b,c成等差数列 B．a,b,c成等比数列 C．a,c,b成等差数列 D．a,c,b成等比数列 ５．在△ABC 中,AB＝ ３,AC＝２,若O 为△ABC 内部一点,且满足OA→＋OB→＋OC→ ＝０,则AO→􀅰BC→＝(　　)． A． １ ２ B． ２ ５ C． １ ３ D． １ ４ ６．各项均不为零的等差数列{an}中,若a２n－an－１－an＋１＝０(n∈N∗ 且n≥２),则 S２０１１等于(　　)． A．０ B．２ C．２０１１ D．４０２２ (第７题图) ７．四棱锥P－ABCD 的底面为正方形,PD⊥底面ABCD,PD＝AD＝１,设点C 到平面PAB 的距离为d１,点B 到平面PAC 的距离为d２, 则有(　　)． A．１＜d１＜d２ B．d１＜d２＜１ C．d１＜１＜d２ D．d２＜d１＜１ NEWHOPECUP ２　 ８．直线ax＋by＋a＋b＝０与圆x２＋y２＝２的位置关系为(　　)． A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 二、填空题 ９．设集合A＝{５,log２(a＋３)},集合 B＝{a,b},若 A∩B＝{２},则 A∪B＝ ． １０．设函数f(x)＝ ２x,－２≤x＜０, g(x)－log５(x＋ ５＋x２ ),０＜x≤２．{ 若f (x)为奇函数,则当 ０＜x≤２时,g(x)的最大值是 ． １１．在△ABC 中,a,b,c分别为角A,B,C 的对边,若m＝(a－b,１)和n＝(b－c, １)平行,且sinB＝ ４ ５ ,当△ABC 的面积为 ３ ２ 时,b＝ ． １２．已知 A,B,C 是圆O:x２ ＋y２ ＝１ 上三点,OA →＋OB→＝OC→,则AB→􀅰OA→＝ ． １３．设关于x 的不等式x２－x＜２nx(n∈N∗ )的解集中整数的个数为an,数列{an} 的前n项和为Sn,则S１００＝ ． １４．一个空间几何体的三视图如图所示,其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三 角形,且直角边长都为１,则它的外接球的表面积是 ． １５．在平面直角坐标系xOy 中,直线y＝ ３x＋２m 和圆x２＋y２＝n２ 相切,其中m, n∈N∗ ,０＜|m－n|≤１,若函数f(x)＝mx＋１－n的零点x０∈(k,k＋１),k∈Z, 则k＝ ． １６．在平面直角坐标系xOy 中,过定点Q(１,１)的直线l与曲线C:y＝ x x－１ 交于点 M、N,则ON→􀅰OQ→－MO→􀅰OQ→＝ ． 三、解答题 １７．设集合A＝ x １３２≤２ －x≤４{ },B＝ x|x２－３mx＋２m２－m－１＜０{ }, (１)当x∈Z时,求A． (２)若A∪B＝A,求m 的取值范围． !"#$%! ３　 １８．已知函数f(x)＝log４(４x＋１)＋kx(k∈R)是偶函数． (１)求k的值; (２)设g(x)＝log４ a􀅰２x－ ４ ３a æ è ç ö ø ÷ ,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公 共点,求实数a的取值范围． １９．若函数f(x)＝sin２ax－sinaxcosax(a＞０)的图象与直线y＝m 相切,并且切 点的横坐标依次成公差为 π ２ 的等差数列． (１)求m 的值; (２)若点A(x０,y０)是y＝f(x)的图象的对称中心,且x０∈ ０, π ２ é ë ê ê ù û ú ú ,求点A 的 坐标． ２０．已知数列{an}满足:a１＝１,an＋１＝ １＋ １ n æ è ç ö ø ÷an＋ １ n (n∈N∗ )． (１)设bn＝ an n ,求数列{bn}的通项公式; (２)若对任意给定的正整数m,使得不等式an＋t≥２m(n∈N∗ )成立的所有n 中的最小值为m＋２,求实数t的取值范围． 常身参考苔素 参考答案 高一数学训练题（一）】 =2,圆心(0,0)到直线a.x十by十a十b= 一、选择题 0的距离d= la+b1 (a+b) Va +b a:+b 1.A 提示A={--B= 2ab 2ab a2+69 1+ =√2.即d≤r 多，放选入 2ab ≥a.由A∩B≠O,得a≤- 故选D. 2.A提示：由+1)>≥1 0≤x<1或z 二、填空题 x<1 9.{1,2,5}提示：A∩B=(2}..log(a+ ≤-2.由4-r可≥11≤x≤10. 3)=2→a=1..b=2,.A={2.5},B= (x≥1 1,2},AUB=1,2,51. 综合得0≤x≤10或x≤-2，故选A. 1o是 就 提示：设0<r≤2.-2≤-x<0, 3.A提示：x1<0<x<1<x1 4.B提示：由cos2B+cosB+c0s(A一C)=1 .f(-x)=2,而f(-x)=-f(x), 想 1-2sin'B-cos(A+C)+cos(A-C)= .f(x）=-f(-x)=-2=g(x) 效 1.∴.sin2B=sinAsinC→b2=ac,故选B. ogs(x十√5十x),∴g(.x）=log(x十 色 5,C提示：易证点O为△ABC重心，∴.AO √5+xT)-23(0<x≤2)，易知g(x)在 希 望 号+心.成-花-..C （0,2]上遥增g）=g(2)=1-号 ● -专d:-)-号故进C ● 6.D提示：由a=a1十dw-1=2a。又4。≠ 11.2提示：由m∥n得2b=4十c,由S64m 0,4。=2,选D 7.D提示：：CD∥平面PAB,.点C到平面 2acsinB,得3=1 1 4 ar行，即ac= 2=- PAB的距离等于点D到平面PAB的距离，过 由题意及余弦定理知，0B 15 D作DE⊥PA,则DE⊥平面PAB,d,= a2+e2-b2 (a+e)2-2ac-6 DE-受点B与点D到平面PAC的距离相 2ac 2ac 等.设AC∩BD=O,则平面PDO⊥平面 3h-2ac=3 2ac ，得62=4，即6=2 PAC,∴d:等于点D到PO的距离，可计算得 12.-2 48 提示：依题意知四边形(OACB为菱 d<d,<1,放选D. 形，且∠A0B=120,则1A店1=3，(A店， Oi)=150,Ai.Oi=1A市110i1· cos(Ai.Oi)=5.1× 3 13.10100提示：由x2一x<2mx(n∈N)得 0<x<2n+1(n∈N),则am=2n, 2+200×100=10100. 8.D提示：x+y2=2的圆心为(0,0)，半径r 2 14.3π提示：由题意知此几何体是一个三棱 43 NEW HOPE CUP 新希望杯 锥，将三棱锥补成棱长为1的正方体，设其 外接球的半径为r,则有(2r)2=3,.r2= 个公共点，即方程1og(4十1)一2x 子S=ar=m…子=3玩 3 1og:(a·2-3a)有且只有一个实根，化简 15.0提示：，直线y=√W5x+2"与圆x2+y 得方程2：+=a2一亨4有且只有一 =n相切，2兰 =n,即21=n,又 √1+3 个实根.令t=2>0,则方程(a一1D2 31-1=0有且只有一个正根. 4 0<m-n≤1，.m=3,=4..f(x) =3+1-4,令f(x)=0,则x=log3 4 ①a=1p1=-3 4 不合题意： .0<xo<1,又xm∈(k,k+1),k∈Z,k =0. @△=0pu= 3或a=-3, 164提示：因为C:y一，马=1十，己的 若u=1 3 →1=一2不合题意： 图象相当于将函数：)一上的图象向右 1 若a=-31=21 平移一个单位，再向上平移一个单位得到， ③一个正根与一个负根， 所以曲线C的图象关于点Q(1,1)成中心对 称，可知点Q是线段MN的中点，故ON· 即二1 。<0>a>1. O-Mò.O=O0.(O示+OM)= 综上：实数a的取值范围是{一3)U(1, 2|001=4. +9). 三、解答题 19.解：(1)f(x)= -(1-cos2ux ) 2 sin2u.x 17.解：A={x-2≤x≤5， 11 B={x1(x-m+1)(x-2m-1)<0}, -2(cos2a +sin2ax)-2 (1)x∈Z A={-2,-1,0,1,2,3,4,5. 晋r+引} (2)当m一1=2m+1,即m=-2时， 由题意可知m为函数f(x)的最值，且 B=O二A满足条件： 当B≠O,即m≠一2时， T-又>0-a-2 (1)当m<一2时，B=(2m+1,m一1)， AUB=A (2m十1≥-2. f)=-号m+ 1m-1≤5. 3 ≤m≤6.m的值不存在： (1)当m>-2时，B=(m一1,2m+1), (2)令sim(a+）=0,则 AUB=A台m-1≥-2， 12m+1≤5. 4r+于=kx∈， .-1≤m≤2， 综上所述：m的取值范围为[一1,2]U一2. = 经-∈曲0<-< 4 16 18.解：(1)f(x)是偶函数→f(x)=f(一x), 9 .log1(4+1)+kx=1og:(4+1)-kx, 2 ≤k≤4 +1=-2kx,即x=一2kx对一 .log+1 又表∈Z,k=1或k=2, 切正∈R框成立k=一子 “点A的坐标为语)政（侣·） (2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一 20.解：0由a-+）p,+得 44 配常因却参考苔素一 1 a十b+1>0:则么可以看作是点P(a:b) 2a+b+3<0.a 得b+1=b,十 n十T义6，=a1=1, 11 与原点连线的斜率，应用线性规划知识不难 得到答案D. 用叠加法可得6=？一吕 5.D提示：由题知∠OQP≥90°..|OP≤ 2,又P(x6xn一2).则x十(x。一2)≤4， (2)由=b.=2-1得a.=21-1,则 得xa∈[0,2]，放选D. 6.C提示：由f(x+2)一f(x)≤3·2得 4。+1≥2m=2n-1+1≥2m台n≥m+ f(2010)-f(2008)≤3·2，f/(2008) 号，根据题意，在区同m十号十) f(2006)≤3·2m.…,f(4)-f(2)≤3· 内的最小正整数为十2， 2,f(2)-f(0)≤3·2.1005个不等式相加 得：f(2010)-f(0)≤3·(2"+2+2+… m+1<m+,‘m+1 .-3≤1<-1. +2+2)=3=2-小 ∴.f(2010)≤20+2009.由f(.x+6) 高一数学训练题（二） f(x)≥63·2，同理可得：f(2010)≥2 一、选择题 +2009.故选C 1.B 7.B提示：以D点为原点，DA为x轴，DC为 就 梦 2.A提示：设等比数列{am}的公比为q.由a1 y轴，建立直角坐标系，作BE⊥DC,交DC 延长线于点E,设|AD=1.侧1AB| 想 十a:十aa=m,且m>0,得 (++）=m=而 2|AC|=2w2,|BC|=5|AC1=W6, 效 色 n=号1BC1=原y。=原+1，故选B 希 2 望 又g<0,则 8.C提示：选项A,D车流量是先增后减，选项 9 +1 B车流量是先减后增，由正弦函数的单调性 可判断C符合. g+≤-2g+1+1≤-1…-1≤ 二、填空题 1 9.= 提示：4个平面最多可分空间为 9++1 <0,∴aaa∈[-m3,0).放选 :小+5u十6个部分，则m=n=15. 6 A. 10.3提示： 3.A提示：令f(.x)= 22-3+4= f(信)=-o号-=-(+） -2+1.若a≥2，则0二a又b>, f(b)=6. 21 4 解得口=3‘不符合a≥2：若6≤2.则 ()--)+1=() b=4. =-)+2=(得)+2 /）三解得a=b=言，不符合a<b: 2红+2=2 If(b)=a. 若a<2<b,则f(x)m=f(2)=1..a= 1.又f(b)=b.解得b=4.∴a十b=5.故选 故（信）+()=品 A. 11.4 提示：A=(0,4],依题意知a>4.G 4.D提示：令函数f(x)=x+(1十4).x+1 =4. 十a十b,根据实根分布知识得0)之0·即 12.2提示：设f(x)=lnx-6十2x,则f(2) f(1)<0. =ln2-2<0,f(3)=ln3>0,.x。∈(2， 45