高二训练题 3-“枫叶新希望杯”高中数学竞赛训练题

!"#$%! ２７　 高二训练题(三) 一、选择题 １．设复数 ２ii－３ 的实部为 Re,虚部为Im,则 Re＋２Im＝(　　)． A．－１　　　　　B．１　　　　　　C．－ ２ ５　　　　　　D． ２ ５ ２．已知数列 an{ } 前n项和为Sn＝an＋b,a(a－１)≠０,则数列 an{ } 是等比数列的 充分必要条件是(　　)． A．b(b－１)≠０ B．b＋１＝０ C．b－１≠０ D．b(b＋１)≠０ ３．定义A１ ∪A２ ∪ 􀆺 ∪An 为集合A１,A２,􀆺,An 的“父集”．若集合A１,A２,A３ 的 “父集”为A ^ ＝{１,２,􀆺,１０},则满足条件的A１,A２,A３ 的组数为(　　)． A．A６１０ B．６１０ C．７１０ D．A７１０ ４．函数f(x)＝ sinπx x２＋１􀅰 x２－２x＋２ 的图象大致是(　　)． ５．黑箱中放着标号为１,２,３,􀆺,２５的不同小球,其中标号为i(１≤i≤２５)的小球 的重量满足f(i)＝ i２－１５i＋７５ ３ (克),若这些小球可以通过某机器被等概率取 出,那么同时从箱中任意取出两球,它们重量相等的概率为(　　)． A．７３００ B． ９ ２７４ C． １１ １５３ D． １ ８５ ６．若存在实常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x 分别 满足:f(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b,则称直线l:y＝kx＋b为f(x)和g(x) 的“隔离直线”．已知h(x)＝x２,φ(x)＝２elnx(其中e为自然对数的底数),h(x) 与φ(x)的隔离直线方程为(　　)． A．y＝２ex－e B．y＝２ex＋e C．y＝ ex－e D．y＝ ex＋e NEWHOPECUP ２８　 ７．定义:两个连续函数(图象不间断)f(x)、g(x)在区间[a,b]上都有意义,我们 把函数|f(x)＋g(x)|在[a,b]上的最大值叫做函数f(x)与g(x)在[a,b] 上的“绝对和”．设hm(x)＝－４x＋m 及f(x)＝x２ 都是定义在闭区间[１,３]上, 记hm(x)与f(x)的“绝对和”为D(m),如果D(x)的最小值是D(m０),则称 f(x)可用hm０ (x)“替代”,当m０ 为(　　)时,f(x)可用hm０ (x)“替代”． A．７２ B．４ C．３ D． ９ ２ ８．已知数列A:a１,a２,􀆺,an ０≤a１ ＜a２ ＜ 􀆺 ＜an,n≥３( ) 具有性质P:对任 意i,j １≤i≤j≤n( ) ,aj＋ai 与aj－ai 两数中至少有一个是该数列中的一 项．现给出以下四个命题: ① 数列０,１,３具有性质P; ② 数列０,２,４,６具有性质P; ③ 若数列A 具有性质P,则a１＝０; ④ 若数列a１,a２,a３ ０≤a１ ＜a２ ＜a３( ) 具有性质P,则a１＋a３＝２a２． 其中真命题有(　　)． A．４个 B．３个 C．２个 D．１个 二、填空题 ９．记[x]表示不超过x 的最大整数．如下程序框图中输出的结果为 ． (第９题图)　 １０．在 １x －x ２æ è ç ö ø ÷ ６ 的展开式中,x３ 的系数是 ． １１．已知向量AB→＝DC→＝(４,－３)(点A,B,C,D 为复平面上 不同的四点),且点A 为坐标原点,AP→＝２PC→．若D 点在 以点A 为圆心,３为半径的圆周上运动,则点P 的轨迹 为: ．(请用简要语言描述) １２．已知实数a,b,c,d满足a２＋b２＝cd＝１,则(a－c)２＋(b －d)２ 的最小值为 ． １３．∑ n k＝０ ln(k＋１) (k＋１)２ 与 n ４(n＋１)(n＋２) (n ∈ N∗ )的大小关系 为 ．(请在横线上填上 “≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个) １４．三个半径都为r的球彼此相切地靠紧放在水平桌面上．有一个小球与桌面相切, 又同时与三个小球相切．则这个小球的半径为 ． １５．对于函数y＝f(x)与y＝g(x),在它们的公共定义域内,若f(x)－g(x)随 着自变量x 的增大而增大,则称函数f(x)相对于函数g(x)是“渐先函数”,下 列几组函数中: ①f(x)＝x 与g(x)＝１;②f(x)＝２x 与g(x)＝log２x; ③f(x)＝２x 与g(x)＝x２;④f(x)＝ex 与g(x)＝x２． !"#$%! ２９　 函数f(x)相对于函数g(x)是“渐先函数”的有 ． １６．给定集合M ＝{１,２,􀆺,n},三元集合T１,T２,􀆺,Tr ⊆M,且T１ ∩T２ ∩ 􀆺 ∩ Tr ＝Ø,记S(A)为对集合A 中所有元素求和．若 ①S(Ti)≤n(１≤i≤r); ②S(Ti)≠S(Tj)(１≤i＜j≤n),则r的最大值为 ． 三、解答题 １７．如图,四边形ABCE为平行四边形,且AB＝BC,PE⊥ 底面ABCD,CD ⊥AC． (１)求证:PB ⊥AC; (２)设 PE ＝２AB ＝２BE ＝４a(a＞０),求二面角A－PC－D 的余弦值． １８．某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的 调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”．这两族 人数占各自小区总人数的比例P 的数据如下: A 小区 低碳族 非低碳族 比例P １２ １ ２ 　　 B 小区 低碳族 非低碳族 比例P ４５ １ ５ (１)如果甲、乙来自A 小区,丙、丁来自B 小区,求这４人中恰有２人是低碳族的 概率; (２)A 小区经过大力宣传,每周非低碳族中有２０％ 的人加入到低碳族的行列． 如果２周后随机地从A小区中选２５人,记ξ表示２５人中低碳族人数,求Eξ． NEWHOPECUP ３０　 １９．已知椭圆x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝ １(a＞b＞０)过点(１, ３ ２ ),离心率e＝ １ ２． (１)求椭圆的方程; (２)直线l交椭圆于A、B 两点,原点到l的距离等于１,∀t∈R,２OA→􀅰OB→ ≤ (x－t)２－３,２OA→􀅰OB→≥sin２(t＋１)－４,判断直线l的存在性:若不存在, 请说明理由;若存在,求出l的斜率． ２０．已知０＜xk ＜θ,０＜cosθ＝３a＜１,其中k∈N∗ 且∑ n k＝１ xk ＝θ． 求证:１ θ∑ n k＝１ tan xk ２ ＞ ３a ２． ! " # $! ５７　 (１－a)２]＝a(１－a), P(ξ＝２)－P(ξ＝１)＝ １ ２ [(１－a２)－(２a －a２)]＝ １－２a ２ , P(ξ＝２)－P(ξ＝０)＝ １ ２ [(１－a２)－a２] ＝ １－２a２ ２ ． 由 a(１－a)≥０, １－２a ２ ≥０ , １－２a２ ２ ≥０ ì î í ï ïï ï ï 和０＜a＜１, 得０＜a≤ １ ２． １９．解:设点M(x,－x－２),双曲线的方程为 y２ a２ － x２ ８－a２ ＝１,因为点 M 在双曲线上, 所以有 (x＋２)２ a２ － x２ ８－a２ ＝１, 化简后有(８－２a２)x２ ＋４(８－a２)x＋(４－ a２)(８－a２)＝０(∗) (ⅰ)若a＝２时,(∗)式可得x ＝０,此时 M(０,－２),双曲线方程为y２－x２ ＝４,实轴 长为４; (ⅱ)若a≠２时,(∗)式有解的充分必要条 件是Δ ≥０,因此有:２(８－a２)≥ (４－a２)２, 解得a２ ≤６,因此amax ＝ ６,此时双曲线方 程为y ２ ６－ x２ ２ ＝１ ,实轴长为２６;代入方程组 可以解得M(１,－３),因为２６＞４,所以实轴 最长的双曲线方程为y ２ ６ － x２ ２ ＝１． ２０．证明:(１)因为函数f(x)＝１＋a􀅰２bx 过点 (１,５４ ),所以a􀅰２b ＝ １ ４ , 又f(x)＝１＋a􀅰２bx 在[０,１]上不是递增 就是递减,且f(１)＜fmax ＝２,因此f(０)＝ １＋a＝２,所以a ＝１,b＝ －２,因此函数 f(x)＝１＋ １ ４x ,构造函数g(x)＝ln(１＋ x)－x,其中０＜x ＜１,则g′(x)＝ － x １＋x ＜０,所以g(x)在(０,１)内单调递减,所以 g(x)＜g(０)＝０,即ln(１＋x)＜x,０＜x ＜ １, 因 此 当 k ＝ １,２,􀆺,n 时, ln１＋ １ ４k( ) ＜ １ ４k , 因 此 ∑ n k＝１ lnf(k) ＜ ∑ n k＝１ １ ４k ＝ １ ３ １－ １ ４n( ) ＜ １ ３ ; (２) １ f(k)＝ ４k １＋４k ＝１－ １ １＋４k ,因此 ∑ n k＝１ １ f(k)＝ n－∑ n k＝１ １ １＋４k , 注意到１＋４k ＞２􀅰 ４k ＝２k＋１, 因此 ∑ n k＝１ １ f(k)＞ n － １ ２∑ n k＝１ １ ２k ＝ n － １ ２ １－ １ ２n( ) ＝n＋ １ ２n＋１ － １ ２． 高二训练题(三)答案 一、选择题 １．A　 提示:２ii－３＝ ２i(i＋３) i２ －９ ＝ ２i２ ＋６i －１０ ＝ －－ ２＋６i １０ ＝ １ ５ － ３ ５i ,因此 Re＝ １ ５ ,Im＝ － ３ ５ ,Re＋２Im＝ １ ５ － ６ ５ ＝ －１ ,选 A． ２．B　 提示:(１)若 an{ } 是等比数列,则 a２ a１ ＝ an＋１ an ,即a (a－１) a＋b ＝ a,因为a≠０,a≠１,所 以b＝ －１;(２)若b＝ －１,则an ＝an－１(a－ １), an＋１ an ＝ a,所以数列 an{ } 是等比数列．选 B． ３．C　 提示:本题是典型的“鸽笼”问题,将１~ １０看成１０只鸽子,集合A１,A２,A３ 组成的７ 个区域(如图)视为鸽巢,每只鸽子都有７种 选择,那么A１,A２,A３ 的组数为７１０．选C． ４．C　 提示:注意到 f(１－x)＝ sinπ(１－x) x２ ＋１ 􀅰 x２ －２x＋２ ＝ sinπx x２ ＋１ 􀅰 x２ －２x＋２ ＝f(x), 所以函数f(x)关于直线x ＝ １ ２ 对称,排除 B,D,又f(－ １ ２ )＜０,排除 A,因此选择C． NEWHOPECUP ５８　 ５．A　 提示:设号码为n,m 的两个小球的重量 相等,则有m ２ －１５m＋７５ ３ ＝ n２ －１５n＋７５ ３ , 故(m－n)(m＋n－１５)＝０,因为m ≠n,故 m＋n＝１５．解得(m,n)＝ (１,１４),(２,１３), (３,１２),􀆺,(１４,１),共有１４种情况．所以,所 取出的两个球重量相等的概率为１４ A２２５ ＝ ７ ３００ , 因此选择 A． ６．A　 提示:容易观察到h(x)与φ(x)有公共 点(e,e),又(x－ e)２ ≥０,则x２ ≥２ex－ e,所以猜想h(x)与φ(x)间的隔离直线为y ＝２ex－e, 下面证明２elnx ≤２ex－e, 设λ(x)＝２elnx－２ex＋e, λ′(x)＝ ２e(e－x) x ,所以λ(x)≤λ(e) ＝０,所以猜想成立,答案为 A． ７．A　 提示:设φ(x)＝f(x)＋hm (x)＝x２－ ４x＋m ＝ (x－２)２＋m－４,φ(１)＝φ(３)＝ m－３,于是D(m)是 m－４ 与 m－３ 中 的较大者,所以 D(m)＝ m－４ ,m ＜ ７ ２ , m－３ ,m ≥ ７ ２． ì î í ï ï ïï 当m ＝ ７ ２ ＝ m０ 时,D(m)最小,即m０ ＝ ７ ２ 时,f(x)可用 hm０(x)“替代”,选 A． ８．B　 提示:逐一进行判断:对于 ①,因为１＋３ ＝４,３－１＝２都不在０,１,３内,因此不具有 性质P,① 是假命题;对于 ②,后面的数减去 前面的数一定在０,２,４,６中,因此该数列具 有性质P,② 为真命题;对于 ③,考虑an ＋ an 与an －an,只能是an －an ＝０在A 中, ∴a１ ＝０,因此 ③ 是真命题;对于 ④,从 ③ 我们知道a１ ＝０,从而a３－a２ ＝a２ 或a３－ a２ ＝a３⇒a２＝０(舍),因此 ④ 是真命题．真命 题为 ②③④,故选B． 二、填空题 ９．２０１１　 提示:若a≤b,则a会不断增加,直到 增大到a＞b为止,因为b＝２０１１,所以a最终 会增大到２０１２,这个时候a＋b２ ＝ ２０１１＋２０１２ ２ ＝ ４０２３ ２ ＝２０１１．５ ,因此 a＋b ２[ ] ＝２０１１． １０．－２０　 提示:Tr＋１ ＝Cr６x－r (－x２)６－r ＝Cr６ 􀅰(－１)６－rx－r􀅰x１２－２r ＝Cr６ (－１)６－rx１２－３r, 令１２－３r＝３,可得r＝３,故x３ 的系数为 －C３６ ＝ － ６×５×４ ３×２ ＝ － ２０． １１．８３ ,－２( ) 为圆心,半径长为２的圆 提示:设B,C,D,P 对应的复数为zB ,zC, zD ,zP ,由定比分点的知识,得 zC ＝zB ＋zD ,(∗) zC ＝ ３ ２zP ,(∗∗){ ,由(∗)得zD ＝zC － zB ,因为 zD ＝３,所以 ３ ２zP －zB ＝３ , zP － ２ ３zB ＝２ (∗∗∗),因为zB ＝４－ ３i,所以 zP － ８ ３ －２i( ) ＝２,这说明轨迹 是以 ８ ３ ,－２( ) 为圆心,半径长为２的圆． １２．３－２２　 提示:(a－c)２＋(b－d)２ 的最小 值就是双曲线cd＝１和圆a２＋b２ ＝１上点 的最小距离的平方,画图即得(２－１)２ ＝３ －２ ２． １３．＞ 　 提示:注意到∑ n k＝１ ln(k＋１)２ (k＋１)２ ＞ ∑ n k＝１ ln４ (k＋１)２ ＞ ∑ n k＝１ １ (k＋１)２ ＞ ∑ n k＝１ １ (k＋１)(k＋２)＝ ∑ n k＝１ １ k＋１－ １ k＋２( ) ＝ １ ２－ １ n＋２＝ n ２(n＋２)＝ n ２(n＋２) 􀅰１＞ n ２(n＋２) 􀅰 １ n＋１＝ n ２(n＋１)(n＋２) , 所以∑ n k＝１ ln(k＋１) (k＋１)２ ＞ n ４(n＋１)(n＋２) ． １４．r３　 提示:如图,设已知的三个球O１,O２, O３ 与桌面的切点分别为P１,P２,P３,易得几 何体O１O２O３ －P１P２P３ 是一个正三棱柱, 且上下底边长均为２r,高为r．设小球O半径 为x,与 桌 面 的 切 点 为 I,则 OI ⊥ 面 ! " # $! ５９　 P１P２P３,作OH 垂直于O１P１ 于点H,显然 HP１ ＝OI＝x,从而O１H ＝r－x,P１I＝ ２ ３P１P２sin６０°＝ ２ ３ ３r． 又OO１ ＝r＋x, 由勾股定理,得:(r－x)２ ＋ ２ ３ ３r æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ (r＋x)２,解得x ＝ r ３ ,所以小球的半径为 １ ３r． １５．①④　 提示:对于 ①,f(x)－g(x)＝x－ １随着x 的增大而增大,满足题意;对于 ②, 绘制出图象,可以发现,在x ＝１的左边, f(x)－g(x)的值逐渐变小,在x ＝１的右 边,f(x)－g(x)的值逐渐变大,不符合题 意;对于 ③,设λ(x)＝２x －x２,因为λ(２) ＝λ(４)＝０＞λ(３),因此不符题意,对于 ④,构造函数λ(x)＝ex －x２,根据图象容 易分析到x ≤１时,满足题意,下面分析x ＞１的情况:λ′(x)＝ex－２x,λ″(x)＝ex－ ２＞０,所以λ′(x)＞λ′(１)＞０,符合题意; 所以综合以上分析,答案为 ①④． １６． １５ (n－１)[ ] 　 提 示:由 划 分 的 意 义 有 ∪ r i＝１ Ti ＝ ３r．又 各 Ti 互 不 相 交,所 以 ∑ r i＝１ S(Ti)≤n＋(n－１)＋􀆺＋(n－r＋ １),所以１＋２＋􀆺＋３r≤n＋(n－１)＋􀆺 ＋(n－r＋１),解得r≤ １ ５ n－１ ( ) ,又r为 正整数,因此 r≤ １ ５ (n－１)[ ] ,因此答案 为r≤ １ ５ (n－１)[ ] ． 三、解答题 １７．解:(１)连接 BE,∵ 在平行四边形 ABCE 中,AB ＝BC,∴BE ⊥AC ①,∵PE ⊥ 面 ABCD,∴PE ⊥ AC ②,∴AC ⊥ 面 PBE(由 ①、②),∴AC ⊥PB ． (２)以E为原点,ED所在直线为y轴,EP所 在直线为z轴,垂直于ED 所在直线为x轴, 建立 空 间 直 角 坐 标 系,则 有 P(０,０,４a), A(０,－ ２a,０),D(０,２a,０),C(３a,a,０), 故PA→ ＝ (０,－２a,－４a),AC→ ＝ (３a,３a, ０),CD→ ＝ (－ ３a,a,０),DP→ ＝ (０,－２a, ４a),设面PAC 的法向量为n１ ＝ (x１,y１, z１),面PCD 的法向量为n２ ＝ (x２,y２,z２), 则 n１􀅰PA→ ＝０, n１􀅰AC→ ＝０;{ n２􀅰CD→ ＝０, n２􀅰DP→ ＝０．{ 故 －２ay１－４az１ ＝０, ３ax１＋３ay１ ＝０;{ － ３ax２＋ay２ ＝０, －２ay２＋４az２ ＝０．{ 即 z１ ＝ － １ ２y１ , x１ ＝ － ３y１; { x２ ＝ １ ３ y２, z２ ＝ １ ２y２． ì î í ï ï ï ï 取 n１ ＝ (－２ ３,２,－１),n２ ＝ (－２,－２３,－ ３), 则 n１ ＝ １２＋４＋１ ＝ １７, n２ ＝ １２＋４＋３ ＝ １９,故cos＜n１,n２ ＞＝ － n１􀅰n２ n１ 􀅰 n２ ＝ － ３ １７􀅰 １９ ＝ － ９６９ ３２３ ． １８．解:(１)记这４人中恰好有２人是低碳族为事 件A,则P(A)＝ １ ２× １ ２× １ ５× １ ５＋４× １ ２ × １ ２× ４ ５× １ ５＋ １ ２× １ ２× ４ ５× ４ ５ ＝ ３３ １００ ; (２)设A 小区有a人,２周后非低碳族的概率 P ＝ a× １ ２ × (１－２０％)２ a ＝ ８ ２５ , ２周后低碳族的概率P ＝１－ ８ ２５＝ １７ ２５ , 所以Eξ＝２５× １７ ２５＝１７． １９．解:(１)因为e＝ c a ＝ １ ２ ,设c＝k,a＝２k, k＞０,则b＝ ３k, 所以椭圆方程为x ２ ４k２ ＋ y２ ３k２ ＝ １, 因为椭圆过点 １,３２( ) , NEWHOPECUP ６０　 所以 １ ４k２ ＋ ３ ４k２ ＝ １,所以k＝１, 椭圆方程为x ２ ４ ＋ y２ ３ ＝１ ; (２)∀t∈R,２OA→􀅰OB→ ≤ (x－t)２ －３且 ２OA→􀅰OB→ ≥sin２(t＋１)－４, 所 以OA→ 􀅰OB→ ≤ min (x－t)２ －３ ２[ ] ＝ － ３ ２ , OA→ 􀅰 OB→ ≥ max sin (t＋１)２ －４ ２[ ] ＝ － ３ ２ , 所以－ ３ ２ ≤OA →􀅰OB→ ≤－ ３２ ,OA→􀅰OB→ ＝ － ３ ２ ,若l垂直于x 轴,依题意可知l:x ＝ ±１,不妨考虑x ＝１的情况,此时 A(１, ３ ２ ),B(１,－ ３ ２ ),OA→􀅰OB→＝１－９４ ＝ － ５ ４ ≠－ ３ ２ ,所以直线l的斜率存在． 设l的直线方程为y＝kx＋m,A(x１,y１), B(x２,y２),因为原点到l的距离等于１,所 以 m １＋k２ ＝ １,则 m２ ＝ １＋k２,由 x２ ４ ＋ y２ ３ ＝１ , y ＝kx＋m { 消去y,整理得(３＋４k２)x２ ＋８kmx＋４m２ －１２＝０(∗), 注意到 △ ＝６４k２m２ －４(４k２ ＋３)(４m２ － １２)＝１９２k２－４８m２＋１４４＝１４４k２＋９６＞ ０, 所以A,B 必定存在,由(∗)可得 y１y２ ＝ (kx１＋m)(kx２＋m)＝k２x１x２＋ km(x１ ＋x２)＋ m２ ＝ k２ 􀅰 ４m２ －１２ ３＋４k２ ＋ km － ８km ３＋４k２( ) ＋m ２ ＝ ３m２ －１２k２ ３＋４k２ , ∴x１x２ ＋y１y２ ＝ ４m２ －１２ ３＋４k２ ＋ ３m２ －１２k２ ３＋４k２ ＝ ７m２ －１２k２ －１２ ３＋４k２ , ∵m２ ＝１＋k２, ∴x１x２ ＋y１y２ ＝ － ５－５k２ ３＋４k２ , ∵OA→􀅰OB→ ＝ －３２ , ∴ －５－５k ２ ３＋４k２ ＝ － ３ ２ , ∴k２ ＝ １ ２ ,k＝ ± ２ ２． ２０．证明:注意到 tan xk ２ ＝ sin xk ２ cos xk ２ ＝ ２cos xk ２ 􀅰sin xk ２ ２cos２ xk ２ ＝ sinxk ２cos２ xk ２ －１( ) ＋１ ＝ sinxk cosxk ＋１ , 因为０＜cosθ＝３a＜１, 所以tan xk ２ ＝ sinxk cosxk ＋１＞ １ ２sinxk , 构造函数f(x)＝sinx－３ax, 则f′(x)＝cosx－３a , 所以当x ∈ [０,θ)时,f′(x)＞０, 所以f(x)＞f(０)＝０,x ∈ (０,θ), 因此当x ∈ (０,θ)时,sinx ＞３ax , 所以tan xk ２ ＞ １ ２sinxk ＞ ３a ２xk , 因此∑ n k＝１ tan xk ２ ＞ ３a ２∑ n k＝１ xk ＝ ３a ２θ , 因此１ θ 􀅰∑ n k＝１ tan xk ２ ＞ ３a ２． 高二训练题(四)答案 一、选择题 １．D　提示:注意到 １ C２n􀅰C１n＋１ ＝ ２ (n＋１)n(n－１) ＝ １ n(n－１)－ １ (n＋１)n ,所 以 １ C２２􀅰C１３ ＋ １ C２３􀅰C１４ ＋ １ C２４􀅰C１５ ＋ 􀆺 ＋ １ C２１０􀅰C１１１ ＝ １ ２ － １ １１０≈０．５－０．００９１＝０．４９０９ ,因此选择 D． ２．D　 提示:运用函数图象的变换容易知道答 案为 D． ３．D　 提示:这是一道数学推理题．题干说,“每 个子公司承担的利润份额与每年该子公司员 工所占科进软件股份有限公司员工数的份额 相等”,用数学式表达就是:甲公司向总公司 上缴利润份额 ＝ 甲公司员工数/(总公司员 工总数＋甲公司员工数增加),但甲公司向总 公司上缴的比例下降了,由数学式可以看出, 要使等式成立,总公司员工总数必然增加,并 且总公司员工总数增长的比例要超过甲公司