高二训练题 1-“枫叶新希望杯”高中数学竞赛训练题

!"#$%! １９　 高二训练题(一) 一、选择题 １．已知１－i＋ ２z＝０,其中z为复数,则z２０１２􀅰i２＋z２０􀅰i＋z６ 的值为(　　)． A．１　　　　　　B．－１　　　　　　C．i　　　　　　D．－i ２．已知A 是一个不含零的非空实数集,且a０ 是A 的最小元素,则(　　)． A．a０ ＞０时,a－１０ 是集合{x－１|x ∈A}的最小元素 B．a０ ＞０时,a－１０ 是集合{x－１|x ∈A}的最大元素 C．a０ ＜０时,－a－１０ 是集合{x－１|x ∈A}的最小元素 D．a０ ＜０时,－a－１０ 是集合{x－１|x ∈A}的最大元素 ３．若定义域为R＋ 的可导函数f(x)满足xf′(x)＋f(x)＜０,则称它具有性质P． 如果f(x)具有性质P,那么f(x)(　　)． A．大于零 B．小于零 C．先大于零后小于零 D．先小于零后大于零 ４．设X 是一个随机变量,则函数F(x)＝P{X ≤x},x ∈R称为X 的分布函数．一 个靶子是半径为２m 的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘 的面积成正比,并设射击都能击中靶,以X 表示击中点与圆心的距离,则随机变 量X 的分布函数F(x)的图象大致是(　　)． ５．设V 为非空向量组成的集合,定义运算“􀱋”满足:①a、b∈V(a≠b),a􀱋b∈ V;②|a􀱋b|＝|a||b|sinθ,其中θ 为a 与b 的夹角;③(a 􀱋b)􀅰a＝０且 (a􀱋b)􀅰b＝０．互不相同的三个非零向量a、b、c不共面,则|(a􀱋b)􀅰c|的 值一定等于(　　)． A．以a􀱋b、c为邻边的三角形面积 B．以a􀱋b、c为邻边的平行四边形面积 C．以a、b、c为邻边的三棱锥体积 D．以a、b、c为邻边的平行六面体体积 ６．我们知道,在平面直角坐标系中,坐标(x,y)由Ox →Oy 方向旋转９０°后得到 NEWHOPECUP ２０　 (－y,x)．在空间直角坐标系Oxyz中,若以A 表示将向量绕Ox 轴由Oy→Oz 方向旋转９０°的变换,以B表示将向量绕Oy轴由Oz→Ox方向旋转９０°的变换, 以C表示将向量绕Oz轴由Ox→Oy方向旋转９０°的变换,下列结论中正确的个 数是(　　)． ①A２０１２＝B２０１２＝C２０１２;　②AB ≠BA;　③A２B２＝B２A２;　④(AB)２＝ A２B２． A．０个 B．１个 C．２个 D．３个 ７．n对夫妇任意地排成一列,则每位丈夫都排在他的妻子后面的概率是(　　)． A．n ! ×１×３×􀆺×(２n－１) ２n(２n)! B． (２n)! ２n(２n－１)! C．１ ２n D． n ! １×３×􀆺×(２n－１) ８．已知正整数m ≤n≤k,其中２mnk＝(m＋２)(n＋２)(k＋２),则k的最大值为 (　　)． A．５４ B．９８ C．１２０ D．１３０ 二、填空题 ９．有两枚质地均匀的正方体骰子,其中一枚六个面上的数字分别是１,１,２,３,４,４; 另一枚六个面上的数字分别是２,４,６,７,８,９．同时掷这两枚骰子,则其朝上的面 两数字之和大于５的概率是 ． (第１０题图) １０．某主题公园欲建造一个圆形的喷水池,过水池中 心的一个截面如图所示,计划在喷水池的周边靠 近水面的位置安装一圈喷水头,使喷出的水柱在 离水池中心３米处达到最高,高度为４米．另外, 在喷水池的中心设计一个高度为３米的装饰物, 使各方向喷来的水柱在此处汇合,则这个圆形喷水池的半径为 米． (第１１题图) １１．运行如右图所示的算法,则输出的结果S 为 ． １２．满足条件|z－i|＝|z＋３＋４i|的复数z在复平面内对应 的点的轨迹是 ． １３．已知棱长为６６ 的正四面体内一点P 到其他三个面的距 离分别为１、２、３,则点P 到第四个面的距离是 ． １４．设(x－１)４ (x＋２)８＝a０x１２＋a１x１１＋􀆺＋a１１x＋a１２,则 a０＋a２＋􀆺＋a１０＋a１２＝ ． １５．∫ ２π ０ [cos３tcos(sint)＋３]dt＝ ． １６．给定集合M＝{１,２,􀆺,２０},若集合T⊆M,且对T中的任 意两个元素x、y,其和x＋y∉T,称集合T 为“P 类集”, “P 类集”中元素个数最多为 个． !"#$%! ２１　 三、解答题 １７．某同学根据如图所示的流程图编制了一个掷骰子游戏．请问,按该算法,最后输 出结果为i≥４的概率为多少? (程序框图中的k表示一次投掷后奇数点骰子 的个数．) １８．如图,圆柱OO１ 内CD、AB 分别为顶圆O１、底圆O 的直径,且A,B,C,D 四点 共面,点E 在圆O 上,点M 为CE 的中点．AB＝２AD＝２,当点E 在圆周上运动 时,记DE 与OM 的夹角为θ． (１)求cosθ 的最大值; (２)求四棱锥E－ABCD 体积的最大值,并计算此时的cosθ． NEWHOPECUP ２２　 １９．椭圆G 的方程为x ２ １２＋ y２ ４＝１． 设椭圆G 的左、右焦点为F１ 与F２,任取椭圆G 上 一点T,过点T 的切线为l,记点O 到直线l的距离为d,求|TF１|􀅰|TF２|􀅰d２ 的值． ２０．已知函数f(x)＝sinx－x＋ax３． (１)当x ≥０时,f(x)≥０,求a的取值范围; (２)某同学结束了大量运算后,注视着碎纸片上的两个数字ln２、３４ ,然后动笔写 出了它们的大小关系．如果你是他,你该怎么处理这个问题? 请给出必要的 推理过程与结果． ! " # $! ５１　 则an ＝２an－１ ＋２, 即an ＋２＝２(an－１ ＋２), 又a１ ＝２a１ －２, ∴a１ ＝２,an ＋２＝２n－１ ×(２＋２) 则an ＝２n＋１ －２． (２)nan ＝n􀅰２n＋１ －２n, 设Tn ＝１􀅰２２＋２􀅰２３＋３􀅰２４＋􀆺＋n􀅰２n＋１, ２Tn ＝１􀅰２３＋２􀅰３４＋３􀅰２５＋􀆺＋(n－１) 􀅰２n＋１ ＋n􀅰２n＋２, 两式相减得 Tn ＝n􀅰２n＋２ －(２２ ＋２３ ＋２４ ＋􀆺＋２n＋１) ＝n􀅰２n＋２ － ２２(１－２n) １－２ ＝n􀅰２n＋２ －２n＋２ ＋４． ∴{nan}的前n项和是 Tn －２(１＋２＋３＋􀆺＋n)＝n􀅰２n＋２－２n＋２ －n(n＋１)＋４． ２０．解:由 ① 得a＋２b＋４c＝１５２４, (∗) (１)若 b２a ≥１ ,f(x)在定义域上单调, 当a＜０时,有 a－b＋c＝３６４,a＋b＋c＝４４４． 与(∗)式联立,方程组无解; 当a＞０时,有 a－b＋c＝４４４,a＋b＋c＝３６４． 与(∗)式联立,解得 a＝４,b＝ －４０,c＝４００． (２)若 b２a ＜１ ,且a＜０, ４ac－b２ ４a ＝４４４ , 且a＋b＋c＝３６４或a－b＋c＝３６４． 与(∗)式联立的方程组均无解． (３)若 b２a ＜１ ,且a＞０, ４ac－b２ ４a ＝３６４ , 且a＋b＋c＝４４４或a－b＋c＝４４４, 与(∗)式联立的方程组均无解． 综上,a＝４,b＝ －４０,c＝４００． f(x)＝４sin２x－４０sinx＋４００． 高二训练题(一)答案 一、选择题 １．A　 提 示:因 为 z ＝ i－１ ２ ,所 以 z２ ＝ i２ ＋１－２i ２ ＝ －i ,z４ ＝z２􀅰z２ ＝i２ ＝ －１, 因此z６ ＝z４􀅰z２ ＝i,z２０i＝ z４( ) ５i＝ －i, z２０１２i２ ＝ z４( ) ５０３×(－１)＝１,所以原式的值 为１－i＋i＝１,选择 A． ２．B　 提示:因为a０ 是A 的最小值,所以当a０ ＞０时,∀x ∈A,x ≥a０ ＞０,因此x－１ ≤ a－１０ ,B选项符合题目要求． ３．B　 提 示:构 造 函 数 g(x)＝ xf(x),则 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜０,因此g(x)单 调递减,因此g(x)＜g(０)＝０,即xf(x)＜ ０⇒f(x)＜０,选择B． ４．D　 提示:当x ＜０时,{X ≤x}是不可能事 件,故F(x)＝０;当０≤x ≤２时,F(x)＝ kx２,取x ＝２,则F(２)＝P(０≤X ≤２)＝ １,故k＝ １ ４ ;此时F(x)＝ １ ４x ２;当x ＞２ 时,{X ≤x}是必然事件,故F(x)＝１;综上 有F(x)＝ ０,x ＜０, １ ４x ２,０≤x ≤２ １,x ＞２． ì î í ï ï ï ï ,因此选择D． ５．D　 提 示:|(a 􀱋b)􀅰c|＝|a 􀱋b|􀅰 |c|cosθ,其中θ 为c与a 􀱋b 的夹角,又 |a􀱋b|＝|a||b|sinα,其中α为a与b的 夹角,如图,三角形ABC 的面积为 １２|a| 􀅰 |b|sinα,则|a􀱋b|表示的是平行四边形 ABCD 的面积,|c|cosθ是平行六面体的高, 所以|a􀱋b|􀅰|c|cosθ＝Sh,等于以a、b、 c为邻边的平行六面体体积．因此选择 D． ６．D　 提示:向量旋转４次就会回到原来位置, ２０１２是４的倍数,因此 ① 正确,根据几何意 义,绘制图形,容易分析 ② 也正确;由几何意 义也可得到 ③ 正确;同样容易得到 ④ 错误． 选择 D． ７．C　 提示:排列的总数是(２n)!．首先把n个丈 夫进行排列,共有n! 种可能．然后让排在第 一的那位丈夫的妻子插入队伍,她显然只有１ 种可能的位置,即排在最前面,接着让排在第 二位的丈夫的妻子进入队伍．现在她的丈夫 之前已有两人,因此她有３种位置可选择．排 在第三位的丈夫的妻子进入队伍有５种位置 NEWHOPECUP ５２　 可选择,依次下去,最后一位丈夫的妻子有(２n －１)个位置可选择．因此有利场合总数是n! ×１×３× 􀆺 × (２n－１),所 求 的 概 率 是 n! ×１×３×􀆺×(２n－１) (２n)! ＝ n! ２×４×􀆺×２n ＝ n! ２n ×n! ＝ １ ２n ,选择C． ８．D　 提示:依题意有 １＋ ２ m( ) １＋ ２ n( ) １＋ ２ k( ) ＝２, (１)当m ≥８时,由m ≤n≤k,则 １＋ ２ m( ) １＋ ２ n( ) １＋ ２ k( ) ≤ １＋ １ ４( ) ３ ＝ １２５ ６４ ＜２ ,矛盾; (２)当 m ≤ ２ 时, １＋ ２ m( ) １＋ ２ n( ) 􀅰 １＋ ２ k( ) ＞２,矛盾; (３)当m ＝３时,则６nk＝５(n＋２)(k＋２), 即(n－１０)(k－１０)＝１２０． 所以k的最大值为１３０; (４)当m ＝４时,则４nk＝３(n＋２)(k＋２), 即(n－６)(k－６)＝４８． 所以k的最大值为５４; (５)当m≥５时,１＋ ２ k ＝ ２ １＋ ２ m( ) １＋ ２ n( ) ＞ ５０ ４９⇒k＜９８． 综上所述:k的最大值为１３０． 二、填空题 ９．５６　 提示:基本事件总数为C１６􀅰C１６ ＝３６．设 x,y 分别是第１,２个骰子掷出正面朝上的数 字．若x ＝１,则y ＝６,７,８,９;x ＝２,３,y ＝ ４,６,７,８,９;x ＝４,y ＝２,４,６,７,８,９．因此所 求概率为P ＝ ３０ ３６＝ ５ ６． １０．９　 提示:构建直角坐标系,知道顶点坐标和 抛物线在y 轴上的交点所以运用顶点式,y ＝a(x－３)２ ＋４,９a＋４＝３⇒a＝ － １ ９ , 所以y＝ － １ ９ (x－３)２＋４,令y＝０,解得 x ＝９或x ＝ －３(舍),所以x ＝９． １１．－１　 提示:周期为６,２０１３除以６的余数为 ３,所以为－１． １２．一条直线 　 提示:由已知|z－i|＝|z－ (－３－４i)|,根据几何意义,z对应的点到i与 －３－４i的距离相等,所以点的轨迹是一条直线． １３．６　 提示:正四面体的高为 ６３ ×６ ６ ＝１２ , 设点P 到第四个面的距离为x,正四面体的 每个面的面积为S,则１３S×１２＝ １ ３S× (１ ＋２＋３＋x),则x ＝６． １４．８　 提示:令x ＝１得a０ ＋a１ ＋􀆺＋a１１＋ a１２ ＝０,令x ＝ －１得a０－a１＋a２－a３＋ 􀆺＋a１０ －a１１ ＋a１２ ＝１６,两式相加得 a０ ＋a２ ＋􀆺＋a１０ ＋a１２ ＝８． １５．６π　 提示:∫ ２π ０ [cos３tcos(sint)＋３]dt＝６π＋ ∫ ２π ０ [cos３tcos(sint)]dt, 设 函 数 f(t) ＝ cos３tcos(sint),则f(t＋π)＝ (－cos３t)􀅰 cos(－sint)＝ －cos３tcos(sint)＝ －f(t), 因此∫ ２π ０ f(t)dt＝∫ π ０ f(t)dt＋∫ ２π π f(t)dt＝ ０,所以∫ ２π ０ [cos３tcos(sint)＋３]dt＝６π． １６．１１　 提示:设T ＝ {a１,a２,a３,􀆺,am }是“P 类集”,则a２－a１,a３－a１,􀆺,am －a１ 与a２, a３,􀆺,am 是互不相同的数,则m－１＋m－ １≤２０,m ≤１１．当T０ ＝ {１０,１１,１２,􀆺,２０} 时是“P 类集”．所以元素最多有１１个． 三、解答题 １７．解:用An 表示事件“第n 次操作后,恰好没 有骰子”,即第n次操作后i＝n, P(A１)＝ １ ２ × １ ２ ＝ １ ４ , P(A２)＝ (C１２ × １ ２ × １ ２ )× １ ２ ＋ (C０２× １ ２ × １ ２ )× １ ２ × １ ２ ＝ ５ １６ , P(A３)＝ (C１２ × １ ２ × １ ２ )× １ ２ × １ ２ ＋ (C０２ × １ ２ × １ ２ )×(C０２× １ ２ × １ ２ )× １ ２ × １ ２ ＋ (C０２ × １ ２ × １ ２ )×(C１２ × １ ２ × １ ２ )× １ ２ ＝ ! " # $! ５３　 １３ ６４ , 输出i≥４,说明第三次操作后k≥１, ∴p ＝１－P(A１)－P(A２)－P(A３)＝ １５ ６４． １８．解:(１)已知AD ＝１,连接O１M(如图), ∵O１、M 分别为CD,CE 的中点, ∴O１M ∥ DE,所以 ∠O１MO 即为DE 与 OM 的夹角为θ, 设 ∠AOE ＝α,则０≤α ≤２π, ∵O１、M 分别为CD,CE 的中点, ∴O１M ＝ １ ２DE , 又DE ＝ DA２ ＋AE２ , |AE|＝２|OA|sin α ２ , 所以 DE ＝ １＋４sin２ α ２ , O１M ＝ １ ２ DE ＝ １ ２ １＋４sin ２ α ２ , 同理有 |OM|＝ １ ２|CF|＝ １ ２ １＋４sin ２ α ２ , 又 由 余 弦 定 理:|OO１|２ ＝ |OM|２ ＋ |O１M|２－２|OM||O１M|cosθ, 所以cosθ＝１－ ２ １＋４sin２ α ２ , 设f(λ)＝１－ ２ １＋４λ２ ,０≤λ ≤１, 则f′(λ)＝ ２ (１＋４λ２)２ 􀅰８λ≥０,因此f(λ) 单调递增,又f(０)＝ －１,f(１)＝ ３ ５ ,因 此－１≤f(λ)≤ ３ ５ ,所以－１≤cosθ≤ ３ ５ , 当且仅当α ＝π时,cosθ取得最大值 ３ ５． (２)VE－ABCD ＝ １ ３SABCD 􀅰h,注意到h≤OE, 所以VE－ABCD ≤ １ ３SABCD 􀅰 OE ＝ ２ ３ ,此时 α ＝ π ２ ,所以cosθ＝ １ ３． １９．解:假设T点的坐标为(α,β),可求点F１,F２ 的坐标分别为(－２ ２,０),(２ ２,０),所以有 |TF１|＝ β２＋(α＋２ ２) ２ , |TF２|＝ β２＋(α－２ ２) ２ , 当y ＞０时,y ＝２ １－ x２ １２ ,求导得到 y′＝２􀅰 － ２x １２ ２ １－ x２ １２ ＝ － １ ３ 􀅰x y ; 当y ＜０时,y ＝ －２ １－ x２ １２ ,求导得到 y′＝ －２􀅰 － ２x １２ ２ １－ x２ １２ ＝ － １ ３ 􀅰x y ． 因此y′＝ － １ ３ 􀅰x y ,由此可推出过点T(α, β)的 切 线 方 程 为 y － β ＝ － １ ３ 􀅰 α β x－α( ) ,等价于３βy＋αx ＝α２＋３β２, 因为点T(α,β)在椭圆上,所以 α２ １２＋ β２ ４ ＝ １,所以α２ ＋３β２＝１２, 因此过点T(α,β)的切线方程为３βy＋αx ＝１２,点O到直线l的距离d＝ １２ ９β２＋α２ , 现在考虑|TF１|􀅰|TF２|􀅰d２, 因为d２ ＝ １４４ ９β２＋α２ ＝ １４４ ３(１２－α２)＋α２ ＝ １４４ ３６－２α２ ＝ ７２ １８－α２ , 且 TF１ ２ ＝β２＋(α＋２ ２) ２ ＝ １２－α２ ３ ＋ α２ ＋８＋４ ２α ＝ ２(α＋３ ２) ２ ３ , 同理可得 TF２ ２ ＝ ２(α－３ ２) ２ ３ , 所以 TF１ 􀅰 TF２ ＝ ２ ３ (１８－α２), 所以 TF１ 􀅰 TF２ 􀅰d２ ＝ ２ ３ (１８－α２) NEWHOPECUP ５４　 􀅰 ７２ １８－α２ ＝４８． ２０．解:(１)(ⅰ)当a＝ １ ６ 时,f(x)＝sinx－x ＋ １ ６x ３,f′(x)＝cosx－１＋ １ ２x ２, f″(x)＝ －sinx＋x,f‴(x)＝ －cosx＋ １, 注意到对任意的x ≥０,有cosx ≤１,因此 f‴(x)≥０,f″(x)单调递增,由单调性有 f″(x)＞f″(０),f″(０)＝０,所以f″(x) ≥０因此f′(x)在[０,＋∞)上单调递增,有 f′(x)≥f′(０),又f′(０)＝０,因此f(x) 在[０,＋∞)上单调递增,有f(x)≥f(０), f(０)＝０,因此a ＝ １ ６ 时,当x ≥０,有 f(x)≥０成立; (ⅱ)当a＞ １ ６ 时,x ≥０时,f(x)＝sinx －x＋ax３ ＞sinx－x＋ １ ６x ３ ≥０成立; (ⅲ)当a≤０时,f(x)＝sinx－x＋ax３ ＜０在０＜x＜ π ２ 时恒成立,不符合题目要 求,因此a≤０舍去; (ⅳ)当０＜a＜ １ ６ 时,因为f(x)＝sinx－ x ＋ax３,f′(x)＝ cosx －１＋３ax２, f″(x)＝ －sinx＋６ax,设g(x)＝mx－ sinx, g′(x)＝ m －cosx,注意到当 m ≥１时, g′(x)≥０恒成立;０＜m ＜１时,设cosx０ ＝m,解m－cosx ＞０有x ＞x０;解m－ cosx ＜０有０＜x ＜x０, 又g(０)＝０,所以当０＜x＜x０ 时,f″(x) ＜f″(０)＝０, 也就是说０＜x ＜x０ 时,f′(x)＜f′(０) ＝０,进一步可得到０＜x＜x０ 时,f(x)＜ f(０)＝０,又０＜a＜ １ ６ ,６a＝m ∈ (０,１), 所以当０＜a＜ １ ６ 时,总有０＜x ＜x０,使 得f(x)＜０,因此０＜a＜ １ ６ 不符题意,舍去． 综上有a的取值范围是a≥ １ ６． (２)ln２＜ ３ ４． 推理过程: 方法一:构造函数g(x)＝ １ ２x ２ ＋２lnx－ ３x(x ＞０),g′(x)＝x＋ ２ x －３＝ x２ －３x＋２ x ＝ (x－１)(x－２) x , 解g′(x)＞０得０＜x ＜１或x ＞２, 解g′(x)＜０得１＜x ＜２, 所以当x ≥１时,g(x)在[１,２)上递减,在 (２,＋∞)上递增,有g(x)≥g(２),g(２)＝ ２＋２ln２－６＝２ln２－４,即x ≥１时,g(x) ≥２ln２－４,即 １ ２x ２＋２lnx－３x≥２ln２－４, x ≥１,取x ＝１有ln２＜ ３ ４ ． 方法二:因为e３ ＞２．７３ ＝１９．６８３＞２４, 所以e ３ ４ ＞２．故ln２＜ ３ ４． 高二训练题(二)答案 一、选择题 １．A　 提示:因为２－i的共轭复数为２＋i,所以 １＋３i １－ai＝ ２＋i,解得a＝ －１,选择 A． ２．D　 提示:ax＋ x x－１＝ a(x－１)＋ １ x－１＋ a ＋ １, 所 以 ∀x ＞ １,ax ＋ x x－１ ≥ (a ＋１) ２, 若 ∀x ＞１,ax＋ x x－１＞ b,则(a ＋１) ２ ＞ b,可得 a ＋１＞ b,因此充分性成立,同样 可以得到必要性成立,因此 D正确． ３．C　 提示:只要满足cos∠AOC ＝cos∠AOB 􀅰cos∠BOC 便 可,在 A 中,cos９０°＝ ０＝ cos９０°􀅰cos３．５°,在B中,cosα ＝cos π ３ 􀅰 cosπ３ ,在D中,tanβ＝ tan５π４ ＋１２π( ) ２cosπ４ ＝１, cosπ３ ＝ １ ２ ＝cos π ４ 􀅰cosβ＝cos π ４ 􀅰cosπ４． 选择C． ４．C　 提示:在B,D中,当x ＜０时,f(x)＝ －ex ＝f′(x),不符合题意;对于 A,当x 足 够大的时候,一定会出现f(x)＞f′(x),不