第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 2．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 6．命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 8．已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、选择题:本题共3小题,每题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 10．已知实数a，b满足，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．的最小值为2 C．若，则 D．若，则的最小值为1 11．已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 把答案填在答题卡中的横线上. 12．设实数、满足，且，则、、中最大的是 ． 13．已知，且，则的最小值为 ． 14．“，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小. （2）已知，求的取值范围. 16．(15分)（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 17．(15分)（1）已知，求函数的最大值； （2）已知，且，求的最小值． 18．(17分)解关于x的不等式 (1) (2)． 19．(17分)已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？ 参考解析 1．D 【解析】对于A：若，，则，则，故A错误； 对于B：若，，例如， 则，故B错误； 对于C：若，可得， 则，无法得出，故C错误； 对于D：若，则， 可得，则， 所以，故D正确． 故选：D． 2．D 【解析】由，则， 当且仅当，即时，等号成立.故选：D. 3．A 【解析】由，即，解得或， 所以条件，即或，又条件， ∵是的充分不必要条件，∴.故选：A． 4．C 【解析】因为，，， 所以，， 当且仅当，即，时取等号.故选：C. 5．C 【解析】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立.故选：C. 6．A 【解析】命题“，不等式”为假命题， 则命题“，不等式”为真命题， 所以，解得， 所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为， 则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是，故选：A 7．D 【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为.故选：D. 8．A 【解析】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是， 当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ，所以条件是条件的充分不必要条件．故选：A． 9．AB 【解析】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D错误. 故选：AB. 10．ACD 【解析】对于选项A，由，，得，解得，A正确. 对于选项B，取，满足，此时，B不正确. 对于选项C，由，得，取，， 则，由，得，则，则， 当且仅当，时，等号成立，从而，C正确. 对于选项D，由，得， 则. 因为 ，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值为1，D正确. 故选：ACD 11．BC 【解析】因为关于一元二次不等式的解集为（其中）， 所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，，又关于一元二次不等式的解集为， 即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，，又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的，又开口向下，对称轴为， 由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）： 所以， 则，所以，，所以，故A错误，B正确； 又，，所以，故C正确； 因为、为关于的方程的两根，所以，， 又，所以，所以， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 显然，所以，故D错误. 故选：BC 12． 【解析】因为，所以 所以 又，且，所以 所以, 所以， 所以、、中最大的是， 故答案为：. 13． 【解析】由于，因此， 则， 当且仅当时取等号．故答案为：. 14．5（答案不唯一） 【解析】若，则， 当时，不等式可化为， 解得，此时不等式的解集为，不合题意， 当时，不等式可化为， 此时不等式的解集为，符合题意， 当时，由不等式的解集为， 可得，即， 即，解得或， 综上可知，实数a的取值范围是， 所以一个满足条件的实数a的值可以为：5. 15．【解析】（1）. 因为，所以，， 所以. 因为，都为正数，所以， 因此，当且仅当时等号成立. （2）由题意可设， 则，解得，， 因为， 所以，，则. 16．【解析】（1）因为，，所以， 当且仅当时取等号． （2）∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． 17．【解析】（1），，故， 所以． ，， 当且仅当，即或（舍）时，等号成立，故当时，． （2）因为，且， ， 当且仅当，且时等号成立，取最小值， ，当时，． 18．【解析】（1）∵， ∴，∴， 解得：或， 故不等式的解集是或； （2）∵， ∴， 时，，解得：， 时，， ，或， 时，不等式为，， 故不等式的解集是：或， 时，不等式为， 故不等式的解集是， 时，不等式为， ， 故不等式的解集是：或， 时，不等式为，， 故不等式的解集是：. 综上可知，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集是或， 时，不等式的解集是， 时，不等式的解集是或， 时，不等式的解集是. 19．【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线， 故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． （2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象， 由图知， ， 解得．所以a的取值范围是． （3）方程的两个根都大于0， 则 ，解得，所以a的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$