高二训练题 4-“枫叶新希望杯”高中数学竞赛训练题

!"#$%! ３１　 高二训练题(四) 一、选择题 １． １ C２２􀅰C １ ３ ＋ １ C２３􀅰C １ ４ ＋ １ C２４􀅰C １ ５ ＋􀆺＋ １ C２１０􀅰C １ １１ 的值最接近于(　　)． A．０．４９８９ B．０．４９５１ C．０．４９３９ D．０．４９０９ ２．定义复数族:z＝a＋f(x)i,􀭵z＝a－f(x )i,若f(x)是复平面上的函数关系, 称z与􀭵z为共轭复数族,其中f(x)称为虚部函数．若复数族z１＝１＋ ex －２( )i, 则其共轭复数族的虚部函数图象大致为(　　)． ３．科进软件股份有限公司是由甲、乙、丙、丁四个子公司组成的总公司．在总公司的 利润方案下,每个子公司承担的利润份额与每年该子公司员工所占科进软件股 份有限公司总员工数的份额相等．但是去年该公司的财务报告却显示,甲公司在 员工数量增加的同时向总公司上缴利润的比例却下降了．如果上述陈述为真,财 务报告还能够说明(　　)． A．在四个子公司中,甲的员工数量最少 B．甲公司员工增长的比例比前一年小 C．乙、丙、丁公司员工增长的比例都超过了甲公司员工增长的比例 D．甲公司员工增长的比例至少比其他三个子公司中的一个小 ４．我们用 maxA 表示A 的最大值．已知复数z１ ＝３－ ７i,maxz１＋z２ ＝６,则 z２ ＝(　　)． A．１ B．２ C．３ D．４ ５．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事．设齐王的３匹马分别为A、B、C,田忌的３ 匹马分别为a,b,c,６匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为:A,a,B,b,C,c． 两人约定:６匹马均需参赛,共赛３场,每场比赛双方各出１匹马,最终至少胜两 场者获胜．颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必出 A 马,则田忌获胜的概率最大是(　　)． NEWHOPECUP ３２　 A．１２ B． １ ３ C． １ ４ D． １ ５ ６．三个半径都为r 的球O１,O２,O３ 彼此相切地靠紧放在水平桌面上．正四面体 D－ABC 的底面ABC 紧贴桌面,其他三个面与三个球分别相切,则正四面体 的棱长为(　　)． A．２r３ B．２r C．(２＋ ６－３２ ２ )r D．(４－ ６)r ７．某批袋装大米质量服从正态分布 N(１０,０．１２)(单位:kg)．任选一袋大米,它的质 量在９．８kg~１０．２kg内的概率是(　　)．(参考数据:Φ(２)＝０．９７７２) A．２２．８％　 B．４５．６％ C．９５．４４％ D．９７．２２％ ８．函数f(θ)＝sinnθ－ (eθ＋１－１)n ,n∈N∗ ,在(０, π ２ )上的实根个数为(　　)个． A．０ B．１ C．２ D．随n值变动,无法确定 二、填空题 ９．如图所示的程序运行后输出的k的值是 ． (第９题图) １０．向量a＝(１,sinθ),b＝(cosθ,３),θ∈R,则|a－b|的 取值范围是 ． １１．我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系 (两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为斜坐标系． 平面上任意一点 P 的斜坐标定义为:若OP→ ＝xe１ ＋ ye２(其中e１、e２ 分别为斜坐标系的x 轴、y 轴正方向上 的单位向量,x,y∈R),则点P 的斜坐标为(x,y)．在平 面斜 坐 标 系 xOy 中,若 ∠xOy ＝６０°,则 圆 x２ ＋ (y－１)２＝１的斜坐标系方程为 ． １２．一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知 从袋中任意摸出１个球,得到黑球的概率是２５ ;设从袋中任意摸出２个球,至少 得到１个黑球的概率为p,则p 的最大值是 ． １３．∑ n－１ i＝１ ∏ i k＝１ ln(k＋１) k＋１ 与２１－ ６ ３n æ è ç ö ø ÷ (n∈N∗ )的大小关系为 ．(请在横线 上填上 “≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个) １４．已知 △ABC 的三边的长a,b,c均为整数,且a≤b≤c,若b为定值,则满足要 求的 △ABC 的个数是 个． !"#$%! ３３　 １５．现定义命题演算的合式公式(wff),规定为: A．单个命题本身是一个合式公式; B．如果A 是合式公式,那么 A 是合式公式; C．如果A 和B是合式公式,那么(A ∧B),(A ∨B),(A →B),(A↔B)都是合 式公式; D．当且仅当能够有限次地运用A,B,C 所得到的命题是合式公式． 下列公式是合式公式的是: ． ①((P →Q)→ (Q →P)),②(Q →R ∧S),③(RS →T), ④(P↔(R →S)),⑤((P → (Q →R))→ ((P →Q)→ (P →R)))． １６．已知n次多项式Pn(x)＝a０xn＋a１xn－１＋􀆺＋an－１x＋an．如果在一种算法中, 计算xk(k＝２,３,４,􀆺,n)的值需要k－１次乘法,计算P３(x０)的值共需要９次 运算(６次乘法,３次加法)．那么,运用上面的算法与不运用上面的算法计算 P２０１１(x０)的值共需要的运算次数分别为 次． 三、解答题 １７．某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E 发生,该公司要赔偿a 元,设在一年内E 发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a的百分之十, 公司应要求顾客交多少保险金? １８．已知椭圆C:x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝ １(a＞b＞０),直线l过点A(a,０)和B(０,b)． (１)以AB为直径作圆M,连接MO并延长,与椭圆C在第三象限的部分交于点 N,若直线NB 是圆M 的切线,求椭圆的离心率; (２)已知三点D(４,０),E(０,３),G(４,３),若圆M 与 △DEG 恰有一个公共点,求 椭圆方程． NEWHOPECUP ３４　 １９．已知函数f(x)＝ x １＋e １ x ,x ≠０, ０,x＝０． ì î í ï ï ï ï 其中e为自然对数的底数． (１)判断f(x)的单调性,并说明理由; (２)∀n∈N∗ ,若 １ nα－１ æ è ç ö ø ÷ １ n ≤e恒成立,求α 的最小值． ２０．求证: e２０１１ ≤ ２０１２ １ × ２０１２ ２ × ２０１２ ３ × 􀆺× ２０１２ ２０１２≤ e ２０１１×２０１２ ． NEWHOPECUP ６０　 所以 １ ４k２ ＋ ３ ４k２ ＝ １,所以k＝１, 椭圆方程为x ２ ４ ＋ y２ ３ ＝１ ; (２)∀t∈R,２OA→􀅰OB→ ≤ (x－t)２ －３且 ２OA→􀅰OB→ ≥sin２(t＋１)－４, 所 以OA→ 􀅰OB→ ≤ min (x－t)２ －３ ２[ ] ＝ － ３ ２ , OA→ 􀅰 OB→ ≥ max sin (t＋１)２ －４ ２[ ] ＝ － ３ ２ , 所以－ ３ ２ ≤OA →􀅰OB→ ≤－ ３２ ,OA→􀅰OB→ ＝ － ３ ２ ,若l垂直于x 轴,依题意可知l:x ＝ ±１,不妨考虑x ＝１的情况,此时 A(１, ３ ２ ),B(１,－ ３ ２ ),OA→􀅰OB→＝１－９４ ＝ － ５ ４ ≠－ ３ ２ ,所以直线l的斜率存在． 设l的直线方程为y＝kx＋m,A(x１,y１), B(x２,y２),因为原点到l的距离等于１,所 以 m １＋k２ ＝ １,则 m２ ＝ １＋k２,由 x２ ４ ＋ y２ ３ ＝１ , y ＝kx＋m { 消去y,整理得(３＋４k２)x２ ＋８kmx＋４m２ －１２＝０(∗), 注意到 △ ＝６４k２m２ －４(４k２ ＋３)(４m２ － １２)＝１９２k２－４８m２＋１４４＝１４４k２＋９６＞ ０, 所以A,B 必定存在,由(∗)可得 y１y２ ＝ (kx１＋m)(kx２＋m)＝k２x１x２＋ km(x１ ＋x２)＋ m２ ＝ k２ 􀅰 ４m２ －１２ ３＋４k２ ＋ km － ８km ３＋４k２( ) ＋m ２ ＝ ３m２ －１２k２ ３＋４k２ , ∴x１x２ ＋y１y２ ＝ ４m２ －１２ ３＋４k２ ＋ ３m２ －１２k２ ３＋４k２ ＝ ７m２ －１２k２ －１２ ３＋４k２ , ∵m２ ＝１＋k２, ∴x１x２ ＋y１y２ ＝ － ５－５k２ ３＋４k２ , ∵OA→􀅰OB→ ＝ －３２ , ∴ －５－５k ２ ３＋４k２ ＝ － ３ ２ , ∴k２ ＝ １ ２ ,k＝ ± ２ ２． ２０．证明:注意到 tan xk ２ ＝ sin xk ２ cos xk ２ ＝ ２cos xk ２ 􀅰sin xk ２ ２cos２ xk ２ ＝ sinxk ２cos２ xk ２ －１( ) ＋１ ＝ sinxk cosxk ＋１ , 因为０＜cosθ＝３a＜１, 所以tan xk ２ ＝ sinxk cosxk ＋１＞ １ ２sinxk , 构造函数f(x)＝sinx－３ax, 则f′(x)＝cosx－３a , 所以当x ∈ [０,θ)时,f′(x)＞０, 所以f(x)＞f(０)＝０,x ∈ (０,θ), 因此当x ∈ (０,θ)时,sinx ＞３ax , 所以tan xk ２ ＞ １ ２sinxk ＞ ３a ２xk , 因此∑ n k＝１ tan xk ２ ＞ ３a ２∑ n k＝１ xk ＝ ３a ２θ , 因此１ θ 􀅰∑ n k＝１ tan xk ２ ＞ ３a ２． 高二训练题(四)答案 一、选择题 １．D　提示:注意到 １ C２n􀅰C１n＋１ ＝ ２ (n＋１)n(n－１) ＝ １ n(n－１)－ １ (n＋１)n ,所 以 １ C２２􀅰C１３ ＋ １ C２３􀅰C１４ ＋ １ C２４􀅰C１５ ＋ 􀆺 ＋ １ C２１０􀅰C１１１ ＝ １ ２ － １ １１０≈０．５－０．００９１＝０．４９０９ ,因此选择 D． ２．D　 提示:运用函数图象的变换容易知道答 案为 D． ３．D　 提示:这是一道数学推理题．题干说,“每 个子公司承担的利润份额与每年该子公司员 工所占科进软件股份有限公司员工数的份额 相等”,用数学式表达就是:甲公司向总公司 上缴利润份额 ＝ 甲公司员工数/(总公司员 工总数＋甲公司员工数增加),但甲公司向总 公司上缴的比例下降了,由数学式可以看出, 要使等式成立,总公司员工总数必然增加,并 且总公司员工总数增长的比例要超过甲公司 ! " # $! ６１　 员工增长的比例,也就是乙、丙、丁三个子公 司的员工总数增长的比例超过了甲公司员工 增长的比例,但并不能说明“乙、丙、丁公司员 工增长的比例都超过了甲公司员工增长的比 例”,所以,C不正确．只能说明“乙、丙、丁三个 子公司员工增长的比例至少有一个超过了甲 公司员工增长的比例”,即 D为正确答案． ４．B　 提示:因为 z１ ＋z２ ≤ z１ ＋ z２ ＝ ４＋ z２ ＝６,因此 z２ ＝２,选择B． ５．A　 提示:已知齐王第一场必出上等马A,若 田忌第一场出上等马a或中等马b,则剩下二 场,田忌至少输一场,这时田忌必败．为了使 自己获胜的概率最大,田忌第一场应出下等 马c．后两场有两种情形:① 若齐王第二场派 出中等马B,可能的对阵为:(B,a),(C,b)或 (B,b),(C,a)．田忌获胜的概率为 １２．② 若 齐王第二场派出下等马C,可能的对阵为: (C,a),(B,b)或(C,b),(B,a)．田忌获胜的 概率也为１ ２． 所以,田忌按c,a ,b或c,b , a的顺序出马,才能使自己获胜的概率达到 最大１ ２ ,因此选择 A． ６．D　 提示:设正四面体D－ABC 的棱长为a, 如图,分别取AB,BC 中点E,F．由图形的对 称性知,球O１,O２ 与桌面的切点P１,P２ 应在 △ABC的两条中线延长线上,连接CP１,AP２ 并相交于 △ABC中心I,且分别与AB,BC相 交于中点E,F．易知球O１ 与面ABD 的切点 应在中线DE 上,故EO１ 平分 ∠DEP１．在正 四面体D－ABC 中,易得cos∠DEC ＝ １ ３ , 由万能公式,解得tan１２∠CED＝ ２ ２． 在正四 面体D－ABC中,易知面CDE⊥ 面ABC,面 ADF ⊥ 面ABC．由题意知O１P１ ⊥ 面ABC, O２P２ ⊥ 面 ABC,P１E ＝ O１P１ 􀅰 cot∠O１EP１,则O１P１ ⊂ 面CDE,O２P２ ⊂ 面ADF,从而P１E＝O１P１􀅰cot∠O１EP１ ＝ O１P１,cot １ ２ (π － ∠CED) ＝ r 􀅰 tan １ ２∠CED ＝ ２ ２r ,据对称性,有P１P２ ∥AC, 从而 ∠P２P１I ＝ ∠ACE ＝ ３０°．作IG ⊥ P１P２ 于 点 G,由IP１ ＝IP２,得 P１G ＝ １ ２P１P２ ＝ １ ２O１O２ ＝ １ ２ 􀅰２r＝r,由平面几 何易知IE ＝ ３ ６a ,则IP１ ＝ P１G cos∠GP１I ＝ IE＋EP１,即 r cos３０°＝ ３ ６a＋ ２ ２r ,解得a＝ (４－ ６)r,选 D． ７．C　 提示:μ＝１０,σ＝０．１,P{９．８＜X＜１０􀆰２} ＝ F(１０．２)－ F(９．８)＝ Φ １０􀆰２－１０ ０．１( ) － Φ(９．８－１００．１ )＝Φ(２)－Φ(－２)＝Φ(２)－[１ －Φ(２)]＝２Φ(２)－１＝９５．４４％,选择C． ８．A　 提示:构造函数g(x)＝ex＋１－x２－１,０ ＜x ＜ π ２ ,则g′(x)＝ex＋１ －２x ＝e􀅰ex － ２x, 再次构造函数s(x)＝lnx －x,x ＞０,则 s′(x)＝ １－x x ,因此当０＜x ＜１时,s′(x) ＞０, 当x ＞１时,s′(x)＜０,所以s(x)在x ＝１ 时取得最大值,即最大值s(１)＝ －１, 所以s(x)≤s(１)＜０,故lnx＜x⇔x＜ex , 又２＜e,所以２x ＜e􀅰ex ,即g′(x)＞０, 所以g(x)在 ０, π ２( ) 上单调递增,有g(x) ＞g(０)＝e－１＞０,所以 ∀x ∈ ０, π ２( ) , ex＋１－１＞x２,构造函数λ(x)＝sinx－x,０ ＜x ＜ π ２ ,则λ′(x)＝cosx－１＜０, 因此λ(x)＜λ(０)＝０,即sinx＜x,０＜x＜ π ２ ,故 ∀θ∈ ０, π ２( ) ,e θ＋１－１＞θ２ ＞sin２θ, 所以sinnθ－ eθ＋１ －１( ) n ＜０,０＜θ＜ π ２． 故f(θ)＜０,无实根．选 A． 二、填空题 ９．７　 提示:因为１＋２＋２２＋􀆺＋２k ＝２k＋１－ １,而２６－１＝６３,２７－１＝１２７,也就是说,当 k ＝５时,循环到S＝S－２５,此时S＝１００－ (１＋􀆺＋２５)＝３７＞０,继续循环,k增１,之 NEWHOPECUP ６２　 后S ＝３７－２６ ＜０,k再增１,然后进入判断 框,退出循环,输出k＝５＋１＋１＝７． １０．[１,３]　 提示:|a－b|２ ＝ (１－cosθ)２ ＋ (sinθ－ ３)２ ＝５－４sinθ＋ π ６( ) ,最大值是 ３,最小值是１． １１．x２ ＋y２ ＋xy－ ３y ＝０　 提示:首先要确 定圆心在斜坐标系下的坐标表示,如图,根 据几何关系可以得到圆心A(－ １ ３ ,２ ３ ),取 圆上一点 P,记为(x,y),则OP→ ＝xe１ ＋ ye２,OA→＝ －１ ３ e１＋ ２ ３ e２,所以AP→＝OP→－ OA→ ＝ (x＋ １ ３ )e１ ＋(y－ ２ ３ )e２,圆的定义 为到定点的距离等于定长的点的轨迹,因此 AP→ ＝ (x＋ １ ３ )e１ ＋(y－ ２ ３ )e２é ë êê ù û úú ２ ＝１,化简后有x２ ＋y２ ＋xy－ ３y ＝０． １２．７１０　 提示:设袋中共有５n个球,则依题意有 ２n个黑球,白球和红球的总数是３n,则可以 得到p＝ ２n􀅰３n＋ ２n(２n－１) ２ ５n(５n－１) ２ ＝ １６n２－２n ２５n２－５n ＝ ２ ５ 􀅰８n ２ －n ５n２ －n ＝ ２ ５ １＋ ３n２ ５n２ －n( ) ＝ ２ ５＋ ２ ５ 􀅰 ３ ５－ １ n ,因为０＜ １ n ≤１ ,因此p≤ ７ １０ , 因此答案为７ １０． １３．＜ 　 提示:构造f(x)＝ lnx x ,x ＞０,f′(x) ＝ １－lnx x２ ,令f′(x)＞０,得０＜x ＜e, 令f′(x)＜ ０,得 x ＞ e,因 此 数 列 lnn n{ } (n≥２)当n≥３时单调递减,又 ln２ ２ ＝ ln４ ４ ＜ ln３ ３ ,因此数列 lnn n{ } (n≥２)的最 大值为ln３ ３ ,因此∏ i k＝１ ln(k＋１) k＋１ ＝ ln２ ２ × ln３ ３ × 􀆺× ln(i＋１) i＋１ ＜ ln３ ３( ) i ,又ln３＜lne２ ＝２, 所以 ln３ ３( ) i ＜ ２ ３( ) i ,故∑ n－１ i＝１ ∏ i k＝１ ln(k＋１) k＋１ ＜ ∑ n－１ i＝１ ２ ３( ) i ＝２－ ２n ３n－１ ＜ ２１－ ６ ３n( ) ． １４．b ２ ＋b ２ 　 提示:根据三角形三边的关系:c－ a＜b⇒a＞c－b从而可以以a为纵轴,c为 横轴建立直角坐标系,画出满足条件的区域 a≤b, c≥b, a＞c－b． { 如图所示,绘制出可行域, 下面只需要看在可行域内的整点个数就可 以了,先算整个正方形有(b＋１)２ 个整点, 扣除斜线上的(b＋１)个整点,那么总共有 (b＋１)２ －(b＋１) ２ ＝ b２ ＋b ２ 个． １５．④⑤　 提示:在 ① 中,满足A,B,C,D 所有 条件,但是由于其右边括号的影响(多添加 了一个括号),造成其不是合式公式;② 中没 有对(Q →R ∧S)进行具体划分,两种命题 运算符不知道哪个先,所以 ② 不是合式公 式;③ 中R 与S 之间缺少必要的命题运算 符,所以该式不是合式公式;④、⑤ 符合题目 要求,是合式公式． １６．２０２５０７７,４０２２　 提示:(１)根据定义:计算 xn 的值需n－１次运算．故a０xn 的值共需n 次运算,所以计算Pn(x)需要 n(n＋１) ２ ＋n ＝ n(n＋３) ２ 次运算,所以按此种运算计算 P２０１１(x０)需要２０１１×１００７次．(２)如果不运 用此种定义运算,计算Pn(x)需要an 次运 算, 计 算 Pn＋１(x)需 要 an＋１ 次 运 算, Pn＋１(x)＝an＋１＋x􀅰Pn(x),则an＋１ ＝an ＋２,a１ ＝２,则计算Pn(x)需要２n次运算, 所以计算P２０１１(x０)需要４０２２次． ! " # $! ６３　 三、解答题 １７．解:设保险公司要求顾客交x元保险金,若以 ξ表示公司每年的收益额,则ξ的分布列为 ξ x x－a P １－p p ∵ 公司每年收益ξ的期望值为:Eξ＝x(１－ p)＋(x－a)p ＝x－ap, 要使公司收益的期望值等于a的１０％, 只需Eξ＝０．１a,即x－ap ＝０．１a, x ＝ (０．１＋p)a, ∴ 应交的保险金为(０．１＋p)a． １８．解:(１)直线OM 的方程为y＝ b ax ,设N(t, b at ),则２t ２ a２ ＝ １,从而N(－ a ２ ,－ b ２ ), NB→ ＝ (a ２ ,b＋ b ２ ),AB→ ＝ (－a,b), 由NB→􀅰AB→ ＝０得到a２ ＝ (１＋ ２)(a２ － c２),得到e＝ ２－ ２; (２)当 a＞４ b＞３{ 时,如图(a),圆 M 与 △DEG 没有公共点,不符合题目要求,舍去; 当 ３＜a＜４ b＝３{ 时,如图(b),圆 M 与 △DEG 有三个公共点,不符合题目要求,舍去; 当 a＝４ b＝３{ 时,如图(c),圆 M 与 △DEG 有三 个公共点,不符合题目要求,舍去; 当 a＞４ b＝３{ 时,如图(d),圆M 与 △DEG 仅有 一个公共点,符合题目要求; 当 a＝４ ０＜b＜３{ 时,如图(e),圆 M 与三角形 有５个公共点,不符合题目要求,舍去 ; 当 a＝４ ３＜b＜４{ 时,如图(f),圆M 与三角形仅 有一个公共点,符合题目要求． 综上,椭圆方程为x ２ a２ ＋ y２ ９ ＝１ (a＞４)或 x２ ４ ＋ y２ b２ ＝ １(３＜b＜４)． １９．解:(１)当x ≠０时,f′(x)＝ １＋e １ x －(－ １ x２ e １ x 􀅰x) (１＋e １ x )２ ＝ １＋ １ x( )e １ x ＋１ (１＋e １ x )２ , 当x＞０时,f′(x)＞０,下面讨论x＜０的 情况:因为 ∀x ＜０,(１＋e １ x )２ ＞０,因此只 需考虑 １＋ １ x( )e １ x ＋１的取值情况便可． 设t＝ １ x ＜０ ,g(t)＝ (１＋t)et ＋１,则 g′(t)＝ (２＋t)et, 因此,当－２＜t＜０时,g′(t)＞０, 当t＜－２时,g′(t)＜０, 故 ∀t＜０,g(t)≥g(－２)＝１－e－２ ＞０, 所以 ∀x ＜０,１＋ １ x( )e １ x ＋１＞０,即 ∀x ＜０,f′(x)＞０,又当x ＞０时,f (x)＞ f(０)＝０,综上,f(x)在R上单调递增． (２)∀n∈N∗ ,０＜ １ n ≤１ ,由(１)知f(x)在 (０,１]上递增,因此f( １ n )＝ １ n(１＋en) ≤ f(１)＝ １ １＋e ,即 １ n(１＋en) ≤ １ １＋e ,∀n∈ N∗ , １nα－１( ) １ n ≤e恒成立,则 １ nα－１≤e n 恒成立,因此有α≥ １ n(１＋en) 恒成立,所以 α ≥ １ １＋e ,因此α 的最小值为 １１＋e ． NEWHOPECUP ６４　 ２０．证:猜想 en－１ ≤ nn n! ≤ e (n－１)n 对n ≥２ 必成立,下面进行证明: 注 意 到 １－ k n( ) n ＝ １－ k n( ) n k [ ] k ＝ １ n n－k( ) n k é ë ê ê ê ù û ú ú ú k ＝ １ １＋ k n－k( ) n k é ë ê ê ê ù û ú ú ú k ＝ １ １＋ k n－k( ) n－k k １＋ k n－k( ) é ë ê ê ê ù û ú ú ú k ,其中k ＝１,２,３,􀆺,n－１, 构造函数f(x)＝ln(１＋x)－x,x ＞０,则 f′(x)＝ １ １＋x － １＝ － x １＋x ＜ ０,所 以 f(x)＜ f(０)＝ ０,ln(１ ＋ x) ＜ x⇔ (１＋x) １ x ＜ e,从而 １＋ k n－k( ) n－k k ＜ e, １－ k n( ) n ＞ １ ek 􀅰 １－ k n( ) k , 即 １－ k n( ) n－k ＞ １ ek , 而 １－ k n( ) ≥ １－ k n( ) n－k ＞ １ ek ,所 以 n－１ n( ) ＞ １ e , n－２ n( ) ＞ １ e２ ,􀆺, １ n( ) ＞ １ en－１ ,相乘可以 得 到 (n－１)! nn－１ ＞ １ e n(n－１) ２ , 所 以 n n n! ≤ en(n－１); 另一方面,构造函数g(x)＝ex －x,对 g(x)求导可以得到g′(x)＝ex －１,故 g(x)在(０,＋∞)上递增,在(－∞,０)上递 减,有g(x)＝ex －x ≥g(０)＝１, 因此e－ k n ≥１－ k n ⇒e －k ≥ １－ k n( ) n , 运用同样的方法就可以得到 en－１ ≤ nn n! , 因此 en－１ ≤ nn n! ≤ e (n－１)n , 取n＝２０１２,代入上式,便可以得到结论: e２０１１ ≤ ２０１２ １ × ２０１２ ２ × ２０１２ ３ × 􀆺× ２０１２ ２０１２≤ e２０１１×２０１２ ．